संकेत-रव अनुपात

"रव के लिए संकेत" redirects here. For सांख्यिकी, see प्रभावी आकार. For अन्य उपयोग, see रव के लिए संकेत (disambiguation).

Not to be confused with संकेत-से-व्यतिकरण और रव अनुपात.

संकेत-से-रव अनुपात (एसएनआर या एस/एन) विज्ञान और अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाने वाला एक उपाय है जो एक वांछित संकेत के स्तर की पृष्ठभूमि रव के स्तर से तुलना करता है। एसएनआर को संकेत शक्ति और रव शक्ति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे प्रायः डेसीबल में व्यक्त किया जाता है। 1:1 (0 डीबी से अधिक) से अधिक का अनुपात रव की तुलना में अधिक संकेत दर्शाता है।

एसएनआर एक महत्वपूर्ण मापदण्ड है जो संचार प्रणाली, श्रव्य प्रणाली, रडार प्रणाली, प्रतिबिंबन प्रणाली और प्रदत्त अधिग्रहण प्रणाली जैसे संकेतों को संसाधित या प्रसारित करने वाली प्रणालियों के प्रदर्शन और गुणवत्ता को प्रभावित करता है। एक उच्च एसएनआर का अर्थ है कि संकेत स्पष्ट है और इसका पता लगाना या व्याख्या करना सरल है, जबकि एक कम एसएनआर का अर्थ है कि संकेत विकृत हो गया है या रव से अस्पष्ट है और इसमें अंतर करना या पुनर्प्राप्त करना कठिन हो सकता है। एसएनआर को विभिन्न विधियों से सुधारा जा सकता है, जैसे कि संकेत की शक्ति को बढ़ाना, रव के स्तर को कम करना, अवांछित रव का निस्यंदन, या त्रुटि सुधार प्रविधियों का उपयोग करना है।

एसएनआर प्रदत्त की अधिकतम संभावित मात्रा भी निर्धारित करता है जिसे किसी दिए गए माध्यम पर दृढ़ता से प्रसारित किया जा सकता है, जो कि इसके बैंड विस्तार और एसएनआर पर निर्भर करता है। इस संबंध को शैनन-हार्टले प्रमेय द्वारा वर्णित किया गया है, जो सूचना सिद्धांत का एक मौलिक नियम है।

संकेत और रव को मापने और परिभाषित करने के तरीके के आधार पर एसएनआर की गणना विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है। एसएनआर को व्यक्त करने का सबसे सामान्य तरीका डेसीबल में है, जो एक लघुगणकीय पैमाना है जो बड़े या छोटे मानों की तुलना करना सरल बनाता है। एसएनआर की अन्य परिभाषाएँ संदर्भ और अनुप्रयोग के आधार पर लघुगणक के लिए विभिन्न कारकों या आधारों का उपयोग कर सकती हैं।

परिभाषा

संकेत-से- रव अनुपात को पृष्ठभूमि रव (अर्थहीन या अवांछित निवेशी) की शक्ति के लिए संकेत की शक्ति (सार्थक निवेशी) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}$

जहां P औसत शक्ति है। संकेत और रव शक्ति दोनों को प्रणाली में समान या समकक्ष बिंदुओं पर और समान प्रणाली बैंड विस्तार के भीतर मापा जाना चाहिए।

इस बात पर निर्भर करते हुए कि संकेत स्थिर (s) या एक यादृच्छिक चर (S) है, यादृच्छिक रव N के लिए संकेत-से-रव अनुपात बन जाता है:

$\mathrm {SNR} ={\frac {s^{2}}{\mathrm {E} [N^{2}]}}$

जहां E अपेक्षित मान को संदर्भित करता है, अर्थात इस स्थिति में औसत वर्ग N है, या

$\mathrm {SNR} ={\frac {\mathrm {E} [S^{2}]}{\mathrm {E} [N^{2}]}}$

यदि रव का अनुमानित मान शून्य है, जैसा कि सामान्य है, भाजक इसका विचरण है, इसके मानक विचलन σ_N का वर्ग है।

संकेत और रव को उसी तरह मापा जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, समान प्रतिबाधा पर वोल्टता है। मूल माध्य वर्गों का वैकल्पिक रूप से अनुपात में उपयोग किया जा सकता है:

$\mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}=\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)^{2}$

जहां A मूल माध्य वर्ग (RMS) आयाम (उदाहरण के लिए, RMS वोल्टता) है।

डेसीबल

क्योंकि कई संकेतों की एक बहुत व्यापक गतिशील सीमा होती है, संकेतों को प्रायः लघुगणक डेसीबल पैमाने का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। डेसीबल की परिभाषा के आधार पर, संकेत और रव को डेसीबल (डेसीबल) में व्यक्त किया जा सकता है।

$P_{\mathrm {signal,dB} }=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {signal} }\right)$

और

$P_{\mathrm {noise,dB} }=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {noise} }\right)$

इसी तरह, एसएनआर को डेसीबल में व्यक्त किया जा सकता है;

$\mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left(\mathrm {SNR} \right)$

एसएनआर की परिभाषा का उपयोग करना है;

$\mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}\right)$

लघुगणक के लिए भागफल नियम का उपयोग करना है;

$10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}\right)=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {signal} }\right)-10\log _{10}\left(P_{\mathrm {noise} }\right)$

डेसीबल में एसएनआर, संकेत और रव की परिभाषाओं को उपरोक्त समीकरण परिणामों में प्रतिस्थापित करने से डेसीबल में संकेत और रव अनुपात की गणना के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र तैयार होता है, जब संकेत और रव भी डेसीबल में होते हैं:

$\mathrm {SNR_{dB}} ={P_{\mathrm {signal,dB} }-P_{\mathrm {noise,dB} }}$

उपरोक्त सूत्र में, P को शक्ति की इकाइयों में मापा जाता है, जैसे वाट (W) या मिलीवाट (mW), और संकेत-से-रव अनुपात एक शुद्ध संख्या है।

हालाँकि, जब संकेत और रव को वोल्ट (V) या एम्पीयर (A) में मापा जाता है, जो कि आयाम के उपाय हैं, उन्हें पहले शक्ति के समानुपातिक मात्रा प्राप्त करने के लिए वर्ग होना चाहिए, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

$\mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left[\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)^{2}\right]=20\log _{10}\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)=2\left({A_{\mathrm {signal,dB} }-A_{\mathrm {noise,dB} }}\right)$

गतिक परिसर

संकेत-से- रव अनुपात और गतिक परिसर की अवधारणाएं निकट से संबंधित हैं। गतिक परिसर एक संचार माध्यम पर सबसे प्रबल गैर-विकृतसंकेत और न्यूनतम प्रत्यक्ष संकेत के मध्य के अनुपात को मापता है, जो कि अधिकांश उद्देश्यों के लिए रव स्तर है। एसएनआर एक यादृच्छिक संकेत स्तर (आवश्यक नहीं कि सबसे शक्तिशाली संकेत संभव हो) और रव के मध्य के अनुपात को मापता है। संकेत-से- रव अनुपात को मापने के लिए प्रतिनिधि या संदर्भ संकेत के चयन की आवश्यकता होती है। श्रव्य अभियांत्रिकी में, संदर्भ संकेत सामान्यतः एक मानकीकृत नाममात्र स्तर या संरेखण स्तर पर ज्या तरंगें होती है, जैसे कि +4 डीबीयू (1.228 V_RMS) पर 1 किलोहर्ट्‍ज है।

एसएनआर सामान्यतः औसत संकेत-से- रव अनुपात को इंगित करने के लिए लिया जाता है, क्योंकि यह संभव है कि तात्कालिक संकेत-से-रव अनुपात काफी अलग होगा। अवधारणा को रव के स्तर को 1 (0 डेसीबल) तक सामान्य करने और यह मापने के रूप में समझा जा सकता है कि संकेत 'स्पष्ट' है।

पारंपरिक शक्ति से अंतर

भौतिकी में, एसी संकेत की औसत शक्ति को वर्तमान वोल्टता के औसत मान के रूप में परिभाषित किया जाता है; प्रतिरोधी (गैर-प्रतिक्रियाशील) परिपथ के लिए, जहां वोल्टता और धारा अवस्था में हैं, यह मूल औसत वर्ग वोल्टता और धारा के उत्पाद के समान है:

$\mathrm {P} =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }$

$\mathrm {P} ={\frac {V_{\mathrm {rms} }^{2}}{R}}=I_{\mathrm {rms} }^{2}R$

परन्तु संकेत प्रसंस्करण और संचार में, सामान्यतः जिसे $R=1\Omega$ माना जाता है ताकि संकेत की शक्ति या ऊर्जा को मापते समय कारक को सामान्यतः सम्मिलित नहीं किया जाता है। यह पाठकों के मध्य कुछ भ्रम उत्पन्न कर सकता है, परन्तु प्रतिरोध कारक संकेत प्रसंस्करण में किए गए विशिष्ट संचालन या अभिकलन शक्ति अनुपात के लिए महत्वपूर्ण नहीं है। अधिकतर स्थितियों के लिए, संकेत की शक्ति को सरलता से माना जाएगा।

$\mathrm {P} =V_{\mathrm {rms} }^{2}$

वैकल्पिक परिभाषा

एसएनआर की एक वैकल्पिक परिभाषा भिन्नता के गुणांक के व्युत्क्रम के रूप में है, अर्थात, एक संकेत या माप के माध्य से मानक विचलन का अनुपात है:

$\mathrm {SNR} ={\frac {\mu }{\sigma }}$

जहां $\mu$ संकेत माध्य या अपेक्षित मान है और $\sigma$ रव का मानक विचलन है, या उसका अनुमान है। ध्यान दें कि ऐसी वैकल्पिक परिभाषा केवल उन चरों के लिए उपयोगी होती है जो सदैव गैर-ऋणात्मक होते हैं (जैसे फोटॉन की संख्या और दीप्ति) और यह केवल एक सन्निकटन है क्योंकि $\operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\sigma ^{2}+\mu ^{2}$ है। यह सामान्यतः छवि प्रसंस्करण में प्रयोग किया जाता है, जहां एक छवि के एसएनआर की गणना सामान्यतः किसी दिए गए प्रतिवेश में चित्रांश मानों के मानक विचलन के माध्य चित्रांश मान के अनुपात के रूप में की जाती है।

कभी-कभी एसएनआर को उपरोक्त वैकल्पिक परिभाषा के वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, जिस स्थिति में यह अधिक सामान्य परिभाषा के समतुल्य है:

$\mathrm {SNR} ={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}}}$

यह परिभाषा सुग्राह्यता सूचक या d' से निकटता से संबंधित है', जब यह मान लिया जाता है कि संकेत में दो अवस्थाएं हैं जो संकेत आयाम $\mu$ द्वारा अलग की गई हैं और रव मानक विचलन $\sigma$ दोनों अवस्थाओं के मध्य परिवर्तित नहीं होता है।

रोज़ मानदंड (अल्बर्ट रोज़ के नाम पर) में कहा गया है कि कम से कम 5 के एक एसएनआर की आवश्यकता है ताकि निश्चितता के साथ छवि सुविधाओं को अलग किया जा सके। 5 से कम एसएनआर का अर्थ छवि विवरण की पहचान करने में 100% से कम निश्चितता है।

फिर भी एसएनआर की एक और वैकल्पिक, बहुत विशिष्ट और विशिष्ट परिभाषा प्रतिबिंबन प्रणाली की संवेदनशीलता को चिह्नित करने के लिए नियोजित है; संकेत-से-रव अनुपात (प्रतिबिंबन) देखें।

संबंधित उपाय "विपर्यास अनुपात" और "विपर्यास-से-शोर अनुपात" हैं।

प्रतिरुपण प्रणाली माप

आयाम प्रतिरुपण

माध्यम संकेत-से- रव अनुपात के द्वारा दिया जाता है।

$\mathrm {(SNR)_{C,AM}} ={\frac {A_{C}^{2}(1+k_{a}^{2}P)}{2WN_{0}}}$

जहां W बैंड विस्तार और $k_{a}$ प्रतिरुपण सूचकांक है।

बहिर्गत संकेत-से-रव अनुपात (एएम अभिग्राही का) द्वारा दिया जाता है।

$\mathrm {(SNR)_{O,AM}} ={\frac {A_{c}^{2}k_{a}^{2}P}{2WN_{0}}}$

आवृत्ति प्रतिरुपण

माध्यम संकेत-से-रव अनुपात के द्वारा दिया जाता है।

$\mathrm {(SNR)_{C,FM}} ={\frac {A_{c}^{2}}{2WN_{0}}}$

बहिर्गत संकेत-से-रव अनुपात द्वारा दिया जाता है।

$\mathrm {(SNR)_{O,FM}} ={\frac {A_{c}^{2}k_{f}^{2}P}{2N_{0}W^{3}}}$

रव न्यूनीकरण

सभी वास्तविक माप रव से विक्षुब्ध हैं। इसमें इलेक्ट्रॉनिकी रव सम्मिलित है, परन्तु इसमें बाह्य घटनाएं भी सम्मिलित हो सकती हैं जो मापी गई घटना को प्रभावित करती हैं - वायु, कंपन, चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण आकर्षण, तापमान में परिवर्तन, आर्द्रता में परिवर्तन आदि, जो मापा जाता है और उपकरण की संवेदनशीलता पर निर्भर करता है। पर्यावरण को नियंत्रित करके प्रायः रव को कम करना संभव होता है।

कम रव वाले प्रवर्धको के उपयोग के माध्यम से माप प्रणालियों के आंतरिक इलेक्ट्रॉनिकी रव को कम किया जा सकता है।

जब रव की विशेषताएं ज्ञात होती हैं और संकेत से भिन्न होती हैं, तो रव को कम करने के लिए निस्यंदक का उपयोग करना संभव होता है। उदाहरण के लिए, अभिबंधन प्रवर्धक विस्तृत बैंड रव से एक लाख गुना प्रबल संकीर्ण बैंड विस्तार संकेत निकाल सकता है।

जब संकेत स्थिर या आवधिक होता है और रव यादृच्छिक होता है, तो माप के औसत संकेत द्वारा एसएनआर को बढ़ाना संभव है। इस स्थिति में औसत प्रतिरूपों की संख्या के वर्गमूल के रूप में रव कम हो जाता है।

अंकीय संकेत

जब माप को अंकीकृत किया जाता है, तो माप का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली द्वयंको की संख्या अधिकतम संभव संकेत-से-रव अनुपात निर्धारित करती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि न्यूनतम संभव रव स्तर संकेत के परिमाणीकरण के कारण होने वाली त्रुटि है, जिसे कभी-कभी परिमाणीकरण रव कहा जाता है। यह रव स्तर गैर-रैखिक और संकेत-निर्भर है; अलग-अलग संकेत प्रतिरूपों के लिए अलग-अलग गणनाएं उपस्थित हैं। परिमाणीकरण रव को परिमाणीकरण (योगात्मक रव) से पहले संकेत के साथ अभिव्यक्त अनुरूप त्रुटि को संकेत के रूप में तैयार किया गया है।

यह सैद्धांतिक अधिकतम एसएनआर एक पूर्ण निवेशी संकेत मानता है। यदि निवेशी संकेत पहले से ही रव है (जैसा कि सामान्यतः होता है), संकेतों का रव परिमाणीकरण रव से बड़ा हो सकता है। वास्तविक अनुरूप अंकीय परिवर्तक में रव के अन्य स्रोत भी होते हैं जो आदर्श परिमाणीकरण रव से सैद्धांतिक अधिकतम की तुलना में एसएनआर को और कम कर देते हैं, जिसमें साभिप्राय दुविधा भी सम्मिलित है।

हालांकि एक अंकीय प्रणाली में रव के स्तर को एसएनआर का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, यह E_b/N_o, ऊर्जा प्रति बिट प्रति रव शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व का उपयोग करने के लिए अधिक सामान्य है।

प्रतिरुपण त्रुटि अनुपात (MER) अंकीय रूप से मॉडुलित संकेतों में एसएनआर का माप है।

नियत-बिंदु

See also: नियत-बिन्दु परिकलन

परिमाणीकरण स्तरों (समान परिमाणीकरण) के मध्य समान दूरी वाले n-बिट पूर्णांकों के लिए गतिशील परिसर (DR) भी निर्धारित की जाती है।

निवेशी संकेत मानों के एक समान वितरण को मानते हुए, परिमाणीकरण रव एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक संकेत है जिसमें एक परिमाणीकरण स्तर का शिखर आयाम होता है, जो आयाम अनुपात 2ⁿ/1 बनाता है। तब सूत्र है:

$\mathrm {DR_{dB}} =\mathrm {SNR_{dB}} =20\log _{10}(2^{n})\approx 6.02\cdot n$

यह संबंध "16-बिट श्रव्य में 96 डीबी की गतिशील सीमा होती है" जैसे विवरणों का मूल है। प्रत्येक अतिरिक्त परिमाणीकरण बिट गतिशील सीमा को लगभग 6 डीबी बढ़ा देता है।

एक पूर्ण पैमाने पर ज्या तरंगों को संकेत मानते हुए (अर्थात, प्रमात्रक को इस तरह परिकल्पित किया गया है कि इसमें निवेशी संकेत के समान न्यूनतम और अधिकतम मान हैं), परिमाणीकरण रव एक परिमाणीकरण स्तर और समान वितरण के शिखर आयाम के साथ आरादंती तरंग का अनुमान लगाता है। इस स्थिति में, एसएनआर लगभग है

$\mathrm {SNR_{dB}} \approx 20\log _{10}(2^{n}{\textstyle {\sqrt {3/2}}})\approx 6.02\cdot n+1.761$

चल-बिंदु

चल-बिंदु संख्या गतिक परिसर में वृद्धि के लिए संकेत-से-रव अनुपात का व्यापार करने का एक तरीका प्रदान करते हैं। लघुगणक में n-m द्वयंक और घातांक में m द्वयंक के साथ, n बिट चल-बिंदु संख्याओं के लिए है:

$\mathrm {DR_{dB}} =6.02\cdot 2^{m}$

$\mathrm {SNR_{dB}} =6.02\cdot (n-m)$

ध्यान दें कि गतिक परिसर नियत-बिंदु की तुलना में बहुत बड़ी है। यह उन परिस्थितियों में चल-बिंदुओं को उन्नत बनाता है जहां गतिक परिसर बड़ी या अप्रत्याशित होती है। नियत-बिंदु के सरल कार्यान्वयन का उपयोग उन प्रणालियों में बिना संकेत गुणवत्ता हानि के किया जा सकता है जहां गतिक परिसर 6.02m से कम है। चल-बिंदुओं की बहुत बड़ी गतिशील परिसर एक हानि हो सकती है, क्योंकि इसके लिए कलन विधि अभिकल्पन करने में अधिक पूर्वविवेक की आवश्यकता होती है।

प्रकाशीय संकेत

प्रकाशीय संकेतों में एक वाहक आवृत्ति (लगभग 200 टेराहर्ट्ज़ और अधिक) होती है, जो प्रतिरुपण आवृत्ति से बहुत अधिक होती है। इस तरह रव एक बैंड विस्तार को आच्छादित करता है जो कि संकेत की तुलना में बहुत व्यापक है। परिणामी संकेत प्रभाव मुख्य रूप से रव के निस्यंदन पर निर्भर करता है। अभिग्राही को ध्यान में रखे बिना संकेत की गुणवत्ता का वर्णन करने के लिए, प्रकाशीय एसएनआर (OSNR) का उपयोग किया जाता है। ओएसएनआर किसी दिए गए बैंड विस्तार में संकेत शक्ति और रव शक्ति के मध्य का अनुपात है। सामान्यतः 0.1 एनएम के संदर्भ बैंड विस्तार का उपयोग किया जाता है। यह बैंड विस्तार प्रतिरुपण प्रारूप, आवृत्ति और अभिग्राही से स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए 20 डीबी/0.1 एनएम का ओएसएनआर दिया जा सकता है, यहां तक ​​कि 40 जीबीआईटी डीपीएसके का संकेत भी इस बैंड विस्तार में उपयुक्त नहीं होगा। ओएसएनआर को प्रकाशीय वर्णक्रम विश्लेषक से मापा जाता है।

प्रकार और संक्षिप्त रूप

संकेत-से-रव अनुपात को एसएनआर के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है और सामान्यतः एस/एन के रूप में कम किया जा सकता है। पीएसएनआर, शिखर संकेत-से-रव अनुपात के लिए खड़ा है। जीएसएनआर का अर्थ ज्यामितीय संकेत-से-रव अनुपात है। एसएनआर संकेत-से-व्यतिकरण और रव अनुपात है।

अन्य उपयोग

जबकि एसएनआर को सामान्यतः विद्युत संकेतों के लिए उद्धृत किया जाता है, इसे किसी भी प्रकार के संकेतों पर अनुप्रयुक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एक हिम तत्व में समस्थानिक का स्तर, कोशिकाओं के मध्य जैव रासायनिक संकेतन या वित्तीय व्यापार संकेत है। संवाद या आदान-प्रदान में गलत या अप्रासंगिक प्रदत्त के लिए उपयोगी सूचना के अनुपात को संदर्भित करने के लिए शब्द का प्रयोग कभी-कभी लाक्षणिक रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऑनलाइन तर्क वितर्क संगोष्ठी और अन्य ऑनलाइन समुदायों में, विषय से परे डाक और अपसंदेश को रव के रूप में माना जाता है जो उचित चर्चा के संकेत में हस्तक्षेप करता है।।

यह भी देखें

• श्रव्य प्रणाली माप
• पीढ़ी की हानि
• सुमेलित निस्यंदक
• निकट-सुदूर समस्या
• रव उपांत
• ओमेगा अनुपात
• पेरिडोलिया
• शिखर संकेत-से-रव अनुपात
• संकेत-से-रव सांख्यिकीय
• संकेत-से-व्यतिकरण और रव अनुपात
• एसआईएनएडी
• व्यक्तिपरक वीडियो गुणवत्ता
• पूर्ण संनादी विरूपण
• विडियो की गुणवत्ता

बाहरी संबंध

• Walt Kester, Taking the Mystery out of the Infamous Formula,"SNR = 6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care (PDF), Analog Devices, archived (PDF) from the original on 2022-10-09, retrieved 2019-04-10
• ADC and DAC Glossary – Maxim Integrated Products
• Understand SINAD, ENOB, एसएनआर, THD, THD + N, and SFDR so you don't get lost in the noise floor – Analog Devices
• The Relationship of dynamic range to data word size in digital audio processing
• Calculation of signal-to-noise ratio, noise voltage, and noise level
• Learning by simulations – a simulation showing the improvement of the एसएनआर by time averaging
• Dynamic Performance Testing of Digital Audio D/A Converters
• Fundamental theorem of analog circuits: a minimum level of power must be dissipated to maintain a level of एसएनआर
• Interactive webdemo of visualization of एसएनआर in a QAM constellation diagram Institute of Telecommunicatons, University of Stuttgart
• Bernard Widrow,István Kollár (2008-07-03), Quantization Noise: Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2008. 778 p., ISBN 9780521886710
• Quantization Noise Widrow & Kollár Quantization book page with sample chapters and additional material
• Signal-to-noise ratio online audio demonstrator - Virtual Communications Lab