सम्मिश्र सामान्य वितरण

Complex normal

Parameters	$\mathbf {\mu } \in \mathbb {C} ^{n}$ — location $\Gamma \in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — covariance matrix (positive semi-definite matrix) $C\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — relation matrix (complex symmetric matrix)
Support	$\mathbb {C} ^{n}$
PDF	complicated, see text
Mean	$\mathbf {\mu }$
Mode	$\mathbf {\mu }$
Variance	$\Gamma$
CF	$\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}}$

संभाव्यता सिद्धांत में, जटिल सामान्य वितरण का वर्ग , जिसे ${\mathcal {CN}}$ या ${\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}$ कहा जाता है, जटिल यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं। जटिल सामान्य वर्ग में तीन पैरामीटर होते हैं: स्थान पैरामीटर μ, सहप्रसरण मैट्रिक्स $\Gamma$, और संबंध मैट्रिक्स $C$. मानक जटिल सामान्य $\mu =0$, $\Gamma =1$और $C=0$ के साथ एकतरफा वितरण है।

जटिल सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) जटिल सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध मैट्रिक्स और शून्य माध्य के मामले से मेल खाता है: $\mu =0$ और $C=0$। [ इस मामले का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां कभी-कभी इसे साहित्य में केवल जटिल सामान्य के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषाएँ

जटिल मानक सामान्य यादृच्छिक चर

मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या मानक जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर एक जटिल यादृच्छिक चर है $Z$ जिनके वास्तविक और काल्पनिक भाग माध्य शून्य और विचरण के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं $1/2$. औपचारिक रूप से,

$Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)$

(Eq.1)

कहाँ $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ यह दर्शाता है $Z$ एक मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर है।

जटिल सामान्य यादृच्छिक चर

कल्पना करना $X$ और $Y$ ऐसे वास्तविक यादृच्छिक चर हैं $(X,Y)^{\mathrm {T} }$ एक 2-आयामी सामान्य यादृच्छिक वेक्टर है। फिर जटिल यादृच्छिक चर $Z=X+iY$ जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर कहा जाता है।

$Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$

(Eq.2)

जटिल मानक सामान्य यादृच्छिक वेक्टर

एक एन-आयामी जटिल यादृच्छिक वेक्टर $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ एक जटिल मानक सामान्य यादृच्छिक वेक्टर या जटिल मानक गॉसियन यादृच्छिक वेक्टर है यदि इसके घटक स्वतंत्र हैं और वे सभी मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। वह $\mathbf {Z}$ एक मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक वेक्टर निरूपित किया जाता है $\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})$.

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$

(Eq.3)

जटिल सामान्य यादृच्छिक वेक्टर

अगर $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$ और $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ में यादृच्छिक वेक्टर हैं $\mathbb {R} ^{n}$ ऐसा है कि $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ के साथ एक सामान्य यादृच्छिक वेक्टर है $2n$ अवयव। तब हम कहते हैं कि जटिल यादृच्छिक वेक्टर

$\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,$

एक जटिल सामान्य यादृच्छिक वेक्टर या एक जटिल गाऊसी यादृच्छिक वेक्टर है।

$\mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$

(Eq.4)

माध्य, सहप्रसरण, और संबंध

जटिल गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:

$\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],$

कहाँ $\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }$ मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है $\mathbf {Z}$, और $\mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }$ संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है।

यहां स्थान पैरामीटर है $\mu$ एक एन-आयामी जटिल वेक्टर है; सहप्रसरण मैट्रिक्स $\Gamma$ हर्मिटियन मैट्रिक्स और गैर-नकारात्मक निश्चित है; और, संबंध मैट्रिक्स या छद्म सहप्रसरण मैट्रिक्स $C$ सममित मैट्रिक्स है. जटिल सामान्य यादृच्छिक वेक्टर $\mathbf {Z}$ अब के रूप में दर्शाया जा सकता है

$$\mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).$$

इसके अलावा, मैट्रिक्स $\Gamma$ और $C$ ऐसे हैं कि मैट्रिक्स

$P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C$

यह भी गैर-नकारात्मक निश्चित है ${\overline {\Gamma }}$ के जटिल संयुग्म को दर्शाता है $\Gamma$.

सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध

Main article: Complex random vector § Covariance matrix and pseudo-covariance matrix

किसी भी जटिल यादृच्छिक वेक्टर के लिए, मैट्रिक्स $\Gamma$ और $C$ के सहप्रसरण मैट्रिक्स से संबंधित हो सकता है $\mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )$ और $\mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )$ अभिव्यक्ति के माध्यम से

${\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}$

और इसके विपरीत

${\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}$

घनत्व फलन

जटिल सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना इस प्रकार की जा सकती है

${\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}$

कहाँ $R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}$ और $P={\overline {\Gamma }}-RC$.

विशेषता कार्य

जटिल सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) किसके द्वारा दिया गया है?: $\varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},$ जहां तर्क $w$ एक एन-आयामी जटिल वेक्टर है।

गुण

• अगर $\mathbf {Z}$ एक जटिल सामान्य एन-वेक्टर है, ${\boldsymbol {A}}$ एक m×n मैट्रिक्स, और $b$ एक स्थिर एम-वेक्टर, फिर रैखिक परिवर्तन ${\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b$ जटिल-सामान्य रूप से भी वितरित किया जाएगा:

$Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })$

• अगर $\mathbf {Z}$ तो, एक जटिल सामान्य एन-वेक्टर है

$2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)$

• केंद्रीय सीमा प्रमेय। अगर $Z_{1},\ldots ,Z_{T}$ तो, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित जटिल यादृच्छिक चर हैं

${\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),$

कहाँ $\Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]$ और $C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]$.

• एक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक होयट वितरण का अनुसरण करता है।

वृत्ताकार-सममित केंद्रीय मामला

परिभाषा

एक जटिल यादृच्छिक वेक्टर $\mathbf {Z}$ यदि प्रत्येक नियति के लिए इसे गोलाकार सममित कहा जाता है $\varphi \in [-\pi ,\pi )$ का वितरण $e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z}$ के वितरण के बराबर है $\mathbf {Z}$.

Main article: Complex random vector § Circular symmetry

केंद्रीय सामान्य जटिल यादृच्छिक वेक्टर जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण मैट्रिक्स द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं $\Gamma$.

गोलाकार-सममित (केंद्रीय) जटिल सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध मैट्रिक्स के मामले से मेल खाता है, अर्थात। $\mu =0$ और $C=0$. इसे आमतौर पर दर्शाया जाता है

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )$

वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण

अगर $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ गोलाकार-सममित (केंद्रीय) जटिल सामान्य है, फिर वेक्टर $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ सहप्रसरण संरचना के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य है

${\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\mu \\\operatorname {Im} \,\mu \end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}$

कहाँ $\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0$ और $\Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]$.

संभावना घनत्व फ़ंक्शन

गैर-एकवचन सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए $\Gamma$, इसके वितरण को भी सरल बनाया जा सकता है

$f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}$.

इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है $\mu$ और सहप्रसरण मैट्रिक्स $\Gamma$ अज्ञात हैं, एकल अवलोकन वेक्टर के लिए एक उपयुक्त लॉग संभावना फ़ंक्शन $z$ होगा

$\ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).$

मानक जटिल सामान्य (में परिभाषित) Eq.1)एक अदिश यादृच्छिक चर के वितरण के अनुरूप है $\mu =0$, $C=0$ और $\Gamma =1$. इस प्रकार, मानक जटिल सामान्य वितरण में घनत्व होता है

$f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.$

गुण

उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मामला क्यों है $C=0$, $\mu =0$ "वृत्ताकार-सममित" कहा जाता है। घनत्व फलन केवल के परिमाण पर निर्भर करता है $z$ लेकिन इसके Arg (गणित) पर नहीं. इस प्रकार, परिमाण $|z|$ एक मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर में रेले वितरण और वर्ग परिमाण होगा $|z|^{2}$ घातांकीय वितरण होगा, जबकि तर्क को समान वितरण (निरंतर) पर वितरित किया जाएगा $[-\pi ,\pi ]$.

अगर $\left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित एन-आयामी परिपत्र जटिल सामान्य यादृच्छिक वैक्टर हैं $\mu =0$, फिर यादृच्छिक वर्ग मानदंड

$Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}$

इसमें सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण और यादृच्छिक मैट्रिक्स है

$W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }$

के साथ जटिल विशरट वितरण है $k$ स्वतंत्रता की कोटियां। इस वितरण को घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है

$f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}$

कहाँ $k\geq n$, और $w$ एक है $n\times n$ गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स।

यह भी देखें

• जटिल सामान्य अनुपात वितरण
• दिशात्मक आँकड़े#माध्य का वितरण (ध्रुवीय रूप)
• सामान्य वितरण
• बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण (एक जटिल सामान्य वितरण एक द्विचर सामान्य वितरण है)
• सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण
• विशार्ट वितरण
• जटिल यादृच्छिक चर

अग्रिम पठन

• Goodman, N.R. (1963). "Statistical analysis based on a certain multivariate complex Gaussian distribution (an introduction)". The Annals of Mathematical Statistics. 34 (1): 152–177. doi:10.1214/aoms/1177704250. JSTOR 2991290.
• Picinbono, Bernard (1996). "Second-order complex random vectors and normal distributions". IEEE Transactions on Signal Processing. 44 (10): 2637–2640. doi:10.1109/78.539051.

• Wollschlaeger, Daniel. "ShotGroups." Hoyt. RDocumentation, n.d. Web. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt.
• Gallager, Robert G (2008). "Circularly-Symmetric Gaussian Random Vectors." (n.d.): n. pag. Pre-print. Web. 9 http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.