हाइपरकनेक्टेड समष्टि: Difference between revisions

Revision as of 12:37, 7 July 2023

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, हाइपरकनेक्टेड स्पेस ^[1] या अपरिवर्तनीय स्पेस ^[2] टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स है जिसे दो उचित बंद समुच्चय (या असंयुक्त या गैर-असंयुक्त) के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बीजगणितीय ज्यामिति में इरेड्यूसिबल स्पेस नाम को प्राथमिकता दी जाती है।

टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

कोई भी दो अरिक्त खुले समुच्चय असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं।
X को दो उचित बंद समुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
प्रत्येक गैररिक्त ओपन समुच्चय X में सघन (टोपोलॉजी) है।
प्रत्येक उचित बंद समुच्चय का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) खाली है।
प्रत्येक उपसमुच्चय सघन है या X में कहीं भी सघन समुच्चय नहीं है।
किसी भी दो बिंदुओं को असंयुक्त निकट द्वारा अलग नहीं किया जा सकता है।

एक स्पेस जो इनमें से किसी नियम को पूरा करता है उसे हाइपरकनेक्टेड या इरेड्यूसिबल कहा जाता है। विशिष्ट बिंदुओं के निकट के बारे में स्थिति अर्थ में हॉसडॉर्फ़ स्पेस प्रोपर्टी के विपरीत होने के कारण, कुछ लेखक ऐसे स्पेसों को 'हॉसडॉर्फ़ विरोधी' कहते हैं।^[3]

एक इरेड्यूसिबल समुच्चय टोपोलॉजिकल स्पेस का उपसमुच्चय है जिसके लिए सबस्पेस टोपोलॉजी इरेड्यूसिबल है। कुछ लेखक खाली समुच्चय को अपरिवर्तनीय नहीं मानते हैं (तथापि यह खाली सत्य उपरोक्त नियमों को पूरा करता हो)।

उदाहरण

प्वाइंट समुच्चय टोपोलॉजी से हाइपरकनेक्टेड स्पेस के दो उदाहरण किसी भी अनंत समुच्चय पर सहपरिमित टोपोलॉजी और ऑर्डर टोपोलॉजी लेफ्ट और राइट ऑर्डर टोपोलॉजी $\mathbb {R}$ हैं। .

बीजगणितीय ज्यामिति में, वलय का स्पेक्ट्रम लेना, जिसका घटा हुआ वलय अभिन्न डोमेन है, इरेड्यूसेबल टोपोलॉजिकल स्पेस है भागफल मानचित्र के स्पेक्ट्रम को दिखाने के लिए, वलय के नीलरेडिकल पर जाली प्रमेय को प्रयुक्त करना, जो हर अभाज्य के अन्दर है, होमोमोर्फिज्म, यह अभिन्न डोमेन के स्पेक्ट्रम की अपरिवर्तनीयता को कम करता है। उदाहरण के लिए, योजना (गणित)

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)$ , ${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}\right)$

अपरिवर्तनीय हैं क्योंकि दोनों ही स्थितियों में आदर्श को परिभाषित करने वाले बहुपद अपरिवर्तनीय बहुपद हैं (अर्थात् उनमें कोई गैर-सामान्य गुणनखंड नहीं है)। सामान्य क्रॉसिंग विभाजक द्वारा गैर-उदाहरण दिया जाता है

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)$

चूंकि अंतर्निहित स्पेस एफ़िन विमानों का मिलन है $\mathbb {A} _{x,y}^{2}$ , $\mathbb {A} _{x,z}^{2}$ , और $\mathbb {A} _{y,z}^{2}$ . और गैर-उदाहरण योजना द्वारा दिया गया है

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)$

जहाँ $f_{4}$ अपरिवर्तनीय डिग्री 4 सजातीय बहुपद है। यह दो जीनस 3 वक्रों का मिलन है (जीनस-डिग्री सूत्र द्वारा)

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)$

हाइपरकनेक्टेडनेस बनाम कनेक्टिविटी

प्रत्येक हाइपर कनेक्टेड स्पेस और स्पेसीय रूप से कनेक्टेड दोनों होता है (चूँकि आवश्यक नहीं कि पथ से कनेक्टेड या स्पेसीय रूप से पथ-कनेक्टेड हो)।

ध्यान दें कि हाइपर-कनेक्टेडनेस की परिभाषा में, बंद समुच्चयों का असंयुक्त होना आवश्यक नहीं है। यह जुड़ाव की परिभाषा के विपरीत है, जिसमें खुले समुच्चय असंयुक्त होते हैं।

उदाहरण के लिए, मानक टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का स्पेस कनेक्टेड है किन्तु हाइपरकनेक्टेड नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे दो असंयुक्त खुले समुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, किन्तु इसे दो (गैर-असंगठित) बंद समुच्चयों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है।

गुण

हाइपरकनेक्टेड स्पेस के गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय इस अर्थ में बड़े हैं कि प्रत्येक एक्स में सघन है और उनमें से कोई भी जोड़ा प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, हाइपरकनेक्टेड स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस नहीं हो सकता जब तक कि इसमें केवल बिंदु नही होता है।
प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड स्पेस कनेक्टेड स्पेस और स्पेसीय रूप से कनेक्टेड दोनों होता है (चूँकि आवश्यक नहीं कि पथ-कनेक्टेड या स्पेसीय रूप से पथ-कनेक्टेड हो)।
चूंकि हाइपरकनेक्टेड स्पेस में प्रत्येक गैर-रिक्त खुले समुच्चय का बंद होना संपूर्ण स्पेस है, जो ओपन समुच्चय है, प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड स्पेस अत्यधिक डिस्कनेक्टेड स्पेस है।
हाइपरकनेक्टेड स्पेस की निरंतर फलन (टोपोलॉजी) छवि हाइपरकनेक्टेड है।^[4] विशेष रूप से, हाइपरकनेक्टेड स्पेस से हॉसडॉर्फ स्पेस तक कोई भी निरंतर कार्य स्थिर होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड स्पेस छद्मकॉम्पैक्ट स्पेस है।
हाइपरकनेक्टेड स्पेस का प्रत्येक ओपन उपस्पेस हाइपरकनेक्टेड होता है।^[5]

प्रमाण: माना

U\subset X

ओपन उपसमुच्चय बनें.

U

के कोई भी दो असंयुक्त खुले उपसमुच्चय स्वयं के असंयुक्त खुले उपसमुच्चय

X

होंगे . तो उनमें से कम से कम खाली होना चाहिए।

अधिक सामान्यतः, हाइपरकनेक्टेड स्पेस का प्रत्येक सघन उपसमुच्चय हाइपरकनेक्टेड होता है।

प्रमाण: मान लीजिए $S$ का सघन उपसमुच्चय है $X$ और $S=S_{1}\cup S_{2}$ साथ $S_{1}$ , $S_{2}$ बंदकहना ${\overline {S_{1}}}=X$ . इसका अर्थ यह है कि $S_{1}$ में सघन है , $S$ औ

प्रमाण: मान लीजिए कि

S

,

S=S_{1}\cup S_{2}

। चूँकि

X

हाइपरकनेक्टेड है, दो क्लोजर में से एक संपूर्ण स्थान इसका तात्पर्य यह है कि

X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}

में सघन है, और चूँकि यह

S

में बंद है, इसलिए इसे

S

के बराबर होना चाहिए

हाइपरकनेक्टेड स्पेस के बंद उपस्पेस को हाइपरकनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

प्रतिउदाहरण:

\Bbbk ^{2}

साथ

\Bbbk

बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड (इस प्रकार अनंत) हाइपरकनेक्टेड है ^[6] ज़ारिस्की टोपोलॉजी में, जबकि

V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}

बंद है और हाइपरकनेक्टेड नहीं है.

किसी भी अपरिवर्तनीय समुच्चय का समापन (टोपोलॉजी) अपरिवर्तनीय है।^[7]

प्रमाण: मान लीजिए

S\subseteq X

जहाँ

S

अपरिवर्तनीय है और लिखो

\operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G

दो बंद उपसमुच्चय के लिए

F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)

(और इस प्रकार में

X

).

F':=F\cap S,\,G':=G\cap S

में बंद हैं

S

और

S=F'\cup G'

जो ये दर्शाता है

S\subseteq F

या

S\subseteq G

, परन्तु फिर

\operatorname {Cl} _{X}(S)=F

या

\operatorname {Cl} _{X}(S)=G

क्लोजर (टोपोलॉजी) की परिभाषा के अनुसार सिद्ध किया जाता है।

एक स्पेस $X$ जिसे इस प्रकार $X=U_{1}\cup U_{2}$ साथ $U_{1},U_{2}\subset X$ ओपन लिखा जा सकता है और अपरिवर्तनीय ऐसा कि $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ अपरिवर्तनीय है.^[8]

प्रमाण: सबसे पहले, हम देखते हैं कि यदि

V

,

X

में एक गैर-रिक्त ओपन समुच्चय है तो यह

U_{1}

और

U_{2}

दोनों को प्रतिच्छेद करता है; वास्तव में, मान लीजिए कि

V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset

, तो

V_{1}

U_{1}

में सघन है, इस प्रकार

\exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset

और

x\in U_{2}

के बंद होने का एक बिंदु जिसका अर्थ है

V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset

और एक फोर्टिओरी

V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset

। अब और क्लोजर ले रहा हूं।

V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}

इसलिए

V

,

X

का एक गैर-रिक्त ओपन और सघन उपसमुच्चय है। चूँकि यह प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय के लिए सत्य है,

X

अपरिवर्तनीय है।

अपरिवर्तनीय घटक

एक अपरिवर्तनीय घटक ^[9] टोपोलॉजिकल स्पेस में अधिकतम इरेड्यूसिबल उपसमुच्चय होता है (अर्थात इरेड्यूसेबल समुच्चय जो किसी भी बड़े इरेड्यूसेबल समुच्चय में सम्मिलित नहीं होता है)। इरेड्यूसिबल घटक सदैव बंद रहते हैं।

किसी स्पेस ^[10] विशेषकर, X का प्रत्येक बिंदु सामान्यतः, अपरिवर्तनीय घटक ओवरलैप होंगे।

हॉसडॉर्फ़ स्पेस के अपरिवर्तनीय घटक केवल सिंगलटन समुच्चय हैं।

चूँकि प्रत्येक इरेड्यूसिबल स्पेस कनेक्टेड है, इरेड्यूसेबल घटक सदैव कनेक्टेड घटकों में स्थित रहेंगे।

प्रत्येक नोथेरियन टोपोलॉजिकल स्पेस में सीमित रूप से कई अपरिवर्तनीय घटक होते हैं।^[11]

यह भी देखें

↑ Steen & Seebach, p. 29
↑ "Section 5.8 (004U): Irreducible components—The Stacks project".
↑ Van Douwen, Eric K. (1993). "An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits". Topology and Its Applications. 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6.
↑ Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7. Springer. p. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
↑ Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7. Springer. p. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
↑ Perrin, Daniel (2008). बीजगणितीय ज्यामिति. प्रस्तावना. Springer. p. 14. ISBN 978-1-84800-055-1.
↑ "Lemma 5.8.3 (004W)—The Stacks project".
↑ Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7. Springer. p. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
↑ "Definition 5.8.1 (004V)—The Stacks project".
↑ "Lemma 5.8.3 (004W)—The Stacks project".
↑ "Section 5.9 (0050): Noetherian topological spaces—The Stacks project".

संदर्भ

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
"Hyperconnected space". PlanetMath.

[1] Steen & Seebach, p. 29

[2] "Section 5.8 (004U): Irreducible components—The Stacks project".

[3] Van Douwen, Eric K. (1993). "An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits". Topology and Its Applications. 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6.

[4] Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7. Springer. p. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.

[5] Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7. Springer. p. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.

[6] Perrin, Daniel (2008). बीजगणितीय ज्यामिति. प्रस्तावना. Springer. p. 14. ISBN 978-1-84800-055-1.

[7] "Lemma 5.8.3 (004W)—The Stacks project".

[8] Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7. Springer. p. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.

[9] "Definition 5.8.1 (004V)—The Stacks project".

[10] "Lemma 5.8.3 (004W)—The Stacks project".

[11] "Section 5.9 (0050): Noetherian topological spaces—The Stacks project".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

@@ Line 46: / Line 46: @@
 : प्रमाण: माना <math>U\subset X</math> ओपन उपसमुच्चय बनें. <math>U</math> के कोई भी दो असंयुक्त खुले उपसमुच्चय  स्वयं के असंयुक्त खुले उपसमुच्चय <math>X</math> होंगे . तो उनमें से कम से कम खाली होना चाहिए।
 * अधिक सामान्यतः, हाइपरकनेक्टेड स्पेस का प्रत्येक सघन उपसमुच्चय हाइपरकनेक्टेड होता है।
-: '''प्रमाण: मान लीजिए <math>S</math> का सघन उपसमुच्चय है <math>X</math> और <math>S=S_1\cup S_2</math> साथ <math>S_1</math>, <math>S_2</math> बंद किया <math>S</math>. तब <math>X=\overline S=\overline{S_1}\cup\overline{S_2}</math>. तब से <math>X</math> हाइपरकनेक्टेड है, दो क्लोजर में से संपूर्ण स्पेस है <math>X</math>, कहना <math>\overline{S_1}=X</math>. इसका अर्थ यह है कि <math>S_1</math> में सघन है <math>S</math>, और चूंकि यह अंदर बंद है <math>S</math>, यह बराबर होना चाहिए <math>S</math>.'''
+: '''प्रमाण: मान लीजिए <math>S</math> का सघन उपसमुच्चय है <math>X</math> और <math>S=S_1\cup S_2</math> साथ <math>S_1</math>, <math>S_2</math> बंदकहना <math>\overline{S_1}=X</math>. इसका अर्थ यह है कि <math>S_1</math> में सघन है , <math>S</math>औ'''
 :प्रमाण: मान लीजिए कि <math>S</math>, <math>S=S_1\cup S_2</math>। चूँकि <math>X</math> हाइपरकनेक्टेड है, दो क्लोजर में से एक संपूर्ण स्थान इसका तात्पर्य यह है कि <math>X=\overline S=\overline{S_1}\cup\overline{S_2}</math> में सघन है, और चूँकि यह <math>S</math> में बंद है, इसलिए इसे <math>S</math> के बराबर होना चाहिए
 *हाइपरकनेक्टेड स्पेस के बंद उपस्पेस को हाइपरकनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।
@@ Line 55: / Line 55: @@
 : प्रमाण: सबसे पहले, हम देखते हैं कि यदि <math>V</math>, <math>X</math> में एक गैर-रिक्त ओपन समुच्चय है तो यह  <math>U_1</math> और <math>U_2</math> दोनों को प्रतिच्छेद करता है; वास्तव में, मान लीजिए कि  <math>V_1:=U_1\cap V\ne\emptyset</math> , तो <math>V_1</math> <math>U_1</math> में सघन है, इस प्रकार <math>\exists x\in\operatorname{Cl}_{U_1}(V_1)\cap U_2=U_1\cap U_2\ne\emptyset</math> और <math>x\in U_2</math> के बंद होने का एक बिंदु जिसका अर्थ है <math>V_1\cap U_2\ne\emptyset</math> और एक फोर्टिओरी <math>V_2:=V\cap U_2\ne\emptyset</math>। अब और क्लोजर ले रहा हूं। <math>V=V\cap(U_1\cup U_2)=V_1\cup V_2</math> इसलिए <math>V</math>, <math>X</math> का एक गैर-रिक्त ओपन और सघन उपसमुच्चय है। चूँकि यह प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय के लिए सत्य है, <math>X</math> अपरिवर्तनीय है।
-==[[अघुलनशील घटक|अपरिवर्तनीय घटक]]==
+==[[अघुलनशील घटक|अपरिवर्तनीय घटक]]                                                                                                                                                                                        ==
 एक अपरिवर्तनीय घटक <ref>{{Cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/004V|title = Definition 5.8.1 (004V)—The Stacks project}}</ref> टोपोलॉजिकल स्पेस में अधिकतम इरेड्यूसिबल उपसमुच्चय होता है (अर्थात इरेड्यूसेबल समुच्चय जो किसी भी बड़े इरेड्यूसेबल समुच्चय में सम्मिलित नहीं होता है)। इरेड्यूसिबल घटक सदैव बंद रहते हैं।

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