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गणित में, लगभग जटिल मैनिफोल्ड प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक चिकनी रैखिक जटिल संरचना से सुसज्जित एक चिकनी मैनिफोल्ड है। प्रत्येक जटिल मैनिफोल्ड एक लगभग जटिल मैनिफोल्ड है, लेकिन लगभग जटिल मैनिफोल्ड भी हैं जो जटिल मैनिफोल्ड नहीं हैं। लगभग जटिल संरचनाओं का सिंपलेक्टिक ज्यामिति में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग होता है।

यह अवधारणा 1940 के दशक में चार्ल्स एह्रेसमैन और हेंज हॉफ की देन है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए M एक सहज मैनिफोल्ड है। एम पर एक 'लगभग जटिल संरचना' जे, मैनिफोल्ड के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक जटिल संरचना (अर्थात, एक रैखिक मानचित्र जिसका वर्ग -1) है, जो मैनिफोल्ड पर आसानी से बदलती रहती है। दूसरे शब्दों में, हमारे पास Tensor#Tensor डिग्री का एक सुचारू फ़ंक्शन टेंसर फ़ील्ड J है (1, 1) ऐसा है कि $J^{2}=-1$ जब इसे वेक्टर बंडल समरूपता के रूप में माना जाता है $J\colon TM\to TM$ स्पर्शरेखा बंडल पर. लगभग जटिल संरचना से सुसज्जित मैनिफोल्ड को लगभग जटिल मैनिफोल्ड कहा जाता है।

यदि एम लगभग जटिल संरचना को स्वीकार करता है, तो इसे सम-आयामी होना चाहिए। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है। मान लीजिए एम एन-आयामी है, और चलो J : TM → TM लगभग एक जटिल संरचना हो। अगर J² = −1 तब (det J)² = (−1)ⁿ. लेकिन यदि एम एक वास्तविक अनेक गुना है, तो det J एक वास्तविक संख्या है - इस प्रकार n तब भी होना चाहिए जब M की संरचना लगभग जटिल हो। कोई यह दिखा सकता है कि यह कुंडा कई गुना भी होना चाहिए।

रैखिक बीजगणित में एक आसान अभ्यास से पता चलता है कि कोई भी आयामी वेक्टर स्थान एक रैखिक जटिल संरचना को स्वीकार करता है। इसलिए, एक सम आयामी मैनिफोल्ड हमेशा एक को स्वीकार करता है (1, 1)-रैंक टेंसर बिंदुवार (जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर केवल एक रैखिक परिवर्तन है) जैसे कि J_p² = −1 प्रत्येक बिंदु पर पी. केवल जब इस स्थानीय टेंसर को विश्व स्तर पर परिभाषित करने के लिए एक साथ पैच किया जा सकता है, तो बिंदुवार रैखिक जटिल संरचना लगभग एक जटिल संरचना उत्पन्न करती है, जिसे तब विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। इस पैचिंग की संभावना, और इसलिए मैनिफोल्ड एम पर लगभग एक जटिल संरचना का अस्तित्व, स्पर्शरेखा बंडल के संरचना समूह की कमी के बराबर है GL(2n, R) को GL(n, C). अस्तित्व का प्रश्न तब पूरी तरह से बीजगणितीय टोपोलॉजी है और काफी अच्छी तरह से समझा जाता है।

उदाहरण

प्रत्येक पूर्णांक n के लिए, समतल स्थान R²ⁿलगभग एक जटिल संरचना को स्वीकार करता है। ऐसी लगभग जटिल संरचना का एक उदाहरण है (1 ≤ i, j ≤ 2n): $J_{ij}=-\delta _{i,j-1}$ मेरे लिए भी, $J_{ij}=\delta _{i,j+1}$ विषम i के लिए

एकमात्र क्षेत्र जो लगभग जटिल संरचनाओं को स्वीकार करते हैं वे 'S' हैं²और एस⁶(Borel & Serre (1953)). विशेष रूप से, एस⁴को लगभग जटिल नहीं दिया जा सकता संरचना (एह्रेसमैन और होपफ)। एस के मामले में², लगभग जटिल संरचना रीमैन क्षेत्र पर एक ईमानदार जटिल संरचना से आती है। 6-गोला, एस⁶, जब इकाई मानक काल्पनिक ऑक्टोनियन के सेट के रूप में माना जाता है, तो ऑक्टोनियन गुणन से लगभग एक जटिल संरचना प्राप्त होती है; यह सवाल कि क्या इसमें #अभिन्न लगभग जटिल संरचनाएं हैं, हेंज हॉपफ के बाद हॉपफ समस्या के रूप में जाना जाता है।

लगभग जटिल मैनिफोल्ड्स की विभेदक टोपोलॉजी

जिस प्रकार सदिश समष्टि V पर एक जटिल संरचना, V के अपघटन की अनुमति देती है^सी वी में⁺और वी⁻ (J के eigenspaces क्रमशः +i और −i के अनुरूप हैं), इसलिए M पर लगभग एक जटिल संरचना जटिल स्पर्शरेखा बंडल TM के अपघटन की अनुमति देती है^C (जो प्रत्येक बिंदु पर जटिल स्पर्शरेखा स्थानों का वेक्टर बंडल है) TM में⁺और टीएम⁻. टीएम का एक भाग⁺ को प्रकार (1, 0) का एक वेक्टर फ़ील्ड कहा जाता है, जबकि TM का एक अनुभाग⁻ (0, 1) प्रकार का एक सदिश क्षेत्र है। इस प्रकार J, जटिल स्पर्शरेखा बंडल के (1, 0)-वेक्टर फ़ील्ड पर काल्पनिक इकाई द्वारा गुणा और (0, 1)-वेक्टर फ़ील्ड पर −i द्वारा गुणा से मेल खाता है।

जैसे हम कोटैंजेंट बंडल की बाहरी शक्तियों से विभेदक रूप बनाते हैं, वैसे ही हम जटिल कोटैंजेंट बंडल की बाहरी शक्तियां बना सकते हैं (जो जटिल स्पर्शरेखा बंडल के दोहरे स्थानों के बंडल के लिए कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है)। लगभग जटिल संरचना आर-रूपों के प्रत्येक स्थान के अपघटन को प्रेरित करती है

$\Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,$

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक Ω^आर(एम)^सी Ω के योग में एक अपघटन स्वीकार करता है^(p, q)(M), r = p + q के साथ।

वेक्टर बंडलों के किसी भी प्रत्यक्ष योग की तरह, एक विहित प्रक्षेपण π है_p,q Ω से^आर(एम)^सीसे Ω^(p,q). हमारे पास बाहरी व्युत्पन्न d भी है जो Ω को मैप करता है^आर(एम)^सीसे Ω^आर+1(एम)^सी. इस प्रकार हम बाहरी व्युत्पन्न की क्रिया को निश्चित प्रकार के रूपों में परिष्कृत करने के लिए लगभग जटिल संरचना का उपयोग कर सकते हैं

$\partial =\pi _{p+1,q}\circ d$

${\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d$

ताकि $\partial$ एक मानचित्र है जो प्रकार के होलोमोर्फिक भाग को एक-एक करके बढ़ाता है (प्रकार (p, q) के रूप को प्रकार (p+1, q) के रूप में लेता है), और ${\overline {\partial }}$ एक मानचित्र है जो प्रकार के एंटीहोलोमोर्फिक भाग को एक से बढ़ाता है। इन ऑपरेटरों को डॉल्बॉल्ट ऑपरेटर कहा जाता है।

चूँकि सभी अनुमानों का योग पहचान फ़ंक्शन होना चाहिए, हम ध्यान दें कि बाहरी व्युत्पन्न लिखा जा सकता है

$d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .$

अभिन्न लगभग जटिल संरचनाएँ

प्रत्येक जटिल मैनिफोल्ड अपने आप में लगभग एक जटिल मैनिफोल्ड है। स्थानीय होलोमोर्फिक निर्देशांक में $z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }$ कोई मानचित्रों को परिभाषित कर सकता है

$J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$

(बिल्कुल π/2 के वामावर्त घुमाव की तरह) या

$J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.$

कोई भी आसानी से जाँच सकता है कि यह मानचित्र लगभग एक जटिल संरचना को परिभाषित करता है। इस प्रकार मैनिफोल्ड पर कोई भी जटिल संरचना लगभग एक जटिल संरचना उत्पन्न करती है, जिसे जटिल संरचना से 'प्रेरित' कहा जाता है, और जटिल संरचना को लगभग जटिल संरचना के साथ 'संगत' कहा जाता है।

विपरीत प्रश्न, कि क्या लगभग जटिल संरचना का तात्पर्य एक जटिल संरचना के अस्तित्व से है, बहुत कम तुच्छ है, और सामान्य रूप से सत्य नहीं है। एक मनमाने ढंग से लगभग जटिल मैनिफोल्ड पर कोई भी हमेशा निर्देशांक पा सकता है जिसके लिए लगभग जटिल संरचना किसी भी बिंदु पी पर उपरोक्त विहित रूप लेती है। सामान्य तौर पर, हालांकि, निर्देशांक ढूंढना संभव नहीं है ताकि जे पी के पूरे पड़ोस (टोपोलॉजी) पर विहित रूप ले सके। ऐसे निर्देशांक, यदि वे मौजूद हैं, तो 'जे के लिए स्थानीय होलोमोर्फिक निर्देशांक' कहलाते हैं। यदि एम हर बिंदु के आसपास जे के लिए स्थानीय होलोमोर्फिक निर्देशांक स्वीकार करता है तो ये एक साथ मिलकर एम के लिए एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन एटलस (टोपोलॉजी) बनाते हैं, जो इसे एक जटिल संरचना देता है, जो जे को प्रेरित करता है। जे को तब 'फ्रोबेनियस प्रमेय (डिफरेंशियल टोपोलॉजी)' कहा जाता है। '. यदि J एक जटिल संरचना से प्रेरित है, तो यह एक अद्वितीय जटिल संरचना से प्रेरित है।

एम के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर किसी भी रैखिक मानचित्र ए को देखते हुए; यानी, ए रैंक (1,1) का एक टेंसर फ़ील्ड है, तो 'निजेनहुइस टेंसर' रैंक (1,2) का एक टेंसर फ़ील्ड है जो द्वारा दिया गया है

$N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,$

या, लगभग जटिल संरचना A=J के सामान्य मामले के लिए $J^{2}=-Id$,

$N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,$

दाईं ओर की व्यक्तिगत अभिव्यक्तियाँ सुचारु वेक्टर फ़ील्ड X और Y की पसंद पर निर्भर करती हैं, लेकिन बाईं ओर वास्तव में केवल X और Y के बिंदुवार मानों पर निर्भर करती है, यही कारण है कि N_A एक टेंसर है. यह घटक सूत्र से भी स्पष्ट है

$-(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).$

फ्रोलिचर-निजेनहुइस ब्रैकेट के संदर्भ में, जो वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट को सामान्यीकृत करता है, निजेनहुइस टेंसर एन_A[ए, एएन] का केवल आधा हिस्सा है। 'न्यूलैंडर-निरेनबर्ग प्रमेय' बताता है कि लगभग जटिल संरचना J पूर्णांक है यदि और केवल यदि N_J= 0. संगत जटिल संरचना अद्वितीय है, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है। चूँकि एक अभिन्न लगभग जटिल संरचना का अस्तित्व एक जटिल संरचना के अस्तित्व के बराबर है, इसलिए इसे कभी-कभी एक जटिल संरचना की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।

कई अन्य मानदंड हैं जो निजेनहुइस टेंसर के लुप्त होने के समतुल्य हैं, और इसलिए लगभग जटिल संरचना की अभिन्नता की जांच करने के तरीके प्रस्तुत करते हैं (और वास्तव में इनमें से प्रत्येक साहित्य में पाया जा सकता है):

• किसी भी दो (1,0)-वेक्टर फ़ील्ड का झूठ ब्रैकेट फिर से प्रकार का होता है (1,0)
• $d=\partial +{\bar {\partial }}$
• ${\bar {\partial }}^{2}=0.$

इनमें से कोई भी स्थिति एक अद्वितीय संगत जटिल संरचना के अस्तित्व को दर्शाती है।

लगभग जटिल संरचना का अस्तित्व एक टोपोलॉजिकल प्रश्न है और इसका उत्तर देना अपेक्षाकृत आसान है, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है। दूसरी ओर, एक अभिन्न लगभग जटिल संरचना का अस्तित्व, एक अधिक कठिन विश्लेषणात्मक प्रश्न है। उदाहरण के लिए, यह अभी भी ज्ञात नहीं है कि एस^{अंततः असत्यापित दावों के लंबे इतिहास के बावजूद, 6} एक अभिन्न लगभग जटिल संरचना को स्वीकार करता है। चिकनाई के मुद्दे महत्वपूर्ण हैं. वास्तविक-विश्लेषणात्मक जे के लिए, न्यूलैंडर-निरेनबर्ग प्रमेय फ्रोबेनियस प्रमेय (डिफरेंशियल टोपोलॉजी) से अनुसरण करता है; सी के लिए^∞ (और कम सहज) जे, विश्लेषण की आवश्यकता है (अधिक कठिन तकनीकों के साथ क्योंकि नियमितता परिकल्पना कमजोर हो जाती है)।

संगत त्रिगुण

मान लीजिए कि एम एक सहानुभूतिपूर्ण रूप ω, एक रीमैनियन मीट्रिक जी और लगभग एक जटिल संरचना जे से सुसज्जित है। चूंकि ω और जी अपक्षयी रूप हैं, प्रत्येक एक बंडल आइसोमोर्फिज्म टीएम → टी * एम प्रेरित करता है, जहां पहला नक्शा, φ दर्शाया गया है_ω, आंतरिक उत्पाद φ द्वारा दिया गया है_ω(यू) = मैं_uω = ω(u, •) और दूसरा, निरूपित φ_g, जी के लिए अनुरूप ऑपरेशन द्वारा दिया गया है। इस समझ के साथ, तीन संरचनाएं (जी, ω, जे) एक 'संगत ट्रिपल' बनाती हैं जब प्रत्येक संरचना को दो अन्य द्वारा निम्नानुसार निर्दिष्ट किया जा सकता है:

• जी(यू, वी) = ω(यू, जेवी)
• ω(यू, वी) = जी(जू, वी)
• जे(यू) = (φ_g)⁻¹(f_ω(यू)).

इनमें से प्रत्येक समीकरण में, दाहिनी ओर की दो संरचनाओं को संगत कहा जाता है जब संबंधित निर्माण निर्दिष्ट प्रकार की संरचना उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, ω और J संगत हैं यदि और केवल यदि ω(•, J•) एक रीमैनियन मीट्रिक है। एम पर बंडल जिसके खंड ω के अनुकूल लगभग जटिल संरचनाएं हैं, में 'संकुचित फाइबर' हैं: स्पर्शरेखा फाइबर पर जटिल संरचनाएं सिम्प्लेक्टिक रूपों के प्रतिबंध के साथ संगत हैं।

सिम्प्लेक्टिक फॉर्म ω के प्राथमिक गुणों का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि एक संगत लगभग जटिल संरचना J एक लगभग काहलर मैनिफोल्ड है | रीमैनियन मीट्रिक ω (यू, जेवी) के लिए लगभग काहलर संरचना है। इसके अलावा, यदि J पूर्णांक है, तो (M, ω, J) एक काहलर मैनिफोल्ड है।

ये त्रिगुण एकात्मक समूह#2-आउट-ऑफ़-3 संपत्ति से संबंधित हैं।

सामान्यीकृत लगभग जटिल संरचना

निगेल हिचिन ने मैनिफोल्ड एम पर एक सामान्यीकृत लगभग जटिल संरचना की धारणा पेश की, जिसे उनके छात्रों मार्को गुआल्टिएरी और गिल कैवलन्ती के डॉक्टरेट शोध प्रबंधों में विस्तृत किया गया था। एक सामान्य लगभग जटिल संरचना जटिल स्पर्शरेखा बंडल टीएम के प्रत्येक फाइबर के आधे-आयामी रैखिक उप-स्थान का विकल्प है। एक सामान्यीकृत लगभग जटिल संरचना, जटिल स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट बंडलों के वेक्टर बंडलों के प्रत्यक्ष योग के प्रत्येक फाइबर के आधे-आयामी आइसोट्रोपिक मैनिफोल्ड उप-स्थान का विकल्प है। दोनों ही मामलों में कोई मांग करता है कि सबबंडल और उसके जटिल संयुग्म का सीधा योग मूल बंडल उत्पन्न करता है।

यदि अर्ध-आयामी उपस्थान लाई व्युत्पन्न के तहत बंद है तो लगभग एक जटिल संरचना एक जटिल संरचना में एकीकृत हो जाती है। एक सामान्यीकृत लगभग जटिल संरचना एक सामान्यीकृत जटिल संरचना में एकीकृत हो जाती है यदि उपस्थान कूरेंट ब्रैकेट के तहत बंद हो जाता है। यदि इसके अलावा यह अर्ध-आयामी स्थान कहीं लुप्त न होने वाले शुद्ध स्पिनर का विनाशक है तो एम एक सामान्यीकृत कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड है।

यह भी देखें

• Almost quaternionic manifold
• Chern class
• Frölicher–Nijenhuis bracket
• Kähler manifold
• Poisson manifold
• Rizza manifold
• Symplectic manifold

संदर्भ

• Newlander, August; Nirenberg, Louis (1957). "Complex analytic coordinates in almost complex manifolds". Annals of Mathematics. Second Series. 65 (3): 391–404. doi:10.2307/1970051. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970051. MR 0088770.
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• Wells, Raymond O. (1980). Differential Analysis on Complex Manifolds. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0. Short section which introduces standard basic material.
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