अतिरिक्त अवयव प्रमेय

अतिरिक्त तत्व प्रमेय (ईईटी) रेखीय विद्युत सर्किट के लिए ड्राइविंग बिंदु और हस्तांतरण कार्यों को प्राप्त करने की प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए आर.डी. मिडिलब्रुक द्वारा विकसित विश्लेषणात्मक तकनीक है।

सामान्य सूत्रीकरण

(एकल) अतिरिक्त तत्व प्रमेय किसी भी स्थानांतरण फ़ंक्शन को स्थानांतरण फ़ंक्शन के उत्पाद के रूप में उस तत्व को हटाकर और सुधार कारक के रूप में व्यक्त करता है। सुधार कारक शब्द में अतिरिक्त तत्व का विद्युत प्रतिबाधा और अतिरिक्त तत्व द्वारा देखे जाने वाले दो ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा शामिल हैं: डबल नल इंजेक्शन ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा और एकल इंजेक्शन ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा। क्योंकि अतिरिक्त तत्व को तत्व को शॉर्ट-सर्किट या ओपन-सर्किट करके सामान्य रूप से हटाया जा सकता है, EET के दो समान रूप हैं:

$$H(s)=H_{\infty }(s){\frac {1+{\frac {Z_{n}(s)}{Z(s)}}}{1+{\frac {Z_{d}(s)}{Z(s)}}}}$$

या,

$$H(s)=H_{0}(s){\frac {1+{\frac {Z(s)}{Z_{n}(s)}}}{1+{\frac {Z(s)}{Z_{d}(s)}}}}.$$

जहाँ लाप्लास रूपांतरण ट्रांसफर फ़ंक्शंस और उपरोक्त भावों में प्रतिबाधाओं को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: H(s) ट्रांसफर फ़ंक्शन है जिसमें अतिरिक्त तत्व मौजूद है। H_∞(s) ट्रांसफर फ़ंक्शन है जिसमें अतिरिक्त तत्व ओपन-सर्कुलेटेड है। H₀(s) अतिरिक्त तत्व शॉर्ट-सर्किट के साथ ट्रांसफर फ़ंक्शन है। Z(s) अतिरिक्त तत्व का प्रतिबाधा है। Z_d(s) अतिरिक्त तत्व द्वारा देखा जाने वाला एकल-इंजेक्शन ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा है। Z_n(s) डबल-नल-इंजेक्शन ड्राइविंग पॉइंट प्रतिबाधा है जिसे अतिरिक्त तत्व द्वारा देखा जाता है।

अतिरिक्त तत्व प्रमेय आकस्मिक रूप से साबित करता है कि किसी भी विद्युत सर्किट ट्रांसफर फ़ंक्शन को किसी विशेष सर्किट तत्व के बिलिनियर फ़ंक्शन से अधिक नहीं व्यक्त किया जा सकता है।

ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा

एकल इंजेक्शन ड्राइविंग प्वाइंट प्रतिबाधा

Z_d(s) सिस्टम के ट्रांसफर फ़ंक्शन शून्य (शॉर्ट सर्किट वोल्टेज स्रोत या ओपन सर्किट वर्तमान स्रोत) में इनपुट बनाकर पाया जाता है और टर्मिनलों में प्रतिबाधा निर्धारित करता है जिससे अतिरिक्त तत्व अनुपस्थित अतिरिक्त तत्व से जुड़ा होगा। यह प्रतिबाधा थिवेनिन के समकक्ष प्रतिबाधा के समान है।

डबल नल इंजेक्शन ड्राइविंग प्वाइंट प्रतिबाधा

Z_n(s) अतिरिक्त तत्व को दूसरे टेस्ट सिग्नल स्रोत (या तो मौजूदा स्रोत या वोल्टेज स्रोत के रूप में उपयुक्त) के साथ बदलकर पाया जाता है। तब, Z_n(s) को इस दूसरे परीक्षण स्रोत के टर्मिनलों पर वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब सिस्टम के ट्रांसफर फ़ंक्शन के आउटपुट को सिस्टम के ट्रांसफर फ़ंक्शन के प्राथमिक इनपुट के किसी भी मूल्य के लिए शून्य कर दिया जाता है।

व्यवहार में, Z_n(s) इस तथ्य से पीछे की ओर काम करने से पाया जा सकता है कि ट्रांसफर फ़ंक्शन का आउटपुट शून्य बना दिया गया है और ट्रांसफर फ़ंक्शन का प्राथमिक इनपुट अज्ञात है। फिर अतिरिक्त तत्व परीक्षण स्रोत के टर्मिनलों पर दोनों वोल्टेज को व्यक्त करने के लिए पारंपरिक सर्किट विश्लेषण तकनीकों का उपयोग करना, v_n(s), और अतिरिक्त तत्व परीक्षण स्रोत के सकारात्मक टर्मिनलों को छोड़कर वर्तमान, i_n(s), और गणना $Z_{n}(s)=v_{n}(s)/i_{n}(s)$. हालांकि की गणना Z_n(s) कई इंजीनियरों के लिए अपरिचित प्रक्रिया है, इसके भाव अक्सर उन लोगों की तुलना में बहुत सरल होते हैं Z_d(s) क्योंकि ट्रांसफर फ़ंक्शन के आउटपुट के अशक्त होने से अक्सर सर्किट में अन्य वोल्टेज/धाराएं शून्य हो जाती हैं, जो विश्लेषण से कुछ घटकों को बाहर करने की अनुमति दे सकती हैं।

== स्व-प्रतिबाधा == के रूप में स्थानांतरण समारोह के साथ विशेष मामला एक विशेष मामले के रूप में, EET का उपयोग नेटवर्क के इनपुट प्रतिबाधा को खोजने के लिए किया जा सकता है, जिसमें अतिरिक्त के रूप में नामित तत्व शामिल है। इस मामले में, Z_d इनपुट टेस्ट करंट सोर्स सिग्नल की प्रतिबाधा के समान है जो इनपुट ओपन सर्किट के साथ शून्य या समकक्ष बना है। इसी तरह, चूंकि ट्रांसफर फ़ंक्शन आउटपुट सिग्नल को इनपुट टर्मिनलों पर वोल्टेज माना जा सकता है, Z_n तब पाया जाता है जब इनपुट वोल्टेज शून्य होता है यानी इनपुट टर्मिनल शॉर्ट-सर्किट होते हैं। इस प्रकार, इस विशेष आवेदन के लिए, EET को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$Z_{\text{in}}=Z_{\text{in}}^{\infty }\cdot {\frac {1+{\frac {Z_{e}^{0}}{Z}}}{1+{\frac {Z_{e}^{\infty }}{Z}}}}$$

कहाँ

• $Z$ अतिरिक्त तत्व के रूप में चुना गया प्रतिबाधा है
• $Z_{\text{in}}^{\infty }$ Z हटाए जाने के साथ इनपुट प्रतिबाधा है (या अनंत बना दिया गया है)
• $Z_{e}^{0}$ अतिरिक्त तत्व Z द्वारा इनपुट को छोटा (या शून्य बनाया) के साथ देखा जाने वाला प्रतिबाधा है
• $Z_{e}^{\infty }$ अतिरिक्त तत्व Z द्वारा इनपुट खुले (या अनंत बना) के साथ देखा जाने वाला प्रतिबाधा है

इन तीन शब्दों की गणना करना अतिरिक्त प्रयास की तरह लग सकता है, लेकिन समग्र इनपुट प्रतिबाधा की तुलना में उनकी गणना करना अक्सर आसान होता है।

उदाहरण

चित्रा 1: ईईटी प्रदर्शित करने के लिए सरल आरसी सर्किट। कैपेसिटर (ग्रे शेडिंग) को अतिरिक्त तत्व के रूप में दर्शाया गया है

खोजने की समस्या पर विचार करें $Z_{in}$ EET का उपयोग करके चित्र 1 में सर्किट के लिए (ध्यान दें कि सभी घटक मान सरलता के लिए एकता हैं)। यदि संधारित्र (ग्रे छायांकन) को अतिरिक्त तत्व के रूप में दर्शाया गया है

$$Z={\frac {1}{s}}.$$

इस संधारित्र को परिपथ से हटाने पर,

$$Z_{in}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.$$

कैपेसिटर द्वारा इनपुट शॉर्ट के साथ देखे गए प्रतिबाधा की गणना करना,

$$Z_{e}^{0}=1\|(1+1\|1)={\frac {3}{5}}.$$

कैपेसिटर द्वारा इनपुट ओपन के साथ देखे गए प्रतिबाधा की गणना करना,

$$Z_{e}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.$$

इसलिए, EET का उपयोग करते हुए,

$$Z_{in}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {1+{\frac {3}{5}}s}{1+{\frac {5}{3}}s}}={\frac {5+3s}{3+5s}}.$$

निरीक्षण द्वारा सरल ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की गणना करके इस समस्या का समाधान किया गया।

फीडबैक एम्पलीफायर्स

EET सिंगल और मल्टी-लूप फीडबैक एम्पलीफायरों के विश्लेषण के लिए भी उपयोगी है। इस मामले में, ईईटी स्पर्शोन्मुख लाभ मॉडल का रूप ले सकता है।

यह भी देखें

• स्पर्शोन्मुख लाभ मॉडल
• ब्लैकमैन की प्रमेय
• वापसी अनुपात
• सिग्नल-फ्लो ग्राफ

अग्रिम पठन

• Christophe Basso Linear Circuit Transfer Functions: An Introduction to Fast Analytical Techniques first edition, Wiley, IEEE Press, 2016, 978-1119236375

बाहरी संबंध

• Examples of applying the EET
• Derivation and examples
• Fast Analytical Techniques at Work in Small-Signal Modeling