सार्वभौमिक सामान्यीकरण: Difference between revisions

Universal generalization
Type	Rule of inference
Field	Predicate logic
Statement	Suppose is true of any arbitrarily selected , then is true of everything.
Symbolic statement	,

Revision as of 20:56, 5 July 2023

विधेय तर्क में सार्वभौमिक सामान्यीकरण या सार्वभौमिक परिचय भी,^[1]^[2]^[3] अनुमानतः इसकी वैधता (तर्क) नियम को प्रदर्शित करता है। इसमें यह कहा गया है कि यदि $\vdash \!P(x)$ तब व्युत्पन्न किया गया है $\vdash \!\forall x\,P(x)$ प्राप्त किया जा सकता है।

परिकल्पनाओं के साथ सामान्यीकरण

पूर्ण सामान्यीकरण नियम के अनुसार घूमने वाला प्रतीकों के बाईं ओर परिकल्पना की अनुमति देता है, अपितु प्रतिबंधों के साथ इसका निवारण किया जा सकता हैं। इस प्रकार मान लीजिए $\Gamma$ सूत्रों का समुच्चय है, जहाँ $\varphi$ सूत्र, और $\Gamma \vdash \varphi (y)$ निकाला गया है, इसके आधार पर सामान्यीकरण नियम यह बताता है कि $\Gamma \vdash \forall x\,\varphi (x)$ द्वारा इसे प्राप्त किया जा सकता है, यहाँ पर $y$ में $\Gamma$ का मान उल्लेख नहीं है, और $x$ में $\varphi$ का मान नहीं होता है।

सुदृढ़ता के लिए ये प्रतिबंध आवश्यक हैं। पहले प्रतिबंध के बिना, कोई निष्कर्ष निकाल सकता है $\forall xP(x)$ परिकल्पना से $P(y)$ को दूसरे प्रतिबंध के बिना, कोई निम्नलिखित कटौती कर सकता है:

$\exists z\,\exists w\,(z\not =w)$ (परिकल्पना)
$\exists w\,(y\not =w)$ (अस्तित्वगत तात्कालिकता)
$y\not =x$ (अस्तित्वगत तात्कालिकता)
$\forall x\,(x\not =x)$ (दोषपूर्ण सार्वभौमिक सामान्यीकरण)

इसका तात्पर्य यह दर्शाना है लिए आवश्यक हैं कि $\exists z\,\exists w\,(z\not =w)\vdash \forall x\,(x\not =x),$ जो अनुचित कटौती है, इस पर ध्यान दें कि $\Gamma \vdash \forall y\,\varphi (y)$ यदि अनुमति है $y$ में उल्लेख नहीं है, तो इस स्थिति में $\Gamma$ दूसरे प्रतिबंध को शब्दार्थ संरचना के रूप में लागू करने की आवश्यकता नहीं है, इसके आधार पर $\varphi (y)$ किसी भी चर के प्रतिस्थापन द्वारा परिवर्तित नहीं होता हैं।

प्रमाण का उदाहरण

सिद्ध करना: $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$ से $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))$ और $\forall x\,P(x)$ मान व्युत्पन्न होता है।

प्रमाण:

चरण	सूत्र	कारण
1	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))$	परिकल्पना
2	$\forall x\,P(x)$	परिकल्पना
3	$(\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)))\rightarrow (P(y)\rightarrow Q(y))$	सार्वभौमिक तात्कालिकता
4	$P(y)\rightarrow Q(y)$	मोडस पोनेन्स द्वारा (1) और (3) से
5	$(\forall x\,P(x))\rightarrow P(y)$	सार्वभौमिक तात्कालिकता
6	$P(y)\$	मोडस पोनेन्स द्वारा (2) और (5) से
7	$Q(y)\$	मोडस पोनेन्स द्वारा (6) और (4) से
8	$\forall x\,Q(x)$	सामान्यीकरण द्वारा (7) से
9	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)),\forall x\,P(x)\vdash \forall x\,Q(x)$	(1) से (8) तक का सारांश
10	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\vdash \forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x)$	कटौती प्रमेय द्वारा (9) से
11	$\vdash \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$	कटौती प्रमेय द्वारा (10) से

इस प्रमाण में, सार्वभौमिक सामान्यीकरण का उपयोग चरण 8 में किया गया था। इस प्रकार कटौती प्रमेय के लिए प्राप्त होने वाले इन चरणों को 10 और 11 में लागू किया गया था, क्योंकि स्थानांतरित किए जा रहे सूत्रों में कोई मुक्त चर नहीं है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Copi and Cohen
↑ Hurley
↑ Moore and Parker

[1] Copi and Cohen

[2] Hurley

[3] Moore and Parker

[1]

[2]

[3]

@@ Line 8: / Line 8: @@
 {{Transformation rules}}
-[[विधेय तर्क]] में, सामान्यीकरण (सार्वभौमिक सामान्यीकरण या सार्वभौमिक परिचय भी,<ref>Copi and Cohen</ref><ref>Hurley</ref><ref>Moore and Parker</ref> GEN) अनुमान का [[वैधता (तर्क)]] नियम है। इसमें कहा गया है कि यदि <math>\vdash \!P(x)</math> तब व्युत्पन्न किया गया है <math>\vdash \!\forall x \, P(x)</math> प्राप्त किया जा सकता है।
+[[विधेय तर्क]] में '''सार्वभौमिक सामान्यीकरण''' या सार्वभौमिक परिचय भी,<ref>Copi and Cohen</ref><ref>Hurley</ref><ref>Moore and Parker</ref> अनुमानतः इसकी [[वैधता (तर्क)]] नियम को प्रदर्शित करता है। इसमें यह कहा गया है कि यदि <math>\vdash \!P(x)</math> तब व्युत्पन्न किया गया है <math>\vdash \!\forall x \, P(x)</math> प्राप्त किया जा सकता है।
 ==परिकल्पनाओं के साथ सामान्यीकरण==
-पूर्ण सामान्यीकरण नियम [[घूमने वाला दरवाज़ा (प्रतीक)]]प्रतीक) के बाईं ओर परिकल्पना की अनुमति देता है, लेकिन प्रतिबंधों के साथ। मान लीजिए <math>\Gamma</math> सूत्रों का सेट है, <math>\varphi</math> सूत्र, और <math>\Gamma \vdash \varphi(y)</math> निकाला गया है. सामान्यीकरण नियम यह बताता है <math>\Gamma \vdash \forall x \, \varphi(x)</math> यदि प्राप्त किया जा सकता है <math>y</math> में उल्लेख नहीं है <math>\Gamma</math> और <math>x</math> में नहीं होता है <math>\varphi</math>.
+पूर्ण सामान्यीकरण नियम के अनुसार [[घूमने वाला दरवाज़ा (प्रतीक)|घूमने वाला प्रतीकों]] के बाईं ओर परिकल्पना की अनुमति देता है, अपितु प्रतिबंधों के साथ इसका निवारण किया जा सकता हैं। इस प्रकार मान लीजिए <math>\Gamma</math> सूत्रों का समुच्चय है, जहाँ <math>\varphi</math> सूत्र, और <math>\Gamma \vdash \varphi(y)</math> निकाला गया है, इसके आधार पर सामान्यीकरण नियम यह बताता है कि <math>\Gamma \vdash \forall x \, \varphi(x)</math> द्वारा इसे प्राप्त किया जा सकता है, यहाँ पर <math>y</math> में <math>\Gamma</math> का मान उल्लेख नहीं है, और <math>x</math> में <math>\varphi</math> का मान नहीं होता है।
-सुदृढ़ता के लिए ये प्रतिबंध आवश्यक हैं। पहले प्रतिबंध के बिना, कोई निष्कर्ष निकाल सकता है <math>\forall x P(x)</math> परिकल्पना से <math>P(y)</math>. दूसरे प्रतिबंध के बिना, कोई निम्नलिखित कटौती कर सकता है:
+सुदृढ़ता के लिए ये प्रतिबंध आवश्यक हैं। पहले प्रतिबंध के बिना, कोई निष्कर्ष निकाल सकता है <math>\forall x P(x)</math> परिकल्पना से <math>P(y)</math> को दूसरे प्रतिबंध के बिना, कोई निम्नलिखित कटौती कर सकता है:
 #<math>\exists z \, \exists w \, ( z \not = w) </math> (परिकल्पना)
 #<math>\exists w \, (y \not = w) </math> (अस्तित्वगत तात्कालिकता)
@@ Line 19: / Line 19: @@
 #<math>\forall x \, (x \not = x)</math> (दोषपूर्ण सार्वभौमिक सामान्यीकरण)
-इसका तात्पर्य यह दर्शाना है <math>\exists z \, \exists w \, ( z \not = w) \vdash \forall x \, (x \not = x),</math> जो अनुचित कटौती है. ध्यान दें कि <math>\Gamma \vdash \forall y \, \varphi(y)</math> यदि अनुमति है <math>y</math> में उल्लेख नहीं है <math>\Gamma</math> (दूसरे प्रतिबंध को शब्दार्थ संरचना के रूप में लागू करने की आवश्यकता नहीं है <math>\varphi(y)</math> किसी भी चर के प्रतिस्थापन द्वारा नहीं बदला जा रहा है)।
+इसका तात्पर्य यह दर्शाना है लिए आवश्यक हैं कि <math>\exists z \, \exists w \, ( z \not = w) \vdash \forall x \, (x \not = x),</math> जो अनुचित कटौती है, इस पर ध्यान दें कि <math>\Gamma \vdash \forall y \, \varphi(y)</math> यदि अनुमति है <math>y</math> में उल्लेख नहीं है, तो इस स्थिति में <math>\Gamma</math> दूसरे प्रतिबंध को शब्दार्थ संरचना के रूप में लागू करने की आवश्यकता नहीं है, इसके आधार पर <math>\varphi(y)</math> किसी भी चर के प्रतिस्थापन द्वारा परिवर्तित नहीं होता हैं।
 ==प्रमाण का उदाहरण==
-सिद्ध करना: <math> \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x)) </math> से व्युत्पन्न है <math> \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) </math> और <math> \forall x \, P(x) </math>.
+सिद्ध करना: <math> \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x)) </math> से <math> \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) </math> और <math> \forall x \, P(x) </math> मान व्युत्पन्न होता है।
-सबूत:
+प्रमाण:
 {| class="wikitable"
-! Step
+! चरण
-! Formula
+! सूत्र
-! Justification
+! कारण
 |-
 | 1
 | <math> \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) </math>
-| Hypothesis
+| परिकल्पना
 |-
 | 2
 | <math> \forall x \, P(x) </math>
-| Hypothesis
+| परिकल्पना
 |-
 | 3
 | <math> (\forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x))) \rightarrow (P(y) \rightarrow Q(y))  </math>
-| [[Universal instantiation]]
+| [[Universal instantiation|सार्वभौमिक तात्कालिकता]]
 |-
 | 4
 | <math> P(y) \rightarrow Q(y) </math>
-| From (1) and (3) by [[Modus ponens]]
+| मोडस पोनेन्स द्वारा (1) और (3) से
 |-
 | 5
 | <math> (\forall x \, P(x)) \rightarrow P(y) </math>
-| [[Universal instantiation]]
+| [[Universal instantiation|सार्वभौमिक तात्कालिकता]]
 |-
 | 6
 | <math> P(y) \ </math>
-| From (2) and (5) by [[Modus ponens]]
+| मोडस पोनेन्स द्वारा (2) और (5) से
 |-
 | 7
 | <math> Q(y) \ </math>
-| From (6) and (4) by [[Modus ponens]]
+| मोडस पोनेन्स द्वारा (6) और (4) से
 |-
 | 8
 | <math> \forall x \, Q(x) </math>
-| From (7) by Generalization
+| सामान्यीकरण द्वारा (7) से
 |-
 | 9
 | <math> \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)), \forall x \, P(x) \vdash \forall x \, Q(x) </math>
-| Summary of (1) through (8)
+| (1) से (8) तक का सारांश
 |-
 | 10
 | <math> \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \vdash \forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x) </math>
-| From (9) by [[Deduction theorem]]
+| कटौती प्रमेय द्वारा (9) से
 |-
 | 11
 | <math> \vdash \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x)) </math>
-| From (10) by [[Deduction theorem]]
+| कटौती प्रमेय द्वारा (10) से
 |}
-इस प्रमाण में, सार्वभौमिक सामान्यीकरण का उपयोग चरण 8 में किया गया था। [[कटौती प्रमेय]] चरण 10 और 11 में लागू था क्योंकि स्थानांतरित किए जा रहे सूत्रों में कोई मुक्त चर नहीं है।
+इस प्रमाण में, सार्वभौमिक सामान्यीकरण का उपयोग चरण 8 में किया गया था। इस प्रकार [[कटौती प्रमेय]] के लिए प्राप्त होने वाले इन चरणों को 10 और 11 में लागू किया गया था, क्योंकि स्थानांतरित किए जा रहे सूत्रों में कोई मुक्त चर नहीं है।
 ==यह भी देखें==
 *[[प्रथम-क्रम तर्क]]
-*[[जल्दबाजी में सामान्यीकरण]]
+*[[जल्दबाजी में सामान्यीकरण|तात्कालिकता सामान्यीकरण]]
 *[[सार्वभौमिक तात्कालिकता]]

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