हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण

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Hypoexponential
Parameters rates (real)
Support
PDF Expressed as a phase-type distribution

Has no other simple form; see article for details
CDF Expressed as a phase-type distribution
Mean
Median General closed form does not exist[1]
Mode if , for all k
Variance
Skewness
Ex. kurtosis no simple closed form
MGF
CF

संभाव्यता सिद्धांत में हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण या सामान्यीकृत एरलांग वितरण एक अति-घातीय वितरण है, जिसका उपयोग एरलांग वितरण के समान क्षेत्रों में किया गया है, जैसे कतारबद्ध सिद्धांत, टेलीट्रैफ़िक इंजीनियरिंग और सामान्यतः स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में, इसे हाइपोएक्सपोनेशियल वितरण कहा जाता है, क्योंकि इसमें भिन्नता का गुणांक एक से कम होता है, हाइपर-एक्सपोनेंशियल वितरण की तुलना में जिसमें भिन्नता का गुणांक एक से अधिक होता है, और एक्सपोनेंशियल वितरण जिसमें भिन्नता का गुणांक एक से अधिक होता है।

अवलोकन

एर्लांग वितरण दर के साथ k घातांकीय वितरणों की एक श्रृंखला है, हाइपोएक्सपोनेन्शियल, k घातीय वितरणों की एक श्रृंखला है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी दर होती है, की दर घातीय वितरण, यदि हमारे पास k स्वतंत्र रूप से वितरित घातीय यादृच्छिक चर है, फिर यादृच्छिक चर,

हाइपोएक्सपोनेन्शियल रूप से वितरित किया जाता है। हाइपोएक्सपोनेंशियल में भिन्नता का न्यूनतम गुणांक होता है।

चरण-प्रकार वितरण से संबंध

परिभाषा के परिणामस्वरूप इस वितरण को चरण-प्रकार वितरण के एक विशेष स्थितियाँ के रूप में मानना ​​सरल है। चरण-प्रकार वितरण एक सीमित स्टेट मार्कोव प्रक्रिया के अवशोषण का समय है। यदि हमारे पास k+1 अवस्था प्रक्रिया है, जहां पहली k अवस्थाएं क्षणिक हैं, और अवस्था k+1 एक अवशोषित अवस्था है, तो प्रक्रिया की शुरुआत से लेकर अवशोषण अवस्था तक पहुंचने तक समय का वितरण चरण-प्रकार से वितरित होता है, यदि हम पहले 1 से प्रारंभ करते हैं, और दर के साथ स्किप-फ्री स्थिति i से i+1 तक जाते हैं, तो यह हाइपोएक्सपोनेंशियल बन जाता है, जब तक कि स्थिति k दर के साथ परिवर्तित न हो जाए, को अवशोषित अवस्था k+1 तक, इसे सबजेनरेटर आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है।

सरलता के लिए उपरोक्त आव्यूह को निरूपित करें, यदि प्रत्येक k अवस्था में प्रारंभ होने की प्रायिकता है।

जब

दो पैरामीटर केस

जहां वितरण के दो पैरामीटर हैं, () संभाव्यता कार्यों के स्पष्ट रूप और संबंधित आँकड़े हैं।[2]

सीडीएफ:

पीडीएफ:

अर्थ:

विचरण:

गुणांक का परिवर्तन:

भिन्नता का गुणांक सदैव <1 होता है।

मॉडल माध्य दिया गया () और भिन्नता का मॉडल गुणांक () पैरामीटर और का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है।

इन अनुमानकों को सेटिंग द्वारा क्षणों के विधियों से प्राप्त किया जा सकता है। और .

परिणामी पैरामीटर और वास्तविक मान हैं, यदि

विशेषता

एक यादृच्छिक चर में संचयी वितरण फ़ंक्शन दिया गया है।

और घनत्व फ़ंक्शन,

जहाँ k और बनावट वाले लोगों का एक स्तंभ सदिश है, e^ A का आव्यूह घातांक है। जब सभी के लिए घनत्व फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

जहाँ बिंदुओं से जुड़े लैग्रेंज आधार बहुपद हैं,

वितरण में लाप्लास रूपांतरण है।

जिसका उपयोग क्षणों को खोजने के लिए किया जा सकता है।

सामान्य स्थिति

सामान्य स्थितियाँ में जहां हैं, दरों के साथ घातीय वितरण का एक भिन्न योग और प्रत्येक योग में पदों की संख्या के समतुल्य होती है, क्रमशः के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है।

साथ

अतिरिक्त सम्मलेन के साथ .

उपयोग

इस वितरण का उपयोग जनसंख्या आनुवंशिकी,[3] कोशिका जीव विज्ञान,[4][5] और कतारबद्ध सिद्धांत[6][7] में किया गया है।

यह भी देखें

  • चरण-प्रकार वितरण
  • कॉक्सियन वितरण

संदर्भ

  1. "HypoexponentialDistribution—Wolfram Language Documentation".
  2. Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor Shridharbhai (2006). "Chapter 1. Introduction". Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2nd ed.). Wiley-Blackwell. doi:10.1002/0471200581.ch1. ISBN 978-0-471-56525-3.
  3. Strimmer K, Pybus OG (2001) "Exploring the demographic history of DNA sequences using the generalized skyline plot", Mol Biol Evol 18(12):2298-305
  4. Yates, Christian A. (21 April 2017). "मार्कोव प्रक्रिया के रूप में कोशिका प्रसार का बहु-चरणीय प्रतिनिधित्व". Bulletin of Mathematical Biology. 79 (1): 2905–2928. doi:10.1007/s11538-017-0356-4. PMC 5709504. PMID 29030804.
  5. Gavagnin, Enrico (14 October 2018). "यथार्थवादी सेल चक्र समय वितरण के साथ सेल माइग्रेशन मॉडल की आक्रमण गति". Journal of Theoretical Biology. 79 (1): 91–99. arXiv:1806.03140. doi:10.1016/j.jtbi.2018.09.010. PMID 30219568. S2CID 47015362.
  6. "Faculty of Science" (PDF).
  7. Bekker R, Koeleman PM (2011) "Scheduling admissions and reducing variability in bed demand". Health Care Manag Sci, 14(3):237-249


अग्रिम पठन

  • M. F. Neuts. (1981) Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: an Algorthmic Approach, Chapter 2: Probability Distributions of Phase Type; Dover Publications Inc.
  • G. Latouche, V. Ramaswami. (1999) Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1st edition. Chapter 2: PH Distributions; ASA SIAM,
  • Colm A. O'Cinneide (1999). Phase-type distribution: open problems and a few properties, Communication in Statistic - Stochastic Models, 15(4), 731–757.
  • L. Leemis and J. McQueston (2008). Univariate distribution relationships, The American Statistician, 62(1), 45—53.
  • S. Ross. (2007) Introduction to Probability Models, 9th edition, New York: Academic Press
  • S.V. Amari and R.B. Misra (1997) Closed-form expressions for distribution of sum of exponential random variables,IEEE Trans. Reliab. 46, 519–522
  • B. Legros and O. Jouini (2015) A linear algebraic approach for the computation of sums of Erlang random variables, Applied Mathematical Modelling, 39(16), 4971–4977