वलय समरूपता

वलय समरूपता में, अमूर्त बीजगणित की शाखा, वलय होमोमोर्फिज्म दो वलय (बीजगणित) के मध्य संरचना-संरक्षण फलन (गणित) है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि R और S वलय हैं, तो वलय समरूपता फलन f : R → S है जैसे कि f है:

अतिरिक्त संरक्षण:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$ R में सभी a और b के लिए,

गुणन संरक्षण:

R में सभी a और b के लिए, $f(ab)=f(a)f(b)$

और इकाई (गुणक पहचान) को संरक्षित करना:

$f(1_{R})=1_{S}$.

योगात्मक व्युत्क्रम और योगात्मक पहचान भी संरचना का भाग हैं, किंतु यह स्पष्ट रूप से आवश्यक नहीं है कि उनका भी सम्मान किया जाए, क्योंकि ये स्थितियाँ उपरोक्त तीन स्थितियों के परिणाम हैं।

यदि इसके अतिरिक्त f आक्षेप है, तो इसका व्युत्क्रम फलन f⁻¹ भी वलय समरूपता है। इस स्तिथि में, f को वलय समरूपता कहा जाता है, वलय R और S को समरूपी कहा जाता है। वलय सिद्धांत के दृष्टिकोण से, समरूपी वलय को भिन्न नहीं किया जा सकता है।

यदि R और S rng (बीजगणित) हैं तो संबंधित धारणा rng समरूपता है, तीसरा नियम f(1_R) = 1_S को छोड़कर ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। (इकाई) वलयों के मध्य rng समरूपता को वलय समरूपता होने की आवश्यकता नहीं है।

दो वलय समरूपता की संरचना फलन वलय समरूपता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी वलयों का वर्ग वलय समरूपताओं के साथ आकारिकी के रूप में श्रेणी बनाता है (cf. वलयों की श्रेणी)। विशेष रूप से, कोई वलय एंडोमोर्फिज्म, वलय आइसोमोर्फिज्म और वलय आकारिता की धारणा प्राप्त करता है।

गुण

मान लीजिये $f\colon R\rightarrow S$ वलय समरूपता है। फिर, इन परिभाषाओं से, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:

f(0_R) = 0_S

• R में सभी a के लिए f(−a) = −f(a) है।
• R में किसी भी इकाई तत्व a के लिए, f(a) है जैसे कि f(a⁻¹) = f(a)⁻¹है। विशेष रूप से, f, R की इकाइयों के (गुणक) समूह से S (या im(f)) की इकाइयों के (गुणक) समूह में समूह समरूपता को प्रेरित करता है।
• f की छवि (गणित), जिसे im(f) दर्शाया गया है, S का उप-वलय है।
• f का कर्नेल (बीजगणित), जिसे ker(f) = {a in R : f(a) = 0_S}, के रूप में परिभाषित किया गया है, R में वलय आदर्श है। वलय R में प्रत्येक आदर्श इस प्रकार से कुछ वलय समरूपता से उत्पन्न होता है।
• समरूपता f इंजेक्टिव है यदि केवल ker(f) = {0_R} है।
• यदि कोई वलय समरूपता f : R → S उपस्थित है तो S की विशेषता (बीजगणित) R की विशेषता को विभाजित करती है। इसका उपयोग कभी-कभी यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ वलय R और S के मध्य, वलय समरूपता R → S उपस्थित नहीं है।
• यदि R_p,R में निहित सबसे छोटा उपवलय है और S_p , S में निहित सबसे छोटा उप-वलय है, तो प्रत्येक वलय समरूपता f : R → S वलय समरूपता f_p : R_p → S_p उत्पन्न करता है।
• यदि R क्षेत्र (गणित) है (या अधिक सामान्यतः S शून्य वलय नहीं है, तो f इंजेक्शन है।
• यदि R और S दोनों क्षेत्र (गणित) हैं, तो im(f) S का उप-क्षेत्र है, इसलिए S को R के क्षेत्र विस्तार के रूप में देखा जा सकता है।
• यदि I, S का आदर्श है तो f⁻¹(I), R का आदर्श है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं और P, S का अभाज्य आदर्श है तो f⁻¹(P) R का अभाज्य आदर्श है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं, M, S का अधिकतम आदर्श है, और f विशेषणात्मक है, तो f⁻¹(M), R का अधिकतम आदर्श है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं और S अभिन्न डोमेन है, तो ker(f) R का अभाज्य आदर्श है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं, S क्षेत्र है, और f विशेषण है, तो ker(f) R का अधिकतम आदर्श है।
• यदि f विशेषण है, P, R में अभाज्य (अधिकतम) आदर्श है और ker(f) ⊆ P, तो S में f(P) अभाज्य (अधिकतम) आदर्श है।

इसके अतिरिक्त,

• वलय समरूपता की संरचना वलय समरूपता है।
• प्रत्येक वलय R के लिए, पहचान मानचित्र R → R वलय समरूपता है।
• इसलिए, सभी वलयों का वर्ग वलय समरूपताओं के साथ मिलकर वलय श्रेणी बनाता है।
• शून्य मानचित्र R → S, R के प्रत्येक तत्व को 0 पर भेजना वलय समरूपता है केवल यदि S शून्य वलय है (वह वलय जिसका एकमात्र तत्व शून्य है)।
• प्रत्येक वलय R के लिए, अद्वितीय वलय समरूपता Z → R है, यह कहता है कि पूर्णांकों के वलय की श्रेणी (गणित) में प्रारंभिक वस्तु है।
• प्रत्येक वलय R के लिए, R से शून्य वलय तक अद्वितीय वलय समरूपता होती है। यह कहता है कि शून्य वलय की श्रेणी में टर्मिनल वस्तु है।

उदाहरण

• फलन क्रम f : Z → Z/nZ, f(a) = [a]_n = a mod n द्वारा परिभाषित, कर्नेल n'Z' के साथ विशेषण वलय समरूपता है (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)।
• जटिल संयुग्मन C → C वलय होमोमोर्फिज्म है (यह वलय ऑटोमोर्फिज्म का उदाहरण है)।
• अभाज्य विशेषता p, R → R, x → x^p का वलय R के लिए, वलय एंडोमोर्फिज्म है जिसे फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म कहा जाता है।
• यदि R और S वलय हैं, तो R से S तक शून्य फलन वलय समरूपता है यदि केवल S शून्य वलय है। (अन्यथा यह 1_R से 1_S को मानचित्रित करने में विफल रहता है।) दूसरी ओर, शून्य फलन सदैव rng समरूपता है।
• यदि R[X] वास्तविक संख्याओं R में गुणांक के साथ चर X के लिए काल्पनिक इकाई i को प्रतिस्थापित करें) विशेषण वलय समरूपता है। F के कर्नेल में R[X] के सभी बहुपद सम्मिलित हैं जो X² + 1 से विभाज्य हैं।
• यदि f : R → S, वलय R और S के मध्य वलय समरूपता है, तो f मैट्रिक्स वलय M_n(R) → M_n(S) के मध्य वलय समरूपता उत्पन्न करता है।
• मान लीजिए V क्षेत्र k पर सदिश समष्टि है। फिर मानचित्र $\rho :k\to \operatorname {End} (V)$ द्वारा दिए गए $\rho (a)v=av$ वलय समरूपता है। अधिक सामान्यतः, एबेलियन समूह M को देखते हुए, वलय R पर M मॉड्यूल संरचना वलय होमोमोर्फिज्म $R\to \operatorname {End} (M)$ देने के समान है।
• क्रमविनिमेय वलय R पर यूनिटल साहचर्य बीजगणित के मध्य यूनिटल बीजगणित समरूपता वलय होमोमोर्फिज्म है जो R-रैखिक भी है।

गैर-उदाहरण

• फलन क्रम f : Z/6Z → Z/6Z, f([a]₆) = [4a]₆ द्वारा परिभाषित rng समरूपता (और rng एंडोमोर्फिज्म) है, जिसमें कर्नेल 3Z/6Z और छवि 2Z/6Z है (जो समरूपी है Z/3Z)।
• किसी भी n ≥ 1 के लिए कोई वलय समरूपता Z/nZ → Z नहीं है।
• यदि R और S वलय हैं, तो समावेशन $R\to R\times S$ प्रत्येक r को (r,0) पर भेजना rng समरूपता है, किंतु वलय समरूपता नहीं है (यदि S शून्य वलय नहीं है), क्योंकि यह R की गुणक पहचान 1 को गुणक पहचान (1,1) में मानचित्र $R\times S$ नहीं करता है।

वलय की श्रेणी

Main article: वलयों की श्रेणी

एंडोमोर्फिज्म, आइसोमोर्फिज्म, और ऑटोमोर्फिज्म

• वलय एंडोमोर्फिज्म वलय से स्वयं तक वलय होमोमोर्फिज्म है।
• वलय समरूपता ऐसी वलय समरूपता है जिसमें दो-ओर व्युत्क्रम होता है जो वलय समरूपता भी है। कोई यह सिद्ध कर सकता है कि वलय समरूपता ऐसा समरूपता है यदि केवल अंतर्निहित समुच्चयों पर फलन के रूप में विशेषण है। यदि दो वलय R और S के मध्य वलय समरूपता उपस्थित है, तो R और S को समरूपी कहा जाता है। समरूपी वलय केवल तत्वों के पुनः लेबलिंग द्वारा भिन्न होते हैं। उदाहरण: समरूपता तक, क्रम 4 के चार वलय होते हैं। (इसका तात्पर्य है कि क्रम 4 के चार जोड़ीदार गैर-समरूपी वलय होते हैं, जैसे कि क्रम 4 का प्रत्येक दूसरा वलय उनमें से के लिए समरूपी होता है।) दूसरी ओर, समरूपता तक, क्रम 4 के ग्यारह वलय होते हैं।
• वलय ऑटोमोर्फिज्म से स्वयं तक वलय आइसोमोर्फिज्म है।

एकरूपता और एपिमोर्फिज्म

इंजेक्टिव वलय होमोमोर्फिज्म वलयों की श्रेणी में मोनोमोर्फिज्म के समान हैं: यदि f : R → S मोनोमोर्फिज्म है जो इंजेक्शन नहीं है, तो यह S के एक ही तत्व में कुछ r₁ और r₂ भेजता है। Z[x] से दो मानचित्र g₁ और g₂ पर विचार करें। जो क्रमशः x से r₁ और r₂, तक मानचित्रित है; f ∘ g₁ और f ∘ g₂ के समान हैं, किंतु चूँकि f एकरूपता है इसलिए यह असंभव है।

चूँकि, विशेषण वलय समरूपता वलय की श्रेणी में एपिमोर्फिज्म से अधिक भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, समावेशन Z ⊆ Q वलय एपिमोर्फिज़्म है, किंतु अनुमान नहीं है। चूँकि, वे स्थिर एपिमोर्फिज्म के समान हैं।

यह भी देखें

• वलयों का परिवर्तन

संदर्भ

• Artin, Michael (1991). Algebra. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall.
• Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., MR 0242802
• Bourbaki, N. (1998). Algebra I, Chapters 1–3. Springer.
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. New York: Springer-Verlag. xvi+785. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960.
• Hazewinkel, Michiel (2004). Algebras, rings and modules. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-2690-0.
• Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra I (2nd ed.). ISBN 9780486471891.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556