टिचमर्श कनवल्शन प्रमेय

Titchmarsh कनवल्शन प्रमेय दो कार्यों के कनवल्शन के समर्थन (गणित) के गुणों का वर्णन करता है। इसे 1926 में एडवर्ड चार्ल्स टिचमर्श ने सिद्ध किया था।

Titchmarsh कनवल्शन प्रमेय

अगर ${\textstyle \varphi (t)\,}$ और ${\textstyle \psi (t)}$ अभिन्न कार्य हैं, जैसे कि

$\varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (x-t)\,dt=0$

अंतराल में लगभग हर जगह $0<x<\kappa \,$, तो वहाँ मौजूद हैं $\lambda \geq 0$ और $\mu \geq 0$ संतुष्टि देने वाला $\lambda +\mu \geq \kappa$ ऐसा है कि $\varphi (t)=0\,$ में लगभग हर जगह $0<t<\lambda$ और $\psi (t)=0\,$ में लगभग हर जगह $0<t<\mu .$ उपप्रमेय के रूप में, यदि उपरोक्त समाकल सभी के लिए 0 है ${\textstyle x>0,}$ तो कोई ${\textstyle \varphi \,}$ या ${\textstyle \psi }$ अंतराल में लगभग हर जगह 0 है ${\textstyle [0,+\infty ).}$ इस प्रकार दो कार्यों का दृढ़ संकल्प ${\textstyle [0,+\infty )}$ समान रूप से शून्य नहीं हो सकता जब तक कि दो कार्यों में से कम से कम एक समान रूप से शून्य न हो।

दूसरे परिणाम के रूप में, यदि $\varphi *\psi (x)=0$ सभी के लिए $x\in [0,\kappa ]$ और समारोह में से एक $\varphi$ या $\psi$ इस अंतराल में लगभग हर जगह शून्य नहीं है, तो दूसरे फ़ंक्शन को लगभग हर जगह शून्य होना चाहिए $[0,\kappa ]$.

प्रमेय को निम्नलिखित रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है:

होने देना $\varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )$. तब $\inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi$ यदि बायां हाथ परिमित है। इसी प्रकार, $\sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi$ यदि दाहिनी ओर परिमित है।

ऊपर, $\operatorname {supp}$ एक फ़ंक्शन के समर्थन को दर्शाता है और $\inf$ और $\sup$ infimum और supremum को निरूपित करें। यह प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि प्रसिद्ध समावेशन $\operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi$ सीमा पर तेज है।

समर्थन के उत्तल पतवार के संदर्भ में उच्च-आयामी सामान्यीकरण 1951 में जैक्स-लुई लायंस द्वारा सिद्ध किया गया था:

अगर $\varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$, तब $\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \psi$

ऊपर, $\operatorname {c.h.}$ सेट के उत्तल पतवार को दर्शाता है और ${\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ वितरण (गणित) के स्थान को दर्शाता है।

Titchmarsh द्वारा मूल प्रमाण जटिल विश्लेषण | जटिल-परिवर्तनीय तकनीकों का उपयोग करता है, और यह Phragmén-Lindelöf सिद्धांत, जेन्सेन की असमानता, कार्लमैन के प्रमेय, और बलोच के प्रमेय (जटिल चर) #Valiron के प्रमेय|Valiron के प्रमेय पर आधारित है। प्रमेय तब से कई बार सिद्ध हो चुका है, आमतौर पर या तो वास्तविक विश्लेषण | वास्तविक-चर का उपयोग कर रहा है या जटिल-चर तरीके। जियान-कार्लो रोटा ने कहा है कि अभी तक कोई सबूत प्रमेय की अंतर्निहित संयोजक संरचना को संबोधित नहीं करता है, जो उनका मानना ​​है कि पूरी समझ के लिए आवश्यक है।