प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय

माप सिद्धांत में, हेनरी लेबेस्गुए का वर्चस्व अभिसरण प्रमेय पर्याप्त स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत लगभग हर जगह फ़ंक्शन (गणित) के अनुक्रम का अभिसरण (गणित) एल में अभिसरण का अर्थ देता है।¹मानदंड. इसकी शक्ति और उपयोगिता, रीमैन अभिन्न की तुलना में लेब्सग इंटीग्रल के दो प्राथमिक सैद्धांतिक लाभ हैं।

गणितीय विश्लेषण और आंशिक अंतर समीकरणों में इसकी लगातार उपस्थिति के अलावा, इसका व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों के अभिसरण के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।

कथन

लेबेस्ग्यू का प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय। होने देना $(f_{n})$ माप स्थान पर जटिल संख्या-मूल्य वाले मापनीय कार्यों का क्रम बनें $(S,\Sigma ,\mu )$. मान लीजिए कि अनुक्रम बिंदुवार किसी फ़ंक्शन में अभिसरण करता है $f$ और कुछ अभिन्न कार्य पर हावी है $g$ इस अर्थ में कि

$|f_{n}(x)|\leq g(x)$

अनुक्रम के सूचकांक सेट और सभी बिंदुओं में सभी संख्याओं n के लिए $x\in S$. तब f पूर्णांक है (लेबेस्ग एकीकरण अर्थ में) और

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0$

जिसका तात्पर्य यह भी है

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu$

टिप्पणी 1. कथन जी पूर्णांकीय है अर्थात मापने योग्य कार्य है $g$ क्या लेब्सेग एकीकृत है; अर्थात।

$\int _{S}|g|\,d\mu <\infty .$

टिप्पणी 2. अनुक्रम और वर्चस्व का अभिसरण $g$ केवल पकड़ने के लिए ही आराम किया जा सकता है μ-लगभग हर जगह माप के लिए जगह उपलब्ध कराई गई (S, Σ, μ) माप (गणित)#सम्पूर्णता या है $f$ मापने योग्य फ़ंक्शन के रूप में चुना गया है जो सहमत है μ-almost हर जगह के साथ μ-almost हर जगह मौजूदा बिंदुवार सीमा। (ये सावधानियां आवश्यक हैं, क्योंकि अन्यथा गैर-मापने योग्य सेट मौजूद हो सकता है|एक का गैर-मापनीय उपसमुच्चय μ-null तय करना N ∈ Σ, इस तरह $f$ मापने योग्य नहीं हो सकता है.)

टिप्पणी 3. यदि $\mu (S)<\infty$, शर्त यह है कि प्रमुख पूर्णांक फलन मौजूद है $g$ अनुक्रम को समान रूप से एकीकृत करने के लिए छूट दी जा सकती है (f_n), विटाली अभिसरण प्रमेय देखें।

'टिप्पणी 4.' जबकि $f$ क्या लेबेस्ग इंटीग्रेबल है, यह सामान्य तौर पर रीमैन अभिन्न नहीं है। उदाहरण के लिए, एफ लें_n में परिभाषित किया जाना है $[0,1]$ ताकि परिमेय संख्याओं पर यह हो और अन्य सभी जगह (अपरिमेय संख्याओं पर) शून्य हो। श्रृंखला (एफ_n) बिंदुवार 0 पर अभिसरण करता है, इसलिए f समान रूप से शून्य है, लेकिन $|f_{n}-f|=f_{n}$ रीमैन पूर्णांकीय नहीं है, क्योंकि प्रत्येक परिमित अंतराल में इसकी छवि है $\{0,1\}$ और इस प्रकार ऊपरी और निचले डार्बौक्स इंटीग्रल क्रमशः 1 और 0 हैं।

प्रमाण

व्यापकता खोए बिना, कोई यह मान सकता है कि f वास्तविक है, क्योंकि कोई f को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित कर सकता है (याद रखें कि जटिल संख्याओं का क्रम तभी अभिसरण होता है जब उसके वास्तविक और काल्पनिक दोनों समकक्ष अभिसरण होते हैं) और त्रिकोण असमानता को लागू करते हैं अंत में।

लेबेस्गु का प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय फतौ-लेबेस्गु प्रमेय का विशेष मामला है। हालाँकि, नीचे प्रत्यक्ष प्रमाण है जो फ़तौ के लेम्मा को आवश्यक उपकरण के रूप में उपयोग करता है।

चूँकि f अनुक्रम की बिंदुवार सीमा है (f_n) मापने योग्य कार्यों में से जिन पर जी का प्रभुत्व है, यह भी मापने योग्य है और जी पर हावी है, इसलिए यह पूर्णांक है। इसके अलावा, (बाद में इनकी आवश्यकता होगी),

$|f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g$

सभी n और के लिए

$\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.$

इनमें से दूसरा तुच्छ रूप से सत्य है (एफ की परिभाषा के अनुसार)। लेब्सेग इंटीग्रल का उपयोग करना#लेब्सेग इंटीग्रल के मूल प्रमेय,

$\left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.$

उल्टे फ़तौ लेम्मा द्वारा (यह यहाँ है कि हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि |f−f_n| ऊपर पूर्णांकीय फ़ंक्शन द्वारा घिरा हुआ है)

$\limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,$

जिसका अर्थ है कि सीमा मौजूद है और गायब हो जाती है यानी

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

अंततः, तब से

$\lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

हमारे पास वह है

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .$

प्रमेय अब अनुसरण करता है।

यदि धारणाएँ ही कायम रहती हैं μ-almost हर जगह, तो वहाँ मौजूद है μ-null तय करना N ∈ Σ जैसे कि फ़ंक्शन f_n'1'_S \ N S पर हर जगह मान्यताओं को संतुष्ट करें। फिर फ़ंक्शन f(x) को f की बिंदुवार सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है_n(एक्स) के लिए x ∈ S \ N और तक f(x) = 0 के लिए x ∈ N, मापने योग्य है और इस संशोधित फ़ंक्शन अनुक्रम की बिंदुवार सीमा है। इन इंटीग्रल्स के मान इस μ-null सेट एन पर इंटीग्रैंड्स में इन परिवर्तनों से प्रभावित नहीं होते हैं, इसलिए प्रमेय कायम रहता है।

DCT तब भी कायम रहता है जब f_n माप (परिमित माप) में एफ में परिवर्तित हो जाता है और प्रमुख कार्य लगभग हर जगह गैर-नकारात्मक होता है।

धारणाओं की चर्चा

इस धारणा को नकारा नहीं जा सकता कि अनुक्रम पर कुछ पूर्णांकीय g का प्रभुत्व है। इसे इस प्रकार देखा जा सकता है: परिभाषित करें f_n(x) = n अंतराल में x के लिए (गणित) (0, 1/n] और f_n(x) = 0 अन्यथा। कोई भी g जो अनुक्रम पर हावी है उसे बिंदुवार सर्वोच्च पर भी हावी होना चाहिए h = sup_n f_n. उसका अवलोकन करो

$\int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty$

हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के विचलन से। इसलिए, लेबेस्ग इंटीग्रल की एकरसता हमें बताती है कि कोई इंटीग्रेबल फ़ंक्शन मौजूद नहीं है जो [0,1] पर अनुक्रम पर हावी हो। प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि एकीकरण और बिंदुवार सीमा इस अनुक्रम के लिए परिवर्तित नहीं होती है:

$\int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,$

क्योंकि अनुक्रम की बिन्दुवार सीमा शून्य फलन है। ध्यान दें कि अनुक्रम (f_n) समान रूप से एकीकृत भी नहीं है, इसलिए विटाली अभिसरण प्रमेय भी लागू नहीं है।

परिबद्ध अभिसरण प्रमेय

प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय का परिणाम परिबद्ध अभिसरण प्रमेय है, जो बताता है कि यदि (एफ_n) समान सीमा वाले वास्तविक संख्या-मूल्य वाले मापन योग्य कार्यों का क्रम है जो सीमाबद्ध माप स्थान पर बिंदुवार परिवर्तित होता है (S, Σ, μ) (यानी वह जिसमें μ(S) परिमित है) फ़ंक्शन f के लिए, तो सीमा f पूर्णांक फ़ंक्शन है और

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.$

टिप्पणी: अनुक्रम के बिंदुवार अभिसरण और एकसमान सीमा को धारण करने के लिए ही ढील दी जा सकती है μ-लगभग हर जगह, माप स्थान प्रदान किया गया (S, Σ, μ) माप है (गणित)#पूर्णता या एफ को मापने योग्य फ़ंक्शन के रूप में चुना जाता है जो μ-लगभग हर जगह सहमत होता है μ-almost हर जगह मौजूदा बिंदुवार सीमा।

प्रमाण

चूँकि अनुक्रम समान रूप से परिबद्ध है, इसलिए वास्तविक संख्या M ऐसी है |f_n(x)| ≤ M सभी के लिए x ∈ S और सभी एन के लिए। परिभाषित करना g(x) = M सभी के लिए x ∈ S. फिर अनुक्रम पर g हावी है। इसके अलावा, g पूर्णांक है क्योंकि यह परिमित माप के सेट पर स्थिर कार्य है। इसलिए, परिणाम प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय से होता है।

यदि धारणाएँ ही कायम रहती हैं μ-almost हर जगह, तो वहाँ मौजूद है μ-null तय करना N ∈ Σ जैसे कि फ़ंक्शन f_n1S\N एस पर हर जगह की धारणाओं को संतुष्ट करें।

एल में प्रभुत्व अभिसरण^पी-स्पेस (परिणाम)

होने देना $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ माप स्थान बनें, $1\leq p<\infty$ वास्तविक संख्या और $(f_{n})$ का क्रम ${\mathcal {A}}$-मापने योग्य कार्य $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$.

अनुक्रम मान लें $(f_{n})$ अभिसरण $\mu$-लगभग हर जगह ${\mathcal {A}}$-मापने योग्य कार्य $f$, और a का प्रभुत्व है $g\in L^{p}$ (सीएफ. एलपी स्पेस), यानी, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ अपने पास: $|f_{n}|\leq g$, μ-लगभग हर जगह।

फिर सब $f_{n}$ साथ ही $f$ में हैं $L^{p}$ और क्रम $(f_{n})$ में एकत्रित हो जाता है $f$ एलपी-स्पेस में|का भाव $L^{p}$, अर्थात:

$\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.$

प्रमाण का विचार: मूल प्रमेय को फ़ंक्शन अनुक्रम पर लागू करें $h_{n}=|f_{n}-f|^{p}$ प्रभुत्वशाली कार्य के साथ $(2g)^{p}$.

एक्सटेंशन

प्रभुत्वशाली अभिसरण प्रमेय बानाच स्थान में मूल्यों के साथ मापने योग्य कार्यों पर भी लागू होता है, प्रभुत्वशाली कार्य अभी भी ऊपर के अनुसार गैर-नकारात्मक और पूर्णांक है। लगभग हर जगह अभिसरण की धारणा को केवल माप में अभिसरण की आवश्यकता के लिए कमजोर किया जा सकता है।

प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय सशर्त अपेक्षाओं पर भी लागू होता है।

यह भी देखें

• यादृच्छिक चर का अभिसरण, माध्य में अभिसरण
• मोनोटोन अभिसरण प्रमेय (एक पूर्णांक फ़ंक्शन द्वारा प्रभुत्व की आवश्यकता नहीं है बल्कि अनुक्रम की एकरसता मानता है)
• शेफ़े की लेम्मा
• एकसमान अभिन्नता
• विटाली अभिसरण प्रमेय (लेब्सग्यू के प्रभुत्व वाले अभिसरण प्रमेय का सामान्यीकरण)

संदर्भ

• Bartle, R.G. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
• Royden, H.L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 9780024041517.
• Weir, Alan J. (1973). "The Convergence Theorems". Lebesgue Integration and Measure. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.
• Williams, D. (1991). Probability with martingales. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Zitkovic, Gordan (Fall 2013). "Lecture10: Conditional Expectation" (PDF). Retrieved December 25, 2020.