निरंतर स्थिति: Difference between revisions

Revision as of 20:33, 6 July 2023

क्रम सिद्धांत में, सतत पोसेट आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का निर्देशित सेट सर्वोच्च होता है।

परिभाषाएँ

होने देना $a,b\in P$ पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों $(P,\lesssim )$ . तो फिर हम कहते हैं $a$ अनुमानित $b$ , या वो $a$ बहुत नीचे है $b$ , यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।

किसी भी निर्देशित सेट के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\lesssim \sup D$ , वहां है $d\in D$ ऐसा है कि $a\lesssim d$ .
किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) $I\subseteq P$ ऐसा है कि $b\lesssim \sup I$ , $a\in I$ .

अगर $a$ अनुमानित $b$ , हम लिखते हैं $a\ll b$ . सन्निकटन संबंध $\ll$ सकर्मक संबंध है जो मूल क्रम से कमजोर है, एंटीसिमेट्रिक संबंध भी है यदि $P$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह पूर्व आदेश हो। यह प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि $(P,\lesssim )$ आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।^[1]^{: p.52, Examples I-1.3, (4)}

किसी के लिए $a\in P$ , होने देना

\mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\mid a\ll b\}

\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}

तब $\mathop {\Uparrow } a$ ऊपरी सेट है, और $\mathop {\Downarrow } a$ निचला सेट. अगर $P$ ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, $\mathop {\Downarrow } a$ निर्देशित सेट है (अर्थात्, $b,c\ll a$ तात्पर्य $b\vee c\ll a$ ), और इसलिए आदर्श (आदेश सिद्धांत)।

एक पूर्व-आदेशित सेट $(P,\lesssim )$ यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है $a\in P$ , उपसमुच्चय $\mathop {\Downarrow } a$ निर्देशित सेट है और $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$ .

गुण

प्रक्षेप गुण

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ सतत पूर्व-आदेशित सेट का $(P,\lesssim )$ , $a\ll b$ यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\lesssim \sup D$ , वहां है $d\in D$ ऐसा है कि $a\ll d$ . इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है $(P,\lesssim )$ : किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ वहां है $c\in P$ ऐसा है कि $a\ll c\ll b$ .

सतत dcpos

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का $(P,\leq )$ , निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं।^[1]^{: p.61, Proposition I-1.19(i)}

$a\ll b$ और $a\neq b$ .
किसी भी निर्देशित सेट के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\leq \sup D$ , वहां है $d\in D$ ऐसा है कि $a\ll d$ और $a\neq d$ .

इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ और $a\neq b$ , वहां है $c\in P$ ऐसा है कि $a\ll c\ll b$ और $a\neq c$ .^[1]^{: p.61, Proposition I-1.19(ii)}

निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए $(P,\leq )$ , निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।^[1]^{: Theorem I-1.10}

$P$ सतत है.
सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से $P$ को $P$ बायां जोड़ है.

इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है

{\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)

{\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup

सतत पूर्ण जालक

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in L$ पूर्ण जाली का $L$ , $a\ll b$ यदि और केवल यदि किसी उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq L$ ऐसा है कि $b\leq \sup A$ , परिमित उपसमुच्चय है $F\subseteq A$ ऐसा है कि $a\leq \sup F$ .

होने देना $L$ पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं।

$L$ सतत है.
सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से $L$ को $L$ मनमानी सबसे कम को सुरक्षित रखता है।
किसी भी परिवार के लिए ${\mathcal {D}}$ के निर्देशित सेट के $L$ , $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$ .
$L$ स्कॉट-निरंतर निष्क्रिय मानचित्र की छवि (गणित) के लिए समरूपी है $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ मनमाने ढंग से कई दो-बिंदु जाली के प्रत्यक्ष उत्पाद पर $\{0,1\}$ .^[2]^{: p.56, Theorem 44}

एक सतत पूर्ण जालक को अक्सर सतत जालक कहा जाता है।

उदाहरण

खुले सेट की जाली

टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X$ , निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।

संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित $\operatorname {Open} (X)$ के खुले सेट के $X$ सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
का शोक $X$ स्थानीय रूप से सघन स्थान है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का कॉम्पैक्ट सेट स्थानीय आधार है)
$X$ श्रेणी में घातांकीय वस्तु है $\operatorname {Top}$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का.^[1]^{: p.196, Theorem II-4.12} अर्थात फनकार $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$ दायां जोड़ है.

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). सतत जालक और डोमेन. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (in English). Vol. 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.
↑ Grätzer, George (2011). जाली सिद्धांत: आधार (in English). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.

बाहरी संबंध

"Continuous lattice", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Core-compact space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Continuous poset at the nLab
Continuous category at the nLab
Exponential law for spaces at the nLab
Continuous poset at PlanetMath.

[Gierz-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). सतत जालक और डोमेन. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (in English). Vol. 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.

[Grätzer-2] Grätzer, George (2011). जाली सिद्धांत: आधार (in English). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.

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 {{Short description|Partially ordered set}}
-क्रम सिद्धांत में, एक सतत पोसेट एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का [[निर्देशित सेट]] सर्वोच्च होता है।
+क्रम सिद्धांत में, सतत पोसेट आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का [[निर्देशित सेट]] सर्वोच्च होता है।
 == परिभाषाएँ ==
 होने देना <math>a,b\in P</math> पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों <math>(P,\lesssim)</math>. तो फिर हम कहते हैं <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, या वो <math>a</math> बहुत नीचे है <math>b</math>, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।
-* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां एक है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\lesssim d</math>.
+* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\lesssim d</math>.
 * किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) <math>I\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup I</math>, <math>a\in I</math>.
-अगर <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, हम लिखते हैं <math>a\ll b</math>. सन्निकटन संबंध <math>\ll</math> एक [[सकर्मक संबंध]] है जो मूल क्रम से कमजोर है, [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] भी है यदि <math>P</math> आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह [[पूर्व आदेश]] हो। यह एक प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि <math>(P,\lesssim)</math> [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है।<ref name="Gierz">{{cite book|author-link6=Dana Scott|date=2003|doi=10.1017/CBO9780511542725|first1=Gerhard|first2=Karl|first3=Klaus|first4=Jimmie|first5=Michael|first6=Dana S.|isbn=978-0-521-80338-0|language=en|last1=Gierz|last2=Hofmann|last3=Keimel|last4=Lawson|last5=Mislove|last6=Scott|location=Cambridge|mr=1975381|publisher=Cambridge University Press|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|title=सतत जालक और डोमेन|volume=93|zbl=1088.06001}}</ref>{{rp|p.52, Examples I-1.3, (4)}}
+अगर <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, हम लिखते हैं <math>a\ll b</math>. सन्निकटन संबंध <math>\ll</math> [[सकर्मक संबंध]] है जो मूल क्रम से कमजोर है, [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] भी है यदि <math>P</math> आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह [[पूर्व आदेश]] हो। यह प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि <math>(P,\lesssim)</math> [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है।<ref name="Gierz">{{cite book|author-link6=Dana Scott|date=2003|doi=10.1017/CBO9780511542725|first1=Gerhard|first2=Karl|first3=Klaus|first4=Jimmie|first5=Michael|first6=Dana S.|isbn=978-0-521-80338-0|language=en|last1=Gierz|last2=Hofmann|last3=Keimel|last4=Lawson|last5=Mislove|last6=Scott|location=Cambridge|mr=1975381|publisher=Cambridge University Press|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|title=सतत जालक और डोमेन|volume=93|zbl=1088.06001}}</ref>{{rp|p.52, Examples I-1.3, (4)}}
 किसी के लिए <math>a\in P</math>, होने देना
 :<math>\mathop\Uparrow a=\{b\in L\mid a\ll b\}</math>
 :<math>\mathop\Downarrow a=\{b\in L\mid b\ll a\}</math>
-तब <math>\mathop\Uparrow a</math> एक [[ऊपरी सेट]] है, और <math>\mathop\Downarrow a</math> एक [[निचला सेट]]. अगर <math>P</math> एक ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, <math>\mathop\Downarrow a</math> एक निर्देशित सेट है (अर्थात्, <math>b,c\ll a</math> तात्पर्य <math>b\vee c\ll a</math>), और इसलिए एक आदर्श (आदेश सिद्धांत)।
+तब <math>\mathop\Uparrow a</math> [[ऊपरी सेट]] है, और <math>\mathop\Downarrow a</math> [[निचला सेट]]. अगर <math>P</math> ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित सेट है (अर्थात्, <math>b,c\ll a</math> तात्पर्य <math>b\vee c\ll a</math>), और इसलिए आदर्श (आदेश सिद्धांत)।
 एक पूर्व-आदेशित सेट <math>(P,\lesssim)</math> यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है <math>a\in P</math>, उपसमुच्चय <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित सेट है और <math>a=\sup\mathop\Downarrow a</math>.
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 === प्रक्षेप गुण ===
-किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> एक सतत पूर्व-आदेशित सेट का <math>(P,\lesssim)</math>, <math>a\ll b</math> यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां एक है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math>. इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है <math>(P,\lesssim)</math>: किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> वहां एक है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math>.
+किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत पूर्व-आदेशित सेट का <math>(P,\lesssim)</math>, <math>a\ll b</math> यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math>. इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है <math>(P,\lesssim)</math>: किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> वहां है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math>.
 === सतत dcpos ===
-किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> एक सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(i)}}
+किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(i)}}
 * <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>.
-* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup D</math>, वहां एक है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math> और <math>a\ne d</math>.
+* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math> और <math>a\ne d</math>.
-इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>, वहां एक है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math> और <math>a\ne c</math>.<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(ii)}}
+इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>, वहां है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math> और <math>a\ne c</math>.<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(ii)}}
 निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|Theorem I-1.10}}
 * <math>P</math> सतत है.
-* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P</math> आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से <math>P</math> को <math>P</math> एक [[बायां जोड़]] है.
+* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P</math> आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से <math>P</math> को <math>P</math> [[बायां जोड़]] है.
 इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है
 :<math>{\Downarrow} \colon P\to\operatorname{Ideal}(P)</math>
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 === सतत पूर्ण जालक ===
-किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in L</math> एक [[पूर्ण जाली]] का <math>L</math>, <math>a\ll b</math> यदि और केवल यदि किसी उपसमुच्चय के लिए <math>A\subseteq L</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup A</math>, एक [[परिमित उपसमुच्चय]] है <math>F\subseteq A</math> ऐसा है कि <math>a\le\sup F</math>.
+किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in L</math> [[पूर्ण जाली]] का <math>L</math>, <math>a\ll b</math> यदि और केवल यदि किसी उपसमुच्चय के लिए <math>A\subseteq L</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup A</math>, [[परिमित उपसमुच्चय]] है <math>F\subseteq A</math> ऐसा है कि <math>a\le\sup F</math>.
-होने देना <math>L</math> एक पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं।
+होने देना <math>L</math> पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं।
 * <math>L</math> सतत है.
 * सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L</math> के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से <math>L</math> को <math>L</math> मनमानी [[सबसे कम]] को सुरक्षित रखता है।
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 === खुले सेट की जाली ===
 [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के लिए <math>X</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।
-* [[संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित]] <math>\operatorname{Open}(X)</math> के खुले सेट के <math>X</math> एक सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
+* [[संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित]] <math>\operatorname{Open}(X)</math> के खुले सेट के <math>X</math> सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
-* का [[शोक]] <math>X</math> एक [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक [[कॉम्पैक्ट सेट]] [[स्थानीय आधार]] है)
+* का [[शोक]] <math>X</math> [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का [[कॉम्पैक्ट सेट]] [[स्थानीय आधार]] है)
-* <math>X</math> श्रेणी में एक घातांकीय वस्तु है <math>\operatorname{Top}</math> टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का.<ref name="Gierz" />{{rp|p.196, Theorem II-4.12}} अर्थात फनकार <math>(-)\times X\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}</math> एक दायां जोड़ है.
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 == संदर्भ ==
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 == बाहरी संबंध ==
 * {{eom|title=Continuous lattice}}

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