चरण-प्रकार वितरण

Phase-type

Parameters	$S,\;m\times m$ subgenerator matrix ${\boldsymbol {\alpha }}$, probability row vector
Support	$x\in [0;\infty )\!$
PDF	${\boldsymbol {\alpha }}e^{xS}{\boldsymbol {S}}^{0}$ See article for details
CDF	$1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{xS}{\boldsymbol {1}}$
Mean	$-{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-1}\mathbf {1}$
Median	no simple closed form
Mode	no simple closed form
Variance	$2{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-2}\mathbf {1} -({\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-1}\mathbf {1} )^{2}$
MGF	$-{\boldsymbol {\alpha }}(tI+S)^{-1}{\boldsymbol {S}}^{0}+\alpha _{0}$
CF	$-{\boldsymbol {\alpha }}(itI+S)^{-1}{\boldsymbol {S}}^{0}+\alpha _{0}$

चरण-प्रकार वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक कनवल्शन या घातीय वितरण के मिश्रण द्वारा निर्मित होता है। यह अनुक्रम, या चरणों में होने वाली एक या एक से अधिक अंतर-संबंधित पॉइसन प्रक्रियाओं की एक प्रणाली का परिणाम होता है। जिस क्रम में प्रत्येक चरण होता है वह अपने आप में एक प्रसंभाव्यता प्रक्रिया हो सकती है। वितरण को एक अवशोषित मार्कोव प्रक्रिया के अवशोषण का वर्णन करने वाले एक यादृच्छिक चर द्वारा दर्शाया जा सकता है। मार्कोव प्रक्रिया की प्रत्येक मार्कोव प्रक्रिया चरणों में से एक का प्रतिनिधित्व करती है।

इसका असतत-समय समतुल्य है - असतत चरण-प्रकार वितरण।

चरण-प्रकार के वितरण का समुच्चये सभी सकारात्मक-मूल्यवान वितरणों के क्षेत्र में सघन होता है, अर्थात इसका उपयोग किसी भी सकारात्मक-मूल्यवान वितरण को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है।ka

परिभाषा

m + 1 अवस्थाओं के साथ एक निरंतर-समय की मार्कोव प्रक्रिया पर विचार करते है, जहाँ m ≥ 1, जैसे कि अवस्थाएँ 1,...,m क्षणिक अवस्थाएँ है और अवस्था 0 एक अवशोषित अवस्था है। इसके अतिरिक्त, मान लेते है कि प्रक्रिया में प्रायिकता सदिश (α₀,α) जहां α₀ एक अदिश है और α एक 1 × m सदिश है।

निरंतर चरण-प्रकार का वितरण उपरोक्त प्रक्रिया के प्रारंभ होने से लेकर अवशोषित अवस्था में अवशोषण तक के समय का वितरण होता है।

इस प्रक्रिया को संक्रमण दर आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है,

${Q}=\left[{\begin{matrix}0&\mathbf {0} \\\mathbf {S} ^{0}&{S}\\\end{matrix}}\right],$

जहां S एक m × m आव्यूह है और 'S'⁰ = –S1. यहां 1 m ×1 वेक्टर को दर्शाता है, जिसमें प्रत्येक तत्व 1 है।

लक्षण वर्णन

X का वितरण जब तक प्रक्रिया अवशोषित अवस्था तक नहीं पहुंच जाता है, तब तक चरण-प्रकार वितरित कहा जाता है और इसे PH ('α', S) निरूपित किया जाता है।

X का वितरण दिया गया है,

$F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {1} ,$

और घनत्व समारोह,

$f(x)={\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {S^{0}} ,$

सभी x > 0 के लिए, जहां आव्यूह घातीय है। सामान्यतः यह माना जाता है कि अवशोषित अवस्था में प्रक्रिया प्रारंभ होने की संभावना शून्य है (अर्थात α₀= 0). वितरण के क्षण द्वारा दिया जाता है

$E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-n}\mathbf {1} .$

चरण प्रकार वितरण का लाप्लास परिवर्तन इस तरह दिया जाता है

$M(s)=\alpha _{0}+{\boldsymbol {\alpha }}(sI-S)^{-1}\mathbf {S^{0}} ,$

जहां I की पहचान आव्यूह है।

विशेष स्थितियां

निम्नलिखित प्रायिकताओं को निरंतर चरण-प्रकार वितरण के सभी विशेष स्थितियों में माना जाता है:

• पतित वितरण, बिंदु द्रव्यमान शून्य या खाली चरण-प्रकार वितरण पर – 0 चरण।
• घातांकी रूप से वितरण – 1 चरण।
• एरलांग वितरण – क्रम में 2 या अधिक समान चरण।
• नियतात्मक वितरण (या स्थिर) – एरलांग वितरण का सीमित स्थिति, क्योंकि चरणों की संख्या अनंत हो जाती है, जबकि प्रत्येक समय शून्य हो जाता है।
• कॉक्सियन वितरण – प्रत्येक चरण के बाद समाप्ति/अवशोषित अवस्था में संक्रमण की संभावना के साथ क्रम में 2 या अधिक (आवश्यक रूप से समान नहीं) चरण।
• हाइपरघातीय वितरण (जिसे घातीय का मिश्रण भी कहा जाता है) – 2 या अधिक गैर-समान चरण, जिनमें से प्रत्येक में परस्पर अनन्य, या समानांतर, विधि से होने की संभावना है। (ध्यान दें: घातीय वितरण एक पतित स्थिति है जब सभी समानांतर चरण समान होते है।)
• हाइपोघातीय वितरण – क्रम में 2 या अधिक चरण, गैर-समान हो सकते है या समान और गैर-समान चरणों का मिश्रण होते है, एरलांग को सामान्य करता है।

जैसा कि चरण-प्रकार वितरण सभी सकारात्मक-मूल्यवान वितरणों के क्षेत्र में सघन है, हम किसी भी सकारात्मक मूल्यवान वितरण का प्रतिनिधित्व कर सकते है। चूंकि, चरण-प्रकार एक हल्की-पूंछ या प्लैटीकुर्टिक वितरण है। तो चरण प्रकार द्वारा लेप्टोकर्टिक वितरण का प्रतिनिधित्व एक सन्निकटन है, यदि सन्निकटन की शुद्धता उतनी ही अच्छी हो जितनी हम चाहते है।

उदाहरण

निम्नलिखित सभी उदाहरणों में यह माना जाता है कि शून्य पर कोई प्रायिकता द्रव्यमान नहीं है, जो है α₀ = 0

घातीय वितरण

चरण-प्रकार के वितरण का सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण पैरामीटर λ का घातीय वितरण है। फेज-प्रकार वर्गीकरण के पैरामीटर है: S = -λ और α = 1

हाइपरघातीय या घातीय वर्गीकरण का मिश्रण

λ के साथ चरघातांकी या अतिघातांक वितरण का मिश्रण λ₁,λ₂,...,λ_n>0 को चरण प्रकार के वितरण के रूप में दर्शाया जा सकता है

${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4},...,\alpha _{n})$

साथ $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$ और

${S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&0&0&0&0\\0&-\lambda _{2}&0&0&0\\0&0&-\lambda _{3}&0&0\\0&0&0&-\lambda _{4}&0\\0&0&0&0&-\lambda _{5}\\\end{matrix}}\right].$

घातीय वर्गीक्रत चर के घनत्व की विशेषता बताई जा सकती है

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{X_{i}}(x),$

या इसका संचयी वितरण है

$F(x)=1-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}F_{X_{i}}(x).$

साथ $X_{i}\sim Exp(\lambda _{i})$

एरलांग वितरण

एरलांग के दो पैरामीटर है, आकार एक पूर्णांक k > 0 और दर है λ > 0। इसे कभी-कभी E(k, λ) के रूप में दर्शाया जाता है। एरलांग वितरण को चरण-प्रकार वितरण के रूप में S a k × k आव्यूह को विकर्ण तत्वों -λ और सुपर-विकर्ण तत्वों λ के साथ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, E(5, λ),

${\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,0,0,0),$

और

${S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda &\lambda &0&0&0\\0&-\lambda &\lambda &0&0\\0&0&-\lambda &\lambda &0\\0&0&0&-\lambda &\lambda \\0&0&0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right].$

दिए गए चरणों की संख्या के लिए, एरलांग वितरण चरण प्रकार का वितरण है जिसमें भिन्नता का सबसे छोटा गुणांक है।

प्रत्येक संक्रमण (गैर-सजातीय स्थितियां) के लिए अलग-अलग दरों के होने से हाइपोघातीय वर्गीकरण एर्लैंग वर्गीकरण का एक सामान्यीकरण है।

एरलांग वितरण का मिश्रण

पैरामीटर E(3,β₁), ई (3, बी₂) और (α₁,ए₂) (जैसे कि α₁ + ए₂ = 1 और प्रत्येक i, α के लिए_i ≥ 0) के साथ चरण प्रकार वितरण के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},0,0,\alpha _{2},0,0),$

और

${S}=\left[{\begin{matrix}-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0&0\\0&-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0\\0&0&-\beta _{1}&0&0&0\\0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}&0\\0&0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}\\0&0&0&0&0&-\beta _{2}\\\end{matrix}}\right].$

कॉक्सियन वितरण

कॉक्सियन वितरण एरलांग वितरण का एक सामान्यीकरण है। केवल 'k' अवस्था से अवशोषित अवस्था में प्रवेश करने में सक्षम होने के अतिरिक्त किसी भी चरण से पहुंचा जा सकता है। चरण-प्रकार का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया गया है,

$S=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&p_{1}\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&p_{2}\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&p_{k-2}\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&p_{k-1}\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]$

और

${\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,\dots ,0),$

जहां 0 < p₁,...,p_k-1 ≤ 1 ऐसे स्थितियां में जहां सभी p_i = 1 हमारे पास एरलांग वितरण है। कॉक्सियन वितरण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि किसी भी एसाइक्लिक चरण-प्रकार के वितरण में समकक्ष कॉक्सियन प्रतिनिधित्व होता है।

सामान्यीकृत कॉक्सियन वितरण उस स्थिति को आराम देता है जिसे पहले चरण में प्रारंभ करने की आवश्यकता होती है।

गुण

स्वतंत्र PH यादृच्छिक चर का न्यूनतम

घातीय वर्गीकरण के समान, PH का वर्ग स्वतंत्र यादृच्छिक चर के मिनिमा के अनुसार बंद है। इसका वर्णन यहां है।

चरण-प्रकार वितरित यादृच्छिक चर से नमूने उत्पन्न करना

BuTools में चरण-प्रकार वितरित यादृच्छिक चर से नमूने उत्पन्न करने के विधि सम्मलित है।

अनुमानित अन्य वितरण

किसी भी वितरण को चरण प्रकार के वितरण द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। व्यवहार में, चूंकि, सन्निकटन प्रक्रिया का आकार निश्चित होने पर सन्निकटन खराब हो सकता है। 10 चरणों के साथ समय 1 के नियतात्मक वितरण का अनुमान लगाते हुए, प्रत्येक औसत लंबाई 0.1 में भिन्नता 0.1 होगी (क्योंकि एरलांग वितरण में सबसे छोटा भिन्नता है).

• BuTools एक स्क्रिप्ट जो 3 निर्दिष्ट पलों में चरण-प्रकार के वितरण को फ़िट करने के लिए है।
• Momentmatching एक स्क्रिप्ट जो 3 निर्दिष्ट पलों के लिए न्यूनतम चरण-प्रकार वितरण में फिट होती है।
• KPC-toolbox मार्कोवियन आगमन प्रक्रियाओं और चरण-प्रकार के वितरण के अनुभवजन्य डेटासमुच्चये को फिट करने के लिए स्क्रिप्ट की एक लाइब्रेरी होती है।

डेटा के लिए एक चरण प्रकार के वितरण को फ़िट करना

डेटा के लिए एक चरण प्रकार के वितरण को फिट करने के विधियों को अधिकतम संभावना विधियों या क्षण मिलान विधियों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। भारी चरण वाले वितरणों के लिए चरण प्रकार के वितरण को फ़िट करना कुछ स्थितियों में व्यावहारिक होना दिखाया गया है।

• PhFit डेटा के लिए असतत और निरंतर चरण प्रकार के वितरण को फ़िट करने के लिए एक सी स्क्रिप्ट
• EMpht एक अपेक्षा-अधिकतमीकरण एल्गोरिदम का उपयोग करके डेटा या पैरामीट्रिक वितरण के लिए चरण-प्रकार के वितरण को फ़िट करने के लिए एक C स्क्रिप्ट है।
• HyperStar फेज-प्रकार फिटिंग को सरल और उपयोगकर्ता के अनुकूल बनाने के मूल विचार के आसपास विकसित किया गया था, क्षेत्रों की एक विस्तृत श्रृंखला में चरण-प्रकार के वितरण के उपयोग को आगे बढ़ाने के लिए। यह एक ग्राफिकल यूजर इंटरफेस प्रदान करता है और केवल कम उपयोगकर्ता सहभागिता के साथ अच्छे उपयुक्त परिणाम देता है।
• jPhase एक जावा लाइब्रेरी है जो फिटेड फेज प्रकार वर्गीकरण का उपयोग करके कतारों के लिए आव्यूह की गणना भी कर सकती है

यह भी देखें

• असतत चरण-प्रकार वितरण
• सतत-समय मार्कोव प्रक्रिया
• घातांकी रूप से वितरण
• अति-घातीय वितरण
• कतारबद्ध सिद्धांत

संदर्भ

• M. F. Neuts (1975), Probability distributions of phase type, In Liber Amicorum Prof. Emeritus H. Florin, Pages 173-206, University of Louvain.
• M. F. Neuts. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: an Algorithmic Approach, Chapter 2: Probability Distributions of Phase Type; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1st edition. Chapter 2: PH Distributions; ASA SIAM, 1999.
• C. A. O'Cinneide (1990). Characterization of phase-type distributions. Communications in Statistics: Stochastic Models, 6(1), 1-57.
• C. A. O'Cinneide (1999). Phase-type distribution: open problems and a few properties, Communication in Statistic: Stochastic Models, 15(4), 731-757.