प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय

माप सिद्धांत में, हेनरी लेबेस्गुए का वर्चस्व अभिसरण प्रमेय पर्याप्त स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके अनुसार लगभग प्रत्येक स्पेस फलन (गणित) के अनुक्रम का अभिसरण (गणित) L¹ में अभिसरण का अर्थ देता है।मानदंड. इसकी शक्ति और उपयोगिता, रीमैन अभिन्न की तुलना में लेब्सग इंटीग्रल के दो प्राथमिक सैद्धांतिक लाभ हैं।

गणितीय विश्लेषण और आंशिक अंतर समीकरणों में इसकी निरंतर उपस्थिति के अतिरिक्त, इसका व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य के अभिसरण के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।

कथन

लेबेस्ग्यू का प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय मान लीजिए $(f_{n})$ एक माप स्पेस पर जटिल संख्या वाले मापनीय कार्यों का $(S,\Sigma ,\mu )$ एक क्रम है। मान लीजिए कि अनुक्रम बिंदुवार फलन $f$ में परिवर्तित हो जाता है और इस अर्थ में कुछ पूर्णांक फलन $g$ का प्रभुत्व होता है

$|f_{n}(x)|\leq g(x)$

अनुक्रम के सूचकांक सेट में सभी संख्याओं n और S में सभी बिंदुओं $x\in S$ के लिए तब f पूर्णांक है (लेब्सग्यू अर्थ में) और

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0$

जिसका तात्पर्य यह भी है

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu$

टिप्पणी 1. कथन "$g$ पूर्णांक है" का अर्थ है कि मापने योग्य फलन $g$ पूर्णांक है अर्थात

$\int _{S}|g|\,d\mu <\infty .$

टिप्पणी 2. अनुक्रम और वर्चस्व का अभिसरण $g$ केवल पकड़ने के लिए ही आराम किया जा सकता है μ-लगभग प्रत्येक स्पेस माप के लिए स्पेस उपलब्ध कराई गई (S, Σ, μ) माप (गणित) सम्पूर्णता या है $f$ मापने योग्य फलन के रूप में चुना गया है जो सहमत है μ-almost प्रत्येक स्पेस के साथ μ-almost प्रत्येक स्पेस वर्तमान बिंदुवार सीमा। (ये सावधानियां आवश्यक हैं, क्योंकि अन्यथा गैर-मापने योग्य सेट उपस्थित हो सकता है | एक का गैर-मापनीय उपसमुच्चय μ-null तय करना N ∈ Σ, इस तरह $f$ मापने योग्य नहीं हो सकता है.)

टिप्पणी 3. यदि $\mu (S)<\infty$, शर्त यह है कि प्रमुख पूर्णांक फलन उपस्थित है $g$ अनुक्रम को समान रूप से एकीकृत करने के लिए छूट दी जा सकती है (f_n), विटाली अभिसरण प्रमेय देखें।

'टिप्पणी 4.' जबकि $f$ क्या लेबेस्ग इंटीग्रेबल है, यह सामान्यतः रीमैन अभिन्न नहीं है। उदाहरण के लिए, f_n में परिभाषित किया जाना है $[0,1]$ जिससे परिमेय संख्याओं पर यह हो और अन्य सभी स्पेस (अपरिमेय संख्याओं पर) शून्य हो। श्रृंखला (f_n) बिंदुवार 0 पर अभिसरण करता है, इसलिए f समान रूप से शून्य है, किन्तु $|f_{n}-f|=f_{n}$ रीमैन पूर्णांकीय नहीं है, क्योंकि प्रत्येक परिमित अंतराल में इसकी छवि है $\{0,1\}$ और इस प्रकार ऊपरी और निचले डार्बौक्स इंटीग्रल क्रमशः 1 और 0 हैं।

प्रमाण

व्यापकता खोए बिना, कोई यह मान सकता है कि f वास्तविक है, क्योंकि कोई f को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित कर सकता है (याद रखें कि जटिल संख्याओं का क्रम तभी अभिसरण होता है जब उसके वास्तविक और काल्पनिक दोनों समकक्ष अभिसरण होते हैं) और त्रिकोण असमानता को प्रयुक्त करते हैं।

लेबेस्गु का प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय फतौ-लेबेस्गु प्रमेय का विशेष स्थिति है। चूँकि, नीचे प्रत्यक्ष प्रमाण है जो फ़तौ के लेम्मा को आवश्यक उपकरण के रूप में उपयोग करता है।

चूँकि f अनुक्रम की बिंदुवार सीमा है (f_n) मापने योग्य कार्यों में से जिन पर g का प्रभुत्व है, यह भी मापने योग्य है और g पर प्रभाव है, इसलिए यह पूर्णांक है। इसके अतिरिक्त, (बाद में इनकी आवश्यकता होगी),

$|f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g$

सभी n और के लिए

$\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.$

इनमें से दूसरा तुच्छ रूप से सत्य है (f की परिभाषा के अनुसार)। लेब्सेग इंटीग्रल का उपयोग करना लेब्सेग इंटीग्रल के मूल प्रमेय,

$\left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.$

उल्टे फ़तौ लेम्मा द्वारा (यह यहाँ है कि हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि |f−f_n| ऊपर पूर्णांकीय फलन द्वारा घिरा हुआ है)

$\limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,$

जिसका अर्थ है कि सीमा उपस्थित है और विलुप्त हो जाती है अर्थात

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

अंततः, तब से

$\lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

हमारे पास वह है

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .$

प्रमेय अब अनुसरण करता है।

यदि धारणाएँ ही कायम रहती हैं μ-almost प्रत्येक स्पेस, तो वहाँ उपस्थित है μ-null तय करना N ∈ Σ जैसे कि फलन f_n'1'_S \ N S पर प्रत्येक स्पेस मान्यताओं को संतुष्ट करें। फिर फलन f(x) को f की बिंदुवार सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है x_n के लिए x ∈ S \ N और तक f(x) = 0 के लिए x ∈ N, मापने योग्य है और इस संशोधित फलन अनुक्रम की बिंदुवार सीमा है। इन इंटीग्रल्स के मान इस μ-शून्य सेट एन पर इंटीग्रैंड्स में इन परिवर्तनों से प्रभावित नहीं होते हैं, इसलिए प्रमेय कायम रहता है।

डीसीटी तब भी कायम रहता है जब f_n माप (परिमित माप) में f में परिवर्तित हो जाता है और प्रमुख कार्य लगभग प्रत्येक स्पेस गैर-नकारात्मक होता है।

धारणाओं की चर्चा

इस धारणा को नकारा नहीं जा सकता कि अनुक्रम पर कुछ पूर्णांकीय g का प्रभुत्व है। इसे इस प्रकार देखा जा सकता है: परिभाषित करें f_n(x) = n अंतराल में x के लिए (गणित) (0, 1/n] और f_n(x) = 0 अन्यथा। कोई भी g जो अनुक्रम पर प्रभाव है उसे बिंदुवार सर्वोच्च पर भी प्रभाव होना चाहिए h = sup_n f_n. उसका अवलोकन करो

$\int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty$

हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के विचलन से। इसलिए, लेबेस्ग इंटीग्रल की एकरसता हमें बताती है कि कोई इंटीग्रेबल फलन उपस्थित नहीं है जो [0,1] पर अनुक्रम पर प्रभाव हो। प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि एकीकरण और बिंदुवार सीमा इस अनुक्रम के लिए परिवर्तित नहीं होती है:

$\int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,$

क्योंकि अनुक्रम की बिन्दुवार सीमा शून्य फलन है। ध्यान दें कि अनुक्रम (f_n) समान रूप से एकीकृत भी नहीं है, इसलिए विटाली अभिसरण प्रमेय भी प्रयुक्त नहीं है।

परिबद्ध अभिसरण प्रमेय

प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय का परिणाम परिबद्ध अभिसरण प्रमेय है, जो बताता है कि यदि (f_n) समान सीमा वाले वास्तविक संख्या-मूल्य वाले मापन योग्य कार्यों का क्रम है जो सीमाबद्ध माप स्पेस पर बिंदुवार परिवर्तित होता है (S, Σ, μ) (अर्थात वह जिसमें μ(S) परिमित है) फलन f के लिए, जिससे सीमा f पूर्णांक फलन है और

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.$

टिप्पणी: अनुक्रम के बिंदुवार अभिसरण और एकसमान सीमा को धारण करने के लिए ही ढील दी जा सकती है μ-लगभग प्रत्येक स्पेस, माप स्पेस प्रदान किया गया (S, Σ, μ) माप है (गणित) पूर्णता या f को मापने योग्य फलन के रूप में चुना जाता है जो μ-लगभग प्रत्येक स्पेस सहमत होता है μ-almost प्रत्येक स्पेस वर्तमान बिंदुवार सीमा है।

प्रमाण

चूँकि अनुक्रम समान रूप से परिबद्ध है, इसलिए वास्तविक संख्या M ऐसी है |f_n(x)| ≤ M सभी के लिए x ∈ S और सभी एन के लिए परिभाषित करना g(x) = M सभी के लिए x ∈ S. फिर अनुक्रम पर g प्रभाव है। इसके अतिरिक्त, g पूर्णांक है क्योंकि यह परिमित माप के सेट पर स्थिर कार्य है। इसलिए, परिणाम प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय से होता है।

यदि धारणाएँ ही कायम रहती हैं μ-almost प्रत्येक स्पेस, तो वहाँ उपस्थित है μ-null तय करना N ∈ Σ जैसे कि फलन f_n1S\N एस पर प्रत्येक स्पेस की धारणाओं को संतुष्ट करें।

L^p-स्पेस में प्रभुत्वपूर्ण अभिसरण (परिणाम)

मान लीजिए $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ एक माप स्थान है, एक वास्तविक संख्या है और $(f_{n})$ एक माप स्थान है। मापने योग्य फलन मान लें कि अनुक्रम $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$-मापने योग्य फलन f में परिवर्तित हो जाता है, और $g\in L^{p}$ में ${\mathcal {A}}$ द्वारा प्रभाव होता है, अर्थात प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के लिए हमारे पास, $\mu$-लगभग प्रत्येक स्पेस है।

तब सभी $f_{n}$ के साथ-साथ $f$ भी $L^{p}$ में हैं और अनुक्रम $(f_{n})$ $L^{p}$ के अर्थ में $f$ में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात:

$\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.$

प्रमाण का विचार: मूल प्रमेय को फलन अनुक्रम $h_{n}=|f_{n}-f|^{p}$ पर प्रभावी फलन $(2g)^{p}$ के साथ प्रयुक्त करें

एक्सटेंशन

प्रभुत्वशाली अभिसरण प्रमेय बानाच स्पेस में मूल्यों के साथ मापने योग्य कार्यों पर भी प्रयुक्त होता है, प्रभुत्वशाली कार्य अभी भी ऊपर के अनुसार गैर-नकारात्मक और पूर्णांक है। लगभग प्रत्येक स्पेस अभिसरण की धारणा को केवल माप में अभिसरण की आवश्यकता के लिए अशक्त किया जा सकता है।

प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय सशर्त अपेक्षाओं पर भी प्रयुक्त होता है।

यह भी देखें

• यादृच्छिक चर का अभिसरण, माध्य में अभिसरण
• मोनोटोन अभिसरण प्रमेय (एक पूर्णांक फलन द्वारा प्रभुत्व की आवश्यकता नहीं है बल्कि अनुक्रम की एकरसता मानता है)
• शेफ़े की लेम्मा
• एकसमान अभिन्नता
• विटाली अभिसरण प्रमेय (लेब्सग्यू के प्रभुत्व वाले अभिसरण प्रमेय का सामान्यीकरण)

संदर्भ

• Bartle, R.G. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
• Royden, H.L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 9780024041517.
• Weir, Alan J. (1973). "The Convergence Theorems". Lebesgue Integration and Measure. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.
• Williams, D. (1991). Probability with martingales. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Zitkovic, Gordan (Fall 2013). "Lecture10: Conditional Expectation" (PDF). Retrieved December 25, 2020.