चेबीशेव फलन

चेबीशेव समारोह ψ (x), साथ x < 50

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कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 10⁴

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कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 10⁷

गणित में, चेबीशेव फलन या तो एक स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) है या दो संबंधित फलनों में से एक है। पहला चेबिशेव समारोह ϑ  (x) या θ (x) द्वारा दिया गया है

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

कहाँ $\log$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी अभाज्य संख्याओं पर विस्तारित होता है p जो इससे कम या इसके बराबर हैं x.

दूसरा चेबीशेव समारोह ψ (x) को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग अधिक नहीं हैx

$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,$

कहाँ Λ मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा है। चेबीशेव कार्य करता है, विशेष रूप से दूसरा ψ (x), अक्सर अभाज्य संख्याओं से संबंधित गणितीय प्रमाण में उपयोग किया जाता है, क्योंकि आम तौर पर अभाज्य-गणना फ़ंक्शन की तुलना में उनके साथ काम करना सरल होता है, π (x) (नीचे #सटीक सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव कार्य स्पर्शोन्मुख हैंx, अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य एक कथन।

Tchebycheff फ़ंक्शन, Chebyshev यूटिलिटी फ़ंक्शन, या भारित Tchebycheff स्केलराइज़िंग फ़ंक्शन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फ़ंक्शन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फ़ंक्शन में स्केलराइज़ करना चाहता है:

$f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).$

के विभिन्न मानों के लिए इस फ़ंक्शन को न्यूनतम करके $w$, गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर हर बिंदु प्राप्त करता है।अक्सर कम किए जाने वाले कार्य नहीं होते हैं $f_{i}$ लेकिन $|f_{i}-z_{i}^{*}|$ कुछ स्केलर्स के लिए $z_{i}^{*}$. तब $f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.$ तीनों कार्यों का नाम पफन्युटी चेबीशेव के सम्मान में रखा गया है।

रिश्ते

दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है

$\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p$

कहाँ k अद्वितीय पूर्णांक है जैसे कि p^k ≤ x और x < p^k + 1. के मान k में दिया गया है OEIS: A206722. द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.$

ध्यान दें कि इस अंतिम राशि में केवल गैर-लुप्त होने वाली शर्तों की एक सीमित संख्या है

$\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.$

दूसरा चेबीशेव फ़ंक्शन 1 से लेकर पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक हैn.

$\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

का मान lcm(1, 2, ..., n) पूर्णांक चर के लिए n पर दिया गया है OEIS: A003418.

के बीच संबंध $\psi (x)/x$ और $\vartheta (x)/x$

निम्नलिखित प्रमेय दो भागफलों से संबंधित है ${\frac {\psi (x)}{x}}$ और ${\frac {\vartheta (x)}{x}}$.

प्रमेय: के लिए $x>0$, अपने पास

$0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.$

नोट: यह असमानता (गणित) का तात्पर्य है

$\lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.$

दूसरे शब्दों में, यदि एक $\psi (x)/x$ या $\vartheta (x)/x$ एक फलन की एक सीमा की ओर प्रवृत्त होता है तो दूसरा भी करता है, और दोनों सीमाएँ बराबर होती हैं।

सबूत: चूंकि $\psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})$, हम पाते हैं

$0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).$

लेकिन की परिभाषा से $\vartheta (x)$ हमारे पास तुच्छ असमानता है

$\vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x$

इसलिए

${\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}$

अंत में, विभाजित करें $x$ प्रमेय में असमानता प्राप्त करने के लिए।

स्पर्शोन्मुखता और सीमा

निम्नलिखित सीमाएं चेबीशेव कार्यों के लिए जानी जाती हैं: (इन सूत्रों में p_k है kवें अभाज्य संख्या; p₁ = 2, p₂ = 3, वगैरह।)

${\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}$

इसके अलावा, रीमैन परिकल्पना के तहत,

${\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}$

किसी के लिए ε > 0.

ऊपरी सीमाएं दोनों के लिए मौजूद हैं ϑ  (x) और ψ (x) ऐसा है कि

${\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}$

किसी के लिए x > 0.

स्थिरांक 1.03883 की व्याख्या यहां दी गई है OEIS: A206431.

सटीक सूत्र

1895 में, हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट ने साबित किया एक Explicit_formulae_(L-function) के लिए ψ (x) Riemann zeta फ़ंक्शन के किसी फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य पर योग के रूप में:

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).$

(संख्यात्मक मान ζ′ (0)/ζ (0) है log(2π)।) यहाँ ρ जीटा फलन के गैर तुच्छ शून्यों पर चलता है, और ψ₀ वैसा ही है जैसा कि ψ, सिवाय इसके कि इसके कूदना बंद करो (प्राइम पॉवर्स) पर यह मान को बाएँ और दाएँ मानों के बीच आधे रास्ते पर ले जाता है:

$\psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

प्राकृतिक लघुगणक के लिए टेलर श्रृंखला से, स्पष्ट सूत्र में अंतिम शब्द को योग के रूप में समझा जा सकता है x^ω/ω जीटा फलन के तुच्छ शून्यों पर, ω = −2, −4, −6, ..., अर्थात।

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).$

इसी प्रकार, पहला पद, x = x¹/1, 1 पर जीटा फ़ंक्शन के सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) से मेल खाता है। यह शब्द के विपरीत चिह्न के लिए शून्य खाते के बजाय एक ध्रुव है।

गुण

एरहार्ड श्मिट के कारण एक प्रमेय कहता है कि, कुछ स्पष्ट सकारात्मक स्थिरांक के लिए K, अपरिमित रूप से अनेक प्राकृत संख्याएँ हैं x ऐसा है कि

$\psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}$

और अपरिमित रूप से अनेक प्राकृतिक संख्याएँ x ऐसा है कि

$\psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.$

बिग-ओ नोटेशन में|छोटा-o अंकन, कोई उपरोक्त के रूप में लिख सकता है

$\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).$

जीएच हार्डी और जेई लिटिलवुड मजबूत परिणाम साबित करें, कि

$\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).$

आदिम से संबंध

पहला चेबिशेव फलन, के आदिकाल का लघुगणक है x, निरूपित x #:

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).$

इससे सिद्ध होता है कि आदिम x # के बराबर है e^{(1  + o(1))x}, कहाँo छोटा है-o अंकन (बिग ओ अंकन देखें | बड़ा O संकेतन) और साथ में अभाज्य संख्या प्रमेय के साथ स्पर्शोन्मुख व्यवहार स्थापित करता है p_n #.

प्राइम-काउंटिंग फंक्शन से संबंध

चेबिशेव फ़ंक्शन को प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन से निम्नानुसार संबंधित किया जा सकता है। परिभाषित करना

$\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.$

तब

$\Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.$

से संक्रमण Π प्राइम-काउंटिंग फंक्शन के लिए, π, समीकरण के माध्यम से बनाया गया है

$\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots$

निश्चित रूप से π (x) ≤ x, इसलिए सन्निकटन के लिए, इस अंतिम संबंध को रूप में फिर से ढाला जा सकता है

$\pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).$

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना कहती है कि ज़ेटा फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक भाग होता है 1/2. इस मामले में, |x^ρ| = √x, और यह दिखाया जा सकता है

$\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).$

उपरोक्त से इसका तात्पर्य है

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).$

अच्छा सबूत है कि परिकल्पना सच हो सकती है एलेन कोन्स और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तावित तथ्य से आता है, कि अगर हम वॉन मैंगोल्ड फॉर्मूला को अलग करते हैं x हम पाते हैं x = e^u. हेरफेर करते हुए, हमारे पास हैमिल्टनियन ऑपरेटर के संतोषजनक के घातांक के लिए ट्रेस सूत्र है

$\left.\zeta {\big (}{\tfrac {1}{2}}+i{\hat {H}}{\big )}\right|n\geq \zeta \!\left({\tfrac {1}{2}}+iE_{n}\right)=0,$

और

$\sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} \!{\big (}e^{iu{\hat {H}}}{\big )},$

जहां त्रिकोणमितीय राशि को ऑपरेटर (सांख्यिकीय यांत्रिकी) का निशान माना जा सकता है e^iuĤ, जो केवल सच है अगर ρ = 1/2 + iE(n).

अर्धशास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करने की क्षमता H = T + V संतुष्ट करता है:

${\frac {Z(u)u^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i\left(uV(x)+{\frac {\pi }{4}}\right)}\,dx$

साथ Z (u) → 0 जैसाu → ∞.

इस गैर-रैखिक अभिन्न समीकरण का समाधान (दूसरों के बीच) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है

$V^{-1}(x)\approx {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}N(x)$

क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए:

$\pi N(E)=\operatorname {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right).$

चौरसाई समारोह

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चिकने चेबीशेव फ़ंक्शन का अंतर और x²/2 के लिए x < 10⁶

चौरसाई समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है

$\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.$

ज़ाहिर तौर से $\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.$

परिवर्तनशील सूत्रीकरण

चेबिशेव फ़ंक्शन का मूल्यांकन किया गया x = e^t कार्यात्मक (गणित) को कम करता है

$J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,$

इसलिए

$f(t)=\psi (e^{t})e^{-ct}\quad {\text{for }}c>0.$

टिप्पणियाँ

• ^ Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.". arXiv:1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, p_k", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(log k + log log k − 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
• ^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
• ^ Davenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

संदर्भ

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Chebyshev functions". MathWorld.
• "Mangoldt summatory function". PlanetMath.
• "Chebyshev functions". PlanetMath.
• Riemann's Explicit Formula, with images and movies