गुणक विभाजन

संख्या सिद्धांत में, गुणक विभाजन या पूर्णांक n का अक्रमित गुणनखंडन n को 1 से अधिक पूर्णांकों के उत्पाद के रूप में लिखने का तरीका है, दो उत्पादों को समतुल्य मानते हुए यदि वे केवल क्रम में भिन्न होते हैं कारक। संख्या 'एन' स्वयं इन उत्पादों में से मानी जाती है। गुणक विभाजन बारीकी से बहुदलीय विभाजन के अध्ययन के समानांतर है, जिसमें चर्चा की गई है Andrews (1976), जो धनात्मक पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का योज्य विभाजन (संख्या सिद्धांत) हैं, इसके अतिरिक्त बिंदुवार बनाया गया है। हालांकि गुणक विभाजन का अध्ययन कम से कम 1923 से चल रहा है, ऐसा प्रतीत होता है कि गुणक विभाजन नाम किसके द्वारा प्रस्तुत किया गया है Hughes & Shallit (1983). लैटिन नाम फ़ैक्टरिज़ैटियो न्यूमेरम पहले इस्तेमाल किया गया था। मैथवर्ल्ड अक्रमित गुणनखंड शब्द का उपयोग करता है।

उदाहरण

• संख्या 20 में चार गुणक विभाजन हैं: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5, और 20।
• 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9, और 81, 81 = 3 के पांच गुणक विभाजन हैं^{4</उप>। क्योंकि यह अभाज्य संख्या की चौथी शक्ति है, 81 में गुणनात्मक विभाजनों की समान संख्या (पाँच) है, जैसा कि विभाजन (संख्या सिद्धांत) के 4 करता है।}
• संख्या 30 में पाँच गुणक विभाजन हैं: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30।
• सामान्य तौर पर, i अभाज्य कारकों के साथ वर्ग-मुक्त पूर्णांक संख्या के गुणक विभाजनों की संख्या ith बेल संख्या, B होती है_i.

आवेदन

Hughes & Shallit (1983) विभाजकों की दी गई संख्या के साथ पूर्णांकों को वर्गीकृत करने में गुणक विभाजनों के अनुप्रयोग का वर्णन करें। उदाहरण के लिए, ठीक 12 भाजक वाले पूर्णांक p का रूप लेते हैं^{11</सुप>, पी×क्यू5</सुप>, पृ2×q3, और p×q×r2, जहां p, q, और r विशिष्ट अभाज्य संख्याएं हैं; ये रूप गुणक विभाजन 12, 2×6, 3×4, और 2×2×3 के अनुरूप हैं। अधिक आम तौर पर, प्रत्येक गुणक विभाजन के लिए}

$k=\prod t_{i}$

पूर्णांक k का, फॉर्म के बिल्कुल k विभाजक वाले पूर्णांकों के वर्ग से मेल खाता है

$\prod p_{i}^{t_{i}-1},$

जहां प्रत्येक पी_i विशिष्ट प्रधान है। यह पत्राचार विभाजक फ़ंक्शन के गुणक फ़ंक्शन गुण से होता है।

विभाजन की संख्या पर सीमा

Oppenheim (1926) क्रेडिट McMahon (1923) n के गुणक विभाजनों की संख्या गिनने की समस्या के साथ; तब से इस समस्या का लैटिन नाम फ़ैक्टरिज़ैटियो न्यूमेरम के तहत अन्य लोगों द्वारा अध्ययन किया गया है। यदि n के गुणक विभाजनों की संख्या a है_n, मैकमोहन और ओपेनहेम ने देखा कि इसकी डिरिचलेट श्रृंखला जनरेटिंग फ़ंक्शन f(s) में उत्पाद प्रतिनिधित्व है

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}.$

संख्याओं का क्रम ए_nशुरू करना

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 1, 4, 1, 4, 2, 2, 1, 7, 2 , 2, 3, 4, 1, 5, 1, 7, 2, 2, 2, 9, 1, 2, 2, ... (sequence A001055 in the OEIS).

ओपेनहाइम ने a पर ऊपरी सीमा का भी दावा किया_n, रूप का

$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-2+o(1)},$

परंतु जैसे Canfield, Erdős & Pomerance (1983) ने दिखाया, यह बाउंड गलत है और सही बाउंड है

$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-1+o(1)}.$

ये दोनों सीमाएँ n में रैखिक से दूर नहीं हैं: ये n रूप की हैं^1−o(1). हालाँकि, a का विशिष्ट मान_nबहुत छोटा है: a का औसत मान_n, अंतराल पर औसत x ≤ n ≤ x+N, है

${\bar {a}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt {\log N}}}{{\sqrt {2e}}\log \log N}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )}\right),$

बाउंड जो फॉर्म n का है^{ओ (1) </ समर्थन> (Luca, Mukhopadhyay & Srinivas 2008).}

अतिरिक्त परिणाम

Canfield, Erdős & Pomerance (1983) निरीक्षण करें, और Luca, Mukhopadhyay & Srinivas (2008) सिद्ध करें, कि अधिकांश संख्याएँ संख्या a के रूप में उत्पन्न नहीं हो सकती हैं_nकुछ n के गुणक विभाजनों की संख्या: N से कम मानों की संख्या जो इस प्रकार उत्पन्न होती है, N है^{ओ (लॉग लॉग लॉग एन / लॉग लॉग एन) </सुप>। इसके अतिरिक्त, Luca, Mukhopadhyay & Srinivas (2008) दिखाएँ कि n के अधिकांश मान a के गुणक नहीं हैं_n: मानों की संख्या n ≤ N जैसे कि a_nn को विभाजित करता है O(N / log1 + ओ(1) एन).}

यह भी देखें

• विभाजन (संख्या सिद्धांत)
• भाजक

संदर्भ

• Andrews, G. (1976), The Theory of Partitions, Addison-Wesley, chapter 12.
• Canfield, E. R.; Erdős, Paul; Pomerance, Carl (1983), "On a problem of Oppenheim concerning "factorisatio numerorum"", Journal of Number Theory, 17 (1): 1–28, doi:10.1016/0022-314X(83)90002-1.
• Hughes, John F.; Shallit, Jeffrey (1983), "On the number of multiplicative partitions", American Mathematical Monthly, 90 (7): 468–471, doi:10.2307/2975729, JSTOR 2975729.
• Knopfmacher, A.; Mays, M. (2006), "Ordered and Unordered Factorizations of Integers", Mathematica Journal, 10: 72–89. As cited by MathWorld.
• Luca, Florian; Mukhopadhyay, Anirban; Srinivas, Kotyada (2008), On the Oppenheim's "factorisatio numerorum" function, arXiv:0807.0986, Bibcode:2008arXiv0807.0986L.
• MacMahon, P. A. (1923), "Dirichlet series and the theory of partitions", Proceedings of the London Mathematical Society, 22: 404–411, doi:10.1112/plms/s2-22.1.404.
• Oppenheim, A. (1926), "On an arithmetic function", Journal of the London Mathematical Society, 1 (4): 205–211, doi:10.1112/jlms/s1-1.4.205, archived from the original on 2013-04-15.

अग्रिम पठन

• Knopfmacher, A.; Mays, M. E. (2005), "A survey of factorization counting functions" (PDF), International Journal of Number Theory, 1 (4): 563–581, doi:10.1142/S1793042105000315

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Unordered Factorization". MathWorld.