ऋणात्मक बहुपद वितरण: Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, नकारात्मक बहुपद वितरण [[नकारात्मक द्विपद वितरण]] (एनबी(''x'') का एक सामान्यीकरण है<sub>0</sub>, p)) दो से अधिक परिणामों के लिए।<ref name="LeGall">Le Gall, F. The modes of a negative multinomial distribution, Statistics & Probability Letters, Volume 76, Issue 6, 15 March 2006, Pages 619-624, ISSN 0167-7152, [http://www.sciencedirect.com/science/article/B6V1D-4H7T8P0-1/2/54b376fc96fdd6ad4331325a822df997 10.1016/j.spl.2005.09.009].</ref>
 
अविभाज्य नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर <math>x_0</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है, नकारात्मक बहुपद वितरण में एक [[कलश मॉडल]] व्याख्या है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो m+1≥2 संभावित परिणाम उत्पन्न करता है, {X<sub>0</sub>,...,एक्स<sub>''m''</sub>}, प्रत्येक गैर-नकारात्मक संभावनाओं के साथ घटित होता है {पी<sub>0</sub>,...,पी<sub>''m''</sub>} क्रमश। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहा, तो {X<sub>0</sub>,...,एक्स<sub>''m''</sub>} [[बहुपद वितरण]] होता। हालाँकि, यदि एक्स एक बार प्रयोग बंद कर दिया जाता है<sub>0</sub> पूर्व निर्धारित मान x तक पहुँच जाता है<sub>0</sub> (मानते हुए x<sub>0</sub> एक धनात्मक पूर्णांक है), तो m-tuple {X का वितरण<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''m''</sub>} ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग X है<sub>1</sub>+...+एक्स<sub>''m''</sub> ऋणात्मक द्विपद वितरण से उत्पन्न होने के कारण स्थिर नहीं है।
संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, नकारात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए नकारात्मक द्विपद वितरण (NB(''x''<sub>0</sub>, ''p'')) का एक सामान्यीकरण है।<ref name="LeGall">Le Gall, F. The modes of a negative multinomial distribution, Statistics & Probability Letters, Volume 76, Issue 6, 15 March 2006, Pages 619-624, ISSN 0167-7152, [http://www.sciencedirect.com/science/article/B6V1D-4H7T8P0-1/2/54b376fc96fdd6ad4331325a822df997 10.1016/j.spl.2005.09.009].</ref>
 
अविभाज्य नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर <math>x_0</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो नकारात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या होती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो ''m''+1≥2 संभावित परिणाम, {''X''<sub>0</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} उत्पन्न करता है, प्रत्येक क्रमशः गैर-नकारात्मक संभावनाओं {''p''<sub>0</sub>,...,''p<sub>m</sub>''} के साथ होता है। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहता, तो {''X''<sub>0</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} को बहुपद रूप से वितरित किया गया होता। चूँकि , यदि ''X''<sub>0</sub> पूर्व निर्धारित मान ''X''<sub>0</sub> पर पहुँच जाता है (यह मानते हुए कि ''X''<sub>0</sub> एक धनात्मक पूर्णांक है) तो प्रयोग रोक दिया जाता है, तो m-tuple {''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} का वितरण ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग ''X''<sub>1</sub>+...+''X<sub>m</sub>'' निश्चित नहीं है, जो एक नकारात्मक द्विपद वितरण से लिया गया है।


==गुण==
==गुण==
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\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math>
\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math>
और तदनुसार  <math>\boldsymbol{p}</math>  
और इसलिए <math>\boldsymbol{p}</math>  
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\boldsymbol p
\boldsymbol p
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\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math>
\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math>
और जाने
और जाने
<math display="block">q = 1-\sum_i p_i^{(2)} = p_0+\sum_i p_i^{(1)}</math>
<math display="block">q = 1-\sum_i p_i^{(2)} = p_0+\sum_i p_i^{(1)}</math><math>\boldsymbol X^{(1)}</math> का सीमांत वितरण <math>\mathrm{NM}(x_0,p_0/q, \boldsymbol p^{(1)}/q )</math> है। अथार्त सीमांत वितरण भी नकारात्मक बहुपद है जिसमें <math>\boldsymbol p^{(2)}</math> को हटा दिया गया है और शेष पी को उचित रूप से स्केल किया गया है जिससे एक में जोड़ा जा सकता है ।
का सीमांत वितरण <math>\boldsymbol X^{(1)}</math> है <math>\mathrm{NM}(x_0,p_0/q, \boldsymbol p^{(1)}/q )</math>. अर्थात् सीमांत वितरण के साथ ऋणात्मक बहुपद भी है <math>\boldsymbol p^{(2)}</math> हटा दिया गया है और शेष पी को ठीक से स्केल किया गया है ताकि एक में जोड़ा जा सके।


अविभाज्य सीमांत <math>m=1</math> ऐसा कहा जाता है कि इसका द्विपद वितरण ऋणात्मक है।
कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत <math>m=1</math> का ऋणात्मक द्विपद वितरण होता है।


===सशर्त वितरण===
===नियमित वितरण===


का सशर्त_संभावना_वितरण <math>\mathbf{X}^{(1)}</math> दिया गया <math>\mathbf{X}^{(2)}=\mathbf{x}^{(2)}</math> है <math display="inline">\mathrm{NM}(x_0+\sum{x_i^{(2)}},\mathbf{p}^{(1)}) </math>. वह है,
नियमित _संभावना_वितरण <math>\mathbf{X}^{(1)}</math> दिया गया <math>\mathbf{X}^{(2)}=\mathbf{x}^{(2)}</math> है <math display="inline">\mathrm{NM}(x_0+\sum{x_i^{(2)}},\mathbf{p}^{(1)}) </math>. वह है,
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\Pr(\mathbf{x}^{(1)}\mid \mathbf{x}^{(2)}, x_0, \mathbf{p} )= \Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{(1-\sum_{i=1}^n{p_i^{(1)}})^{x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)}}}{\Gamma(x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)})}\prod_{i=1}^n{\frac{(p_i^{(1)})^{x_i}}{(x_i^{(1)})!}}.
\Pr(\mathbf{x}^{(1)}\mid \mathbf{x}^{(2)}, x_0, \mathbf{p} )= \Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{(1-\sum_{i=1}^n{p_i^{(1)}})^{x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)}}}{\Gamma(x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)})}\prod_{i=1}^n{\frac{(p_i^{(1)})^{x_i}}{(x_i^{(1)})!}}.
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===स्वतंत्र योग===
===स्वतंत्र योग===
अगर <math>\mathbf{X}_1 \sim \mathrm{NM}(r_1, \mathbf{p})</math> और अगर <math>\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_2, \mathbf{p})</math> तो [[स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत)]] हैं
यदि  <math>\mathbf{X}_1 \sim \mathrm{NM}(r_1, \mathbf{p})</math> और यदि  <math>\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_2, \mathbf{p})</math> तो [[स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत)]] हैं जो की <math>\mathbf{X}_1+\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_1+r_2, \mathbf{p})</math>. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन  से यह देखना आसान है कि नकारात्मक बहुपद [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] है।
<math>\mathbf{X}_1+\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_1+r_2, \mathbf{p})</math>. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फ़ंक्शन से यह देखना आसान है कि नकारात्मक बहुपद [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] है।


===एकत्रीकरण===
===एकत्रीकरण===
अगर
यदि
<math display="block">\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM}(x_0, (p_1,\ldots,p_m))</math>
<math display="block">\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM}(x_0, (p_1,\ldots,p_m))</math>
फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है,
फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है,
<math display="block">\mathbf{X}' = (X_1, \ldots, X_i + X_j, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM} (x_0, (p_1, \ldots, p_i + p_j, \ldots, p_m)).</math>
<math display="block">\mathbf{X}' = (X_1, \ldots, X_i + X_j, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM} (x_0, (p_1, \ldots, p_i + p_j, \ldots, p_m)).</math>
इस एकत्रीकरण संपत्ति का उपयोग सीमांत वितरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है <math>X_i</math> उपर्युक्त।
इस एकत्रीकरण गुण का उपयोग ऊपर उल्लिखित <math>X_i</math> के सीमांत वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।


===सहसंबंध मैट्रिक्स===
===सहसंबंध आव्यूह ===
सहसंबंध मैट्रिक्स#सहसंबंध मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ हैं
सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं
<math display="block">\rho(X_i,X_i) = 1.</math>
<math display="block">\rho(X_i,X_i) = 1.</math>
<math display="block">\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}} = \sqrt{\frac{p_i  p_j}{(p_0+p_i)(p_0+p_j)}}.</math>
<math display="block">\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}} = \sqrt{\frac{p_i  p_j}{(p_0+p_i)(p_0+p_j)}}.</math>
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यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें
यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें
<math display="block">\boldsymbol{\mu}=\frac{x_0}{p_0}\mathbf{p}</math>
<math display="block">\boldsymbol{\mu}=\frac{x_0}{p_0}\mathbf{p}</math>
और सहप्रसरण मैट्रिक्स
और सहप्रसरण आव्यूह
<math display="block">\boldsymbol{\Sigma}=\tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{p}\mathbf{p}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}),</math>
<math display="block">\boldsymbol{\Sigma}=\tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{p}\mathbf{p}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}),</math>
फिर [[निर्धारकों]] के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है <math display="inline"> |\boldsymbol{\Sigma}| = \frac{1}{p_0}\prod_{i=1}^m{\mu_i}</math>. इससे तो यही पता चलता है
फिर [[निर्धारकों]] के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है <math display="inline"> |\boldsymbol{\Sigma}| = \frac{1}{p_0}\prod_{i=1}^m{\mu_i}</math>. इससे तो यही पता चलता है
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* नकारात्मक द्विपद वितरण
* नकारात्मक द्विपद वितरण
* बहुपद वितरण
* बहुपद वितरण
* उलटा डिरिक्लेट वितरण, नकारात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व
* व्युत्क्रम डिरिक्लेट वितरण, नकारात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व
* [[डिरिचलेट नकारात्मक बहुपद वितरण]]
* [[डिरिचलेट नकारात्मक बहुपद वितरण]]



Revision as of 10:40, 12 July 2023

Notation
Parameters — the number of failures before the experiment is stopped,
Rmm-vector of "success" probabilities,

p0 = 1 − (p1+…+pm) — the probability of a "failure".
Support
PMF
where Γ(x) is the Gamma function.
Mean
Variance
MGF
CF


संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, नकारात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए नकारात्मक द्विपद वितरण (NB(x0, p)) का एक सामान्यीकरण है।[1]

अविभाज्य नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो नकारात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या होती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो m+1≥2 संभावित परिणाम, {X0,...,Xm} उत्पन्न करता है, प्रत्येक क्रमशः गैर-नकारात्मक संभावनाओं {p0,...,pm} के साथ होता है। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहता, तो {X0,...,Xm} को बहुपद रूप से वितरित किया गया होता। चूँकि , यदि X0 पूर्व निर्धारित मान X0 पर पहुँच जाता है (यह मानते हुए कि X0 एक धनात्मक पूर्णांक है) तो प्रयोग रोक दिया जाता है, तो m-tuple {X1,...,Xm} का वितरण ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग X1+...+Xm निश्चित नहीं है, जो एक नकारात्मक द्विपद वितरण से लिया गया है।

गुण

सीमांत वितरण

यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है

और इसलिए
और जाने
का सीमांत वितरण है। अथार्त सीमांत वितरण भी नकारात्मक बहुपद है जिसमें को हटा दिया गया है और शेष पी को उचित रूप से स्केल किया गया है जिससे एक में जोड़ा जा सकता है ।

कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत का ऋणात्मक द्विपद वितरण होता है।

नियमित वितरण

नियमित _संभावना_वितरण दिया गया है . वह है,


स्वतंत्र योग

यदि और यदि तो स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं जो की . इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन से यह देखना आसान है कि नकारात्मक बहुपद अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

एकत्रीकरण

यदि

फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है,
इस एकत्रीकरण गुण का उपयोग ऊपर उल्लिखित के सीमांत वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

सहसंबंध आव्यूह

सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं


पैरामीटर अनुमान

क्षणों की विधि

यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें

और सहप्रसरण आव्यूह
फिर निर्धारकों के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है . इससे तो यही पता चलता है
और
नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है
और


संबंधित वितरण

संदर्भ

  1. Le Gall, F. The modes of a negative multinomial distribution, Statistics & Probability Letters, Volume 76, Issue 6, 15 March 2006, Pages 619-624, ISSN 0167-7152, 10.1016/j.spl.2005.09.009.

Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi- nomial distribution. Biometrics 53: 971–82.


अग्रिम पठन

Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997). "Chapter 36: Negative Multinomial and Other Multinomial-Related Distributions". Discrete Multivariate Distributions. Wiley. ISBN 978-0-471-12844-1.