लिब-थिरिंग असमानता

Not to be confused with the Araki–Lieb–Thirring inequality.

गणित और भौतिकी में, लिब-थिरिंग असमानताएं क्षमता के समाकलन के संदर्भ में श्रोडिंगर ऑपरेटर के नकारात्मक ईगेनवैल्यू ​​​​की शक्तियों के योग पर ऊपरी सीमा प्रदान करती हैं। उनका नाम इलियट एच. लिबई और डब्ल्यू ई थिरिंग के नाम पर रखा गया है।

असमानताएं क्वांटम यांत्रिकी और अवकल समीकरण के अध्ययन में उपयोगी होती हैं और एक परिणाम के रूप में, क्वांटम यांत्रिक कणों की गतिज ऊर्जा पर एक निचली सीमा होती है जो पदार्थ की स्थिरता के प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

असमानताओं का बयान

श्रोडिंगर ऑपरेटर के लिए $-\Delta +V(x)=-\nabla ^{2}+V(x)$ पर $\mathbb {R} ^{n}$ वास्तविक मूल्यवान क्षमता के साथ $V(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ संख्या $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq 0$ नकारात्मक ईगेनवैल्यू ​​​​के अनुक्रम (जरूरी नहीं कि परिमित) को निरूपित करते हैं तत्पश्चात, $\gamma$ और $n$ के लिए किसी एक शर्त को पूरा करते हैं

${\begin{aligned}\gamma \geq {\frac {1}{2}}&,\,n=1,\\\gamma >0&,\,n=2,\\\gamma \geq 0&,\,n\geq 3,\end{aligned}}$

एक नियतांक$L_{\gamma ,n}$ उपस्थित है , जो $\gamma$ और $n$ पर ही निर्भर करता है, जैसे कि

$\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\leq L_{\gamma ,n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

(1)

जहाँ $V(x)_{-}:=\max(-V(x),0)$ क्षमता का नकारात्मक हिस्सा है $V$. कारक $\gamma >1/2,n=1$ साथ ही $\gamma >0,n\geq 2$ 1976 में ई.एच. लिब और डब्ल्यू.ई. थिरिंग द्वारा सिद्ध किए गए थे और पदार्थ की स्थिरता के उनके प्रमाण में उपयोग किया जाते है। यदि $\gamma =0,n\geq 3$ बायीं ओर केवल ऋणात्मक ईगेनवैल्यू ​​​​की संख्या है, और सबूत स्वतंत्र रूप से एम. क्विकेल ईएच लिब और जीवी रोज़ेनब्लम द्वारा दिए गए थे, । परिणामस्वरूप $\gamma =0$ इस प्रकार असमानता को क्विकेल-लिब-रोसेनब्लम बाउंड भी कहा जाता है। शेष विवेचनात्मक कारक $\gamma =1/2,n=1$ टी. वीडल द्वारा सिद्ध किया गया था ।शर्तें $\gamma$ और $n$ आवश्यक हैं और उन्हें शिथिल नहीं किया जा सकता।

लिब-थिरिंग स्थिरांक

अर्धशास्त्रीय सन्निकटन

लिब-थिरिंग असमानताओं की तुलना अर्ध-शास्त्रीय सीमा से की जा सकती है।शास्त्रीय चरण स्थान में $(p,x)\in \mathbb {R} ^{2n}.$जोड़े होते हैं संवेग संचालक $-\mathrm {i} \nabla$ के साथ $p$ की पहचान करते हैं और यह मानते हुए कि प्रत्येक क्वांटम अवस्था एक आयतन $(2\pi )^{n}$ में समाहित है $2n$-आयामी चरण स्थान में, अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन

$\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\approx {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big (}p^{2}+V(x){\big )}_{-}^{\gamma }\mathrm {d} ^{n}p\mathrm {d} ^{n}x=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

स्थिरांक से व्युत्पन्न होता है

$L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }=(4\pi )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\Gamma (\gamma +1)}{\Gamma (\gamma +1+{\frac {n}{2}})}}\,.$

जबकि अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन $\gamma >0$ पर किसी धारणा की आवश्यकता नहीं है लिब-थिरिंग असमानताएं केवल $\gamma$उपयुक्त के लिए हैं।

वेइल उपगामी और सक्रिय स्थिरांक

सर्वोत्तम संभव स्थिरांक $L_{\gamma ,n}$ के बारे में अनेक परिणाम प्रकाशित किए गए हैं में (1) लेकिन यह समस्या अभी भी आंशिक रूप से अनिर्णित है। क्षमता $\beta V$ हरमन वेइल उपगामी के लिए बड़े युग्मन की सीमा में अर्धशास्त्रीय सन्निकटन सटीक हो जाता है

$\lim _{\beta \to \infty }{\frac {1}{\beta ^{\gamma +{\frac {n}{2}}}}}\mathrm {tr} (-\Delta +\beta V)_{-}^{\gamma }=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x$

नियन्त्रण। इसका अर्थ यह है कि $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\leq L_{\gamma ,n}$. लिब और थिरिंग$\gamma \geq 3/2,n=1$के लिए $L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$यह दिखाने में सक्षम थे ।एम. ऐज़ेनमैन और ई. एच. लिब साबित कर दिया कि निश्चित आयाम के लिए $n$ अनुपात $L_{\gamma ,n}/L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ एक एकदिष्ट , $\gamma$ का गैर-बढ़ता हुआ कार्य है। बाद में ए. लैपटेव और टी. वीडल द्वारा $L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ सभी $n$ के लिए धारण करने के लिए भी दिखाया गया था जब$\gamma \geq 3/2$ |। $\gamma =1/2,\,n=1$के लिए डी. हंडर्टमार्क, ई.एच. लिब और एल.ई. थॉमस ने सिद्ध किया कि सबसे अच्छा स्थिरांक $L_{1/2,1}=2L_{1/2,1}^{\mathrm {cl} }=1/2$ द्वारा दिया जाता है।

दूसरी ओर, यह ज्ञात है $1/2\leq \gamma <3/2,n=1$के लिए और $\gamma <1,d\geq 1$ के लिए $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }<L_{\gamma ,n}$। पूर्व मामले में लिब और थिरिंग ने अनुमान लगाया कि तीव्र स्थिरांक निम्न द्वारा दिया जाता है

$L_{\gamma ,1}=2L_{\gamma ,1}^{\mathrm {cl} }\left({\frac {\gamma -{\frac {1}{2}}}{\gamma +{\frac {1}{2}}}}\right)^{\gamma -{\frac {1}{2}}}.$

भौतिक प्रासंगिक स्थिरांक $L_{1,3}$के लिए सर्वोत्तम ज्ञात मान $\pi L_{1,3}^{\mathrm {cl} }/{\sqrt {3}}$ है और क्विकेल–लिब–रोज़ेनब्लम असमानता में सबसे छोटा ज्ञात स्थिरांक $6.869L_{0,n}^{\mathrm {cl} }$है। वर्तमान में $L_{\gamma ,n}$ के लिए सर्वोत्तम ज्ञात मूल्यों का एक संपूर्ण सर्वेक्षण साहित्य में पाया जा सकता है।

गतिज ऊर्जा असमानताएँ

एक-निकाय घनत्व के संदर्भ में लिब-थिरिंग असमानता $\gamma =1$ के लिए किसी दिए गए सामान्यीकृत $N$-कण तरंग फलन $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{Nn})$ की गतिशील ऊर्जा पर निचली सीमा के बराबर है । एक विरोधी सममित तरंग फलन के लिए जैसे कि

$\psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})=-\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{N})$

सभी के लिए $1\leq i,j\leq N$, एक-निकाय घनत्व के रूप में परिभाषित किया गया है

$\rho _{\psi }(x)=N\int _{\mathbb {R} ^{(N-1)n}}|\psi (x,x_{2}\dots ,x_{N})|^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{2}\cdots \mathrm {d} ^{n}x_{N},\,x\in \mathbb {R} ^{n}.$

लिब-थिरिंग असमानता (1) के लिए $\gamma =1$ कथन के तुल्य है

$\sum _{i=1}^{N}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla _{i}\psi |^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{i}\geq K_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rho _{\psi }(x)^{1+{\frac {2}{n}}}}\mathrm {d} ^{n}x$

(2)

जहां तेज स्थिरांक $K_{n}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\left(\left(1+{\frac {2}{n}}\right)K_{n}\right)^{1+{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {n}{2}}\right)L_{1,n}\right)^{1+{\frac {2}{n}}}=1\,.$

चक्रण-योग एक-निकाय घनत्व द्वारा एक-निकाय घनत्व को बदलकर असमानता को चक्रण अवस्था वाले कणों तक बढ़ाया जा सकता है।। नियतांक $K_{n}$ को $K_{n}/q^{2/n}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है जहाँ $q$ प्रत्येक कण के लिए उपलब्ध क्वांटम चक्रण अवस्थाओं की संख्या है ($q=2$ इलेक्ट्रॉनों के लिए)। यदि प्रतिसममित के बजाय तरंग फलन सममित है, तो , जैसे कि

$\psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

सभी के लिए $1\leq i,j\leq N$, नियतांक $K_{n}$ को $K_{n}/N^{2/n}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है। असमानता (2) किसी दिए गए घनत्व $\rho _{\psi }$ को $n$ आयाम में $N$ कण के साथ प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम गतिज ऊर्जा का वर्णन करता है। यदि $L_{1,3}=L_{1,3}^{\mathrm {cl} }$ धारण करने के लिए सिद्ध किया गया था, $n=3$ के लिए दाहिने हाथ की ओर (2) थॉमस-फर्मी सिद्धांत में निश्चित रूप से गतिज ऊर्जा शब्द होगा।

असमानता की तुलना सोबोलेव असमानता से की जा सकती है। एम.रुमिन ने गतिज ऊर्जा असमानता (2) (एक छोटे स्थिरांक के साथ) सीधे लिब-थिरिंग असमानता के उपयोग के बिना व्युत्पन्न करी।

पदार्थ की स्थिरता

(अधिक जानकारी के लिए, पदार्थ पृष्ठ की स्थिरता पढ़ें)

लाइब और थिरिंग द्वारा प्रस्तुत पदार्थ की स्थिरता के प्रमाण में गतिज ऊर्जा असमानता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) विचाराधीन $N$ कण के साथ $q$ चक्रण अवस्था और $M$ स्थानों पर निश्चित परमाणु नाभिक $R_{j}\in \mathbb {R} ^{3}$ आवेश के साथ $Z_{j}>0$ एक प्रणाली का वर्णन करता है। कण और नाभिक एक दूसरे के साथ इलेक्ट्रोस्टैटिक कूलम्ब बल के माध्यम से पारस्परिक क्रिया करते हैं और एक मनमाना चुंबकीय क्षेत्र प्रस्तावित किया जा सकता है। यदि विचाराधीन कण फरमिओन्स हैं (अर्थात तरंग फलन $\psi$ विषम है), तो गतिज ऊर्जा असमानता (2) स्थिरांक $K_{n}/q^{2/n}$के साथ धारण करता है ( $K_{n}/N^{2/n}$नहीं)। यह फरमिओन्स की एक प्रणाली के लिए पदार्थ की स्थिरता के प्रमाण में एक महत्वपूर्ण घटक है। यह सुनिश्चित करता है कि निम्नतम अवस्था ऊर्जा $E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})$ प्रणाली को केवल अधिकतम नाभिक आवेशों के $Z_{\max }$, गुना कणों की संख्या केआधार पर एक स्थिरांक से नीचे से बांधा जा सकता है, ,

$E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})\geq -C(Z_{\max })(M+N)\,.$

प्रणाली तब पहली तरह की स्थिर होती है क्योंकि निम्नतम अवस्था ऊर्जा नीचे से बंधी होती है और दूसरी तरह की भी स्थिर होती है, अर्थात कणों और नाभिकों की संख्या के साथ रैखिक रूप से ऊर्जा घटती है। इसकी तुलना में, यदि कणों को बोसोन माना जाता है (अर्थात तरंग फलन $\psi$ सममित है), तो गतिज ऊर्जा असमानता (2) केवल $K_{n}/N^{2/n}$ स्थिरांक के साथ धारण करता है और निम्नतम अवस्था ऊर्जा के लिए केवल $-CN^{5/3}$ रूप की एक सीमा रखती है। बाद से शक्ति $5/3$ को इष्टतम दिखाया जा सकता है, बोसॉन की एक प्रणाली पहली तरह की स्थिर है लेकिन दूसरी तरह की अस्थिर है।

सामान्यीकरण

यदि लाप्लासियन $-\Delta =-\nabla ^{2}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $(\mathrm {i} \nabla +A(x))^{2}$, जहाँ $\mathbb {R} ^{n},$में एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर क्षमता $A(x)$ है लाइब-थिरिंग असमानता (1) सत्य रहता है। इस कथन की उपपत्ति प्रतिचुंबकीय असमानता का उपयोग करती है। यद्यपि वर्तमान में सभी ज्ञात स्थिरांक $L_{\gamma ,n}$ अपरिवर्तित रहते हैं, यह ज्ञात नहीं है कि यह सामान्य रूप से सर्वोत्तम संभव स्थिरांक के लिए सत्य है या नहीं।

लाप्लासियन को अन्य शक्तियों $-\Delta$द्वारा भी बदला जा सकता है।विशेष रूप से ऑपरेटर के लिए ${\sqrt {-\Delta }}$, एक लाइब-थिरिंग (1)असमानता के समान एक अलग स्थिरांक $L_{\gamma ,n}$के साथ धारण करता है और दाईं ओर की शक्ति $\gamma +n$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। समान रूप से एक गतिज असमानता के समान (2) , $1+2/n$ के साथ $1+1/n$ द्वारा प्रतिस्थापित धारण रखती है, जिसका उपयोग आवेश $Z_{k}$ पर अतिरिक्त धारणाओं के अंतर्गत सापेक्षतावादी श्रोडिंगर संचालक के लिए कारक की स्थिरता को साबित करने के लिए किया जा सकता है।

संक्षेप में, लिब-थिरिंग असमानता (1) आवश्यक स्पेक्ट्रम $[0,\infty )$ $V$ के लिए अस्तव्यस्तता के संदर्भ में ईगेनवैल्यू $\lambda _{j}$​​ की दूरियों पर एक ऊपरी सीमा देता है।जैकोबी संचालकों के लिए समान असमानताएँ सिद्ध की जा सकती हैं।

साहित्य

• Lieb, E.H.; Seiringer, R. (2010). क्वांटम यांत्रिकी में पदार्थ की स्थिरता (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521191180.
• Hundertmark, D. (2007). "Some bound state problems in quantum mechanics". In Fritz Gesztesy; Percy Deift; Cherie Galvez; Peter Perry; Wilhelm Schlag (eds.). वर्णक्रमीय सिद्धांत और गणितीय भौतिकी: बैरी साइमन के 60वें जन्मदिन के सम्मान में एक उत्सव. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 76. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 463–496. Bibcode:2007stmp.conf..463H. ISBN 978-0-8218-3783-2.

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