पर्सिस्टेंट बेट्टी नंबर

लगातार होमोलॉजी में, एक लगातार बेटी संख्या एक बेटी संख्या का एक बहुस्तरीय एनालॉग है जो होमोलॉजी (गणित) की संख्या को ट्रैक करती है जो एक निस्पंदन (गणित) में कई पैमाने के मापदंडों पर बनी रहती है। जबकि शास्त्रीय $n^{th}$ बेट्टी संख्या के रैंक के बराबर है $n^{th}$ होमोलॉजी (गणित), द $n^{th}$ परसिस्टेंट बेट्टी नंबर की रैंक है $n^{th}$ लगातार होमोलॉजी समूह। पर्सिस्टेंट बेट्टी नंबर की अवधारणा को 2002 के पेपर टोपोलॉजिकल पर्सिस्टेंस एंड सिम्प्लीफिकेशन में हर्बर्ट एडेल्सब्रूनर, डेविड लेट्सचर और अफ़्रा ज़ोमोरोडियन द्वारा पेश किया गया था, जो लगातार होमोलॉजी और टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण के क्षेत्र में मौलिक पत्रों में से एक है। परसिस्टेंट बेट्टी नंबर के अनुप्रयोग डेटा विश्लेषण सहित विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं, यंत्र अधिगम, और भौतिकी.

परिभाषा

होने देना $K$ एक सरल जटिल बनें, और रहने दें $f:K\to \mathbb {R}$ एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन हो, यानी, गैर-घटने वाला फ़ंक्शन। एकरसता की आवश्यकता इस बात की गारंटी देती है कि स्तर निर्धारित है $K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]$ का एक उपसमुच्चय है $K$ सभी के लिए $a\in \mathbb {R}$. पैरामीटर देना $a$ अलग-अलग, हम इन उप-परिसरों को एक नेस्टेड अनुक्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं $\emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K$ किसी प्राकृतिक संख्या के लिए $n$. यह अनुक्रम कॉम्प्लेक्स पर निस्पंदन को परिभाषित करता है $K$.

सतत समरूपता एक निस्पंदन में टोपोलॉजिकल विशेषताओं के विकास से संबंधित है। उस अंत तक, ले कर $p^{th}$ प्रत्येक कॉम्प्लेक्स के होमोलॉजी समूह को छानने से हमें होमोलॉजी समूहों का एक क्रम प्राप्त होता है $0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)$ जो निस्पंदन में समावेशन मानचित्र द्वारा प्रेरित समरूपता द्वारा जुड़े हुए हैं। फ़ील्ड (गणित) पर होमोलॉजी लागू करते समय, हमें सदिश स्थल और रैखिक मानचित्र का एक अनुक्रम मिलता है जिसे आमतौर पर दृढ़ता मॉड्यूल के रूप में जाना जाता है।

प्रत्येक व्यक्तिगत सूचकांक पर स्थिर टोपोलॉजिकल जानकारी के विपरीत होमोलॉजिकल विशेषताओं के विकास को ट्रैक करने के लिए, किसी को केवल गैर-तुच्छ होमोलॉजी वर्गों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता होती है जो निस्पंदन में बनी रहती हैं, यानी, जो कई पैमाने के मापदंडों में गैर-तुच्छ रहती हैं।

प्रत्येक के लिए $i\leq j$, होने देना $f_{p}^{i,j}$ प्रेरित समरूपता को निरूपित करें $H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})$. फिर$p^{th}$ सतत समरूपता समूहों को प्रत्येक प्रेरित मानचित्र की छवि (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, $H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}$ सभी के लिए $0\leq i\leq j\leq n$.

शास्त्रीय बेट्टी संख्या के समानांतर,$p^{th}$ लगातार बेट्टी संख्याएं सटीक रूप से रैंक हैं$p^{th}$लगातार समरूपता समूह, परिभाषा द्वारा दिए गए $\beta _{p}^{i,j}:=\operatorname {rank} H_{p}^{i,j}$.