विशार्ट वितरण: Difference between revisions

Wishart
Notation	X ~ Wp(V, n)
Parameters	n > p − 1 degrees of freedom (real); V > 0 scale matrix (p × p pos. def)
Support	X(p × p) positive definite matrix
PDF	Γp is the multivariate gamma function; tr is the trace function;
Mean
Mode	(n − p − 1)V for n ≥ p + 1
Variance
Entropy	see below
CF

Revision as of 07:36, 9 June 2023

आँकड़ों में, विशार्ट वितरण गामा वितरण के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में वितरण तैयार किया था।^[1]

यह सममित, गैर-नकारात्मक-निश्चित यादृच्छिक आव्यूह (अर्थात आव्यूह (गणित) -मूल्यवान यादृच्छिक चर) पर परिभाषित संभाव्यता वितरण का एक परिवार है। यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में, विशार्ट मैट्रिसेस के स्थान को विशार्ट पहनावा कहा जाता है।

बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में सहप्रसरण आव्यूह के अनुमान में इन वितरणों का बहुत महत्व है। बायेसियन सांख्यिकी में, विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी-सामान्य यादृच्छिक-सदिश के व्युत्क्रम सहप्रसरण-आव्यूह से पहले का संयुग्म है।^[2]

अन्य नामों में विशार्ट पहनावा सम्मिलित है ((यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में मेट्रिसेस पर संभाव्यता वितरण को आमतौर पर "पहनावा" कहा जाता है) या विशार्ट-लगुएरे पहनावा (चूंकि इसके ईजेनवेल्यू वितरण में लैगुएरे बहुपद सम्मिलित हैं) या एलओई, एलयूई, एलएसई (जीओई, जीयूई, जीएसई के अनुरूप) ).^[3]

परिभाषा

मान लीजिए $G$ एक $p \times n$ आव्यूह है, जिनमें से प्रत्येक कॉलम स्वतंत्र रूप से $p$ -चर सामान्य वितरण से शून्य माध्य के साथ खींचा जाता है:

G_{i}=(g_{i}^{1},\dots ,g_{i}^{p})^{T}\sim {\mathcal {N}}_{p}(0,V).

फिर विशार्ट वितरण $p \times p$ यादृच्छिक आव्यूह का प्रायिकता वितरण है:^[4]

S=GG^{T}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{T}

स्कैटर आव्यूह के रूप में जाना जाता है। एक इंगित करता है कि $S$ के पास लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है

S\sim W_{p}(V,n).

सकारात्मक पूर्णांक $n$ स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) की संख्या है। कभी-कभी इसे $W (V, p, n)$ लिखा जाता है। $n \geq p$ के लिए आव्यूह $S$ व्युत्क्रमणीय है और यदि $V$ व्युत्क्रमणीय है तो प्रायिकता 1 है।

यदि $p = V = 1$ तो यह बंटन स्वतंत्रता की n कोटि वाला ची-वर्ग वितरण है।

घटना

विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से नमूने के लिए नमूना सहप्रसरण आव्यूह के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण में संभावना-अनुपात परीक्षणों में यह अक्सर होता है।^[5] यह यादृच्छिक आव्यूह के वर्णक्रमीय सिद्धांत और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में भी उत्पन्न होता है।^{[citation needed]} रेले लुप्तप्राय एमआईएमओ वायरलेस चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय वायरलेस संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।^[6]

संभाव्यता घनत्व समारोह

विशार्ट-लागुएरे एनसेंबल का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15)। के चित्र 1 का पुनर्निर्माण ^[7].

विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

माना कि $X$ यादृच्छिक चर का एक $p \times p$ सममित आव्यूह है जो धनात्मक अर्ध-निश्चित है। माना कि $V$ आकार $p \times p$ का एक (निश्चित) सममित सकारात्मक निश्चित आव्यूह है।

फिर, यदि $n \geq p$ , $X$ का विशार्ट बंटन स्वतंत्रता की $n$ कोटि के साथ है, यदि इसमें संभाव्यता घनत्व फलन है

f_{\mathbf {X} }(\mathbf {X} )={\frac {1}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}{\left|\mathbf {X} \right|}^{(n-p-1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}

जहां $\left|{\mathbf {X} }\right|$ का निर्धारक $\mathbf {X}$ है और $Γ p$ बहुभिन्नरूपी गामा फलन है जिसे परिभाषित किया गया है

\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\frac {n}{2}}-{\frac {j-1}{2}}\right).

उपरोक्त घनत्व यादृच्छिक आव्यूह $X$ के सभी $p^{2}$ तत्वों का संयुक्त घनत्व नहीं है (ऐसा p^{2}-आयामी घनत्व समरूपता बाधाओं के कारण मौजूद नहीं है $X_{ij}=X_{ji}$ , बल्कि यह $p^{2}$ के लिए $p(p+1)/2$ तत्वों $X_{ij}$ का संयुक्त घनत्व है। इसके अलावा, उपरोक्त घनत्व सूत्र केवल सकारात्मक निश्चित आव्यूहों पर लागू होता है $\mathbf {x} ;$ अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर है।

वर्णक्रमीय घनत्व

आइगेनवैल्यू के लिए ज्वाइंट-आइगेनवैल्यू डेंसिटी $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p}\geq 0$ एक यादृच्छिक आव्यूह का $\mathbf {X} \sim W_{p}(\mathbf {I} ,n)$ है,^[8]^[9]

c_{n,p}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\lambda _{i}}\prod \lambda _{i}^{(n-p-1)/2}\prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|

कहाँ $c_{n,p}$ एक स्थिरांक है।

वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक $n > p - 1$ तक बढ़ाया जा सकता है। यदि $n \leq p - 1$ , तो विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है, बल्कि यह एक विलक्षण वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो निम्न आयाम उप-स्थान में मान लेता है। $p \times p$ आव्यूह ।^[10]

बायेसियन सांख्यिकी में प्रयोग करें

बायेसियन आंकड़ों में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के संदर्भ में, विशार्ट वितरण सटीक आव्यूह $Ω = Σ -1$ से पहले संयुग्मी है, जहां $Σ$ सहप्रसरण आव्यूह है।^[11]^: 135

मापदंडों का चुनाव

$n = p$ सेट करके सबसे कम जानकारीपूर्ण, उचित विशार्ट प्रायर प्राप्त किया जाता है।^{[citation needed]}

$W p (V, n)$ का पूर्व माध्य $n V$ है, जो सुझाव देता है कि $V$ के लिए एक उचित विकल्प $n -1 Σ 0 -1$ होगा, जहां $Σ 0$ सहप्रसरण आव्यूह के लिए कुछ पूर्व अनुमान है।

गुण

लॉग-अपेक्षा

निम्नलिखित सूत्र विशार्ट वितरण से जुड़े बेयस नेटवर्क के लिए वेरिएबल बेयस डेरिवेशन में एक भूमिका निभाता है::^[11]^: 693

\operatorname {E} [\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,]=\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\,\ln(2)+\ln |\mathbf {V} |

जहाँ $\psi _{p}$ बहुभिन्नरूपी डिगामा फलन है (बहुभिन्नरूपी गामा फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न)।

लॉग-विचरण

बायेसियन सांख्यिकी में निम्न विचरण संगणना सहायक हो सकती है:

\operatorname {Var} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]=\sum _{i=1}^{p}\psi _{1}\left({\frac {n+1-i}{2}}\right)

कहाँ $\psi _{1}$ त्रिगामा कार्य है। यह विशार्ट रैंडम वेरिएबल की फिशर जानकारी की गणना करते समय सामने आता है।

एंट्रॉपी

वितरण की सूचना एन्ट्रापी में निम्नलिखित सूत्र हैं:^[11]^: 693

\operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]=-\ln \left(B(\mathbf {V} ,n)\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}

कहाँ $B (V, n)$ वितरण का सामान्यीकरण स्थिरांक है:

B(\mathbf {V} ,n)={\frac {1}{\left|\mathbf {V} \right|^{n/2}2^{np/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}.

इसका विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

\begin{aligned} H [X] & = \frac{n}{2} \ln | V | + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln Γ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} E [\ln | X |] + \frac{n p}{2} \\ = \frac{n}{2} \ln | V | + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln Γ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} (ψ_{p} (\frac{n}{2}) + p \ln 2 + \ln | V |) + \frac{n p}{2} \\ = \frac{n}{2} \ln | V | + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln Γ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} ψ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} (p \ln 2 + \ln | V |) + \frac{n p}{2} \\ = \frac{p + 1}{2} \ln | V | + \frac{1}{2} p (p + 1) \end{aligned}

क्रॉस-एन्ट्रॉपी

पैरामीटर के साथ दो विशार्ट वितरण

p_{0}

का क्रॉस एंट्रोपी

n_{0},V_{0}

और

p_{1}

पैरामीटर के साथ

n_{1},V_{1}

है:

\begin{aligned} H (p_{0}, p_{1}) & = E_{p_{0}} [- \log p_{1}] \\ = E_{p_{0}} [- \log \frac{{| X |}^{(n_{1} - p_{1} - 1) / 2} e^{- tr (V_{1}^{- 1} X) / 2}}{2^{n_{1} p_{1} / 2} {| V_{1} |}^{n_{1} / 2} Γ_{p_{1}} (\frac{n_{1}}{2})}] \\ = \frac{n_{1} p_{1}}{2} \log 2 + \frac{n_{1}}{2} \log | V_{1} | + \log Γ_{p_{1}} (\frac{n_{1}}{2}) - \frac{n_{1} - p_{1} - 1}{2} E_{p_{0}} [\log | X |] + \frac{1}{2} E_{p_{0}} [tr (V_{1}^{- 1} X)] \\ = \frac{n_{1} p_{1}}{2} \log 2 + \frac{n_{1}}{2} \log | V_{1} | + \log Γ_{p_{1}} \end{aligned}

ध्यान दें कि कब

p_{0}=p_{1}

और

n_{0}=n_{1}

हम एंट्रॉपी पुनर्प्राप्त करते हैं।

केएल-विचलन

कुल्बैक-लीब्लर विचलन $p_{1}$ से $p_{0}$ है

{\begin{aligned}D_{KL}(p_{0}\|p_{1})&=H(p_{0},p_{1})-H(p_{0})\\[6pt]&=-{\frac {n_{1}}{2}}\log |\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}|+{\frac {n_{0}}{2}}(\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0})-p)+\log {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {n_{1}}{2}}\right)}{\Gamma _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)}}+{\tfrac {n_{0}-n_{1}}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)\end{aligned}}

विशेषता समारोह

विशार्ट वितरण का अभिलाक्षणिक फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है

\Theta \mapsto \operatorname {E} \left[\,\exp \left(\,i\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }\,\right)\,\right)\,\right]=\left|\,1-2i\,{\mathbf {\Theta } }\,{\mathbf {V} }\,\right|^{-n/2}

जहाँ $E[\cdot]$ अपेक्षा दर्शाता है। (यहां $Θ$ $V$ के समान आयाम वाला कोई आव्यूह है, $1$ पहचान आव्यूह को इंगित करता है, और $i$ $-1$ का वर्गमूल है)।^[9] इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए थोड़ी सावधानी की आवश्यकता होती है, क्योंकि गैर-पूर्णांक जटिल शक्तियाँ रीमैन सतह होती हैं; जब $n$ पूर्णांक नहीं होता है, तो सही शाखा को विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से निर्धारित किया जाना चाहिए।^[12]

प्रमेय

अगर एक $p \times p$ रैंडम आव्यूह $X$ का विशरट डिस्ट्रीब्यूशन $m$ डिग्री ऑफ फ्रीडम और वेरियंस आव्यूह $V$ है तो मैथबीएफ $\mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}_{p}({\mathbf {V} },m)$ लिखें और $C$ एक $q \times p$ आव्यूह है रैंक $q$ , फिर ^[13]

\mathbf {C} \mathbf {X} {\mathbf {C} }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{q}\left({\mathbf {C} }{\mathbf {V} }{\mathbf {C} }^{T},m\right).

कोरोलरी 1

यदि $z$ शून्येतर $p \times 1$ अचर सदिश है, तब^[13]

\sigma _{z}^{-2}\,{\mathbf {z} }^{T}\mathbf {X} {\mathbf {z} }\sim \chi _{m}^{2}.

इस मामले में, $\chi _{m}^{2}$ ची-वर्ग वितरण है और $\sigma _{z}^{2}={\mathbf {z} }^{T}{\mathbf {V} }{\mathbf {z} }$ (ध्यान दें कि $\sigma _{z}^{2}$ स्थिरांक है; यह है धनात्मक क्योंकि $V$ धनात्मक निश्चित है)।

उपप्रमेय 2

उस मामले पर विचार करें जहां $z T = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)$ (अर्थात, j-वां तत्व एक है और अन्य सभी शून्य हैं)। फिर उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है

\sigma _{jj}^{-1}\,w_{jj}\sim \chi _{m}^{2}

आव्यूह के विकर्ण पर प्रत्येक तत्व का सीमांत वितरण देता है।

जॉर्ज सेबर बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुभिन्नरूपी ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि ऑफ-विकर्ण तत्वों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर बहुभिन्नरूपी शब्द को उस मामले के लिए आरक्षित करना पसंद करते हैं जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही परिवार के हों।^[14]

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुमानक

विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सहप्रसरण आव्यूह के अधिकतम-संभावना अनुमानक (MLE) का नमूना वितरण है।^[15]] MLE की व्युत्पत्ति वर्णक्रमीय प्रमेय का उपयोग करती है।

बार्टलेट अपघटन

स्केल आव्यूह $V$ और $n$ डिग्री ऑफ फ्रीडम के साथ एक $V$ -वैरिएट विशरट वितरण से आव्यूह $X$ का बार्टलेट अपघटन गुणनखंड है:

\mathbf {X} ={\textbf {L}}{\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}{\textbf {L}}^{T},

जहाँ $L$ , $V$ का चोल्स्की अपघटन गुणक है और:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}c_{1}&0&0&\cdots &0\\n_{21}&c_{2}&0&\cdots &0\\n_{31}&n_{32}&c_{3}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\n_{p1}&n_{p2}&n_{p3}&\cdots &c_{p}\end{pmatrix}}

जहाँ $c_{i}^{2}\sim \chi _{n-i+1}^{2}$ और $n ij ~ N (0, 1)$ स्वतंत्र रूप से यह विशार्ट वितरण से यादृच्छिक नमूने प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करता है।^[16]^[17]

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण

माना कि $V$ एक $2 \times 2$ पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक $-1 < ρ < 1$ और $L$ इसके निचले चॉल्स्की कारक द्वारा विशेषता है:

\mathbf {V} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0\\\rho \sigma _{2}&{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\sigma _{2}\end{pmatrix}}

उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम पाते हैं कि $2 \times 2$ विशार्ट वितरण से एक यादृच्छिक नमूना है

\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}c_{1}^{2}&\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)\\\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)&\sigma _{2}^{2}\left(\left(1-\rho ^{2}\right)c_{2}^{2}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}n_{21}+\rho c_{1}\right)^{2}\right)\end{pmatrix}}

विकर्ण तत्व, सबसे स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, स्वतंत्रता की $n$ डिग्री के साथ $χ 2$ वितरण का पालन करते हैं ( $σ 2$ द्वारा स्केल किया गया) जैसा कि अपेक्षित था। ऑफ-विकर्ण तत्व कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक $χ 2$ वितरण है। ऑफ-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए भिन्नता-गामा वितरण है

f(x_{12})={\frac {\left|x_{12}\right|^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {2^{n-1}\pi \left(1-\rho ^{2}\right)\left(\sigma _{1}\sigma _{2}\right)^{n+1}}}}}\cdot K_{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\left|x_{12}\right|}{\sigma _{1}\sigma _{2}\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)\exp {\left({\frac {\rho x_{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}(1-\rho ^{2})}}\right)}

जहां $K ν (z)$ दूसरी तरह का संशोधित बेसेल कार्य है।^[18] उच्च आयामों के लिए समान परिणाम मिल सकते हैं, लेकिन ऑफ-डायगोनल सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तेजी से जटिल हो जाती है। गैर-केंद्रीय मामले में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को लिखना संभव है (अनिवार्य रूप से क्रेग की nवीं शक्ति (1936) समीकरण 10) हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल कार्यों का एक अनंत योग बन जाता है।^[19]

आकृति पैरामीटर की सीमा

यह दिखाया जा सकता है कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल अगर आकार पैरामीटर $n$ सेट से संबंधित है^[20]

\Lambda _{p}:=\{0,\ldots ,p-1\}\cup \left(p-1,\infty \right).

इस सेट का नाम गिंडिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में इसे पेश किया था।^[21] हालाँकि, Gindikin पहनावा के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात्,

\Lambda _{p}^{*}:=\{0,\ldots ,p-1\},

संबंधित विशार्ट वितरण में कोई लेबेस्ग घनत्व नहीं है।

अन्य वितरणों से संबंध

विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है, जिसे $W_{p}^{-1}$ द्वारा निरूपित किया जाता है, इस प्रकार है: यदि $X ~ W p (V, n)$ और यदि हम चर $C = X -1$ का परिवर्तन करते हैं, तो $\mathbf {C} \sim W_{p}^{-1}(\mathbf {V} ^{-1},n)$ इस संबंध को इस बात पर ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है कि चरों के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान $| C | p +1$ है, उदाहरण के लिए समीकरण (15.15) में देखें।^[22]
बायेसियन आँकड़ों में, विशार्ट वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सटीक पैरामीटर से पहले एक संयुग्म है, जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।^[11]
एक सामान्यीकरण बहुभिन्नरूपी गामा वितरण है।
एक अलग प्रकार का सामान्यीकरण सामान्य-विशार्ट वितरण है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ एक बहुचर सामान्य वितरण का उत्पाद है।

यह भी देखें

ची-वर्ग वितरण
समिश्र विशार्ट वितरण
F-वितरण
गामा वितरण
होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
बहुचर गामा वितरण
छात्र का टी-वितरण
विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण

संदर्भ

↑ Wishart, J. (1928). "एक सामान्य बहुभिन्नरूपी जनसंख्या से नमूनों में सामान्यीकृत उत्पाद आघूर्ण वितरण". Biometrika. 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32. JFM 54.0565.02. JSTOR 2331939.
↑ Koop, Gary; Korobilis, Dimitris (2010). "अनुभवजन्य मैक्रोइकॉनॉमिक्स के लिए बायेसियन बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला के तरीके". Foundations and Trends in Econometrics. 3 (4): 267–358. doi:10.1561/0800000013.
↑ Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018), Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (eds.), "Classical Ensembles: Wishart-Laguerre", Introduction to Random Matrices: Theory and Practice, SpringerBriefs in Mathematical Physics (in English), Cham: Springer International Publishing, pp. 89–95, doi:10.1007/978-3-319-70885-0_13, ISBN 978-3-319-70885-0, retrieved 2023-05-17
↑ Gupta, A. K.; Nagar, D. K. (2000). मैट्रिक्स भिन्न वितरण. Chapman & Hall /CRC. ISBN 1584880465.
↑ Gelman, Andrew (2003). बायेसियन डेटा विश्लेषण (2nd ed.). Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall. p. 582. ISBN 158488388X. Retrieved 3 June 2015.
↑ Zanella, A.; Chiani, M.; Win, M.Z. (April 2009). "विशआर्ट मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू के सीमांत वितरण पर" (PDF). IEEE Transactions on Communications. 57 (4): 1050–1060. doi:10.1109/TCOMM.2009.04.070143. hdl:1721.1/66900. S2CID 12437386.
↑ Livan, Giacomo; Vivo, Pierpaolo (2011). "Moments of Wishart-Laguerre and Jacobi ensembles of random matrices: application to the quantum transport problem in chaotic cavities". Acta Physica Polonica B. 42 (5): 1081. doi:10.5506/APhysPolB.42.1081. ISSN 0587-4254.
↑ Muirhead, Robb J. (2005). बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय सिद्धांत के पहलू (2nd ed.). Wiley Interscience. ISBN 0471769851.
↑ ^9.0 ^9.1 Anderson, T. W. (2003). बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय (3rd ed.). Hoboken, N. J.: Wiley Interscience. p. 259. ISBN 0-471-36091-0.
↑ Uhlig, H. (1994). "एकवचन विशार्ट और एकवचन बहुभिन्नरूपी बीटा वितरण पर". The Annals of Statistics. 22: 395–405. doi:10.1214/aos/1176325375.
↑ ^11.0 ^11.1 ^11.2 ^11.3 Bishop, C. M. (2006). पैटर्न मान्यता और मशीन प्रवीणता. Springer.
↑ Mayerhofer, Eberhard (2019-01-27). "विशार्ट विशेषता समारोह में सुधार". arXiv:1901.09347 [math.PR].
↑ ^13.0 ^13.1 Rao, C. R. (1965). रैखिक सांख्यिकीय निष्कर्ष और इसके अनुप्रयोग. Wiley. p. 535.
↑ Seber, George A. F. (2004). बहुभिन्नरूपी अवलोकन. Wiley. ISBN 978-0471691211.
↑ Chatfield, C.; Collins, A. J. (1980). बहुभिन्नरूपी विश्लेषण का परिचय. London: Chapman and Hall. pp. 103–108. ISBN 0-412-16030-7.
↑ Anderson, T. W. (2003). बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय (3rd ed.). Hoboken, N. J.: Wiley Interscience. p. 257. ISBN 0-471-36091-0.
↑ Smith, W. B.; Hocking, R. R. (1972). "Algorithm AS 53: Wishart Variate Generator". Journal of the Royal Statistical Society, Series C. 21 (3): 341–345. JSTOR 2346290.
↑ Pearson, Karl; Jeffery, G. B.; Elderton, Ethel M. (December 1929). "अनिश्चित रूप से बड़ी सामान्य जनसंख्या से लिए गए नमूनों में, पहले उत्पाद के वितरण पर क्षण-गुणांक". Biometrika. Biometrika Trust. 21 (1/4): 164–201. doi:10.2307/2332556. JSTOR 2332556.
↑ Craig, Cecil C. (1936). "xy के फ्रीक्वेंसी फंक्शन पर". Ann. Math. Statist. 7: 1–15. doi:10.1214/aoms/1177732541.
↑ Peddada and Richards, Shyamal Das; Richards, Donald St. P. (1991). "विशार्ट डिस्ट्रीब्यूशन के विशिष्ट कार्य पर एम. एल. ईटन के अनुमान का प्रमाण". Annals of Probability. 19 (2): 868–874. doi:10.1214/aop/1176990455.
↑ Gindikin, S.G. (1975). "सजातीय डोमेन में अपरिवर्तनीय सामान्यीकृत कार्य". Funct. Anal. Appl. 9 (1): 50–52. doi:10.1007/BF01078179. S2CID 123288172.
↑ Dwyer, Paul S. (1967). "बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में मैट्रिक्स डेरिवेटिव के कुछ अनुप्रयोग". J. Amer. Statist. Assoc. 62 (318): 607–625. doi:10.1080/01621459.1967.10482934. JSTOR 2283988.

बाहरी संबंध

A C++ library for random matrix generator

[Wishart-1] Wishart, J. (1928). "एक सामान्य बहुभिन्नरूपी जनसंख्या से नमूनों में सामान्यीकृत उत्पाद आघूर्ण वितरण". Biometrika. 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32. JFM 54.0565.02. JSTOR 2331939.

[2] Koop, Gary; Korobilis, Dimitris (2010). "अनुभवजन्य मैक्रोइकॉनॉमिक्स के लिए बायेसियन बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला के तरीके". Foundations and Trends in Econometrics. 3 (4): 267–358. doi:10.1561/0800000013.

[3] Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018), Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (eds.), "Classical Ensembles: Wishart-Laguerre", Introduction to Random Matrices: Theory and Practice, SpringerBriefs in Mathematical Physics (in English), Cham: Springer International Publishing, pp. 89–95, doi:10.1007/978-3-319-70885-0_13, ISBN 978-3-319-70885-0, retrieved 2023-05-17

[4] Gupta, A. K.; Nagar, D. K. (2000). मैट्रिक्स भिन्न वितरण. Chapman & Hall /CRC. ISBN 1584880465.

[5] Gelman, Andrew (2003). बायेसियन डेटा विश्लेषण (2nd ed.). Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall. p. 582. ISBN 158488388X. Retrieved 3 June 2015.

[6] Zanella, A.; Chiani, M.; Win, M.Z. (April 2009). "विशआर्ट मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू के सीमांत वितरण पर" (PDF). IEEE Transactions on Communications. 57 (4): 1050–1060. doi:10.1109/TCOMM.2009.04.070143. hdl:1721.1/66900. S2CID 12437386.

[7] Livan, Giacomo; Vivo, Pierpaolo (2011). "Moments of Wishart-Laguerre and Jacobi ensembles of random matrices: application to the quantum transport problem in chaotic cavities". Acta Physica Polonica B. 42 (5): 1081. doi:10.5506/APhysPolB.42.1081. ISSN 0587-4254.

[8] Muirhead, Robb J. (2005). बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय सिद्धांत के पहलू (2nd ed.). Wiley Interscience. ISBN 0471769851.

[Anderson-9] 9.0 ^9.1 Anderson, T. W. (2003). बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय (3rd ed.). Hoboken, N. J.: Wiley Interscience. p. 259. ISBN 0-471-36091-0.

[Uhlig1994-10] Uhlig, H. (1994). "एकवचन विशार्ट और एकवचन बहुभिन्नरूपी बीटा वितरण पर". The Annals of Statistics. 22: 395–405. doi:10.1214/aos/1176325375.

[bishop-11] 11.0 ^11.1 ^11.2 ^11.3 Bishop, C. M. (2006). पैटर्न मान्यता और मशीन प्रवीणता. Springer.

[12] Mayerhofer, Eberhard (2019-01-27). "विशार्ट विशेषता समारोह में सुधार". arXiv:1901.09347 [math.PR].

[rao-13] 13.0 ^13.1 Rao, C. R. (1965). रैखिक सांख्यिकीय निष्कर्ष और इसके अनुप्रयोग. Wiley. p. 535.

[14] Seber, George A. F. (2004). बहुभिन्नरूपी अवलोकन. Wiley. ISBN 978-0471691211.

[15] Chatfield, C.; Collins, A. J. (1980). बहुभिन्नरूपी विश्लेषण का परिचय. London: Chapman and Hall. pp. 103–108. ISBN 0-412-16030-7.

[16] Anderson, T. W. (2003). बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय (3rd ed.). Hoboken, N. J.: Wiley Interscience. p. 257. ISBN 0-471-36091-0.

[17] Smith, W. B.; Hocking, R. R. (1972). "Algorithm AS 53: Wishart Variate Generator". Journal of the Royal Statistical Society, Series C. 21 (3): 341–345. JSTOR 2346290.

[18] Pearson, Karl; Jeffery, G. B.; Elderton, Ethel M. (December 1929). "अनिश्चित रूप से बड़ी सामान्य जनसंख्या से लिए गए नमूनों में, पहले उत्पाद के वितरण पर क्षण-गुणांक". Biometrika. Biometrika Trust. 21 (1/4): 164–201. doi:10.2307/2332556. JSTOR 2332556.

[19] Craig, Cecil C. (1936). "xy के फ्रीक्वेंसी फंक्शन पर". Ann. Math. Statist. 7: 1–15. doi:10.1214/aoms/1177732541.

[20] Peddada and Richards, Shyamal Das; Richards, Donald St. P. (1991). "विशार्ट डिस्ट्रीब्यूशन के विशिष्ट कार्य पर एम. एल. ईटन के अनुमान का प्रमाण". Annals of Probability. 19 (2): 868–874. doi:10.1214/aop/1176990455.

[21] Gindikin, S.G. (1975). "सजातीय डोमेन में अपरिवर्तनीय सामान्यीकृत कार्य". Funct. Anal. Appl. 9 (1): 50–52. doi:10.1007/BF01078179. S2CID 123288172.

[22] Dwyer, Paul S. (1967). "बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में मैट्रिक्स डेरिवेटिव के कुछ अनुप्रयोग". J. Amer. Statist. Assoc. 62 (318): 607–625. doi:10.1080/01621459.1967.10482934. JSTOR 2283988.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

@@ Line 23: / Line 23: @@
 }}
-आँकड़ों में, विशार्ट वितरण [[गामा वितरण]] के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम [[जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्)]] के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में वितरण तैयार किया था।<ref name=Wishart>{{cite journal |first=J. |last=Wishart |author-link=John Wishart (statistician) |title=एक सामान्य बहुभिन्नरूपी जनसंख्या से नमूनों में सामान्यीकृत उत्पाद आघूर्ण वितरण|journal=[[Biometrika]] |volume=20A |issue=1–2 |pages=32–52 |year=1928 |doi=10.1093/biomet/20A.1-2.32 |jfm=54.0565.02 |jstor=2331939}}</ref>
+आँकड़ों में, '''विशार्ट वितरण''' [[गामा वितरण]] के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम [[जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्)]] के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में वितरण तैयार किया था।<ref name="Wishart">{{cite journal |first=J. |last=Wishart |author-link=John Wishart (statistician) |title=एक सामान्य बहुभिन्नरूपी जनसंख्या से नमूनों में सामान्यीकृत उत्पाद आघूर्ण वितरण|journal=[[Biometrika]] |volume=20A |issue=1–2 |pages=32–52 |year=1928 |doi=10.1093/biomet/20A.1-2.32 |jfm=54.0565.02 |jstor=2331939}}</ref>
-यह संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जो सममित, [[गैर-नकारात्मक-निश्चित]] [[यादृच्छिक मैट्रिक्स]] (यानी [[मैट्रिक्स (गणित)]] -मूल्यवान यादृच्छिक चर) पर परिभाषित किया गया है। यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में, विशार्ट मैट्रिसेस के स्थान को विशार्ट पहनावा कहा जाता है।
-बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में सहप्रसरण मैट्रिक्स के अनुमान में इन वितरणों का बहुत महत्व है। बायेसियन अनुमान में, विशार्ट वितरण मैट्रिक्स व्युत्क्रम सहप्रसरण [[मैट्रिक्स उलटा]] पहले का संयुग्म है | एक [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] का सहप्रसरण-मैट्रिक्स | बहुभिन्नरूपी-सामान्य यादृच्छिक-वेक्टर।<ref>{{cite journal |first1=Gary |last1=Koop |first2=Dimitris |last2=Korobilis |year=2010 |title=अनुभवजन्य मैक्रोइकॉनॉमिक्स के लिए बायेसियन बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला के तरीके|journal=Foundations and Trends in Econometrics |volume=3 |issue=4 |pages=267–358 |doi=10.1561/0800000013 |doi-access=free }}</ref>
+यह सममित, [[गैर-नकारात्मक-निश्चित]] [[यादृच्छिक मैट्रिक्स|यादृच्छिक आव्यूह]] (अर्थात [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] -मूल्यवान यादृच्छिक चर) पर परिभाषित संभाव्यता वितरण का एक परिवार है। यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में, विशार्ट मैट्रिसेस के स्थान को विशार्ट पहनावा कहा जाता है।
-अन्य नामों में विशार्ट एनसेम्बल ([[यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत]] में, मैट्रिसेस पर संभाव्यता वितरण को आमतौर पर पहनावा कहा जाता है), या विशार्ट-लगुएरे पहनावा (चूंकि इसके ईजेनवेल्यू वितरण में लैगुएरे बहुपद शामिल हैं), या एलओई, एलयूई, एलएसई (रैंडम मैट्रिक्स # गॉसियन के अनुरूप) शामिल हैं। पहनावा | GOE, GUE, GSE)।<ref>{{Citation |last=Livan |first=Giacomo |title=Classical Ensembles: Wishart-Laguerre |date=2018 |url=https://doi.org/10.1007/978-3-319-70885-0_13 |work=Introduction to Random Matrices: Theory and Practice |pages=89–95 |editor-last=Livan |editor-first=Giacomo |access-date=2023-05-17 |series=SpringerBriefs in Mathematical Physics |place=Cham |publisher=Springer International Publishing |language=en |doi=10.1007/978-3-319-70885-0_13 |isbn=978-3-319-70885-0 |last2=Novaes |first2=Marcel |last3=Vivo |first3=Pierpaolo |editor2-last=Novaes |editor2-first=Marcel |editor3-last=Vivo |editor3-first=Pierpaolo}}</ref>
+बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में सहप्रसरण आव्यूह के अनुमान में इन वितरणों का बहुत महत्व है। बायेसियन सांख्यिकी में, विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी-सामान्य यादृच्छिक-सदिश के व्युत्क्रम सहप्रसरण-आव्यूह से पहले का संयुग्म है।<ref>{{cite journal |first1=Gary |last1=Koop |first2=Dimitris |last2=Korobilis |year=2010 |title=अनुभवजन्य मैक्रोइकॉनॉमिक्स के लिए बायेसियन बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला के तरीके|journal=Foundations and Trends in Econometrics |volume=3 |issue=4 |pages=267–358 |doi=10.1561/0800000013 |doi-access=free }}</ref>
+अन्य नामों में विशार्ट पहनावा सम्मिलित है (([[यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत|यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत]] में मेट्रिसेस पर संभाव्यता वितरण को आमतौर पर "पहनावा" कहा जाता है) या विशार्ट-लगुएरे पहनावा (चूंकि इसके ईजेनवेल्यू वितरण में लैगुएरे बहुपद सम्मिलित हैं) या एलओई, एलयूई, एलएसई (जीओई, जीयूई, जीएसई के अनुरूप) ).<ref>{{Citation |last=Livan |first=Giacomo |title=Classical Ensembles: Wishart-Laguerre |date=2018 |url=https://doi.org/10.1007/978-3-319-70885-0_13 |work=Introduction to Random Matrices: Theory and Practice |pages=89–95 |editor-last=Livan |editor-first=Giacomo |access-date=2023-05-17 |series=SpringerBriefs in Mathematical Physics |place=Cham |publisher=Springer International Publishing |language=en |doi=10.1007/978-3-319-70885-0_13 |isbn=978-3-319-70885-0 |last2=Novaes |first2=Marcel |last3=Vivo |first3=Pierpaolo |editor2-last=Novaes |editor2-first=Marcel |editor3-last=Vivo |editor3-first=Pierpaolo}}</ref>
 == परिभाषा ==
-कल्पना करना {{mvar|G}} एक है {{math|''p'' × ''n''}} मैट्रिक्स, जिसका प्रत्येक स्तंभ [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] है जो एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से लिया गया है{{mvar|p}}-भिन्न सामान्य वितरण शून्य माध्य के साथ:
+मान लीजिए {{mvar|G}} एक {{math|''p'' × ''n''}} आव्यूह है, जिनमें से प्रत्येक कॉलम स्वतंत्र रूप से {{mvar|p}}-चर सामान्य वितरण से शून्य माध्य के साथ खींचा जाता है:
 :<math>G_{i} = (g_i^1,\dots,g_i^p)^T\sim \mathcal{N}_p(0,V).</math>
-फिर विशार्ट वितरण का संभाव्यता वितरण है {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक मैट्रिक्स <ref>{{cite book |first1=A. K. |last1=Gupta |first2=D. K. |last2=Nagar |date=2000 |title=मैट्रिक्स भिन्न वितरण|publisher=Chapman & Hall /CRC |isbn=1584880465}}</ref>
+फिर विशार्ट वितरण {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक आव्यूह का प्रायिकता वितरण है:<ref>{{cite book |first1=A. K. |last1=Gupta |first2=D. K. |last2=Nagar |date=2000 |title=मैट्रिक्स भिन्न वितरण|publisher=Chapman & Hall /CRC |isbn=1584880465}}</ref>
 :<math>S= G G^T = \sum_{i=1}^n G_{i}G_{i}^T</math>
-[[ तितर बितर मैट्रिक्स ]] के रूप में जाना जाता है। एक इंगित करता है {{mvar|S}} में लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है
+स्कैटर आव्यूह के रूप में जाना जाता है। एक इंगित करता है कि {{mvar|S}} के पास लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है
 :<math>S\sim W_p(V,n).</math>
-सकारात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)]] की संख्या है। कभी-कभी यह लिखा जाता है {{math|''W''(''V'', ''p'', ''n'')}}. के लिए {{math|''n'' ≥ ''p''}} गणित का सवाल {{mvar|S}} संभाव्यता के साथ उलटा है {{math|1}} अगर {{mvar|V}} उलटा है।
+सकारात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)]] की संख्या है। कभी-कभी इसे {{math|''W''(''V'', ''p'', ''n'')}} लिखा जाता है। {{math|''n'' ≥ ''p''}} के लिए आव्यूह {{mvar|S}} व्युत्क्रमणीय है और यदि {{mvar|V}} व्युत्क्रमणीय है तो प्रायिकता 1 है।
-अगर {{math|''p'' {{=}} ''V'' {{=}} 1}} तो यह वितरण एक [[ची-वर्ग वितरण]] है {{mvar|n}} स्वतंत्रता की कोटियां।
+यदि {{math|''p'' {{=}} ''V'' {{=}} 1}} तो यह बंटन स्वतंत्रता की n कोटि वाला [[ची-वर्ग वितरण]] है।
 == घटना ==
-विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से नमूने के लिए नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण में [[संभावना-अनुपात परीक्षण]]ों में यह अक्सर होता है। यह [[ यादृच्छिक मैट्रिक्स ]] के वर्णक्रमीय सिद्धांत में भी उत्पन्न होता है{{Citation needed|date=October 2010}} और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में।<ref>{{cite book |last=Gelman |first=Andrew |date=2003 |title=बायेसियन डेटा विश्लेषण|url=http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/ |publisher=Chapman & Hall |page=582 |isbn=158488388X |access-date=3 June 2015 |location=Boca Raton, Fla. |edition=2nd}}</ref> [[रेले लुप्तप्राय]] एमआईएमओ वायरलेस चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय वायरलेस संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।<ref>{{cite journal| last=Zanella| first=A.|author2=Chiani, M. |author3=Win, M.Z. |title=विशआर्ट मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू के सीमांत वितरण पर| journal=IEEE Transactions on Communications|date=April 2009| volume=57| issue=4| pages=1050–1060 | doi=10.1109/TCOMM.2009.04.070143| url=https://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/66900/1/Zanella-2009-On%20the%20Marginal%20Distribution%20of%20the%20Eigenvalues%20of%20Wishart%20Matrices.pdf| hdl=1721.1/66900| s2cid=12437386| hdl-access=free}}</ref>
+विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से नमूने के लिए नमूना सहप्रसरण आव्यूह के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण में [[संभावना-अनुपात परीक्षण|संभावना-अनुपात]] परीक्षणों में यह अक्सर होता है।<ref>{{cite book |last=Gelman |first=Andrew |date=2003 |title=बायेसियन डेटा विश्लेषण|url=http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/ |publisher=Chapman & Hall |page=582 |isbn=158488388X |access-date=3 June 2015 |location=Boca Raton, Fla. |edition=2nd}}</ref> यह [[ यादृच्छिक मैट्रिक्स |यादृच्छिक आव्यूह]] के वर्णक्रमीय सिद्धांत और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में भी उत्पन्न होता है।{{Citation needed|date=October 2010}} [[रेले लुप्तप्राय]] एमआईएमओ वायरलेस चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय वायरलेस संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।<ref>{{cite journal| last=Zanella| first=A.|author2=Chiani, M. |author3=Win, M.Z. |title=विशआर्ट मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू के सीमांत वितरण पर| journal=IEEE Transactions on Communications|date=April 2009| volume=57| issue=4| pages=1050–1060 | doi=10.1109/TCOMM.2009.04.070143| url=https://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/66900/1/Zanella-2009-On%20the%20Marginal%20Distribution%20of%20the%20Eigenvalues%20of%20Wishart%20Matrices.pdf| hdl=1721.1/66900| s2cid=12437386| hdl-access=free}}</ref>
 == संभाव्यता घनत्व समारोह ==
-[[File:Spectral density of Wishart-Laguerre ensemble (8, 15).png|thumb|378x378px|विशार्ट-लागुएरे एनसेंबल का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15)। के चित्र 1 का पुनर्निर्माण <ref>{{Cite journal |last=Livan |first=Giacomo |last2=Vivo |first2=Pierpaolo |date=2011 |title=Moments of Wishart-Laguerre and Jacobi ensembles of random matrices: application to the quantum transport problem in chaotic cavities |url=http://arxiv.org/abs/1103.2638 |journal=Acta Physica Polonica B |volume=42 |issue=5 |pages=1081 |doi=10.5506/APhysPolB.42.1081 |issn=0587-4254}}</ref>.]]विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व समारोह द्वारा [[लक्षण वर्णन (गणित)]] किया जा सकता है:
+[[File:Spectral density of Wishart-Laguerre ensemble (8, 15).png|thumb|378x378px|विशार्ट-लागुएरे एनसेंबल का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15)। के चित्र 1 का पुनर्निर्माण <ref>{{Cite journal |last=Livan |first=Giacomo |last2=Vivo |first2=Pierpaolo |date=2011 |title=Moments of Wishart-Laguerre and Jacobi ensembles of random matrices: application to the quantum transport problem in chaotic cavities |url=http://arxiv.org/abs/1103.2638 |journal=Acta Physica Polonica B |volume=42 |issue=5 |pages=1081 |doi=10.5506/APhysPolB.42.1081 |issn=0587-4254}}</ref>.]]विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:
-होने देना {{math|'''X'''}} एक हो {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक चर का सममित मैट्रिक्स जो [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित। होने देना {{math|'''V'''}} आकार का एक (निश्चित) सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स हो {{math|''p'' × ''p''}}.
+माना कि {{math|'''X'''}} यादृच्छिक चर का एक {{math|''p'' × ''p''}} सममित आव्यूह है जो [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक अर्ध-निश्चित]] है। माना कि {{math|'''V'''}} आकार {{math|''p'' × ''p''}} का एक (निश्चित) सममित सकारात्मक निश्चित आव्यूह है।
-तो अगर {{math|''n'' ≥ ''p''}}, {{math|'''X'''}} के साथ विशार्ट वितरण है {{mvar|n}} स्वतंत्रता की डिग्री अगर इसमें प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है
+फिर, यदि {{math|''n'' ≥ ''p''}}, {{math|'''X'''}} का विशार्ट बंटन स्वतंत्रता की {{mvar|n}} कोटि के साथ है, यदि इसमें संभाव्यता घनत्व फलन है
 :<math> f_{\mathbf X} (\mathbf X) = \frac{1}{2^{np/2} \left|{\mathbf V}\right|^{n/2} \Gamma_p\left(\frac {n}{2}\right ) }{\left|\mathbf{X}\right|}^{(n-p-1)/2} e^{-\frac{1}{2}\operatorname{tr}({\mathbf V}^{-1}\mathbf{X})}</math>
-कहाँ <math>\left|{\mathbf X}\right|</math> का निर्धारक है <math>\mathbf X</math> और {{math|Γ<sub>''p''</sub>}} बहुभिन्नरूपी गामा फलन के रूप में परिभाषित है
+जहां <math>\left|{\mathbf X}\right|</math> का निर्धारक <math>\mathbf X</math> है और {{math|Γ<sub>''p''</sub>}} बहुभिन्नरूपी गामा फलन है जिसे परिभाषित किया गया है
 :<math>\Gamma_p \left (\frac n 2 \right )= \pi^{p(p-1)/4}\prod_{j=1}^p \Gamma\left( \frac{n}{2} - \frac{j-1}{2} \right ).</math>
-ऊपर का घनत्व सभी का संयुक्त घनत्व नहीं है <math>p^2</math> यादृच्छिक मैट्रिक्स के तत्व {{math|'''X'''}} (ऐसा {{nowrap|<math>p^2</math>-dimensional}समरूपता की कमी के कारण } घनत्व मौजूद नहीं है <math>X_{ij}=X_{ji}</math>), बल्कि यह का संयुक्त घनत्व है <math>p(p+1)/2</math> तत्वों <math>X_{ij}</math> के लिए <math>i\le j</math> (,<ref name=Wishart />पृष्ठ 38). साथ ही, उपरोक्त घनत्व सूत्र केवल सकारात्मक निश्चित आव्यूहों पर लागू होता है <math>\mathbf x;</math> अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर है।
+उपरोक्त घनत्व यादृच्छिक आव्यूह {{math|'''X'''}} के सभी <math>p^2</math> तत्वों का संयुक्त घनत्व नहीं है (ऐसा p^{2}-आयामी घनत्व समरूपता बाधाओं के कारण मौजूद नहीं है <math>X_{ij}=X_{ji}</math>, बल्कि यह <math>p^2</math> के लिए <math>p(p+1)/2</math> तत्वों <math>X_{ij}</math> का संयुक्त घनत्व है। इसके अलावा, उपरोक्त घनत्व सूत्र केवल सकारात्मक निश्चित आव्यूहों पर लागू होता है <math>\mathbf x;</math> अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर है।
 === वर्णक्रमीय घनत्व ===
-आइगेनवैल्यू के लिए ज्वाइंट-आइगेनवैल्यू डेंसिटी <math>\lambda_1,\dots , \lambda_p\ge 0</math> एक यादृच्छिक मैट्रिक्स का <math> \mathbf{X}\sim W_p(\mathbf{I},n)</math> है,<ref>{{cite book |last=Muirhead |first=Robb J. |date=2005 |title=बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय सिद्धांत के पहलू|publisher=Wiley Interscience |isbn=0471769851 |edition=2nd}}</ref><ref name="Anderson" />
+आइगेनवैल्यू के लिए ज्वाइंट-आइगेनवैल्यू डेंसिटी <math>\lambda_1,\dots , \lambda_p\ge 0</math> एक यादृच्छिक आव्यूह का <math> \mathbf{X}\sim W_p(\mathbf{I},n)</math> है,<ref>{{cite book |last=Muirhead |first=Robb J. |date=2005 |title=बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय सिद्धांत के पहलू|publisher=Wiley Interscience |isbn=0471769851 |edition=2nd}}</ref><ref name="Anderson">{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd
+ | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 259 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref>
 : <math>c_{n,p}e^{-\frac{1}{2}\sum_i\lambda_i}\prod \lambda_i^{(n-p-1)/2}\prod_{i<j}|\lambda_i-\lambda_j|</math>
 कहाँ <math>c_{n,p}</math>एक स्थिरांक है।
-वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक तक बढ़ाया जा सकता है {{math|''n'' > ''p'' − 1}}. अगर {{math|''n'' ≤ ''p'' − 1}}, तो विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है - इसके बजाय यह एक विलक्षण वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो अंतरिक्ष के निम्न-आयाम उप-स्थान में मान लेता है {{math|''p'' × ''p''}} मैट्रिक्स।<ref name="Uhlig1994">{{Cite journal | doi = 10.1214/aos/1176325375| title = एकवचन विशार्ट और एकवचन बहुभिन्नरूपी बीटा वितरण पर| journal = The Annals of Statistics| volume = 22| pages = 395–405| year = 1994| last1 = Uhlig | first1 = H. | doi-access = free}}</ref>
+वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक {{math|''n'' > ''p'' − 1}} तक बढ़ाया जा सकता है। यदि {{math|''n'' ≤ ''p'' − 1}}, तो विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है, बल्कि यह एक विलक्षण वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो निम्न आयाम उप-स्थान में मान लेता है। {{math|''p'' × ''p''}} आव्यूह ।<ref name="Uhlig1994">{{Cite journal | doi = 10.1214/aos/1176325375| title = एकवचन विशार्ट और एकवचन बहुभिन्नरूपी बीटा वितरण पर| journal = The Annals of Statistics| volume = 22| pages = 395–405| year = 1994| last1 = Uhlig | first1 = H. | doi-access = free}}</ref>
 == [[बायेसियन सांख्यिकी]] में प्रयोग करें ==
-बायेसियन सांख्यिकी में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के संदर्भ में, विशार्ट वितरण सटीक मैट्रिक्स से पहले का संयुग्म है {{math|'''Ω''' {{=}} '''Σ'''<sup>−1</sup>}}, कहाँ {{math|'''Σ'''}} सहप्रसरण मैट्रिक्स है।<ref name="bishop"/>{{rp|135}}
+बायेसियन आंकड़ों में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के संदर्भ में, विशार्ट वितरण सटीक आव्यूह {{math|'''Ω''' {{=}} '''Σ'''<sup>−1</sup>}} से पहले संयुग्मी है, जहां {{math|'''Σ'''}} सहप्रसरण आव्यूह है।<ref name="bishop"/>{{rp|135}}
 === मापदंडों का चुनाव ===
-कम से कम जानकारीपूर्ण, उचित विशार्ट प्रायर सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''n'' {{=}} ''p''}}.{{Citation needed|date=June 2014}}
+{{math|''n'' {{=}} ''p''}} सेट करके सबसे कम जानकारीपूर्ण, उचित विशार्ट प्रायर प्राप्त किया जाता है।{{Citation needed|date=June 2014}}
-का पूर्व माध्य {{math|''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} है {{math|''n'''''V'''}}, यह सुझाव देते हुए कि एक उचित विकल्प {{math|'''V'''}} होगा {{math|''n''<sup>−1</sup>'''Σ'''<sub>0</sub><sup>−1</sup>}}, कहाँ {{math|'''Σ'''<sub>0</sub>}} सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए कुछ पूर्व अनुमान है।
+{{math|''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} का पूर्व माध्य {{math|''n'''''V'''}} है, जो सुझाव देता है कि {{math|'''V'''}} के लिए एक उचित विकल्प {{math|''n''<sup>−1</sup>'''Σ'''<sub>0</sub><sup>−1</sup>}} होगा, जहां {{math|'''Σ'''<sub>0</sub>}} सहप्रसरण आव्यूह के लिए कुछ पूर्व अनुमान है।
 == गुण ==
 === लॉग-अपेक्षा ===
-निम्नलिखित सूत्र [[बेयस नेटवर्क]] के लिए वेरिएबल बेयस डेरिवेशन में एक भूमिका निभाता है
+निम्नलिखित सूत्र विशार्ट वितरण से जुड़े [[बेयस नेटवर्क]] के लिए वेरिएबल बेयस डेरिवेशन में एक भूमिका निभाता है::<ref name="bishop"/>{{rp|693}}
-विशार्ट वितरण को शामिल करना:<ref name="bishop"/>{{rp|693}}
 :<math>\operatorname{E}[\, \ln\left|\mathbf{X}\right|\, ] =  \psi_p\left(\frac n 2\right) + p \, \ln(2) + \ln|\mathbf{V}|</math>
-कहाँ <math>\psi_p</math> बहुभिन्नरूपी डिगामा फ़ंक्शन है (बहुभिन्नरूपी गामा फ़ंक्शन के लॉग का व्युत्पन्न)।
+जहाँ <math>\psi_p</math> बहुभिन्नरूपी डिगामा फलन है (बहुभिन्नरूपी गामा फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न)।
 === लॉग-विचरण ===
@@ Line 110: / Line 106: @@
 \end{align}
 </math>
 === क्रॉस-एन्ट्रॉपी ===
-दो विशार्ट वितरणों की [[क्रॉस एन्ट्रापी]] <math>p_0</math> मापदंडों के साथ <math>n_0, V_0</math> और <math>p_1</math> मापदंडों के साथ <math>n_1, V_1</math> है
+पैरामीटर के साथ दो विशार्ट वितरण <math>p_0</math> का क्रॉस एंट्रोपी <math>n_0, V_0</math> और <math>p_1</math> पैरामीटर के साथ <math>n_1, V_1</math> है:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 133: / Line 127: @@
 \end{align}
 </math>
 === विशेषता समारोह ===
 विशार्ट वितरण का अभिलाक्षणिक फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है
 :<math>\Theta \mapsto \operatorname{E}\left[ \, \exp\left( \,i \operatorname{tr}\left(\,\mathbf{X}{\mathbf\Theta}\,\right)\,\right)\, \right] = \left|\, 1 - 2i\, {\mathbf\Theta}\,{\mathbf V}\, \right|^{-n/2} </math>
-कहाँ {{math|E[⋅]}} अपेक्षा दर्शाता है। (यहाँ {{math|Θ}} समान आयामों वाला कोई भी मैट्रिक्स है {{math|'''V'''}}, {{Math|1}} पहचान मैट्रिक्स को इंगित करता है, और {{mvar|i}} का वर्गमूल है{{Math|−1}}).<ref name="Anderson">{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd
+जहाँ {{math|E[⋅]}} अपेक्षा दर्शाता है। (यहां {{math|Θ}} {{math|'''V'''}} के समान आयाम वाला कोई आव्यूह है, {{Math|1}} पहचान आव्यूह को इंगित करता है, और {{mvar|i}} {{Math|−1}} का वर्गमूल है)।<ref name="Anderson" /> इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए थोड़ी सावधानी की आवश्यकता होती है, क्योंकि गैर-पूर्णांक जटिल शक्तियाँ [[रीमैन सतह]] होती हैं; जब {{Mvar|n}} पूर्णांक नहीं होता है, तो सही शाखा को [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के माध्यम से निर्धारित किया जाना चाहिए।<ref>{{cite arXiv |last=Mayerhofer |first=Eberhard |date=2019-01-27 |title=विशार्ट विशेषता समारोह में सुधार|class=math.PR |eprint=1901.09347 }}</ref>
- | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 259 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref> इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए थोड़ी सावधानी बरतने की आवश्यकता है, क्योंकि गैर-पूर्णांक जटिल शक्तियाँ [[रीमैन सतह]] हैं; कब {{Mvar|n}} गैर-पूर्णांक है, [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के माध्यम से सही शाखा निर्धारित की जानी चाहिए।<ref>{{cite arXiv |last=Mayerhofer |first=Eberhard |date=2019-01-27 |title=विशार्ट विशेषता समारोह में सुधार|class=math.PR |eprint=1901.09347 }}</ref>
 == प्रमेय ==
-यदि एक {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक मैट्रिक्स {{math|'''X'''}} के साथ विशार्ट वितरण है {{mvar|m}} स्वतंत्रता और विचरण मैट्रिक्स की डिग्री {{math|'''V'''}} - लिखना <math>\mathbf{X}\sim\mathcal{W}_p({\mathbf V},m)</math> - और {{math|'''C'''}} एक है {{math|''q'' × ''p''}} रैंक का मैट्रिक्स (मैट्रिक्स सिद्धांत) {{mvar|q}}, तब <ref name="rao">{{cite book |last=Rao |first=C. R. |title=रैखिक सांख्यिकीय निष्कर्ष और इसके अनुप्रयोग|publisher=Wiley |year=1965 |page=535 }}</ref>
+अगर एक {{math|''p'' × ''p''}} रैंडम आव्यूह {{math|'''X'''}} का विशरट डिस्ट्रीब्यूशन {{mvar|m}} डिग्री ऑफ फ्रीडम और वेरियंस आव्यूह {{math|'''V'''}} है तो मैथबीएफ <math>\mathbf{X}\sim\mathcal{W}_p({\mathbf V},m)</math> लिखें और {{math|'''C'''}} एक {{math|''q'' × ''p''}} आव्यूह है रैंक {{mvar|q}}, फिर <ref name="rao">{{cite book |last=Rao |first=C. R. |title=रैखिक सांख्यिकीय निष्कर्ष और इसके अनुप्रयोग|publisher=Wiley |year=1965 |page=535 }}</ref>
 :<math>\mathbf{C}\mathbf{X}{\mathbf C}^T \sim \mathcal{W}_q\left({\mathbf C}{\mathbf V}{\mathbf C}^T,m\right).</math>
 === कोरोलरी 1 ===
-अगर {{math|'''z'''}} एक अशून्य है {{math|''p'' × 1}} निरंतर वेक्टर, फिर:<ref name="rao"/>
+यदि {{math|'''z'''}} शून्येतर {{math|''p'' × 1}} अचर सदिश है, तब<ref name="rao"/>
 :<math>\sigma_z^{-2} \, {\mathbf z}^T\mathbf{X}{\mathbf z} \sim \chi_m^2.</math>
-इस मामले में, <math>\chi_m^2</math> ची-वर्ग वितरण है और <math>\sigma_z^2={\mathbf z}^T{\mathbf V}{\mathbf z}</math> (ध्यान दें कि <math>\sigma_z^2</math> एक स्थिरांक है; यह सकारात्मक है क्योंकि {{math|'''V'''}} सकारात्मक निश्चित है)।
+इस मामले में,<math>\chi_m^2</math> ची-वर्ग वितरण है और <math>\sigma_z^2={\mathbf z}^T{\mathbf V}{\mathbf z}</math> (ध्यान दें कि <math>\sigma_z^2</math> स्थिरांक है; यह है धनात्मक क्योंकि {{math|'''V'''}} धनात्मक निश्चित है)।
 === उपप्रमेय 2 ===
-मामले पर विचार करें जहां {{math|'''z'''<sup>''T''</sup> {{=}} (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)}} (वह यह है कि {{mvar|j}}-वाँ तत्व एक है और अन्य सभी शून्य)। फिर उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है
+उस मामले पर विचार करें जहां {{math|'''z'''<sup>''T''</sup> {{=}} (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)}} (अर्थात, j-वां तत्व एक है और अन्य सभी शून्य हैं)। फिर उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है
 :<math>\sigma_{jj}^{-1} \, w_{jj}\sim \chi^2_m</math>
-मैट्रिक्स के विकर्ण पर प्रत्येक तत्व का सीमांत वितरण देता है।
+आव्यूह के विकर्ण पर प्रत्येक तत्व का सीमांत वितरण देता है।
-[[जॉर्ज सेबर]] बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुभिन्नरूपी ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि [[ऑफ-विकर्ण तत्व]]ों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर उस मामले के लिए बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी शब्द को आरक्षित करना पसंद करता है जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही परिवार के हों।<ref>{{cite book | last = Seber | first = George A. F. | title = बहुभिन्नरूपी अवलोकन| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | year = 2004 | isbn = 978-0471691211 }}</ref>
+[[जॉर्ज सेबर]] बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुभिन्नरूपी ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि [[ऑफ-विकर्ण तत्व|ऑफ-विकर्ण]] तत्वों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर बहुभिन्नरूपी शब्द को उस मामले के लिए आरक्षित करना पसंद करते हैं जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही परिवार के हों।<ref>{{cite book | last = Seber | first = George A. F. | title = बहुभिन्नरूपी अवलोकन| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | year = 2004 | isbn = 978-0471691211 }}</ref>
 == बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुमानक ==
-विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सहप्रसरण मैट्रिक्स की अधिकतम संभावना|अधिकतम-संभावना अनुमानक (MLE) का नमूना वितरण है।<ref>{{cite book |first1=C. |last1=Chatfield |first2=A. J. |last2=Collins |year=1980 |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण का परिचय|location=London |publisher=Chapman and Hall |pages=[https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 103–108] |isbn=0-412-16030-7 |url=https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 }}</ref> सहप्रसरण मैट्रिसेस का अनुमान [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] का उपयोग करता है।
+विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सहप्रसरण आव्यूह के अधिकतम-संभावना अनुमानक (MLE) का नमूना वितरण है।<ref>{{cite book |first1=C. |last1=Chatfield |first2=A. J. |last2=Collins |year=1980 |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण का परिचय|location=London |publisher=Chapman and Hall |pages=[https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 103–108] |isbn=0-412-16030-7 |url=https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 }}</ref>] MLE की व्युत्पत्ति [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] का उपयोग करती है।
 == बार्टलेट अपघटन ==
-एक मैट्रिक्स का बार्टलेट अपघटन {{math|'''X'''}} एक से {{mvar|p}स्केल मैट्रिक्स के साथ }-विभिन्न विशार्ट वितरण {{math|'''V'''}} और {{mvar|n}} स्वतंत्रता की डिग्री गुणनखंड है:
+स्केल आव्यूह {{math|'''V'''}} और {{mvar|n}} डिग्री ऑफ फ्रीडम के साथ एक {{math|'''V'''}}-वैरिएट विशरट वितरण से आव्यूह {{math|'''X'''}} का बार्टलेट अपघटन गुणनखंड है:
 :<math>\mathbf{X} = {\textbf L}{\textbf A}{\textbf A}^T{\textbf L}^T,</math>
-कहाँ {{math|'''L'''}} का [[चोल्स्की अपघटन]] है {{math|'''V'''}}, और:
+जहाँ {{math|'''L'''}}, {{math|'''V'''}} का [[चोल्स्की अपघटन]] गुणक है और:
 :<math>\mathbf A = \begin{pmatrix}
@@ Line 179: / Line 164: @@
 n_{p1} & n_{p2} & n_{p3} &\cdots & c_p
 \end{pmatrix}</math>
-कहाँ <math>c_i^2 \sim \chi^2_{n-i+1}</math> और {{math|''n<sub>ij</sub>'' ~ ''N''(0, 1)}} स्वतंत्र रूप से।<ref>{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 257 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref> यह विशार्ट वितरण से यादृच्छिक नमूने प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करता है।<ref>{{cite journal |title=Algorithm AS 53: Wishart Variate Generator |first1= W. B. |last1=Smith |first2= R. R. |last2=Hocking |journal=[[Journal of the Royal Statistical Society, Series C]] |volume=21 |issue=3 |year=1972 |pages=341&ndash;345 |jstor=2346290}}</ref>
-== मैट्रिक्स तत्वों का सीमांत वितरण ==
+जहाँ <math>c_i^2 \sim \chi^2_{n-i+1}</math> और {{math|''n<sub>ij</sub>'' ~ ''N''(0, 1)}} स्वतंत्र रूप से यह विशार्ट वितरण से यादृच्छिक नमूने प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करता है।<ref>{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 257 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref><ref>{{cite journal |title=Algorithm AS 53: Wishart Variate Generator |first1= W. B. |last1=Smith |first2= R. R. |last2=Hocking |journal=[[Journal of the Royal Statistical Society, Series C]] |volume=21 |issue=3 |year=1972 |pages=341&ndash;345 |jstor=2346290}}</ref>
-होने देना {{math|'''V'''}} एक हो {{math|2 × 2}} [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक]] द्वारा अभिलक्षित प्रसरण मैट्रिक्स {{math|−1 < ''ρ'' < 1}} और {{math|'''L'''}} इसका निचला चॉल्स्की कारक:
+== आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण ==
+माना कि {{math|'''V'''}} एक {{math|2 × 2}} [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक]] {{math|−1 < ''ρ'' < 1}} और {{math|'''L'''}} इसके निचले चॉल्स्की कारक द्वारा विशेषता है:
 :<math>\mathbf{V} = \begin{pmatrix}
@@ Line 194: / Line 179: @@
 \rho \sigma_2 & \sqrt{1-\rho^2} \sigma_2
 \end{pmatrix}</math>
-उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम पाते हैं कि एक यादृच्छिक नमूना {{math|2 × 2}} विशार्ट वितरण है
+उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम पाते हैं कि {{math|2 × 2}} विशार्ट वितरण से एक यादृच्छिक नमूना है
 :<math>\mathbf{X} = \begin{pmatrix}
@@ Line 200: / Line 185: @@
 \sigma_1 \sigma_2 \left (\rho c_1^2 + \sqrt{1-\rho^2} c_1 n_{21} \right ) & \sigma_2^2 \left(\left (1-\rho^2 \right ) c_2^2 + \left (\sqrt{1-\rho^2} n_{21} + \rho c_1 \right )^2 \right)
 \end{pmatrix}</math>
-विकर्ण तत्व, स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, अनुसरण करते हैं {{math|''χ''<sup>2</sup>}} के साथ वितरण {{mvar|n}} स्वतंत्रता की डिग्री (द्वारा स्केल किया गया {{math|''σ''<sup>2</sup>}}) आशा के अनुसार। ऑफ-विकर्ण तत्व कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक है {{math|''χ''<sup>2</sup>}} वितरण। ऑफ-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए भिन्नता-गामा वितरण है
+विकर्ण तत्व, सबसे स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, स्वतंत्रता की {{mvar|n}} डिग्री के साथ {{math|''χ''<sup>2</sup>}} वितरण का पालन करते हैं ({{math|''σ''<sup>2</sup>}} द्वारा स्केल किया गया) जैसा कि अपेक्षित था। ऑफ-विकर्ण तत्व कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक {{math|''χ''<sup>2</sup>}} वितरण है। ऑफ-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए भिन्नता-गामा वितरण है
 :<math>f(x_{12}) =  \frac{\left | x_{12} \right |^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \sqrt{2^{n-1} \pi \left (1-\rho^2 \right ) \left (\sigma_1 \sigma_2 \right )^{n+1}}} \cdot K_{\frac{n-1}{2}} \left(\frac{\left |x_{12} \right |}{\sigma_1 \sigma_2 \left (1-\rho^2 \right )}\right) \exp{\left(\frac{\rho x_{12}}{\sigma_1 \sigma_2 (1-\rho^2)}\right)}</math>
-कहाँ {{math|''K<sub>ν</sub>''(''z'')}} [[दूसरी तरह का संशोधित बेसेल कार्य]] है।<ref>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = Karl | author1-link = Karl Pearson | last2 = Jeffery | first2 = G. B. | author2-link = George Barker Jeffery | last3 = Elderton | first3 = Ethel M. | author3-link = Ethel M. Elderton | title = अनिश्चित रूप से बड़ी सामान्य जनसंख्या से लिए गए नमूनों में, पहले उत्पाद के वितरण पर क्षण-गुणांक| journal = Biometrika | volume = 21 | pages = 164–201 | publisher = Biometrika Trust | date = December 1929  | issue = 1/4 | jstor = 2332556 | doi = 10.2307/2332556}}</ref> उच्च आयामों के लिए समान परिणाम मिल सकते हैं, लेकिन ऑफ-डायगोनल सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तेजी से जटिल हो जाती है। गैर-केंद्रीय मामले में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्य को लिखना संभव है (अनिवार्य रूप से क्रेग की nth शक्ति (1936)<ref>{{cite journal | last = Craig | first = Cecil C. | title = xy के फ्रीक्वेंसी फंक्शन पर| journal = Ann. Math. Statist. | volume = 7 | pages = 1–15 | year = 1936 | url = http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177732541 | doi = 10.1214/aoms/1177732541| doi-access = free }}</ref> समीकरण 10) हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल कार्यों का एक अनंत योग बन जाता है।
+जहां {{math|''K<sub>ν</sub>''(''z'')}} [[दूसरी तरह का संशोधित बेसेल कार्य]] है।<ref>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = Karl | author1-link = Karl Pearson | last2 = Jeffery | first2 = G. B. | author2-link = George Barker Jeffery | last3 = Elderton | first3 = Ethel M. | author3-link = Ethel M. Elderton | title = अनिश्चित रूप से बड़ी सामान्य जनसंख्या से लिए गए नमूनों में, पहले उत्पाद के वितरण पर क्षण-गुणांक| journal = Biometrika | volume = 21 | pages = 164–201 | publisher = Biometrika Trust | date = December 1929  | issue = 1/4 | jstor = 2332556 | doi = 10.2307/2332556}}</ref> उच्च आयामों के लिए समान परिणाम मिल सकते हैं, लेकिन ऑफ-डायगोनल सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तेजी से जटिल हो जाती है। गैर-केंद्रीय मामले में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को लिखना संभव है (अनिवार्य रूप से क्रेग की nवीं शक्ति (1936) समीकरण 10) हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल कार्यों का एक अनंत योग बन जाता है।<ref>{{cite journal | last = Craig | first = Cecil C. | title = xy के फ्रीक्वेंसी फंक्शन पर| journal = Ann. Math. Statist. | volume = 7 | pages = 1–15 | year = 1936 | url = http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177732541 | doi = 10.1214/aoms/1177732541| doi-access = free }}</ref>
 == आकृति पैरामीटर की सीमा ==
-इसे दिखाया जा सकता है <ref>{{cite journal |doi=10.1214/aop/1176990455 |last1=Peddada and Richards |first1=Shyamal Das |last2=Richards |first2=Donald St. P. |title=विशार्ट डिस्ट्रीब्यूशन के विशिष्ट कार्य पर एम. एल. ईटन के अनुमान का प्रमाण|journal=[[Annals of Probability]] |volume=19 |issue=2 |pages=868&ndash;874 |year=1991 |doi-access=free }}</ref> कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है अगर और केवल अगर आकार पैरामीटर {{math|'''n'''}} समुच्चय के अंतर्गत आता है
+यह दिखाया जा सकता है कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल अगर आकार पैरामीटर {{math|'''n'''}} सेट से संबंधित है<ref>{{cite journal |doi=10.1214/aop/1176990455 |last1=Peddada and Richards |first1=Shyamal Das |last2=Richards |first2=Donald St. P. |title=विशार्ट डिस्ट्रीब्यूशन के विशिष्ट कार्य पर एम. एल. ईटन के अनुमान का प्रमाण|journal=[[Annals of Probability]] |volume=19 |issue=2 |pages=868&ndash;874 |year=1991 |doi-access=free }}</ref>
 :<math>\Lambda_p:=\{0,\ldots,p-1\}\cup \left(p-1,\infty\right).</math>
-इस सेट का नाम गिंदिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पेश किया था<ref>{{cite journal |doi=10.1007/BF01078179 |first=S.G. |last=Gindikin |title=सजातीय डोमेन में अपरिवर्तनीय सामान्यीकृत कार्य|journal=[[Funct. Anal. Appl.]] |volume=9 |issue=1 |pages=50&ndash;52 |year=1975|s2cid=123288172 }}</ref> सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में। हालाँकि, Gindikin पहनावा के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात्,
+इस सेट का नाम गिंडिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में इसे पेश किया था।<ref>{{cite journal |doi=10.1007/BF01078179 |first=S.G. |last=Gindikin |title=सजातीय डोमेन में अपरिवर्तनीय सामान्यीकृत कार्य|journal=[[Funct. Anal. Appl.]] |volume=9 |issue=1 |pages=50&ndash;52 |year=1975|s2cid=123288172 }}</ref> हालाँकि, Gindikin पहनावा के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात्,
 :<math>\Lambda_p^*:=\{0, \ldots, p-1\},</math>
@@ Line 215: / Line 200: @@
 == अन्य वितरणों से संबंध ==
-* विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>W_p^{-1}</math>, इस प्रकार है: यदि {{math|'''X''' ~ ''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} और यदि हम चरों का परिवर्तन करते हैं {{math|'''C''' {{=}} '''X'''<sup>−1</sup>}}, तब <math>\mathbf{C}\sim W_p^{-1}(\mathbf{V}^{-1},n)</math>. यह संबंध यह देखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि चर के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान है {{math|{{!}}'''C'''{{!}}<sup>''p''+1</sup>}}, उदाहरण के लिए देखें समीकरण (15.15) में।<ref>{{cite journal |first=Paul S. |last=Dwyer |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में मैट्रिक्स डेरिवेटिव के कुछ अनुप्रयोग|journal=[[Journal of the American Statistical Association|J. Amer. Statist. Assoc.]] |year=1967 |volume=62 |issue=318 |pages=607–625 |doi=10.1080/01621459.1967.10482934 |jstor=2283988 }}</ref>
+* विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है, जिसे <math>W_p^{-1}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, इस प्रकार है: यदि {{math|'''X''' ~ ''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} और यदि हम चर {{math|'''C''' {{=}} '''X'''<sup>−1</sup>}} का परिवर्तन करते हैं, तो <math>\mathbf{C}\sim W_p^{-1}(\mathbf{V}^{-1},n)</math> इस संबंध को इस बात पर ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है कि चरों के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान {{math|{{!}}'''C'''{{!}}<sup>''p''+1</sup>}} है, उदाहरण के लिए समीकरण (15.15) में देखें।<ref>{{cite journal |first=Paul S. |last=Dwyer |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में मैट्रिक्स डेरिवेटिव के कुछ अनुप्रयोग|journal=[[Journal of the American Statistical Association|J. Amer. Statist. Assoc.]] |year=1967 |volume=62 |issue=318 |pages=607–625 |doi=10.1080/01621459.1967.10482934 |jstor=2283988 }}</ref>
-* बायेसियन सांख्यिकी में, विशार्ट वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण की परिशुद्धता (सांख्यिकी) से पहले एक संयुग्म है, जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।<ref name = "bishop">{{cite book |first=C. M. |last=Bishop |title=पैटर्न मान्यता और मशीन प्रवीणता|publisher=Springer |year=2006 }}</ref>
+* बायेसियन आँकड़ों में, विशार्ट वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सटीक पैरामीटर से पहले एक संयुग्म है, जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।<ref name = "bishop">{{cite book |first=C. M. |last=Bishop |title=पैटर्न मान्यता और मशीन प्रवीणता|publisher=Springer |year=2006 }}</ref>
 * एक सामान्यीकरण [[बहुभिन्नरूपी गामा वितरण]] है।
-* एक अलग प्रकार का सामान्यीकरण [[सामान्य-विशार्ट वितरण]] है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का उत्पाद है।
+* एक अलग प्रकार का सामान्यीकरण [[सामान्य-विशार्ट वितरण]] है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ एक बहुचर सामान्य वितरण का उत्पाद है।
 == यह भी देखें ==
 {{Colbegin}}
 * ची-वर्ग वितरण
-* [[जटिल विशार्ट वितरण]]
+* [[समिश्र विशार्ट वितरण]]
-* एफ-वितरण
+* F-वितरण
 * गामा वितरण
 * होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
 * व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
-* बहुभिन्नरूपी गामा वितरण
+* बहुचर गामा वितरण
 * छात्र का टी-वितरण
 * विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण

Anonymous

Search

विशार्ट वितरण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 07:36, 9 June 2023

Contents

परिभाषा

घटना

संभाव्यता घनत्व समारोह

वर्णक्रमीय घनत्व

बायेसियन सांख्यिकी में प्रयोग करें

मापदंडों का चुनाव

गुण

लॉग-अपेक्षा

लॉग-विचरण

एंट्रॉपी

क्रॉस-एन्ट्रॉपी

केएल-विचलन

विशेषता समारोह

प्रमेय

कोरोलरी 1

उपप्रमेय 2

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुमानक

बार्टलेट अपघटन

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण

आकृति पैरामीटर की सीमा

अन्य वितरणों से संबंध

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Notation	$X ~ W p (V, n)$
Parameters	$n > p - 1$ degrees of freedom (real) $V > 0$ scale matrix ( $p \times p$ pos. def)
Support	$X (p \times p)$ positive definite matrix
PDF	$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )={\frac {\|\mathbf {x} \|^{(n-p-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {x} )/2}}{2^{\frac {np}{2}}\|{\mathbf {V} }\|^{n/2}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}$ $Γ p$ is the multivariate gamma function $tr$ is the trace function
Mean	$\operatorname {E} [X]=n{\mathbf {V} }$
Mode	$(n - p - 1) V$ for $n \geq p + 1$
Variance	$\operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n\left(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj}\right)$
Entropy	see below
CF	$\Theta \mapsto \left\|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right\|^{-{\frac {n}{2}}}$

Anonymous

Search

विशार्ट वितरण: Difference between revisions

Revision as of 07:36, 9 June 2023

परिभाषा

घटना

संभाव्यता घनत्व समारोह

वर्णक्रमीय घनत्व

बायेसियन सांख्यिकी में प्रयोग करें

मापदंडों का चुनाव

गुण

लॉग-अपेक्षा

लॉग-विचरण

एंट्रॉपी

क्रॉस-एन्ट्रॉपी

केएल-विचलन

विशेषता समारोह

प्रमेय

कोरोलरी 1

उपप्रमेय 2

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुमानक

बार्टलेट अपघटन

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण

आकृति पैरामीटर की सीमा

अन्य वितरणों से संबंध

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories