सार्वभौम समुच्चय: Difference between revisions

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समुच्चय सिद्धांत में, एक सार्वभौम समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसमें स्वयं सहित सभी वस्तुएँ शामिल होती हैं।{{sfnp|Forster|1995|p=1}} आमतौर पर तैयार किए गए सेट सिद्धांत में, यह कई तरीकों से सिद्ध किया जा सकता है कि एक सार्वभौमिक सेट मौजूद नहीं है। हालांकि, सेट सिद्धांत के कुछ गैर-मानक रूपों में एक सार्वभौमिक सेट शामिल है।
समुच्चय सिद्धांत में, एक सार्वभौम समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसमें स्वयं सहित सभी वस्तुएँ सम्मिलित होती हैं।{{sfnp|Forster|1995|p=1}} सामान्यतः तैयार किए गए समुच्चय सिद्धांत में, यह कई विधि से सिद्ध किया जा सकता है कि एक सार्वभौमिक समुच्चय उपस्थित नहीं है। चूँकि समुच्चय सिद्धांत के कुछ गैर-मानक रूपों में एक सार्वभौमिक समुच्चय सम्मिलित है।


== गैर-अस्तित्व के कारण ==
== गैर-अस्तित्व के कारण ==
कई समुच्चय सिद्धांत सार्वत्रिक समुच्चय के अस्तित्व की अनुमति नहीं देते हैं। सेट थ्योरी के स्वयंसिद्धों के विभिन्न विकल्पों के आधार पर, इसकी गैर-अस्तित्व के लिए कई अलग-अलग तर्क हैं।
कई समुच्चय सिद्धांत सार्वत्रिक समुच्चय के अस्तित्व की अनुमति नहीं देते हैं। समुच्चय सिद्धान्त के स्वयंसिद्धों के विभिन्न विकल्पों के आधार पर, इसकी गैर-अस्तित्व के लिए कई अलग-अलग तर्क हैं।


=== नियमितता ===
=== नियमितता ===
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, [[नियमितता का स्वयंसिद्ध]] और [[युग्मन का स्वयंसिद्ध]] किसी भी सेट को स्वयं को समाहित करने से रोकता है। किसी भी सेट के लिए <math>A</math>, सेट <math>\{A\}</math> (जोड़ी का उपयोग करके निर्मित) आवश्यक रूप से एक तत्व से अलग होता है <math>\{A\}</math>, नियमितता से। क्योंकि उसका एक ही तत्व है <math>A</math>, ऐसा होना चाहिए <math>A</math> से जुदा है <math>\{A\}</math>, और इसलिए वह <math>A</math> खुद को शामिल नहीं करता है। क्योंकि एक सार्वभौमिक सेट अनिवार्य रूप से खुद को शामिल करेगा, यह इन स्वयंसिद्धों के तहत मौजूद नहीं हो सकता।{{sfnp|Cenzer|Larson|Porter|Zapletal|2020}}
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में, नियमितता का स्वयंसिद्ध और युग्मन का स्वयंसिद्ध किसी भी समुच्चय को स्वयं को समाहित करने से रोकता है। किसी भी समुच्चय <math>A</math> के लिए, समुच्चय <math>\{A\}</math> (युग्मन का उपयोग करके निर्मित) में आवश्यक रूप से नियमितता द्वारा <math>\{A\}</math> से अलग होने वाला तत्व सम्मिलित है। क्योंकि इसका एकमात्र अवयव <math>A</math> है, यह स्थिति होना चाहिए कि <math>A</math>, <math>\{A\}</math> से अलग है, और इसलिए कि<math>A</math> में स्वयं समाविष्ट नहीं है। क्योंकि एक सार्वभौम समुच्चय आवश्यक रूप से स्वयं को समाहित करेगा, यह इन स्वयंसिद्धों के अंतर्गत उपस्थित नहीं हो सकता है।{{sfnp|Cenzer|Larson|Porter|Zapletal|2020}}


=== रसेल का विरोधाभास ===
=== रसेल का विरोधाभास ===
{{Main|Russell's paradox}}
{{Main|रसेल का विरोधाभास}}
रसेल का विरोधाभास सेट सिद्धांतों में एक सार्वभौमिक सेट के अस्तित्व को रोकता है जिसमें [[ज़र्मेलो]] की समझ का स्वयंसिद्ध शामिल है।
यह स्वयंसिद्ध बताता है कि, किसी भी सूत्र के लिए <math>\varphi(x)</math> और कोई सेट <math>A</math>, एक सेट मौजूद है
<math display=block>\{x \in A \mid \varphi(x)\}</math>
जिसमें वास्तव में वे तत्व शामिल हैं <math>x</math> का <math>A</math> जो संतुष्ट करता है <math>\varphi</math>.


इस स्वयंसिद्ध के परिणामस्वरूप, प्रत्येक सेट के लिए <math>A</math> एक और सेट से मेल खाता है <math>B=\{x \in A\mid x\not\in x\}</math> के तत्वों से मिलकर बना है <math>A</math> जो खुद में शामिल नहीं है। <math>B</math> स्वयं को समाहित नहीं कर सकता, क्योंकि इसमें केवल ऐसे समुच्चय होते हैं जो स्वयं को समाहित नहीं करते हैं। का सदस्य नहीं हो सकता <math>A</math>, क्योंकि अगर यह होता तो इसकी परिभाषा के अनुसार, इस तथ्य का खंडन करते हुए कि यह स्वयं को समाहित नहीं कर सकता, इसे स्वयं के सदस्य के रूप में शामिल किया जाएगा। इसलिए, प्रत्येक सेट <math>A</math> गैर-सार्वभौमिक है: एक सेट मौजूद है <math>B</math> कि इसमें शामिल नहीं है। यह वास्तव में विधेय अलगाव और [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] के स्वयंसिद्ध स्कीमा के साथ भी है।
रसेल का विरोधाभास समुच्चय सिद्धांतों में एक सार्वभौमिक समुच्चय के अस्तित्व को रोकता है जिसमें [[ज़र्मेलो]] की समझ का स्वयंसिद्ध सम्मिलित है।
 
यह स्वयंसिद्ध बताता है कि, किसी भी सूत्र के लिए <math>\varphi(x)</math> और कोई समुच्चय <math>A</math>, एक समुच्चय उपस्थित है
<math display="block">\{x \in A \mid \varphi(x)\}</math>
जिसमें <math>A</math> के ठीक वे तत्व <math>x</math> सम्मिलित हैं जो <math>\varphi</math> को संतुष्ट करते हैं।
 
इस अभिगृहीत के परिणामस्वरूप, प्रत्येक समुच्चय <math>A</math> के लिए एक और समुच्चय <math>B=\{x \in A\mid x\not\in x\}</math> होता है, जिसमें <math>A</math> के वे तत्व सम्मिलित होते हैं जिनमें स्वयं सम्मिलित नहीं होते हैं। <math>B</math> स्वयं को समाहित नहीं कर सकता, क्योंकि इसमें केवल ऐसे समुच्चय होते हैं जो स्वयं को समाहित नहीं करते हैं। यह <math>A</math> का सदस्य नहीं हो सकता है, क्योंकि यदि यह होता तो इसकी परिभाषा के अनुसार, इस तथ्य का खंडन करते हुए कि यह स्वयं को सम्मिलित नहीं कर सकता, इसे स्वयं के सदस्य के रूप में सम्मिलित किया जाएगा। इसलिए, प्रत्येक समुच्चय ए गैर-सार्वभौमिक है: एक समुच्चय बी उपस्थित है जिसमें यह सम्मिलित नहीं है। यह वास्तव में विधेयात्मक समझ और अंतर्ज्ञानवादी तर्क पर भी प्रयुक्त होता है।


=== कैंटर प्रमेय ===
=== कैंटर प्रमेय ===
{{Main|Cantor's theorem}}
{{Main|कैंटर की प्रमेय}}
एक सार्वभौमिक सेट के विचार के साथ एक और कठिनाई सभी सेटों के सेट के [[ सत्ता स्थापित ]] से संबंधित है। चूंकि यह पावर सेट सेट का एक सेट है, यह आवश्यक रूप से सभी सेटों के सेट का एक सबसेट होगा, बशर्ते कि दोनों मौजूद हों। हालांकि, यह कैंटर के प्रमेय के साथ संघर्ष करता है कि किसी भी सेट (चाहे अनंत हो या नहीं) के पावर सेट में हमेशा सेट की तुलना में सख्ती से उच्च [[प्रमुखता]] होती है।
 
एक सार्वभौमिक समुच्चय के विचार के साथ एक और कठिनाई सभी सेटों के समुच्चय के [[ सत्ता स्थापित ]] से संबंधित है। चूंकि यह पावर समुच्चय समुच्चय का एक समुच्चय है, यह आवश्यक रूप से सभी सेटों के समुच्चय का एक सबसेट होगा, परंतु  कि दोनों उपस्थित हों। चूँकि  यह कैंटर के प्रमेय के साथ संघर्ष करता है कि किसी भी समुच्चय (चाहे अनंत हो या नहीं) के पावर समुच्चय में सदैव समुच्चय की तुलना में सख्ती से उच्च [[प्रमुखता]] होती है।


== सार्वभौमिकता के सिद्धांत ==
== सार्वभौमिकता के सिद्धांत ==
एक सार्वभौमिक सेट से जुड़ी कठिनाइयों को या तो सेट सिद्धांत के एक प्रकार का उपयोग करके टाला जा सकता है जिसमें समझ का स्वयंसिद्ध किसी तरह से प्रतिबंधित है, या एक सार्वभौमिक वस्तु का उपयोग करके जिसे सेट नहीं माना जाता है।
एक सार्वभौमिक समुच्चय से जुड़ी कठिनाइयों को या तो समुच्चय सिद्धांत के एक प्रकार का उपयोग करके टाला जा सकता है जिसमें समझ का स्वयंसिद्ध किसी तरह से प्रतिबंधित है, या एक सार्वभौमिक वस्तु का उपयोग करके जिसे समुच्चय नहीं माना जाता है।


=== प्रतिबंधित समझ ===
=== प्रतिबंधित समझ ===
ऐसे सेट सिद्धांत हैं जो सुसंगत होने के लिए जाने जाते हैं (यदि सामान्य सेट सिद्धांत सुसंगत है) जिसमें सार्वभौमिक सेट होता है {{mvar|V}} मौजूद है (और <math>V \in V</math> क्या सच है)। इन सिद्धांतों में, ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आता है, और सहज सेट सिद्धांत की समझ का स्वयंसिद्ध एक अलग तरीके से प्रतिबंधित है। एक सार्वभौम समुच्चय वाला एक समुच्चय सिद्धांत आवश्यक रूप से एक गैर-सुस्थापित समुच्चय सिद्धांत है।
ऐसे समुच्चय सिद्धांत हैं जो सुसंगत होने के लिए जाने जाते हैं (यदि सामान्य समुच्चय सिद्धांत सुसंगत है) जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय '''होता है''' {{mvar|V}} उपस्थित है (और <math>V \in V</math> क्या सच है)। इन सिद्धांतों में, ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आता है, और सहज समुच्चय सिद्धांत की समझ का स्वयंसिद्ध एक अलग विधि से प्रतिबंधित है। एक सार्वभौम समुच्चय वाला एक समुच्चय सिद्धांत आवश्यक रूप से एक गैर-सुस्थापित समुच्चय सिद्धांत है। एक सार्वभौमिक समुच्चय के साथ सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया समुच्चय सिद्धांत [[विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन]] की [[नई नींव]] है। [[अलोंजो चर्च]] और [[अर्नोल्ड ओबर्सचेल्प]] ने भी ऐसे समुच्चय सिद्धांतों पर काम प्रकाशित किया। चर्च ने अनुमान लगाया कि उनके सिद्धांत को क्विन के अनुरूप विस्तारित किया जा सकता है,<ref>{{harvtxt|Church|1974|p=308}}. See also {{harvtxt|Forster|1995|p=136}}, {{harvtxt|Forster|2001|p=17}}, and {{harvtxt|Sheridan|2016}}.</ref> किंतु ओबर्सचेल्प के लिए यह संभव नहीं है, क्योंकि इसमें सिंगलटन कार्य एक समुच्चय सिद्ध होता है,{{sfnp|Oberschelp|1973|p=40}} जो न्यू फ़ाउंडेशन में तुरंत विरोधाभास की ओर ले जाता है।<ref>Holmes 1998 p. 110. {{Incomplete short citation|date=July 2022}}</ref>
एक सार्वभौमिक सेट के साथ सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया सेट सिद्धांत [[विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन]] की [[नई नींव]] है। [[अलोंजो चर्च]] और [[अर्नोल्ड ओबर्सचेल्प]] ने भी ऐसे सेट सिद्धांतों पर काम प्रकाशित किया। चर्च ने अनुमान लगाया कि उनके सिद्धांत को क्विन के अनुरूप विस्तारित किया जा सकता है,<ref>{{harvtxt|Church|1974|p=308}}. See also {{harvtxt|Forster|1995|p=136}}, {{harvtxt|Forster|2001|p=17}}, and {{harvtxt|Sheridan|2016}}.</ref> लेकिन ओबर्सचेल्प के लिए यह संभव नहीं है, क्योंकि इसमें सिंगलटन फ़ंक्शन एक सेट साबित होता है,{{sfnp|Oberschelp|1973|p=40}} जो न्यू फ़ाउंडेशन में तुरंत विरोधाभास की ओर ले जाता है।<ref>Holmes 1998 p. 110. {{Incomplete short citation|date=July 2022}}</ref>
 
एक और उदाहरण [[सकारात्मक सेट सिद्धांत]] है, जहां समझ का स्वयंसिद्ध केवल [[सकारात्मक सूत्र]]ों तक ही सीमित है (सूत्र जिनमें नकारात्मकता नहीं है)। इस तरह के सेट सिद्धांत टोपोलॉजी में बंद होने की धारणा से प्रेरित होते हैं।
एक और उदाहरण [[सकारात्मक सेट सिद्धांत|सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत]] है, जहां समझ का स्वयंसिद्ध केवल [[सकारात्मक सूत्र]] तक ही सीमित है (सूत्र जिनमें नकारात्मकता नहीं है) इस तरह के समुच्चय सिद्धांत टोपोलॉजी में बंद होने की धारणा से प्रेरित होते हैं।
 
=== यूनिवर्सल ऑब्जेक्ट्स जो समुच्चय नहीं हैं ===
{{main|ब्रह्मांड (गणित)}}
 
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में एक सार्वभौमिक समुच्चय का विचार सहज रूप से वांछनीय लगता है, विशेष रूप से क्योंकि इस सिद्धांत के अधिकांश संस्करण सभी सेटों [[यूनिवर्सल क्वांटिफायर]] के उपयोग की अनुमति देते हैं (सार्वभौमिक क्वांटिफायर देखें) किसी वस्तु को अनुमति देने का एक विधि जो विरोधाभास उत्पन्न किए बिना एक सार्वभौमिक समुच्चय के समान व्यवहार करता है, वर्णन करना है {{mvar|V}} और इसी तरह के बड़े संग्रह समुच्चय के अतिरिक्त क्लास (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में। एक सार्वभौमिक समुच्चय और एक सार्वभौमिक [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग (समुच्चय सिद्धांत)]] के बीच एक अंतर यह है कि सार्वभौमिक वर्ग स्वयं को सम्मिलित नहीं करता है, क्योंकि [[उचित वर्ग]] अन्य वर्गों के तत्व नहीं हो सकते।{{citation needed|date=May 2014}} रसेल का विरोधाभास इन सिद्धांतों में प्रयुक्त नहीं होता है क्योंकि समझ का स्वयंसिद्ध वर्ग पर नहीं सेट पर संचालित होता है।


=== यूनिवर्सल ऑब्जेक्ट्स जो सेट नहीं हैं ===
समुच्चय की श्रेणी को भी एक सार्वभौमिक वस्तु माना जा सकता है, जो फिर से अपने आप में एक समुच्चय नहीं है। इसमें तत्वों के रूप में सभी समुच्चय हैं, और एक समुच्चय से दूसरे में सभी कार्यों के लिए तीर भी सम्मिलित हैं।
{{main|Universe (mathematics)}}
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में एक सार्वभौमिक सेट का विचार सहज रूप से वांछनीय लगता है, विशेष रूप से क्योंकि इस सिद्धांत के अधिकांश संस्करण सभी सेटों [[यूनिवर्सल क्वांटिफायर]] के उपयोग की अनुमति देते हैं (सार्वभौमिक क्वांटिफायर देखें)। किसी वस्तु को अनुमति देने का एक तरीका जो विरोधाभास पैदा किए बिना एक सार्वभौमिक सेट के समान व्यवहार करता है, वर्णन करना है {{mvar|V}} और इसी तरह के बड़े संग्रह सेट के बजाय क्लास (सेट थ्योरी) के रूप में। एक सार्वभौमिक सेट और एक सार्वभौमिक [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]] के बीच एक अंतर यह है कि सार्वभौमिक वर्ग स्वयं को शामिल नहीं करता है, क्योंकि [[उचित वर्ग]] अन्य वर्गों के तत्व नहीं हो सकते।{{citation needed|date=May 2014}} रसेल का विरोधाभास इन सिद्धांतों में लागू नहीं होता है क्योंकि समझ का स्वयंसिद्ध सेट पर संचालित होता है, कक्षाओं पर नहीं।


समुच्चय की श्रेणी को भी एक सार्वभौमिक वस्तु माना जा सकता है, जो फिर से, अपने आप में एक समुच्चय नहीं है। इसमें तत्वों के रूप में सभी सेट हैं, और एक सेट से दूसरे में सभी कार्यों के लिए तीर भी शामिल हैं।
फिर से यह स्वयं को समाहित नहीं करता है, क्योंकि यह स्वयं एक समुच्चय नहीं है।
फिर से, यह स्वयं को समाहित नहीं करता है, क्योंकि यह स्वयं एक समुच्चय नहीं है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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* [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]]
* [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]]
* प्रवचन का क्षेत्र
* प्रवचन का क्षेत्र
* वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत - ZFC का एक विस्तार जो सभी सेटों के वर्ग को स्वीकार करता है
* वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत - जेडएफसी का एक विस्तार जो सभी सेटों के वर्ग को स्वीकार करता है


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==

Revision as of 12:00, 17 May 2023

For other uses, see सार्वभौम समुच्चय (disambiguation).

समुच्चय सिद्धांत में, एक सार्वभौम समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसमें स्वयं सहित सभी वस्तुएँ सम्मिलित होती हैं।[1] सामान्यतः तैयार किए गए समुच्चय सिद्धांत में, यह कई विधि से सिद्ध किया जा सकता है कि एक सार्वभौमिक समुच्चय उपस्थित नहीं है। चूँकि समुच्चय सिद्धांत के कुछ गैर-मानक रूपों में एक सार्वभौमिक समुच्चय सम्मिलित है।

गैर-अस्तित्व के कारण

कई समुच्चय सिद्धांत सार्वत्रिक समुच्चय के अस्तित्व की अनुमति नहीं देते हैं। समुच्चय सिद्धान्त के स्वयंसिद्धों के विभिन्न विकल्पों के आधार पर, इसकी गैर-अस्तित्व के लिए कई अलग-अलग तर्क हैं।

नियमितता

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में, नियमितता का स्वयंसिद्ध और युग्मन का स्वयंसिद्ध किसी भी समुच्चय को स्वयं को समाहित करने से रोकता है। किसी भी समुच्चय के लिए, समुच्चय (युग्मन का उपयोग करके निर्मित) में आवश्यक रूप से नियमितता द्वारा से अलग होने वाला तत्व सम्मिलित है। क्योंकि इसका एकमात्र अवयव है, यह स्थिति होना चाहिए कि , से अलग है, और इसलिए कि में स्वयं समाविष्ट नहीं है। क्योंकि एक सार्वभौम समुच्चय आवश्यक रूप से स्वयं को समाहित करेगा, यह इन स्वयंसिद्धों के अंतर्गत उपस्थित नहीं हो सकता है।[2]

रसेल का विरोधाभास

Main article: रसेल का विरोधाभास

रसेल का विरोधाभास समुच्चय सिद्धांतों में एक सार्वभौमिक समुच्चय के अस्तित्व को रोकता है जिसमें ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध सम्मिलित है।

यह स्वयंसिद्ध बताता है कि, किसी भी सूत्र के लिए और कोई समुच्चय , एक समुच्चय उपस्थित है

जिसमें के ठीक वे तत्व सम्मिलित हैं जो को संतुष्ट करते हैं।

इस अभिगृहीत के परिणामस्वरूप, प्रत्येक समुच्चय के लिए एक और समुच्चय होता है, जिसमें के वे तत्व सम्मिलित होते हैं जिनमें स्वयं सम्मिलित नहीं होते हैं। स्वयं को समाहित नहीं कर सकता, क्योंकि इसमें केवल ऐसे समुच्चय होते हैं जो स्वयं को समाहित नहीं करते हैं। यह का सदस्य नहीं हो सकता है, क्योंकि यदि यह होता तो इसकी परिभाषा के अनुसार, इस तथ्य का खंडन करते हुए कि यह स्वयं को सम्मिलित नहीं कर सकता, इसे स्वयं के सदस्य के रूप में सम्मिलित किया जाएगा। इसलिए, प्रत्येक समुच्चय ए गैर-सार्वभौमिक है: एक समुच्चय बी उपस्थित है जिसमें यह सम्मिलित नहीं है। यह वास्तव में विधेयात्मक समझ और अंतर्ज्ञानवादी तर्क पर भी प्रयुक्त होता है।

कैंटर प्रमेय

Main article: कैंटर की प्रमेय

एक सार्वभौमिक समुच्चय के विचार के साथ एक और कठिनाई सभी सेटों के समुच्चय के सत्ता स्थापित से संबंधित है। चूंकि यह पावर समुच्चय समुच्चय का एक समुच्चय है, यह आवश्यक रूप से सभी सेटों के समुच्चय का एक सबसेट होगा, परंतु कि दोनों उपस्थित हों। चूँकि यह कैंटर के प्रमेय के साथ संघर्ष करता है कि किसी भी समुच्चय (चाहे अनंत हो या नहीं) के पावर समुच्चय में सदैव समुच्चय की तुलना में सख्ती से उच्च प्रमुखता होती है।

सार्वभौमिकता के सिद्धांत

एक सार्वभौमिक समुच्चय से जुड़ी कठिनाइयों को या तो समुच्चय सिद्धांत के एक प्रकार का उपयोग करके टाला जा सकता है जिसमें समझ का स्वयंसिद्ध किसी तरह से प्रतिबंधित है, या एक सार्वभौमिक वस्तु का उपयोग करके जिसे समुच्चय नहीं माना जाता है।

प्रतिबंधित समझ

ऐसे समुच्चय सिद्धांत हैं जो सुसंगत होने के लिए जाने जाते हैं (यदि सामान्य समुच्चय सिद्धांत सुसंगत है) जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय होता है V उपस्थित है (और क्या सच है)। इन सिद्धांतों में, ज़र्मेलो की समझ का स्वयंसिद्ध सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आता है, और सहज समुच्चय सिद्धांत की समझ का स्वयंसिद्ध एक अलग विधि से प्रतिबंधित है। एक सार्वभौम समुच्चय वाला एक समुच्चय सिद्धांत आवश्यक रूप से एक गैर-सुस्थापित समुच्चय सिद्धांत है। एक सार्वभौमिक समुच्चय के साथ सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया समुच्चय सिद्धांत विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन की नई नींव है। अलोंजो चर्च और अर्नोल्ड ओबर्सचेल्प ने भी ऐसे समुच्चय सिद्धांतों पर काम प्रकाशित किया। चर्च ने अनुमान लगाया कि उनके सिद्धांत को क्विन के अनुरूप विस्तारित किया जा सकता है,[3] किंतु ओबर्सचेल्प के लिए यह संभव नहीं है, क्योंकि इसमें सिंगलटन कार्य एक समुच्चय सिद्ध होता है,[4] जो न्यू फ़ाउंडेशन में तुरंत विरोधाभास की ओर ले जाता है।[5]

एक और उदाहरण सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत है, जहां समझ का स्वयंसिद्ध केवल सकारात्मक सूत्र तक ही सीमित है (सूत्र जिनमें नकारात्मकता नहीं है) इस तरह के समुच्चय सिद्धांत टोपोलॉजी में बंद होने की धारणा से प्रेरित होते हैं।

यूनिवर्सल ऑब्जेक्ट्स जो समुच्चय नहीं हैं

Main article: ब्रह्मांड (गणित)

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में एक सार्वभौमिक समुच्चय का विचार सहज रूप से वांछनीय लगता है, विशेष रूप से क्योंकि इस सिद्धांत के अधिकांश संस्करण सभी सेटों यूनिवर्सल क्वांटिफायर के उपयोग की अनुमति देते हैं (सार्वभौमिक क्वांटिफायर देखें) किसी वस्तु को अनुमति देने का एक विधि जो विरोधाभास उत्पन्न किए बिना एक सार्वभौमिक समुच्चय के समान व्यवहार करता है, वर्णन करना है V और इसी तरह के बड़े संग्रह समुच्चय के अतिरिक्त क्लास (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में। एक सार्वभौमिक समुच्चय और एक सार्वभौमिक वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) के बीच एक अंतर यह है कि सार्वभौमिक वर्ग स्वयं को सम्मिलित नहीं करता है, क्योंकि उचित वर्ग अन्य वर्गों के तत्व नहीं हो सकते।[citation needed] रसेल का विरोधाभास इन सिद्धांतों में प्रयुक्त नहीं होता है क्योंकि समझ का स्वयंसिद्ध वर्ग पर नहीं सेट पर संचालित होता है।

समुच्चय की श्रेणी को भी एक सार्वभौमिक वस्तु माना जा सकता है, जो फिर से अपने आप में एक समुच्चय नहीं है। इसमें तत्वों के रूप में सभी समुच्चय हैं, और एक समुच्चय से दूसरे में सभी कार्यों के लिए तीर भी सम्मिलित हैं।

फिर से यह स्वयं को समाहित नहीं करता है, क्योंकि यह स्वयं एक समुच्चय नहीं है।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Forster (1995), p. 1.
  2. ↑ Cenzer et al. (2020).
  3. ↑ Church (1974, p. 308). See also Forster (1995, p. 136), Forster (2001, p. 17), and Sheridan (2016).
  4. ↑ Oberschelp (1973), p. 40.
  5. ↑ Holmes 1998 p. 110.[incomplete short citation]


संदर्भ

  • Cenzer, Douglas; Larson, Jean; Porter, Christopher; Zapletal, Jindrich (2020). Set Theory and Foundations of Mathematics: An Introduction to Mathematical Logic. World Scientific. p. 2. doi:10.1142/11324. ISBN 978-981-12-0192-9. S2CID 208131473.
  • Church, Alonzo (1974). "Set theory with a universal set". Proceedings of the Tarski Symposium: An international symposium held at the University of California, Berkeley, June 23–30, 1971, to honor Alfred Tarski on the occasion of his seventieth birthday. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 25. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 297–308. MR 0369069.
  • Forster, T. E. (1995). Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe. Oxford Logic Guides. Vol. 31. Oxford University Press. ISBN 0-19-851477-8.
  • Forster, Thomas (2001). "Church's set theory with a universal set". In Anderson, C. Anthony; Zelëny, Michael (eds.). Logic, Meaning and Computation: Essays in Memory of Alonzo Church. Synthese Library. Vol. 305. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 109–138. MR 2067968.
  • Oberschelp, Arnold (1973). Set theory over classes. Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne). Vol. 106. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. MR 0319758.
  • Willard Van Orman Quine (1937) "New Foundations for Mathematical Logic," American Mathematical Monthly 44, pp. 70–80.
  • Sheridan, Flash (2016). "A variant of Church's set theory with a universal set in which the singleton function is a set" (PDF). Logique et Analyse. 59 (233): 81–131. JSTOR 26767819. MR 3524800.


बाहरी संबंध

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