सार्वभौम समुच्चय

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समुच्चय सिद्धांत में, एक सार्वभौम समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसमें स्वयं सहित सभी वस्तुएँ शामिल होती हैं। आमतौर पर तैयार किए गए सेट सिद्धांत में, यह कई तरीकों से सिद्ध किया जा सकता है कि एक सार्वभौमिक सेट मौजूद नहीं है। हालांकि, सेट सिद्धांत के कुछ गैर-मानक रूपों में एक सार्वभौमिक सेट शामिल है।

गैर-अस्तित्व के कारण

कई समुच्चय सिद्धांत सार्वत्रिक समुच्चय के अस्तित्व की अनुमति नहीं देते हैं। सेट थ्योरी के स्वयंसिद्धों के विभिन्न विकल्पों के आधार पर, इसकी गैर-अस्तित्व के लिए कई अलग-अलग तर्क हैं।

नियमितता

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, नियमितता का स्वयंसिद्ध और युग्मन का स्वयंसिद्ध किसी भी सेट को स्वयं को समाहित करने से रोकता है। किसी भी सेट के लिए $A$, सेट $\{A\}$ (जोड़ी का उपयोग करके निर्मित) आवश्यक रूप से एक तत्व से अलग होता है $\{A\}$, नियमितता से। क्योंकि उसका एक ही तत्व है $A$, ऐसा होना चाहिए $A$ से जुदा है $\{A\}$, और इसलिए वह $A$ खुद को शामिल नहीं करता है। क्योंकि एक सार्वभौमिक सेट अनिवार्य रूप से खुद को शामिल करेगा, यह इन स्वयंसिद्धों के तहत मौजूद नहीं हो सकता।

रसेल का विरोधाभास

Main article: Russell's paradox

रसेल का विरोधाभास सेट सिद्धांतों में एक सार्वभौमिक सेट के अस्तित्व को रोकता है जिसमें ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध शामिल है। यह स्वयंसिद्ध बताता है कि, किसी भी सूत्र के लिए $\varphi (x)$ और कोई सेट $A$, एक सेट मौजूद है

$$\{x\in A\mid \varphi (x)\}$$

जिसमें वास्तव में वे तत्व शामिल हैं $x$ का $A$ जो संतुष्ट करता है $\varphi$.

इस स्वयंसिद्ध के परिणामस्वरूप, प्रत्येक सेट के लिए $A$ एक और सेट से मेल खाता है $B=\{x\in A\mid x\not \in x\}$ के तत्वों से मिलकर बना है $A$ जो खुद में शामिल नहीं है। $B$ स्वयं को समाहित नहीं कर सकता, क्योंकि इसमें केवल ऐसे समुच्चय होते हैं जो स्वयं को समाहित नहीं करते हैं। का सदस्य नहीं हो सकता $A$, क्योंकि अगर यह होता तो इसकी परिभाषा के अनुसार, इस तथ्य का खंडन करते हुए कि यह स्वयं को समाहित नहीं कर सकता, इसे स्वयं के सदस्य के रूप में शामिल किया जाएगा। इसलिए, प्रत्येक सेट $A$ गैर-सार्वभौमिक है: एक सेट मौजूद है $B$ कि इसमें शामिल नहीं है। यह वास्तव में विधेय अलगाव और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के स्वयंसिद्ध स्कीमा के साथ भी है।

कैंटर प्रमेय

Main article: Cantor's theorem

एक सार्वभौमिक सेट के विचार के साथ एक और कठिनाई सभी सेटों के सेट के सत्ता स्थापित से संबंधित है। चूंकि यह पावर सेट सेट का एक सेट है, यह आवश्यक रूप से सभी सेटों के सेट का एक सबसेट होगा, बशर्ते कि दोनों मौजूद हों। हालांकि, यह कैंटर के प्रमेय के साथ संघर्ष करता है कि किसी भी सेट (चाहे अनंत हो या नहीं) के पावर सेट में हमेशा सेट की तुलना में सख्ती से उच्च प्रमुखता होती है।

सार्वभौमिकता के सिद्धांत

एक सार्वभौमिक सेट से जुड़ी कठिनाइयों को या तो सेट सिद्धांत के एक प्रकार का उपयोग करके टाला जा सकता है जिसमें समझ का स्वयंसिद्ध किसी तरह से प्रतिबंधित है, या एक सार्वभौमिक वस्तु का उपयोग करके जिसे सेट नहीं माना जाता है।

प्रतिबंधित समझ

ऐसे सेट सिद्धांत हैं जो सुसंगत होने के लिए जाने जाते हैं (यदि सामान्य सेट सिद्धांत सुसंगत है) जिसमें सार्वभौमिक सेट होता है V मौजूद है (और $V\in V$ क्या सच है)। इन सिद्धांतों में, ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आता है, और सहज सेट सिद्धांत की समझ का स्वयंसिद्ध एक अलग तरीके से प्रतिबंधित है। एक सार्वभौम समुच्चय वाला एक समुच्चय सिद्धांत आवश्यक रूप से एक गैर-सुस्थापित समुच्चय सिद्धांत है। एक सार्वभौमिक सेट के साथ सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया सेट सिद्धांत विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन की नई नींव है। अलोंजो चर्च और अर्नोल्ड ओबर्सचेल्प ने भी ऐसे सेट सिद्धांतों पर काम प्रकाशित किया। चर्च ने अनुमान लगाया कि उनके सिद्धांत को क्विन के अनुरूप विस्तारित किया जा सकता है, लेकिन ओबर्सचेल्प के लिए यह संभव नहीं है, क्योंकि इसमें सिंगलटन फ़ंक्शन एक सेट साबित होता है, जो न्यू फ़ाउंडेशन में तुरंत विरोधाभास की ओर ले जाता है। एक और उदाहरण सकारात्मक सेट सिद्धांत है, जहां समझ का स्वयंसिद्ध केवल सकारात्मक सूत्रों तक ही सीमित है (सूत्र जिनमें नकारात्मकता नहीं है)। इस तरह के सेट सिद्धांत टोपोलॉजी में बंद होने की धारणा से प्रेरित होते हैं।

यूनिवर्सल ऑब्जेक्ट्स जो सेट नहीं हैं

Main article: Universe (mathematics)

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में एक सार्वभौमिक सेट का विचार सहज रूप से वांछनीय लगता है, विशेष रूप से क्योंकि इस सिद्धांत के अधिकांश संस्करण सभी सेटों यूनिवर्सल क्वांटिफायर के उपयोग की अनुमति देते हैं (सार्वभौमिक क्वांटिफायर देखें)। किसी वस्तु को अनुमति देने का एक तरीका जो विरोधाभास पैदा किए बिना एक सार्वभौमिक सेट के समान व्यवहार करता है, वर्णन करना है V और इसी तरह के बड़े संग्रह सेट के बजाय क्लास (सेट थ्योरी) के रूप में। एक सार्वभौमिक सेट और एक सार्वभौमिक वर्ग (सेट सिद्धांत) के बीच एक अंतर यह है कि सार्वभौमिक वर्ग स्वयं को शामिल नहीं करता है, क्योंकि उचित वर्ग अन्य वर्गों के तत्व नहीं हो सकते। रसेल का विरोधाभास इन सिद्धांतों में लागू नहीं होता है क्योंकि समझ का स्वयंसिद्ध सेट पर संचालित होता है, कक्षाओं पर नहीं।

समुच्चय की श्रेणी को भी एक सार्वभौमिक वस्तु माना जा सकता है, जो फिर से, अपने आप में एक समुच्चय नहीं है। इसमें तत्वों के रूप में सभी सेट हैं, और एक सेट से दूसरे में सभी कार्यों के लिए तीर भी शामिल हैं। फिर से, यह स्वयं को समाहित नहीं करता है, क्योंकि यह स्वयं एक समुच्चय नहीं है।

यह भी देखें

• ब्रह्मांड (गणित)
• ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड
• प्रवचन का क्षेत्र
• वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत - ZFC का एक विस्तार जो सभी सेटों के वर्ग को स्वीकार करता है

संदर्भ

• Cenzer, Douglas; Larson, Jean; Porter, Christopher; Zapletal, Jindrich (2020). Set Theory and Foundations of Mathematics: An Introduction to Mathematical Logic. World Scientific. p. 2. doi:10.1142/11324. ISBN 978-981-12-0192-9. S2CID 208131473.
• Church, Alonzo (1974). "Set theory with a universal set". Proceedings of the Tarski Symposium: An international symposium held at the University of California, Berkeley, June 23–30, 1971, to honor Alfred Tarski on the occasion of his seventieth birthday. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 25. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 297–308. MR 0369069.
• Forster, T. E. (1995). Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe. Oxford Logic Guides. Vol. 31. Oxford University Press. ISBN 0-19-851477-8.
• Forster, Thomas (2001). "Church's set theory with a universal set". In Anderson, C. Anthony; Zelëny, Michael (eds.). Logic, Meaning and Computation: Essays in Memory of Alonzo Church. Synthese Library. Vol. 305. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 109–138. MR 2067968.
• Oberschelp, Arnold (1973). Set theory over classes. Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne). Vol. 106. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. MR 0319758.
• Willard Van Orman Quine (1937) "New Foundations for Mathematical Logic," American Mathematical Monthly 44, pp. 70–80.
• Sheridan, Flash (2016). "A variant of Church's set theory with a universal set in which the singleton function is a set" (PDF). Logique et Analyse. 59 (233): 81–131. JSTOR 26767819. MR 3524800.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Universal Set". MathWorld.
• Bibliography: Set Theory with a Universal Set, originated by T. E. Forster and maintained by Randall Holmes.