प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण: Difference between revisions

Revision as of 21:07, 10 July 2023

कलन में, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण, जिसे 'यू'-प्रतिस्थापन, रिवर्स चेन नियम या चर के परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है,^[1] अभिन्न और [[antiderivative]]्स के मूल्यांकन के लिए एक विधि है। यह व्युत्पन्न के लिए श्रृंखला नियम का प्रतिरूप है, और शिथिल रूप से श्रृंखला नियम को पीछे की ओर उपयोग करने के बारे में सोचा जा सकता है।

एकल चर के लिए प्रतिस्थापन

परिचय

गणितीय कठोरता के परिणाम को बताने से पहले, अनिश्चित समाकलों का उपयोग करते हुए एक साधारण स्थितियोंपर विचार करें।

गणना करना $\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx$ .^[2]

तय करना $u=2x^{3}+1$ . इसका कारणयह है $\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}$ , या विभेदक रूप में, $du=6x^{2}\,dx$ . वर्तमान

{\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}

कहाँ $C$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

इस प्रक्रिया का सामान्यतः उपयोग किया जाता है, किन्तु सभी अभिन्न एक ऐसे रूप में नहीं होते हैं जो इसके उपयोग की अनुमति देता है। किसी भी स्थिति में, परिणाम को मूल एकीकृत से भिन्न करके और तुलना करके सत्यापित किया जाना चाहिए।

{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).

निश्चित समाकलों के लिए, समाकलन की सीमाओं को भी समायोजित किया जाना चाहिए, किन्तु प्रक्रिया अधिकतर समान होती है।

निश्चित अभिन्न

होने देना $g:[a,b]\rightarrow I$ एक निरंतर फलन डेरिवेटिव के साथ एक भिन्न-भिन्न कार्य हो, जहां $I\subset \mathbb {R}$ एक अंतराल (गणित) है। लगता है कि $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ एक सतत कार्य है। तब^[3]

\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.

लीबनिज संकेतन में, प्रतिस्थापन $u=g(x)$ उत्पन्नवार

{\frac {du}{dx}}=g'(x).

बहुत छोता के साथ ह्यूरिस्टिक रूप से कार्य करने से समीकरण प्राप्त होता है

du=g'(x)\,dx,

जो ऊपर प्रतिस्थापन सूत्र का सुझाव देता है। (इस समीकरण को विभेदक रूपों के बारे में एक कथन के रूप में व्याख्या करके एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है।) एक व्यक्ति प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि को इंटीग्रल और डेरिवेटिव के लिए लीबनिज के नोटेशन के आंशिक औचित्य के रूप में देख सकता है।

सूत्र का उपयोग एक अभिन्न को दूसरे अभिन्न में बदलने के लिए किया जाता है जो कि गणना करना आसान है। इस प्रकार, किसी दिए गए अभिन्न को सरल बनाने के लिए सूत्र को बाएं से दाएं या दाएं से बाएं पढ़ा जा सकता है। जब पूर्व तरीके से उपयोग किया जाता है, तब इसे कभी-कभी यू-प्रतिस्थापन या डब्ल्यू-प्रतिस्थापन के रूप में जाना जाता है जिसमें एक नया चर परिभाषित किया जाता है जो मूल चर के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो फलन संरचना फलन के अंदर पाया जाता है। आंतरिक कार्य का व्युत्पन्न। पश्चात् के तरीके का सामान्यतः त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन में उपयोग किया जाता है, मूल चर को एक नए चर के त्रिकोणमितीय फलन के साथ और त्रिकोणमितीय फलन के अंतर के साथ फलन के मूल अंतर के साथ बदल दिया जाता है।

प्रमाण

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। होने देना $f$ और $g$ उपरोक्त परिकल्पना को संतुष्ट करने वाले दो कार्य हो $f$ निरंतर चालू है $I$ और $g'$ बंद अंतराल पर पूर्णांक है $[a,b]$ . फिर फंक्शन $f(g(x))\cdot g'(x)$ पर भी समाकलनीय है $[a,b]$ . इसलिए अभिन्न

\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx

और

\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du

वास्तव में उपस्तिथ हैं, और यह दिखाना बाकी है कि वह समान हैं।

तब से $f$ निरंतर है, इसमें एक प्रतिपक्षी है $F$ . फंक्शन रचना $F\circ g$ तब परिभाषित किया जाता है। तब से $g$ अवकलनीय है, शृंखला नियम और प्रतिअवकलज की परिभाषा को मिलाकर देता है

(F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).

कलन की मूलभूत प्रमेय को दो बार प्रयुक्त करने पर प्राप्त होता है

{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du,\end{aligned}}

जो प्रतिस्थापन नियम है।

उदाहरण

उदाहरण 1

अभिन्न पर विचार करें

\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\ dx.

प्रतिस्थापन करें $u=x^{2}+1$ प्राप्त करने के लिए $du=2x\ dx$ , अर्थ $x\ dx={\frac {1}{2}}\ du$ . इसलिए,

{\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\ du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}

निचली सीमा के पश्चात् से $x=0$ के साथ बदल दिया गया था $u=1$ , और ऊपरी सीमा $x=2$ साथ $2^{2}+1=5$ , के संदर्भ में एक परिवर्तन वापस $x$ अनावश्यक था।

वैकल्पिक रूप से, कोई पहले अनिश्चित समाकल (#Antiderivatives) का पूरी तरह से मूल्यांकन कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को प्रयुक्त कर सकता है। यह विशेष रूप से आसान हो जाता है जब एकाधिक प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 2

अभिन्न के लिए

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,

उपरोक्त प्रक्रिया में बदलाव की आवश्यकता है। प्रतिस्थापन $x=\sin u$ जिसका अर्थ $dx=\cos u\,du$ उपयोगी है क्योंकि ${\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos(u)$ . इस प्रकार हमारे पास है

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos(u)\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}

परिणामी अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण या त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची # एकाधिक-कोण और अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है, $2\cos ^{2}u=1+\cos(2u)$ , उसके पश्चात् एक और प्रतिस्थापन। कोई यह भी नोट कर सकता है कि एकीकृत किया जा रहा कार्य एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त का ऊपरी दाहिना चौथाई है, और इसलिए ऊपरी दाएँ चौथाई को शून्य से एक तक एकीकृत करना इकाई चक्र के एक चौथाई के क्षेत्रफल के सामान्तर ज्यामितीय है, या ${\frac {\pi }{4}}$ .

एंटीडेरिवेटिव्स

प्रतिस्थापन का उपयोग एंटीडेरिवेटिव निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक के मध्य एक संबंध चुनता है $x$ और $u$ , के मध्य संबंधित संबंध निर्धारित करता है $dx$ और $du$ अंतर करके, और प्रतिस्थापन करता है। उम्मीद है कि प्रतिस्थापित फलन के लिए एक एंटीडेरिवेटिव निर्धारित किया जा सकता है; के मध्य मूल प्रतिस्थापन $x$ और $u$ फिर पूर्ववत है।

उपरोक्त उदाहरण 1 के समान, इस विधि से निम्नलिखित प्रतिअवकलज प्राप्त किए जा सकते हैं:

{\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}

कहाँ $C$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

रूपांतरण के लिए कोई अभिन्न सीमाएँ नहीं थीं, किन्तु मूल प्रतिस्थापन को वापस लाने के अंतिम चरण में $u=x^{2}+1$ आवश्यक था। प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, कोई पहले पूरी तरह से प्रतिपक्षी की गणना कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को प्रयुक्त कर सकता है। उस स्थिति में, सीमा शर्तों को बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है।

स्पर्शरेखा फलन को साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त करके प्रतिस्थापन का उपयोग करके एकीकृत किया जा सकता है:

\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx

प्रतिस्थापन का उपयोग करना $u=\cos x$ देता है $du=-\sin x\,dx$ और

{\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C\\&=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}

एकाधिक चर के लिए प्रतिस्थापन

बहुभिन्नरूपी फलन को एकीकृत करते समय कोई भी प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकता है। यहाँ प्रतिस्थापन फंक्शन $(v 1,..., v n) = φ (u 1, ..., u n)$ अंतःक्षेपी और निरंतर अवकलनीय होने की आवश्यकता है, और अवकलन इस रूप में परिवर्तित होते हैं

dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},

कहाँ $det(Dφ)(u 1, ..., u n)$ के आंशिक डेरिवेटिव के जैकबियन आव्युह के निर्धारक को दर्शाता है $φ$ बिंदु पर $(u 1, ..., u n)$ . यह सूत्र इस तथ्य को व्यक्त करता है कि एक आव्युह के निर्धारक का निरपेक्ष मान इसके स्तंभों या पंक्तियों द्वारा फैलाए गए Parallelepiped#Parallelotope के आयतन के सामान्तर होता है।

अधिक त्रुटिहीन रूप से, चर सूत्र का परिवर्तन अगले प्रमेय में बताया गया है:

'प्रमेय'। होने देना $U$ में एक खुला समूह हो $R n$ और $φ : U \to R n$ निरंतर आंशिक डेरिवेटिव के साथ एक इंजेक्शन फंक्शन भिन्न-भिन्न फलन, जिसका जैकोबियन प्रत्येक के लिए गैर-शून्य है $x$ में $U$ . फिर किसी वास्तविक मूल्यवान, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित, निरंतर कार्य के लिए $f$ , में निहित समर्थन के साथ $φ (U)$ ,

\int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .

प्रमेय पर शर्तों को विभिन्न तरीकों से अशक्त किया जा सकता है। सबसे पहले, आवश्यकता है कि $φ$ लगातार भिन्न-भिन्न होने को अशक्त धारणा से बदला जा सकता है $φ$ केवल अवकलनीय हो और एक सतत व्युत्क्रम हो।^[4] इसे धारण करने की गारंटी है $φ$ प्रतिलोम फलन प्रमेय द्वारा निरंतर अवकलनीय है। वैकल्पिक रूप से, आवश्यकता है कि $det(Dφ) \neq 0$ सार्ड के प्रमेय को प्रयुक्त करके समाप्त किया जा सकता है।^[5] Lebesgue मापने योग्य कार्यों के लिए, प्रमेय को निम्नलिखित रूप में कहा जा सकता है:^[6] प्रमेय। होने देना $U$ का एक मापने योग्य उपसमुच्चय हो $R n$ और $φ : U \to R n$ एक इंजेक्शन फलन, और प्रत्येक के लिए मान लीजिए $x$ में $U$ वहां उपस्तिथ $φ'(x)$ में $R n, n$ ऐसा है कि $φ (y) = φ (x) + φ' (x)(y - x) + o (|| y - x ||)$ जैसा $y \to x$ (यहाँ $o$ लन्दौ प्रतीक है#संबंधित स्पर्शोन्मुख संकेतन|थोड़ा-ओ अंकन)। तब $φ (U)$ औसत अंकित का है, और किसी भी वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए $f$ पर परिभाषित $φ (U)$ ,

\int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du

इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न उपस्तिथ है (उचित रूप से अनंत होने की संभावना सहित), तब दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।

माप सिद्धांत में एक और बहुत सामान्य संस्करण निम्नलिखित है:^[7] प्रमेय। होने देना $X$ एक सीमित रेडॉन माप से लैस एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस बनें $μ$ , और जाने $Y$ एक Σ-कॉम्पैक्ट स्पेस बनें|σ-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस एक सिग्मा परिमित माप के साथ|σ-फाइनाइट रैडॉन माप $ρ$ . होने देना $φ : X \to Y$ एक बिल्कुल निरंतर कार्य हो (जहां पश्चात् का कारणहै $ρ (φ (E)) = 0$ जब कभी भी $μ (E) = 0$ ). फिर एक वास्तविक मूल्यवान बोरेल बीजगणित उपस्तिथ है $w$ पर $X$ ऐसा है कि प्रत्येक Lebesgue अभिन्न फलन के लिए $f : Y \to R$ , कार्यक्रम $(f \circ φ) \cdot w$ Lebesgue पर पूर्णांक है $X$ , और

\int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).

इसके अतिरिक्त, लिखना संभव है

w(x)=(g\circ \varphi )(x)

कुछ बोरेल मापने योग्य कार्य के लिए $g$ पर $Y$ .

ज्यामितीय माप सिद्धांत में, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण लिप्सचिट्ज़ कार्यों के साथ प्रयोग किया जाता है। एक द्वि-लिप्सचिट्ज़ फलन एक लिप्सचिट्ज़ फलन है $φ : U \to R n$ जो इंजेक्शन है और जिसका उलटा कार्य है $φ -1 : φ (U) \to U$ लिपशिट्ज भी है। रैडेमाकर के प्रमेय के अनुसार द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण िंग लगभग हर स्थान भिन्न-भिन्न होती है। विशेष रूप से, द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण का जैकबियन निर्धारक $det Dφ$ लगभग हर स्थान अच्छी तरह से परिभाषित है। निम्नलिखित परिणाम तब धारण करता है:

प्रमेय। होने देना $U$ का एक खुला उपसमुच्चय हो $R n$ और $φ : U \to R n$ एक द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण िंग बनें। होने देना $f : φ (U) \to R$ मापने योग्य हो। तब

\int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx=\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx

इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न उपस्तिथ है (या ठीक से अनंत है), तब दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।

उपरोक्त प्रमेय पहली बार यूलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था जब उन्होंने 1769 में डबल इंटीग्रल की धारणा विकसित की थी। चूंकि 1773 में Lagrange द्वारा ट्रिपल इंटीग्रल के लिए सामान्यीकृत किया गया था, और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे, लाप्लास, गॉस द्वारा उपयोग किया गया था, और पहले सामान्यीकृत $n$ 1836 में मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की द्वारा चर, इसने आश्चर्यजनक रूप से लंबे समय के लिए पूरी तरह से कठोर औपचारिक प्रमाण का विरोध किया, और 125 साल पश्चात् पहली बार संतोषजनक रूप से हल किया गया था, एली कार्टन द्वारा 1890 के दशक के मध्य में प्रारंभ होने वाले पत्रों की एक श्रृंखला में।^[8]^[9]

संभाव्यता में आवेदन

प्रायिकता में निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है: एक यादृच्छिक चर दिया गया है $X$ संभाव्यता घनत्व के साथ $p_{X}$ और दूसरा यादृच्छिक चर $Y$ ऐसा है कि $Y=\phi (X)$ इंजेक्शन फलन के लिए (एक-से-एक) $\phi$ , के लिए प्रायिकता घनत्व क्या है $Y$ ?

पहले थोड़े भिन्न प्रश्न का उत्तर देकर इस प्रश्न का उत्तर देना सबसे आसान है: इसकी क्या प्रायिकता है $Y$ किसी विशेष उपसमुच्चय में मान लेता है $S$ ? इस संभावना को निरूपित करें $P(Y\in S)$ . बेशक यदि $Y$ संभाव्यता घनत्व है $p_{Y}$ तब उत्तर है

P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,

किन्तु यह वास्तव में उपयोगी नहीं है क्योंकि हम नहीं जानते $p_{Y}$ ; हम इसे खोजने की कोशिश कर रहे हैं। हम चर में समस्या पर विचार करके प्रगति कर सकते हैं $X$ . $Y$ में मान लेता है $S$ जब कभी भी $X$ में मान लेता है $\phi ^{-1}(S)$ , इसलिए

P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.

चर से बदल रहा है $x$ को $y$ देता है

P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.

इसे हमारे पहले समीकरण के साथ जोड़कर देता है

\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,

इसलिए

p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.

स्थितियोंमें जहां $X$ और $Y$ अनेक असंबद्ध चरों पर निर्भर करता है, अर्थात $p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ और $y=\phi (x)$ , $p_{Y}$ ऊपर चर्चा किए गए अनेक चरों में प्रतिस्थापन द्वारा पाया जा सकता है। परिणाम है

p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.

यह भी देखें

संभाव्यता सघनता फलन
चर का प्रतिस्थापन
त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन
वीयरस्ट्रास प्रतिस्थापन
यूलर प्रतिस्थापन
ग्लासर का मास्टर प्रमेय
आगे बढ़ाने का उपाय

संदर्भ

Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Calculus /Early Transcendentals (Single Variable ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler and differentials", The College Mathematics Journal, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130, JSTOR 2687130
Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
Katz, V. (1982), "Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan", Mathematics Magazine, 55 (1): 3–11, doi:10.2307/2689856, JSTOR 2689856
Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

बाहरी संबंध

[1] Swokowski 1983, p. 257

[2] Swokowsi 1983, p. 258

[3] Briggs & Cochran 2011, pg.361

[4] Rudin 1987, Theorem 7.26

[5] Spivak 1965, p. 72

[6] Fremlin 2010, Theorem 263D

[7] Hewitt & Stromberg 1965, Theorem 20.3

[8] Katz 1982

[9] Ferzola 1994

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-{{Calculus|Integral}}
+{{Calculus|अभिन्न}}
 {{short description|Technique in integral evaluation}}
 कलन में, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण, जिसे 'यू'-प्रतिस्थापन, रिवर्स चेन नियम या चर के परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 257}}</ref> [[अभिन्न]] और [[anti[[derivative]]]]्स के मूल्यांकन के लिए एक विधि है। यह व्युत्पन्न के लिए [[श्रृंखला नियम]] का प्रतिरूप है, और शिथिल रूप से श्रृंखला नियम को पीछे की ओर उपयोग करने के बारे में सोचा जा सकता है।
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 === परिचय ===
-[[गणितीय कठोरता]] के परिणाम को बताने से पहले, अनिश्चित समाकलों का उपयोग करते हुए एक साधारण मामले पर विचार करें।
+[[गणितीय कठोरता]] के परिणाम को बताने से पहले, अनिश्चित समाकलों का उपयोग करते हुए एक साधारण स्थितियोंपर विचार करें।
 गणना करना <math>\textstyle\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx</math>.<ref>{{harvnb|Swokowsi|1983|loc=p. 258}}</ref>
-तय करना <math>u=2x^3+1</math>. इसका मतलब यह है <math>\textstyle\frac{du}{dx}=6x^2</math>, या [[विभेदक रूप]] में, <math>du=6x^2\,dx</math>. अब
+तय करना <math>u=2x^3+1</math>. इसका कारणयह है <math>\textstyle\frac{du}{dx}=6x^2</math>, या [[विभेदक रूप]] में, <math>du=6x^2\,dx</math>. वर्तमान
 :<math>\begin{aligned}
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 कहाँ <math>C</math> एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।
-इस प्रक्रिया का अक्सर उपयोग किया जाता है, लेकिन सभी अभिन्न एक ऐसे रूप में नहीं होते हैं जो इसके उपयोग की अनुमति देता है। किसी भी स्थिति में, परिणाम को मूल एकीकृत से अलग करके और तुलना करके सत्यापित किया जाना चाहिए।
+इस प्रक्रिया का सामान्यतः उपयोग किया जाता है, किन्तु सभी अभिन्न एक ऐसे रूप में नहीं होते हैं जो इसके उपयोग की अनुमति देता है। किसी भी स्थिति में, परिणाम को मूल एकीकृत से भिन्न करके और तुलना करके सत्यापित किया जाना चाहिए।
 :<math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C\right]=\frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).</math>
-निश्चित समाकलों के लिए, समाकलन की सीमाओं को भी समायोजित किया जाना चाहिए, लेकिन प्रक्रिया अधिकतर समान होती है।
+निश्चित समाकलों के लिए, समाकलन की सीमाओं को भी समायोजित किया जाना चाहिए, किन्तु प्रक्रिया अधिकतर समान होती है।
 === निश्चित अभिन्न ===
-होने देना <math>g:[a,b]\rightarrow I</math> एक निरंतर फ़ंक्शन डेरिवेटिव के साथ एक अलग-अलग कार्य हो, जहां <math>I \subset \mathbb{R}</math> एक [[अंतराल (गणित)]] है। लगता है कि <math>f:I\rightarrow\mathbb{R}</math> एक सतत कार्य है। तब<ref>{{harvnb|Briggs|Cochran|2011|loc=pg.361}}</ref>
+होने देना <math>g:[a,b]\rightarrow I</math> एक निरंतर फलन डेरिवेटिव के साथ एक भिन्न-भिन्न कार्य हो, जहां <math>I \subset \mathbb{R}</math> एक [[अंतराल (गणित)]] है। लगता है कि <math>f:I\rightarrow\mathbb{R}</math> एक सतत कार्य है। तब<ref>{{harvnb|Briggs|Cochran|2011|loc=pg.361}}</ref>
 :<math>\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du. </math>
-लीबनिज संकेतन में, प्रतिस्थापन <math>u=g(x)</math> पैदावार
+लीबनिज संकेतन में, प्रतिस्थापन <math>u=g(x)</math> उत्पन्नवार
 :<math>\frac{du}{dx} = g'(x).</math>
 [[बहुत छोता]] के साथ ह्यूरिस्टिक रूप से कार्य करने से समीकरण प्राप्त होता है
 :<math>du = g'(x)\,dx,</math>
-जो ऊपर प्रतिस्थापन सूत्र का सुझाव देता है। (इस समीकरण को विभेदक रूपों के बारे में एक बयान के रूप में व्याख्या करके एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है।) एक व्यक्ति प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि को इंटीग्रल और डेरिवेटिव के लिए लीबनिज के नोटेशन के आंशिक औचित्य के रूप में देख सकता है।
+जो ऊपर प्रतिस्थापन सूत्र का सुझाव देता है। (इस समीकरण को विभेदक रूपों के बारे में एक कथन  के रूप में व्याख्या करके एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है।) एक व्यक्ति प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि को इंटीग्रल और डेरिवेटिव के लिए लीबनिज के नोटेशन के आंशिक औचित्य के रूप में देख सकता है।
-सूत्र का उपयोग एक अभिन्न को दूसरे अभिन्न में बदलने के लिए किया जाता है जो कि गणना करना आसान है। इस प्रकार, किसी दिए गए अभिन्न को सरल बनाने के लिए सूत्र को बाएं से दाएं या दाएं से बाएं पढ़ा जा सकता है। जब पूर्व तरीके से उपयोग किया जाता है, तो इसे कभी-कभी ''यू''-प्रतिस्थापन या ''डब्ल्यू''-प्रतिस्थापन के रूप में जाना जाता है जिसमें एक नया चर परिभाषित किया जाता है जो मूल चर के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो फ़ंक्शन संरचना फ़ंक्शन के अंदर पाया जाता है। आंतरिक कार्य का व्युत्पन्न। बाद के तरीके का आमतौर पर [[त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन]] में उपयोग किया जाता है, मूल चर को एक नए चर के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के अंतर के साथ फ़ंक्शन के मूल अंतर के साथ बदल दिया जाता है।
+सूत्र का उपयोग एक अभिन्न को दूसरे अभिन्न में बदलने के लिए किया जाता है जो कि गणना करना आसान है। इस प्रकार, किसी दिए गए अभिन्न को सरल बनाने के लिए सूत्र को बाएं से दाएं या दाएं से बाएं पढ़ा जा सकता है। जब पूर्व तरीके से उपयोग किया जाता है, तब इसे कभी-कभी ''यू''-प्रतिस्थापन या ''डब्ल्यू''-प्रतिस्थापन के रूप में जाना जाता है जिसमें एक नया चर परिभाषित किया जाता है जो मूल चर के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो फलन संरचना फलन के अंदर पाया जाता है। आंतरिक कार्य का व्युत्पन्न। पश्चात् के तरीके का सामान्यतः [[त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन]] में उपयोग किया जाता है, मूल चर को एक नए चर के त्रिकोणमितीय फलन के साथ और त्रिकोणमितीय फलन के अंतर के साथ फलन के मूल अंतर के साथ बदल दिया जाता है।
 === प्रमाण ===
-प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। होने देना <math>f</math> और <math>g</math> उपरोक्त परिकल्पना को संतुष्ट करने वाले दो कार्य हो <math>f</math> निरंतर चालू है <math>I</math> और <math>g'</math> बंद अंतराल पर पूर्णांक है <math>[a,b]</math>. फिर समारोह <math>f(g(x))\cdot g'(x)</math> पर भी समाकलनीय है <math>[a,b]</math>. इसलिए अभिन्न
+प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। होने देना <math>f</math> और <math>g</math> उपरोक्त परिकल्पना को संतुष्ट करने वाले दो कार्य हो <math>f</math> निरंतर चालू है <math>I</math> और <math>g'</math> बंद अंतराल पर पूर्णांक है <math>[a,b]</math>. फिर फंक्शन <math>f(g(x))\cdot g'(x)</math> पर भी समाकलनीय है <math>[a,b]</math>. इसलिए अभिन्न
 :<math>\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\ dx</math>
@@ Line 43: / Line 44: @@
 :<math>\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du</math>
-वास्तव में मौजूद हैं, और यह दिखाना बाकी है कि वे समान हैं।
+वास्तव में उपस्तिथ हैं, और यह दिखाना बाकी है कि वह समान हैं।
-तब से <math>f</math> निरंतर है, इसमें एक प्रतिपक्षी है <math>F</math>. समारोह रचना <math>F \circ g</math> तब परिभाषित किया जाता है। तब से <math>g</math> अवकलनीय है, शृंखला नियम और प्रतिअवकलज की परिभाषा को मिलाकर देता है
+तब से <math>f</math> निरंतर है, इसमें एक प्रतिपक्षी है <math>F</math>. फंक्शन रचना <math>F \circ g</math> तब परिभाषित किया जाता है। तब से <math>g</math> अवकलनीय है, शृंखला नियम और प्रतिअवकलज की परिभाषा को मिलाकर देता है
 :<math>(F \circ g)'(x) = F'(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x).</math>
-कलन की मूलभूत प्रमेय को दो बार लागू करने पर प्राप्त होता है
+कलन की मूलभूत प्रमेय को दो बार प्रयुक्त करने पर प्राप्त होता है
 :<math>
@@ Line 73: / Line 74: @@
 &= \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).
 \end{align}</math>
-निचली सीमा के बाद से <math>x = 0</math> के साथ बदल दिया गया था <math>u = 1</math>, और ऊपरी सीमा <math>x = 2</math> साथ <math>2^{2} + 1 = 5</math>, के संदर्भ में एक परिवर्तन वापस <math>x</math> अनावश्यक था।
+निचली सीमा के पश्चात् से <math>x = 0</math> के साथ बदल दिया गया था <math>u = 1</math>, और ऊपरी सीमा <math>x = 2</math> साथ <math>2^{2} + 1 = 5</math>, के संदर्भ में एक परिवर्तन वापस <math>x</math> अनावश्यक था।
-वैकल्पिक रूप से, कोई पहले अनिश्चित समाकल (#Antiderivatives) का पूरी तरह से मूल्यांकन कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को लागू कर सकता है। यह विशेष रूप से आसान हो जाता है जब एकाधिक प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है।
+वैकल्पिक रूप से, कोई पहले अनिश्चित समाकल (#Antiderivatives) का पूरी तरह से मूल्यांकन कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को प्रयुक्त कर सकता है। यह विशेष रूप से आसान हो जाता है जब एकाधिक प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है।
 ==== उदाहरण 2 ====
@@ Line 91: / Line 92: @@
 &= \frac{\pi}{4}.
 \end{align}</math>
-परिणामी अभिन्न की गणना [[भागों द्वारा एकीकरण]] या त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची # एकाधिक-कोण और अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है, <math>2\cos^{2} u = 1 + \cos (2u)</math>, उसके बाद एक और प्रतिस्थापन। कोई यह भी नोट कर सकता है कि एकीकृत किया जा रहा कार्य एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त का ऊपरी दाहिना चौथाई है, और इसलिए ऊपरी दाएँ चौथाई को शून्य से एक तक एकीकृत करना इकाई चक्र के एक चौथाई के क्षेत्रफल के बराबर ज्यामितीय है, या <math>\frac\pi 4 </math>.
+परिणामी अभिन्न की गणना [[भागों द्वारा एकीकरण]] या त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची # एकाधिक-कोण और अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है, <math>2\cos^{2} u = 1 + \cos (2u)</math>, उसके पश्चात् एक और प्रतिस्थापन। कोई यह भी नोट कर सकता है कि एकीकृत किया जा रहा कार्य एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त का ऊपरी दाहिना चौथाई है, और इसलिए ऊपरी दाएँ चौथाई को शून्य से एक तक एकीकृत करना इकाई चक्र के एक चौथाई के क्षेत्रफल के सामान्तर ज्यामितीय है, या <math>\frac\pi 4 </math>.
 ===एंटीडेरिवेटिव्स===
-प्रतिस्थापन का उपयोग एंटीडेरिवेटिव निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक के बीच एक संबंध चुनता है <math>x</math> और <math>u</math>, के बीच संबंधित संबंध निर्धारित करता है <math>dx</math> और <math>du</math> अंतर करके, और प्रतिस्थापन करता है। उम्मीद है कि प्रतिस्थापित फ़ंक्शन के लिए एक एंटीडेरिवेटिव निर्धारित किया जा सकता है; के बीच मूल प्रतिस्थापन <math>x</math> और <math>u</math> फिर पूर्ववत है।
+प्रतिस्थापन का उपयोग एंटीडेरिवेटिव निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक के मध्य एक संबंध चुनता है <math>x</math> और <math>u</math>, के मध्य संबंधित संबंध निर्धारित करता है <math>dx</math> और <math>du</math> अंतर करके, और प्रतिस्थापन करता है। उम्मीद है कि प्रतिस्थापित फलन के लिए एक एंटीडेरिवेटिव निर्धारित किया जा सकता है; के मध्य मूल प्रतिस्थापन <math>x</math> और <math>u</math> फिर पूर्ववत है।
 उपरोक्त उदाहरण 1 के समान, इस विधि से निम्नलिखित प्रतिअवकलज प्राप्त किए जा सकते हैं:
@@ Line 108: / Line 109: @@
 कहाँ <math>C</math> एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।
-रूपांतरण के लिए कोई अभिन्न सीमाएँ नहीं थीं, लेकिन मूल प्रतिस्थापन को वापस लाने के अंतिम चरण में <math>u = x^{2} + 1</math> आवश्यक था। प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, कोई पहले पूरी तरह से प्रतिपक्षी की गणना कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को लागू कर सकता है। उस स्थिति में, सीमा शर्तों को बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है।
+रूपांतरण के लिए कोई अभिन्न सीमाएँ नहीं थीं, किन्तु मूल प्रतिस्थापन को वापस लाने के अंतिम चरण में <math>u = x^{2} + 1</math> आवश्यक था। प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, कोई पहले पूरी तरह से प्रतिपक्षी की गणना कर सकता है, फिर सीमा शर्तों को प्रयुक्त कर सकता है। उस स्थिति में, सीमा शर्तों को बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है।
-[[स्पर्शरेखा समारोह]] को साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त करके प्रतिस्थापन का उपयोग करके एकीकृत किया जा सकता है:
+[[स्पर्शरेखा समारोह|स्पर्शरेखा फलन]]  को साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त करके प्रतिस्थापन का उपयोग करके एकीकृत किया जा सकता है:
 :<math>\int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx</math>
 प्रतिस्थापन का उपयोग करना <math>u = \cos x</math> देता है <math>du = -\sin x\,dx</math> और
@@ Line 124: / Line 125: @@
 == एकाधिक चर के लिए प्रतिस्थापन ==
-बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन को एकीकृत करते समय कोई भी प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकता है।
+बहुभिन्नरूपी फलन को एकीकृत करते समय कोई भी प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकता है।
-यहाँ प्रतिस्थापन समारोह {{math|1=(''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub>) = ''φ''(''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)}} अंतःक्षेपी और निरंतर अवकलनीय होने की आवश्यकता है, और अवकलन इस रूप में परिवर्तित होते हैं
+यहाँ प्रतिस्थापन फंक्शन {{math|1=(''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub>) = ''φ''(''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)}} अंतःक्षेपी और निरंतर अवकलनीय होने की आवश्यकता है, और अवकलन इस रूप में परिवर्तित होते हैं
 :<math>dv_1 \cdots dv_n = \left|\det(D\varphi)(u_1, \ldots, u_n)\right| \, du_1 \cdots du_n,</math>
-कहाँ {{math|det(''Dφ'')(''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)}} के आंशिक डेरिवेटिव के [[जैकबियन मैट्रिक्स]] के निर्धारक को दर्शाता है {{math|''φ''}} बिंदु पर {{math|(''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)}}. यह सूत्र इस तथ्य को व्यक्त करता है कि एक मैट्रिक्स के निर्धारक का निरपेक्ष मान इसके स्तंभों या पंक्तियों द्वारा फैलाए गए Parallelepiped#Parallelotope के आयतन के बराबर होता है।
+कहाँ {{math|det(''Dφ'')(''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)}} के आंशिक डेरिवेटिव के [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन आव्युह]] के निर्धारक को दर्शाता है {{math|''φ''}} बिंदु पर {{math|(''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)}}. यह सूत्र इस तथ्य को व्यक्त करता है कि एक आव्युह के निर्धारक का निरपेक्ष मान इसके स्तंभों या पंक्तियों द्वारा फैलाए गए Parallelepiped#Parallelotope के आयतन के सामान्तर होता है।
-अधिक सटीक रूप से, चर सूत्र का परिवर्तन अगले प्रमेय में बताया गया है:
+अधिक त्रुटिहीन रूप से, चर सूत्र का परिवर्तन अगले प्रमेय में बताया गया है:
-'प्रमेय'। होने देना {{math|''U''}} में एक खुला सेट हो {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} और {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} निरंतर आंशिक डेरिवेटिव के साथ एक [[इंजेक्शन समारोह]] अलग-अलग फ़ंक्शन, जिसका जैकोबियन प्रत्येक के लिए गैर-शून्य है {{math|''x''}} में {{math|''U''}}. फिर किसी वास्तविक मूल्यवान, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित, निरंतर कार्य के लिए {{math|''f''}}, में निहित समर्थन के साथ {{math|''φ''(''U'')}},
+'प्रमेय'। होने देना {{math|''U''}} में एक खुला समूह हो {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} और {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} निरंतर आंशिक डेरिवेटिव के साथ एक [[इंजेक्शन समारोह|इंजेक्शन फंक्शन]] भिन्न-भिन्न फलन, जिसका जैकोबियन प्रत्येक के लिए गैर-शून्य है {{math|''x''}} में {{math|''U''}}. फिर किसी वास्तविक मूल्यवान, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित, निरंतर कार्य के लिए {{math|''f''}}, में निहित समर्थन के साथ {{math|''φ''(''U'')}},
 :<math>\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d\mathbf{v}
 = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det(D\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d\mathbf{u}.</math>
-प्रमेय पर शर्तों को विभिन्न तरीकों से कमजोर किया जा सकता है। सबसे पहले, आवश्यकता है कि {{math|''φ''}} लगातार अलग-अलग होने को कमजोर धारणा से बदला जा सकता है {{math|''φ''}} केवल अवकलनीय हो और एक सतत व्युत्क्रम हो।<ref>{{harvnb|Rudin|1987|loc=Theorem 7.26}}</ref> इसे धारण करने की गारंटी है {{math|''φ''}} प्रतिलोम फलन प्रमेय द्वारा निरंतर अवकलनीय है। वैकल्पिक रूप से, आवश्यकता है कि {{math|det(''Dφ'') ≠ 0}} सार्ड के प्रमेय को लागू करके समाप्त किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Spivak|1965|loc=p. 72}}</ref>
+प्रमेय पर शर्तों को विभिन्न तरीकों से अशक्त किया जा सकता है। सबसे पहले, आवश्यकता है कि {{math|''φ''}} लगातार भिन्न-भिन्न होने को अशक्त धारणा से बदला जा सकता है {{math|''φ''}} केवल अवकलनीय हो और एक सतत व्युत्क्रम हो।<ref>{{harvnb|Rudin|1987|loc=Theorem 7.26}}</ref> इसे धारण करने की गारंटी है {{math|''φ''}} प्रतिलोम फलन प्रमेय द्वारा निरंतर अवकलनीय है। वैकल्पिक रूप से, आवश्यकता है कि {{math|det(''Dφ'') ≠ 0}} सार्ड के प्रमेय को प्रयुक्त करके समाप्त किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Spivak|1965|loc=p. 72}}</ref>
 Lebesgue मापने योग्य कार्यों के लिए, प्रमेय को निम्नलिखित रूप में कहा जा सकता है:<ref>{{harvnb|Fremlin|2010|loc=Theorem 263D}}</ref>
-प्रमेय। होने देना {{math|''U''}} का एक मापने योग्य उपसमुच्चय हो {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} और {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} एक इंजेक्शन फ़ंक्शन, और प्रत्येक के लिए मान लीजिए {{math|''x''}} में {{math|''U''}} वहां मौजूद {{math|''φ''&prime;(''x'')}} में {{math|'''R'''<sup>''n'',''n''</sup>}} ऐसा है कि {{math|1=''φ''(''y'') = ''φ''(''x'') + ''φ&prime;''(''x'')(''y'' − ''x'') + ''o''(<nowiki>||</nowiki>''y'' − ''x''<nowiki>||</nowiki>)}} जैसा {{math|''y'' → ''x''}} (यहाँ {{math|''o''}} लन्दौ प्रतीक है#संबंधित स्पर्शोन्मुख संकेतन|थोड़ा-ओ अंकन)। तब {{math|''φ''(''U'')}} औसत दर्जे का है, और किसी भी वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए {{math|''f''}} पर परिभाषित {{math|''φ''(''U'')}},
+प्रमेय। होने देना {{math|''U''}} का एक मापने योग्य उपसमुच्चय हो {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} और {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} एक इंजेक्शन फलन, और प्रत्येक के लिए मान लीजिए {{math|''x''}} में {{math|''U''}} वहां उपस्तिथ {{math|''φ''&prime;(''x'')}} में {{math|'''R'''<sup>''n'',''n''</sup>}} ऐसा है कि {{math|1=''φ''(''y'') = ''φ''(''x'') + ''φ&prime;''(''x'')(''y'' − ''x'') + ''o''(<nowiki>||</nowiki>''y'' − ''x''<nowiki>||</nowiki>)}} जैसा {{math|''y'' → ''x''}} (यहाँ {{math|''o''}} लन्दौ प्रतीक है#संबंधित स्पर्शोन्मुख संकेतन|थोड़ा-ओ अंकन)। तब {{math|''φ''(''U'')}} औसत अंकित का है, और किसी भी वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए {{math|''f''}} पर परिभाषित {{math|''φ''(''U'')}},
 :<math>\int_{\varphi(U)} f(v)\, dv = \int_U f(\varphi(u)) \left|\det \varphi'(u)\right| \,du</math>
-इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न मौजूद है (उचित रूप से अनंत होने की संभावना सहित), तो दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।
+इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न उपस्तिथ है (उचित रूप से अनंत होने की संभावना सहित), तब दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।
 [[माप सिद्धांत]] में एक और बहुत सामान्य संस्करण निम्नलिखित है:<ref>{{harvnb|Hewitt|Stromberg|1965|loc=Theorem 20.3}}</ref>
-प्रमेय। होने देना {{math|''X''}} एक सीमित [[रेडॉन माप]] से लैस एक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] बनें {{math|μ}}, और जाने {{math|''Y''}} एक Σ-कॉम्पैक्ट स्पेस बनें|σ-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस एक सिग्मा परिमित माप के साथ|σ-फाइनाइट रैडॉन माप {{math|ρ}}. होने देना {{math|''φ'' : ''X'' → ''Y''}} एक [[बिल्कुल निरंतर]] कार्य हो (जहां बाद का मतलब है {{math|1=''ρ''(''φ''(''E'')) = 0}} जब कभी भी {{math|1=''μ''(''E'') = 0}}). फिर एक वास्तविक मूल्यवान [[बोरेल बीजगणित]] मौजूद है {{math|''w''}} पर {{math|''X''}} ऐसा है कि प्रत्येक Lebesgue अभिन्न समारोह के लिए {{math|''f'' : ''Y'' → '''R'''}}, कार्यक्रम {{math|(''f'' ∘ ''φ'') ⋅ ''w''}} Lebesgue पर पूर्णांक है {{math|''X''}}, और
+प्रमेय। होने देना {{math|''X''}} एक सीमित [[रेडॉन माप]] से लैस एक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] बनें {{math|μ}}, और जाने {{math|''Y''}} एक Σ-कॉम्पैक्ट स्पेस बनें|σ-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस एक सिग्मा परिमित माप के साथ|σ-फाइनाइट रैडॉन माप {{math|ρ}}. होने देना {{math|''φ'' : ''X'' → ''Y''}} एक [[बिल्कुल निरंतर]] कार्य हो (जहां पश्चात् का कारणहै {{math|1=''ρ''(''φ''(''E'')) = 0}} जब कभी भी {{math|1=''μ''(''E'') = 0}}). फिर एक वास्तविक मूल्यवान [[बोरेल बीजगणित]] उपस्तिथ है {{math|''w''}} पर {{math|''X''}} ऐसा है कि प्रत्येक Lebesgue अभिन्न फलन  के लिए {{math|''f'' : ''Y'' → '''R'''}}, कार्यक्रम {{math|(''f'' ∘ ''φ'') ⋅ ''w''}} Lebesgue पर पूर्णांक है {{math|''X''}}, और
 :<math>\int_Y f(y)\,d\rho(y) = \int_X (f\circ \varphi)(x)\,w(x)\,d\mu(x).</math>
-इसके अलावा, लिखना संभव है
+इसके अतिरिक्त, लिखना संभव है
 :<math>w(x) = (g\circ \varphi)(x)</math>
 कुछ बोरेल मापने योग्य कार्य के लिए {{math|''g''}} पर {{math|''Y''}}.
-[[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] में, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण लिप्सचिट्ज़ कार्यों के साथ प्रयोग किया जाता है। एक द्वि-[[लिप्सचिट्ज़ समारोह]] एक लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन है {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>n</sup>}} जो इंजेक्शन है और जिसका उलटा कार्य है {{math|''φ''<sup>&minus;1</sup> : ''φ''(''U'') → ''U''}} लिपशिट्ज भी है। रैडेमाकर के प्रमेय के अनुसार द्वि-लिप्सचिट्ज़ मैपिंग [[लगभग हर जगह]] अलग-अलग होती है। विशेष रूप से, द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण का जैकबियन निर्धारक {{math|det ''Dφ''}} लगभग हर जगह अच्छी तरह से परिभाषित है। निम्नलिखित परिणाम तब धारण करता है:
+[[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] में, प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण लिप्सचिट्ज़ कार्यों के साथ प्रयोग किया जाता है। एक द्वि-[[लिप्सचिट्ज़ समारोह|लिप्सचिट्ज़ फलन]]  एक लिप्सचिट्ज़ फलन है {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>n</sup>}} जो इंजेक्शन है और जिसका उलटा कार्य है {{math|''φ''<sup>&minus;1</sup> : ''φ''(''U'') → ''U''}} लिपशिट्ज भी है। रैडेमाकर के प्रमेय के अनुसार द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण िंग [[लगभग हर जगह|लगभग हर स्थान]] भिन्न-भिन्न होती है। विशेष रूप से, द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण  का जैकबियन निर्धारक {{math|det ''Dφ''}} लगभग हर स्थान अच्छी तरह से परिभाषित है। निम्नलिखित परिणाम तब धारण करता है:
-प्रमेय। होने देना {{math|''U''}} का एक खुला उपसमुच्चय हो {{math|'''R'''<sup>n</sup>}} और {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>n</sup>}} एक द्वि-लिप्सचिट्ज़ मैपिंग बनें। होने देना {{math|''f'' : ''φ''(''U'') → '''R'''}} मापने योग्य हो। तब
+प्रमेय। होने देना {{math|''U''}} का एक खुला उपसमुच्चय हो {{math|'''R'''<sup>n</sup>}} और {{math|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>n</sup>}} एक द्वि-लिप्सचिट्ज़ मानचित्रण िंग बनें। होने देना {{math|''f'' : ''φ''(''U'') → '''R'''}} मापने योग्य हो। तब
 :<math>\int_U (f\circ \varphi)(x) |\det D\varphi(x)|\,dx = \int_{\varphi(U)} f(x)\,dx</math>
-इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न मौजूद है (या ठीक से अनंत है), तो दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।
+इस अर्थ में कि यदि कोई अभिन्न उपस्तिथ है (या ठीक से अनंत है), तब दूसरा भी ऐसा ही करता है, और उनका मूल्य समान है।
-उपरोक्त प्रमेय पहली बार [[यूलर]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था जब उन्होंने 1769 में [[डबल इंटीग्रल]] की धारणा विकसित की थी। हालांकि 1773 में [[Lagrange]] द्वारा ट्रिपल इंटीग्रल के लिए सामान्यीकृत किया गया था, और [[एड्रियन मैरी लीजेंड्रे]], [[लाप्लास]], [[गॉस]] द्वारा उपयोग किया गया था, और पहले सामान्यीकृत {{math|''n''}} 1836 में [[मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की]] द्वारा चर, इसने आश्चर्यजनक रूप से लंबे समय के लिए पूरी तरह से कठोर औपचारिक प्रमाण का विरोध किया, और 125 साल बाद पहली बार संतोषजनक रूप से हल किया गया था, एली कार्टन द्वारा 1890 के दशक के मध्य में शुरू होने वाले पत्रों की एक श्रृंखला में।<ref>{{harvnb|Katz|1982}}</ref><ref>{{harvnb|Ferzola|1994}}</ref>
+उपरोक्त प्रमेय पहली बार [[यूलर]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था जब उन्होंने 1769 में [[डबल इंटीग्रल]] की धारणा विकसित की थी। चूंकि 1773 में [[Lagrange]] द्वारा ट्रिपल इंटीग्रल के लिए सामान्यीकृत किया गया था, और [[एड्रियन मैरी लीजेंड्रे]], [[लाप्लास]], [[गॉस]] द्वारा उपयोग किया गया था, और पहले सामान्यीकृत {{math|''n''}} 1836 में [[मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की]] द्वारा चर, इसने आश्चर्यजनक रूप से लंबे समय के लिए पूरी तरह से कठोर औपचारिक प्रमाण का विरोध किया, और 125 साल पश्चात् पहली बार संतोषजनक रूप से हल किया गया था, एली कार्टन द्वारा 1890 के दशक के मध्य में प्रारंभ होने वाले पत्रों की एक श्रृंखला में।<ref>{{harvnb|Katz|1982}}</ref><ref>{{harvnb|Ferzola|1994}}</ref>
 == संभाव्यता में आवेदन ==
-प्रायिकता में निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है: एक यादृच्छिक चर दिया गया है <math>X</math> संभाव्यता घनत्व के साथ <math>p_X</math> और दूसरा यादृच्छिक चर <math>Y</math> ऐसा है कि <math>Y=\phi(X)</math> इंजेक्शन समारोह के लिए (एक-से-एक) <math>\phi</math>, के लिए प्रायिकता घनत्व क्या है <math>Y</math>?
+प्रायिकता में निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है: एक यादृच्छिक चर दिया गया है <math>X</math> संभाव्यता घनत्व के साथ <math>p_X</math> और दूसरा यादृच्छिक चर <math>Y</math> ऐसा है कि <math>Y=\phi(X)</math> इंजेक्शन फलन  के लिए (एक-से-एक) <math>\phi</math>, के लिए प्रायिकता घनत्व क्या है <math>Y</math>?
-पहले थोड़े अलग प्रश्न का उत्तर देकर इस प्रश्न का उत्तर देना सबसे आसान है: इसकी क्या प्रायिकता है <math>Y</math> किसी विशेष उपसमुच्चय में मान लेता है <math>S</math>? इस संभावना को निरूपित करें <math>P(Y \in S)</math>. बेशक अगर <math>Y</math> संभाव्यता घनत्व है <math>p_Y</math> तो जवाब है
+पहले थोड़े भिन्न प्रश्न का उत्तर देकर इस प्रश्न का उत्तर देना सबसे आसान है: इसकी क्या प्रायिकता है <math>Y</math> किसी विशेष उपसमुच्चय में मान लेता है <math>S</math>? इस संभावना को निरूपित करें <math>P(Y \in S)</math>. बेशक यदि <math>Y</math> संभाव्यता घनत्व है <math>p_Y</math> तब उत्तर है
 :<math>P(Y \in S) = \int_S p_Y(y)\,dy, </math>
-लेकिन यह वास्तव में उपयोगी नहीं है क्योंकि हम नहीं जानते <math>p_Y</math>; हम इसे खोजने की कोशिश कर रहे हैं। हम चर में समस्या पर विचार करके प्रगति कर सकते हैं <math>X</math>.  <math>Y</math> में मान लेता है <math>S</math> जब कभी भी <math>X</math> में मान लेता है <math>\phi^{-1}(S)</math>, इसलिए
+किन्तु यह वास्तव में उपयोगी नहीं है क्योंकि हम नहीं जानते <math>p_Y</math>; हम इसे खोजने की कोशिश कर रहे हैं। हम चर में समस्या पर विचार करके प्रगति कर सकते हैं <math>X</math>.  <math>Y</math> में मान लेता है <math>S</math> जब कभी भी <math>X</math> में मान लेता है <math>\phi^{-1}(S)</math>, इसलिए
 :<math>P(Y \in S) = P(X \in \phi^{-1}(S)) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx.</math>
@@ Line 177: / Line 178: @@
 :<math>p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|.</math>
-मामले में जहां <math>X</math> और <math>Y</math> कई असंबद्ध चरों पर निर्भर करता है, अर्थात <math>p_X=p_X(x_1, \ldots, x_n)</math> और <math>y=\phi(x)</math>, <math>p_Y</math> ऊपर चर्चा किए गए कई चरों में प्रतिस्थापन द्वारा पाया जा सकता है। परिणाम है
+स्थितियोंमें जहां <math>X</math> और <math>Y</math> अनेक असंबद्ध चरों पर निर्भर करता है, अर्थात <math>p_X=p_X(x_1, \ldots, x_n)</math> और <math>y=\phi(x)</math>, <math>p_Y</math> ऊपर चर्चा किए गए अनेक चरों में प्रतिस्थापन द्वारा पाया जा सकता है। परिणाम है
 :<math>p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\det D\phi ^{-1}(y) \right|.</math>
@@ Line 184: / Line 185: @@
 == यह भी देखें ==
 {{Portal|Mathematics}}
-*[[संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन]]
+*[[संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन|संभाव्यता सघनता फलन]]
 * [[चर का प्रतिस्थापन]]
 * त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

v t e Integrals
Types of integrals	Riemann integral Lebesgue integral Burkill integral Bochner integral Daniell integral Darboux integral Henstock–Kurzweil integral Haar integral Hellinger integral Khinchin integral Kolmogorov integral Lebesgue–Stieltjes integral Pettis integral Pfeffer integral Riemann–Stieltjes integral Regulated integral
Integration techniques	Substitution Trigonometric Euler Weierstrass By parts Partial fractions Euler's formula Inverse functions Changing order Reduction formulas Parametric derivatives Differentiation under the integral sign Laplace transform Contour integration Laplace's method Numerical integration Simpson's rule Trapezoidal rule Risch algorithm
Improper integrals	Gaussian integral Dirichlet integral Fermi–Dirac integral complete incomplete Bose–Einstein integral Frullani integral Common integrals in quantum field theory
Stochastic integrals	Itô integral Russo–Vallois integral Stratonovich integral Skorokhod integral
Miscellaneous	Basel problem Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Volumes Washers Shells

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Revision as of 21:07, 10 July 2023

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एकल चर के लिए प्रतिस्थापन

परिचय

निश्चित अभिन्न

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उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

एंटीडेरिवेटिव्स

एकाधिक चर के लिए प्रतिस्थापन

संभाव्यता में आवेदन

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