बॉट आवधिकता प्रमेय

गणित में, बॉटल आवधिकता प्रमेय शास्त्रीय समूहों के समरूप समूहों में एक आवधिकता का वर्णन करता है, जिसकी खोज किसके द्वारा की गई थी? Raoul Bott (1957, 1959), जो आगे के शोध के लिए मूलभूत महत्व साबित हुआ, विशेष रूप से स्थिर जटिल वेक्टर बंडलों के के-सिद्धांत के साथ-साथ क्षेत्रों के स्थिर समरूप समूहों में। बॉटल आवधिकता को कई तरीकों से तैयार किया जा सकता है, एकात्मक समूह से जुड़े सिद्धांत के लिए, आयाम के संबंध में, प्रश्न में आवधिकता हमेशा अवधि -2 घटना के रूप में दिखाई देती है। उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल के-सिद्धांत देखें।

मिलान सिद्धांतों, (वास्तविक संख्या) केओ-सिद्धांत और (चतुर्धातुक) केएसपी-सिद्धांत के लिए संबंधित अवधि -8 घटनाएं हैं, जो क्रमशः वास्तविक ऑर्थोगोनल समूह और चतुष्कोणीय सहानुभूति समूह से जुड़ी हैं। जे-समरूपता ऑर्थोगोनल समूहों के होमोटॉपी समूहों से लेकर गोले के स्थिर होमोटॉपी समूहों तक का एक होमोमोर्फिज्म है, जिसके कारण गोले के स्थिर होमोटॉपी समूहों में अवधि 8 बोतल की आवधिकता दिखाई देती है।

परिणाम का विवरण

बॉट ने दिखाया कि यदि $O(\infty )$ ऑर्थोगोनल समूहों के समूहों की प्रत्यक्ष सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है, तो इसके समरूप समूह आवधिक हैं:

$\pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))$ और पहले 8 समरूप समूह इस प्रकार हैं:

${\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}$

संदर्भ और महत्व

बॉट आवधिकता का संदर्भ यह है कि गोले के समरूप समूह, जिनसे समरूपता सिद्धांत के अनुरूप बीजगणितीय टोपोलॉजी में मूल भूमिका निभाने की उम्मीद की जाएगी, मायावी साबित हुए हैं (और सिद्धांत जटिल है)। स्थिर होमोटॉपी सिद्धांत के विषय की कल्पना एक सरलीकरण के रूप में की गई थी, जिसमें निलंबन (गणित) (एक घेरा के साथ उत्पाद को तोड़ना) ऑपरेशन शुरू किया गया था, और यह देखा गया था कि समीकरण के दोनों पक्षों को निलंबित करने की अनुमति देने के बाद होमोटॉपी सिद्धांत का क्या (मोटे तौर पर बोलना) रह गया था। , जितनी बार चाहा। व्यवहार में स्थिर सिद्धांत की गणना करना अभी भी कठिन था।

बॉट आवधिकता ने जो पेशकश की वह कुछ अत्यधिक गैर-तुच्छ स्थानों में एक अंतर्दृष्टि थी, जिसमें टोपोलॉजी में केंद्रीय स्थिति थी क्योंकि उनके सह-समरूपता को विशिष्ट वर्गों के साथ जोड़ा गया था, जिसके लिए सभी (अस्थिर) होमोटोपी समूहों की गणना की जा सकती थी। ये स्थान (अनंत, या स्थिर) एकात्मक, ऑर्थोगोनल और सिंपलेक्टिक समूह यू, ओ और एसपी हैं। इस संदर्भ में, स्थिरीकरण का तात्पर्य समावेशन के अनुक्रम के संघ यू (जिसे प्रत्यक्ष सीमा के रूप में भी जाना जाता है) को लेने से है

$U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)$

और इसी तरह ओ और एसपी के लिए। ध्यान दें कि बॉट द्वारा अपने मौलिक पेपर के शीर्षक में स्थिर शब्द का उपयोग इन स्थिर शास्त्रीय समूहों को संदर्भित करता है, न कि स्थिर समरूपता सिद्धांत समूहों को।

गोले के स्थिर समरूप समूहों के साथ बोतल आवधिकता का महत्वपूर्ण संबंध $\pi _{n}^{S}$ तथाकथित स्थिर जे-होमोमोर्फिज्म के माध्यम से आता है|जे-होमोमोर्फिज्म (स्थिर) शास्त्रीय समूहों के (अस्थिर) समरूप समूहों से इन स्थिर समरूप समूहों तक $\pi _{n}^{S}$. मूल रूप से जॉर्ज डब्ल्यू व्हाइटहेड द्वारा वर्णित, यह प्रसिद्ध एडम्स अनुमान (1963) का विषय बन गया जिसे अंततः डेनियल क्विलेन (1971) द्वारा सकारात्मक रूप से हल किया गया।

बॉट के मूल परिणामों को संक्षेप में संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

परिणाम: (अनंत) शास्त्रीय समूहों के (अस्थिर) समरूप समूह आवधिक हैं:

${\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}$

ध्यान दें: इनमें से दूसरा और तीसरा समरूपता 8-गुना आवधिकता परिणाम देने के लिए आपस में जुड़ते हैं:

${\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}$

लूप रिक्त स्थान और वर्गीकरण स्थान

अनंत एकात्मक समूह, यू से जुड़े सिद्धांत के लिए, अंतरिक्ष बीयू स्थिर जटिल वेक्टर बंडलों (अनंत आयामों में एक ग्रासमैनियन) के लिए वर्गीकृत स्थान है। बॉटल आवधिकता का एक सूत्रीकरण दोहरे लूप स्थान का वर्णन करता है, $\Omega ^{2}BU$ बीयू का. यहाँ, $\Omega$ लूप स्पेस फ़ंक्टर है, निलंबन (टोपोलॉजी) से जुड़ा दायां हिस्सा और वर्गीकृत स्पेस निर्माण से जुड़ा बायां हिस्सा है। बॉट आवधिकता बताती है कि यह डबल लूप स्पेस अनिवार्य रूप से फिर से बीयू है; ज्यादा ठीक,

$$\Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU$$

अनिवार्य रूप से बीयू की प्रतियों की गणनीय संख्या का संघ है (अर्थात, होमोटॉपी तुल्यता)। एक समतुल्य सूत्रीकरण है

$$\Omega ^{2}U\simeq U.$$

इनमें से किसी का भी यह दिखाने का तत्काल प्रभाव है कि क्यों (जटिल) टोपोलॉजिकल के-सिद्धांत एक 2 गुना आवधिक सिद्धांत है।

अनंत ऑर्थोगोनल समूह, ओ के लिए संबंधित सिद्धांत में, अंतरिक्ष बीओ स्थिर वास्तविक वेक्टर बंडलों के लिए वर्गीकृत स्थान है। इस मामले में, बॉट आवधिकता बताती है कि, 8-गुना लूप स्पेस के लिए,

$$\Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO;$$

या समकक्ष,

$$\Omega ^{8}O\simeq O,$$

जिससे यह परिणाम निकलता है कि KO-सिद्धांत एक 8 गुना आवधिक सिद्धांत है। इसके अलावा, अनंत सहानुभूति समूह, एसपी के लिए, अंतरिक्ष बीएसपी स्थिर चतुर्धातुक वेक्टर बंडलों के लिए वर्गीकृत स्थान है, और बोतल आवधिकता बताती है कि

$$\Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} ;$$

या समकक्ष

$$\Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .$$

इस प्रकार टोपोलॉजिकल वास्तविक के-सिद्धांत (केओ-सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है) और टोपोलॉजिकल क्वाटरनियोनिक के-सिद्धांत (केएसपी-सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है) दोनों 8 गुना आवधिक सिद्धांत हैं।

लूप स्पेस का ज्यामितीय मॉडल

बॉट आवधिकता का एक सुंदर सूत्रीकरण इस अवलोकन का उपयोग करता है कि शास्त्रीय समूहों के बीच प्राकृतिक एम्बेडिंग (बंद उपसमूहों के रूप में) हैं। बोतल आवधिकता में लूप रिक्त स्थान Z के अतिरिक्त असतत कारकों के साथ, क्रमिक भागफल के सममित स्थानों के समतुल्य समरूप होते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं पर:

$U\times U\subset U\subset U\times U.$

वास्तविक संख्याओं और चतुर्भुजों पर:

$O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.$

ये अनुक्रम क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के अनुक्रमों से मेल खाते हैं - क्लिफ़ोर्ड बीजगणित का वर्गीकरण देखें; सम्मिश्र संख्याओं पर:

$\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .$

वास्तविक संख्याओं और चतुर्भुजों पर:

$\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,$

जहां विभाजन बीजगणित उस बीजगणित पर आव्यूहों को दर्शाता है।

चूंकि वे 2-आवधिक/8-आवधिक हैं, उन्हें एक सर्कल में व्यवस्थित किया जा सकता है, जहां उन्हें बॉटल आवधिकता घड़ी और क्लिफोर्ड बीजगणित घड़ी कहा जाता है।

बॉट आवधिकता परिणाम तब समरूप समकक्षों के अनुक्रम में परिष्कृत होते हैं:

जटिल K-सिद्धांत के लिए:

${\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (\mathbb {Z} \times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}$

वास्तविक और चतुर्धातुक KO- और KSp-सिद्धांतों के लिए:

${\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}$

परिणामी रिक्त स्थान शास्त्रीय रिडक्टिव सममित रिक्त स्थान के समतुल्य समरूप हैं, और बोतल आवधिकता घड़ी की शर्तों के क्रमिक भागफल हैं। ये तुल्यताएं तुरंत बोतल आवधिकता प्रमेय उत्पन्न करती हैं।

विशिष्ट स्थान हैं, (समूहों के लिए, प्रमुख सजातीय स्थान भी सूचीबद्ध है):

Loop space	Quotient	Cartan's label	Description
$\Omega ^{0}$	$\mathbb {Z} \times O/(O\times O)$	BDI	Real Grassmannian
$\Omega ^{1}$	$O=(O\times O)/O$		Orthogonal group (real Stiefel manifold)
$\Omega ^{2}$	$O/U$	DIII	space of complex structures compatible with a given orthogonal structure
$\Omega ^{3}$	$U/\mathrm {Sp}$	AII	space of quaternionic structures compatible with a given complex structure
$\Omega ^{4}$	$\mathbb {Z} \times \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )$	CII	Quaternionic Grassmannian
$\Omega ^{5}$	$\mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )/\mathrm {Sp}$		Symplectic group (quaternionic Stiefel manifold)
$\Omega ^{6}$	$\mathrm {Sp} /U$	CI	complex Lagrangian Grassmannian
$\Omega ^{7}$	$U/O$	AI	Lagrangian Grassmannian

प्रमाण

बोतल का मूल प्रमाण (Bott 1959) मोर्स सिद्धांत का प्रयोग किया, जो Bott (1956) ने पहले लाई समूहों की समरूपता का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया था। कई अलग-अलग सबूत दिए गए हैं.

संदर्भ

• Bott, Raoul (1956), "An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups", Bulletin de la Société Mathématique de France, 84: 251–281, doi:10.24033/bsmf.1472, ISSN 0037-9484, MR 0087035
• Bott, Raoul (1957), "The stable homotopy of the classical groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 43 (10): 933–5, Bibcode:1957PNAS...43..933B, doi:10.1073/pnas.43.10.933, JSTOR 89403, MR 0102802, PMC 528555, PMID 16590113
• Bott, Raoul (1959), "The stable homotopy of the classical groups", Annals of Mathematics, Second Series, 70 (2): 313–337, doi:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, MR 0110104, PMC 528555, PMID 16590113
• Bott, Raoul (1970), "The periodicity theorem for the classical groups and some of its applications", Advances in Mathematics, 4 (3): 353–411, doi:10.1016/0001-8708(70)90030-7. An expository account of the theorem and the mathematics surrounding it.
• Giffen, C.H. (1996), "Bott periodicity and the Q-construction", in Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (eds.), Algebraic K-Theory, Contemporary Mathematics, vol. 199, American Mathematical Society, pp. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, MR 1409620
• Milnor, J. (1969). Morse Theory. Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
• Baez, John (21 June 1997). "Week 105". This Week's Finds in Mathematical Physics.