पी-समूह: Difference between revisions

Revision as of 22:18, 11 July 2023

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, अभाज्य संख्या पी दी जाती है, 'पी-समूह' समूह (गणित) है जिसमें प्रत्येक तत्व के समूह तत्व का क्रम पी की शक्ति (गणित) है। अर्थात्, पी-समूह जी के प्रत्येक तत्व जी के लिए, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n मौजूद है जैसे कि पी का उत्पादⁿg की प्रतियां, और कम नहीं, पहचान तत्व के बराबर है। विभिन्न तत्वों का क्रम p की भिन्न-भिन्न शक्तियाँ हो सकता है।

एबेलियन समूह पी-समूहों को 'पी-प्राथमिक' या केवल 'प्राथमिक' भी कहा जाता है।

एक परिमित समूह पी-समूह है यदि और केवल यदि समूह का क्रम (इसके तत्वों की संख्या) पी की शक्ति है। परिमित समूह G को देखते हुए, सिलो प्रमेय क्रम p के G के उपसमूह के अस्तित्व की गारंटी देते हैंⁿप्रत्येक सर्वोच्च शक्ति पी के लिएⁿ जो G के क्रम को विभाजित करता है।

प्रत्येक परिमित पी-समूह निलपोटेंट समूह है।

इस लेख का शेष भाग परिमित पी-समूहों से संबंधित है। अनंत एबेलियन पी-समूह के उदाहरण के लिए, प्रुफ़र समूह देखें, और अनंत सरल समूह पी-समूह के उदाहरण के लिए, टार्स्की राक्षस समूह देखें।

गुण

प्रत्येक पी-समूह आवर्त समूह है क्योंकि परिभाषा के अनुसार प्रत्येक तत्व का क्रम सीमित होता है।

यदि p अभाज्य है और G क्रम p का समूह है^k, तो G के पास क्रम p का सामान्य उपसमूह है^mप्रत्येक 1 ≤ m ≤ k के लिए। इसके बाद समूहों के लिए कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय और पत्राचार प्रमेय (समूह सिद्धांत) का उपयोग करके प्रेरण किया जाता है। प्रमाण रेखाचित्र इस प्रकार है: क्योंकि कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) के अनुसार G के समूह Z का केंद्र तुच्छ समूह | गैर-तुच्छ (नीचे देखें) है | कॉची के प्रमेय Z में क्रम p का उपसमूह H है। जी में केंद्रीय होने के नाते, एच अनिवार्य रूप से जी में सामान्य है। अब हम आगमनात्मक परिकल्पना को जी/एच पर लागू कर सकते हैं, और परिणाम पत्राचार प्रमेय से आता है।

गैर-तुच्छ केंद्र

वर्ग समीकरण का उपयोग करने वाले पहले मानक परिणामों में से यह है कि गैर-तुच्छ परिमित पी-समूह का केंद्र (समूह सिद्धांत) तुच्छ उपसमूह नहीं हो सकता है।^[1] यह पी-समूहों में कई आगमनात्मक विधियों का आधार बनता है।

उदाहरण के लिए, परिमित पी-समूह जी के उचित उपसमूह एच के सामान्यीकरणकर्ता एन में उचित रूप से एच शामिल है, क्योंकि एच = एन के साथ किसी भी प्रति-उदाहरण के लिए, केंद्र जेड एन में निहित है, और इसी तरह एच में भी, लेकिन फिर है छोटा उदाहरण H/Z जिसका G/Z में सामान्यीकरणकर्ता N/Z = H/Z है, जो अनंत वंश का निर्माण करता है। परिणाम के रूप में, प्रत्येक परिमित पी-समूह शून्यशक्तिशाली समूह है।

दूसरी दिशा में, परिमित पी-समूह का प्रत्येक सामान्य उपसमूह एन केंद्र को गैर-तुच्छ रूप से काटता है जैसा कि एन के तत्वों पर विचार करके साबित किया जा सकता है जो तब तय होते हैं जब जी संयुग्मन द्वारा एन पर कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक केंद्रीय उपसमूह सामान्य है, इसका तात्पर्य यह है कि परिमित पी-समूह का प्रत्येक न्यूनतम सामान्य उपसमूह केंद्रीय है और उसका क्रम पी है। दरअसल, परिमित पी-समूह के समूह का आधार केंद्र का उपसमूह है जिसमें क्रम पी के केंद्रीय तत्व शामिल हैं।

यदि G p-समूह है, तो G/Z भी है, और इसलिए इसका भी गैर-तुच्छ केंद्र है। जी में जी/जेड के केंद्र की पूर्वछवि को केंद्र (समूह सिद्धांत)#उच्च केंद्र कहा जाता है और ये समूह ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला शुरू करते हैं। सोसल के बारे में पहले की टिप्पणियों को सामान्यीकृत करते हुए, क्रम पी के साथ परिमित पी-समूहⁿ में क्रम p के सामान्य उपसमूह शामिल हैंⁱ 0 ≤ i ≤ n के साथ, और क्रम p का कोई भी सामान्य उपसमूहⁱitth केंद्र Z में समाहित है_i. यदि सामान्य उपसमूह Z में समाहित नहीं है_i, फिर इसका प्रतिच्छेदन Z के साथ है_i+1 इसका आकार कम से कम p है^मैं+1.

ऑटोमोर्फिज्म

पी-समूहों के समूह ऑटोमोर्फिज़्म समूहों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। जिस प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ केंद्र होता है ताकि आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह समूह का उचित भागफल हो, उसी प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ समूह स्वचालितता समूह हो. G का प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म G/Φ(G) पर ऑटोमोर्फिज्म प्रेरित करता है, जहां Φ(G) G का फ्रैटिनी उपसमूह है। भागफल G/Φ(G) प्रारंभिक एबेलियन समूह है और इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह सामान्य रैखिक समूह है, बहुत अच्छी तरह से समझ में आया. जी के ऑटोमोर्फिज्म समूह से इस सामान्य रैखिक समूह में मानचित्र का अध्ययन विलियम बर्नसाइड द्वारा किया गया है, जिन्होंने दिखाया कि इस मानचित्र का कर्नेल पी-समूह है।

उदाहरण

समान क्रम के पी-समूह आवश्यक रूप से समरूपता नहीं हैं; उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह सी₄ और क्लेन चार-समूह वी₄ दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं, लेकिन वे समरूपी नहीं हैं।

न ही किसी पी-समूह को एबेलियन समूह होने की आवश्यकता है; डायहेड्रल समूह दिह₄ क्रम 8 का गैर-एबेलियन 2-समूह है। हालाँकि, ऑर्डर पी का प्रत्येक समूह²एबेलियन है, डायहेड्रल समूह चतुर्धातुक समूहों और सेमीडायहेड्रल समूहों के समान और बहुत भिन्न दोनों हैं। डायहेड्रल, अर्धफलकीय समूह क्वाटरनियन समूह मिलकर अधिकतम वर्ग के 2-समूह बनाते हैं, यानी क्रम 2 के समूहⁿ⁺¹ और निलपोटेंसी क्लास एन।

पुनरावृत्त पुष्पांजलि उत्पाद

क्रम p के चक्रीय समूहों के पुनरावृत्त पुष्प उत्पाद, p-समूहों के बहुत महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। क्रम p के चक्रीय समूह को W(1) के रूप में और W(1) के साथ W(n) के पुष्प उत्पाद को W(n + 1) के रूप में निरूपित करें। तब W(n) सममित समूह Sym(p) का सिलो पी-उपसमूह हैⁿ). सामान्य रैखिक समूह GL(n,'Q') के अधिकतम p-उपसमूह विभिन्न W(n) के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। इसमें ऑर्डर पी है^क जहां क = (पृⁿ - 1)/(p - 1). इसमें निलपोटेंसी क्लास पी हैⁿ⁻¹, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला, ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला, निचली घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला, और ऊपरी घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला बराबर हैं। यह क्रम p के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन इसका प्रतिपादक p हैⁿ. ऐसा दूसरा समूह, W(2), भी अधिकतम वर्ग का p-समूह है, क्योंकि इसका क्रम p है^p+1 और nilpotency वर्ग p, लेकिन यह नियमित p-समूह नहीं है|नियमित p-समूह। चूंकि आदेश के समूह पी^पीहमेशा नियमित समूह होते हैं, यह भी ऐसा न्यूनतम उदाहरण है।

सामान्यीकृत डायहेड्रल समूह

जब p = 2 और n = 2, W(n) क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है, तो कुछ अर्थों में W(n) n = 2 होने पर सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए डायहेड्रल समूह के लिए एनालॉग प्रदान करता है। हालाँकि, उच्चतर n के लिए सादृश्य तनावपूर्ण हो जाता है। उदाहरणों का अलग परिवार है जो क्रम 2 के डायहेड्रल समूहों की अधिक बारीकी से नकल करता हैⁿ, लेकिन इसके लिए थोड़े अधिक सेटअप की आवश्यकता है। मान लीजिए ζ सम्मिश्र संख्याओं में एकता के आदिम pth मूल को दर्शाता है, मान लीजिए कि 'Z'[ζ] इसके द्वारा उत्पन्न पूर्णांकों के वलय का वलय है, और मान लीजिए कि P 1−ζ द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श है। मान लीजिए कि G तत्व z द्वारा उत्पन्न क्रम p का चक्रीय समूह है। 'Z'[ζ] और G का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद E(p) बनाएं जहां z, ζ से गुणन के रूप में कार्य करता है। शक्तियां पीⁿ E(p) के सामान्य उपसमूह हैं, और उदाहरण समूह E(p,n) = E(p)/P हैंⁿ. E(p,n) का क्रम p हैⁿ⁺¹ और निलपोटेंसी वर्ग n, अधिकतम वर्ग का पी-समूह भी है। जब p = 2, E(2,n) क्रम 2 का डायहेड्रल समूह हैⁿ. जब p विषम है, तो W(2) और E(p,p) दोनों अधिकतम वर्ग और क्रम p के अनियमित समूह हैं^p+1, लेकिन समरूपी नहीं हैं।

एकत्रिकोणीय मैट्रिक्स समूह

सामान्य रैखिक समूहों के सिलो उपसमूह उदाहरणों का और मौलिक परिवार हैं। मान लीजिए V आयाम n का सदिश समष्टि है जिसका आधार { e है₁, यह है₂, ..., यह है_n } और वी को परिभाषित करें_i { e द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि होना_i, यह है_i+1, ..., यह है_n } 1 ≤ i ≤ n के लिए, और V को परिभाषित करें_i = 0 जब मैं > एन. प्रत्येक 1 ≤ m ≤ n के लिए, V के व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तनों का सेट जो प्रत्येक V लेता है_i अक्षर बी_i+m Aut(V) का उपसमूह बनाएं जिसे U दर्शाया गया है_m. यदि V, 'Z'/p'Z' के ऊपर सदिश समष्टि है, तो U₁ ऑट(वी) = जीएल(एन, पी) का सिलो पी-उपसमूह है, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला की शर्तें सिर्फ यू हैं_m. मैट्रिक्स के संदर्भ में, यू_m वे ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं जिनके विकर्ण पर 1s और पहले m−1 अतिविकर्णों पर 0s हैं। समूह यू₁ आदेश पी है^n·(n−1)/2, निलपोटेंसी वर्ग n, और प्रतिपादक p^k जहां k सबसे छोटा पूर्णांक है जो कम से कम n के आधार p लघुगणक जितना बड़ा है।

वर्गीकरण

आदेश के समूह पीⁿ0 ≤ n ≤ 4 के लिए समूह सिद्धांत के इतिहास में प्रारंभिक रूप से वर्गीकृत किया गया था,^[2] और आधुनिक कार्य ने इन वर्गीकरणों को उन समूहों तक विस्तारित किया है जिनका क्रम p को विभाजित करता है⁷, हालांकि ऐसे समूहों के परिवारों की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि इन पंक्तियों के साथ आगे के वर्गीकरण को मानव मस्तिष्क के लिए समझना मुश्किल माना जाता है।^[3] उदाहरण के लिए, मार्शल हॉल (गणितज्ञ)|मार्शल हॉल जूनियर और जेम्स के. क्रम 2 के वरिष्ठ वर्गीकृत समूहⁿ1964 में n ≤ 6 के लिए।^[4] समूहों को क्रम से वर्गीकृत करने के बजाय, फिलिप हॉल ने समूहों के समद्विबाहुवाद की धारणा का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा, जो बड़े भागफल और उपसमूहों के आधार पर परिमित पी-समूहों को परिवारों में इकट्ठा करता था।^[5] एक पूरी तरह से अलग विधि परिमित पी-समूहों को उनके 'सहवर्ग' के आधार पर वर्गीकृत करती है, अर्थात, उनकी रचना श्रृंखला और उनके निलपोटेंट समूह के बीच का अंतर। तथाकथित 'कोक्लास अनुमान' ने निश्चित सहवर्ग अनुमान सभी परिमित पी-समूहों के सेट को सीमित रूप से कई प्रो-पी समूहों की गड़बड़ी के रूप में वर्णित किया है। 1980 के दशक में झूठ बीजगणित और शक्तिशाली पी-समूहों से संबंधित तकनीकों का उपयोग करके कोक्लास अनुमान सिद्ध किए गए थे।^[6] कोक्लास प्रमेयों के अंतिम प्रमाण ए. शालेव और स्वतंत्र रूप से सी. आर. लीडहैम-ग्रीन के कारण हैं, दोनों 1994 में। वे वंशज वृक्ष (समूह सिद्धांत) में परिमित पी-समूहों के वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं#मल्टीफर्केशन और कोक्लास ग्राफ इसमें केवल सीमित रूप से कई कोक्लास पेड़ शामिल हैं जिनके (असीम रूप से कई) सदस्यों को सीमित रूप से कई पैरामीट्रिज्ड प्रस्तुतियों की विशेषता है।

क्रम पी का प्रत्येक समूह⁵मेटाबेलियन समूह है।^[7]

पी तक³

तुच्छ समूह क्रम का एकमात्र समूह है, और चक्रीय समूह सी_p ऑर्डर पी का एकमात्र समूह है। क्रम p के ठीक दो समूह हैं², दोनों एबेलियन, अर्थात् सी_p² और सी_p× सी_p. उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह सी₄ और क्लेन चार-समूह वी₄ जो सी है₂× सी₂ दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं।

ऑर्डर पी के तीन एबेलियन समूह हैं³, अर्थात् सी_p³, सी_p²× सी_p, और सी_p× सी_p× सी_p. दो गैर-एबेलियन समूह भी हैं।

पी ≠ 2 के लिए, सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है_p× सी_p सी के साथ_p, और दूसरा सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है_p² सी के साथ_p. पहले को अन्य शब्दों में पी तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर इकाई त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समूह यूटी (3, पी) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे हाइजेनबर्ग समूह # हाइजेनबर्ग समूह मोडुलो विषम अभाज्य पी भी कहा जाता है।

पी = 2 के लिए, ऊपर उल्लिखित दोनों अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद डायहेड्रल समूह डिह के समरूपी हैं₄ क्रम 8 का। क्रम 8 का अन्य गैर-एबेलियन समूह चतुर्भुज समूह Q है₈.

व्यापकता

समूहों के बीच

क्रम पी के समूहों के समरूपता वर्गों की संख्याⁿके रूप में बढ़ता है $p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}$ , और इन पर उन वर्गों का वर्चस्व है जो दो-चरणीय शून्यशक्तिशाली हैं।^[8] इस तीव्र वृद्धि के कारण, गणितीय लोककथा अनुमान है कि लगभग सभी परिमित समूह 2-समूह हैं: क्रम के समूहों के समरूपता वर्गों के बीच 2-समूहों के समरूपता वर्गों का अंश, अधिकतम n के रूप में 1 की ओर माना जाता है। अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। उदाहरण के लिए, ऑर्डर के 49 910 529 484 विभिन्न समूहों में से अधिकतम 2000, 49 487 365 422, या बस 99% से अधिक, ऑर्डर 1024 के 2-समूह हैं।^[9]

एक समूह के भीतर

प्रत्येक परिमित समूह जिसका क्रम p से विभाज्य है, में उपसमूह होता है जो गैर-तुच्छ पी-समूह है, अर्थात् कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय से प्राप्त क्रम पी के तत्व द्वारा उत्पन्न क्रम पी का चक्रीय समूह। वास्तव में, इसमें अधिकतम संभव क्रम का पी-समूह शामिल है: यदि $|G|=n=p^{k}m$ जहाँ p, m को विभाजित नहीं करता है, तो G के पास क्रम का उपसमूह P है $p^{k},$ सिलो पी-उपसमूह कहा जाता है। इस उपसमूह को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इस क्रम का कोई भी उपसमूह संयुग्मित है, और G का कोई भी p-उपसमूह सिलो p-उपसमूह में समाहित है। यह और अन्य गुण साइलो प्रमेय में सिद्ध होते हैं।

समूह की संरचना के लिए आवेदन

पी-समूह समूहों की संरचना को समझने और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में मौलिक उपकरण हैं। पी-समूह उपसमूह और भागफल समूह दोनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। उपसमूहों के रूप में, किसी दिए गए प्राइम पी के लिए सिलो पी-उपसमूह पी (सबसे बड़ा पी-उपसमूह अद्वितीय नहीं है लेकिन सभी संयुग्मित) और पी-कोर|पी-कोर है $O_{p}(G)$ (अद्वितीय सबसे बड़ा सामान्य पी-उपसमूह), और विभिन्न अन्य। भागफल के रूप में, सबसे बड़ा पी-समूह भागफल, पी-अवशिष्ट उपसमूह द्वारा जी का भागफल है|पी-अवशिष्ट उपसमूह $O^{p}(G).$ ये समूह संबंधित हैं (विभिन्न अभाज्य संख्याओं के लिए), इनमें फोकल उपसमूह प्रमेय जैसे महत्वपूर्ण गुण होते हैं, और समूह की संरचना के कई पहलुओं को निर्धारित करने की अनुमति मिलती है।

स्थानीय नियंत्रण

एक परिमित समूह की अधिकांश संरचना उसके तथाकथित स्थानीय उपसमूहों की संरचना में होती है, जो गैर-पहचान पी-उपसमूहों के सामान्यीकरणकर्ता हैं।^[10] एक परिमित समूह के बड़े प्राथमिक एबेलियन समूह उस समूह पर नियंत्रण रखते हैं जिसका उपयोग फीट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण में किया गया था। कुछ समूह विस्तार#प्राथमिक एबेलियन समूहों के केंद्रीय विस्तार, जिन्हें अतिरिक्त विशेष समूह कहा जाता है, समूहों की संरचना को सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थानों पर कार्य करने में मदद करते हैं।

रिचर्ड ब्रौएर ने उन सभी समूहों को वर्गीकृत किया जिनके साइलो 2-उपसमूह क्रम 4 के दो चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं, और जॉन वाल्टर (गणितज्ञ), डैनियल गोरेन्स्टीन, हेल्मुट बेंडर, मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ), जॉर्ज फेथरमैन और अन्य ने उन सरल समूहों को वर्गीकृत किया है। जिनके सिलो 2-उपसमूह एबेलियन, डायहेड्रल, सेमीडायहेड्रल, या क्वाटरनियन थे।

यह भी देखें

फ़ुटनोट

उद्धरण

↑ proof
↑ (Burnside 1897)
↑ (Leedham-Green & McKay 2002, p. 214)
↑ (Hall Jr. & Senior 1964)
↑ (Hall 1940)
↑ (Leedham-Green & McKay 2002)
↑ "Every group of order p⁵ is metabelian". Stack Exchange. 24 March 2012. Retrieved 7 January 2016.
↑ (Sims 1965)
↑ (Besche, Eick & O'Brien 2002)
↑ (Glauberman 1971)

संदर्भ

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Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, ISBN 9781440035456
Glauberman, George (1971), "Global and local properties of finite groups", Finite simple groups (Proc. Instructional Conf., Oxford, 1969), Boston, MA: Academic Press, pp. 1–64, MR 0352241
Hall Jr., Marshall; Senior, James K. (1964), The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6), London: Macmillan, LCCN 64016861, MR 0168631 — An exhaustive catalog of the 340 non-abelian groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and lattice presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in finite groups" (from the preface).
Hall, Philip (1940), "The classification of prime-power groups", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1940 (182): 130–141, doi:10.1515/crll.1940.182.130, ISSN 0075-4102, MR 0003389, S2CID 122817195
Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series, vol. 27, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853548-5, MR 1918951
Sims, Charles (1965), "Enumerating p-groups", Proc. London Math. Soc., Series 3, 15: 151–166, doi:10.1112/plms/s3-15.1.151, MR 0169921

अग्रिम पठन

Berkovich, Yakov (2008), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 46, vol. 1, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0418-6
Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2008), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 47, vol. 2, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0419-3
Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2011-06-16), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 56, vol. 3, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0717-0

बाहरी संबंध

Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "p-Group". MathWorld.

[1] roof

[2] (Burnside 1897)

[3] (Leedham-Green & McKay 2002, p. 214)

[4] (Hall Jr. & Senior 1964)

[5] (Hall 1940)

[6] (Leedham-Green & McKay 2002)

[metabelian-7] "Every group of order p⁵ is metabelian". Stack Exchange. 24 March 2012. Retrieved 7 January 2016.

[8] (Sims 1965)

[9] (Besche, Eick & O'Brien 2002)

[10] (Glauberman 1971)

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-गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, एक [[अभाज्य संख्या]] पी दी जाती है, एक 'पी-समूह' एक [[समूह (गणित)]] है जिसमें प्रत्येक तत्व के [[समूह तत्व का क्रम]] पी की एक [[शक्ति (गणित)]] है। अर्थात्, पी-समूह जी के प्रत्येक तत्व जी के लिए, एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n मौजूद है जैसे कि पी का उत्पाद<sup>n</sup>g की प्रतियां, और कम नहीं, [[पहचान तत्व]] के बराबर है। विभिन्न तत्वों का क्रम p की भिन्न-भिन्न शक्तियाँ हो सकता है।
+गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, [[अभाज्य संख्या]] पी दी जाती है, 'पी-समूह' [[समूह (गणित)]] है जिसमें प्रत्येक तत्व के [[समूह तत्व का क्रम]] पी की [[शक्ति (गणित)]] है। अर्थात्, पी-समूह जी के प्रत्येक तत्व जी के लिए, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n मौजूद है जैसे कि पी का उत्पाद<sup>n</sup>g की प्रतियां, और कम नहीं, [[पहचान तत्व]] के बराबर है। विभिन्न तत्वों का क्रम p की भिन्न-भिन्न शक्तियाँ हो सकता है।
 [[एबेलियन समूह]] पी-समूहों को 'पी-प्राथमिक' या केवल 'प्राथमिक' भी कहा जाता है।
-एक [[परिमित समूह]] एक पी-समूह है यदि और केवल यदि समूह का क्रम (इसके तत्वों की संख्या) पी की शक्ति है। एक परिमित समूह G को देखते हुए, [[सिलो प्रमेय]] क्रम p के G के एक [[उपसमूह]] के अस्तित्व की गारंटी देते हैं<sup>n</sup>प्रत्येक [[ सर्वोच्च शक्ति ]] पी के लिए<sup>n</sup> जो G के क्रम को विभाजित करता है।
+एक [[परिमित समूह]] पी-समूह है यदि और केवल यदि समूह का क्रम (इसके तत्वों की संख्या) पी की शक्ति है। परिमित समूह G को देखते हुए, [[सिलो प्रमेय]] क्रम p के G के [[उपसमूह]] के अस्तित्व की गारंटी देते हैं<sup>n</sup>प्रत्येक [[ सर्वोच्च शक्ति |सर्वोच्च शक्ति]] पी के लिए<sup>n</sup> जो G के क्रम को विभाजित करता है।
 प्रत्येक परिमित पी-समूह [[निलपोटेंट समूह]] है।
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 प्रत्येक पी-समूह आवर्त समूह है क्योंकि परिभाषा के अनुसार प्रत्येक तत्व का क्रम सीमित होता है।
-यदि p अभाज्य है और G क्रम p का एक समूह है<sup>k</sup>, तो G के पास क्रम p का एक सामान्य उपसमूह है<sup>m</sup>प्रत्येक 1 ≤ m ≤ k के लिए। इसके बाद समूहों के लिए कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय और [[पत्राचार प्रमेय (समूह सिद्धांत)]] का उपयोग करके प्रेरण किया जाता है। एक प्रमाण रेखाचित्र इस प्रकार है: क्योंकि कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) के अनुसार G के समूह Z का केंद्र [[तुच्छ समूह]] | गैर-तुच्छ (नीचे देखें) है | कॉची के प्रमेय Z में क्रम p का एक उपसमूह H है। जी में केंद्रीय होने के नाते, एच अनिवार्य रूप से जी में सामान्य है। अब हम आगमनात्मक परिकल्पना को जी/एच पर लागू कर सकते हैं, और परिणाम पत्राचार प्रमेय से आता है।
+यदि p अभाज्य है और G क्रम p का समूह है<sup>k</sup>, तो G के पास क्रम p का सामान्य उपसमूह है<sup>m</sup>प्रत्येक 1 ≤ m ≤ k के लिए। इसके बाद समूहों के लिए कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय और [[पत्राचार प्रमेय (समूह सिद्धांत)]] का उपयोग करके प्रेरण किया जाता है। प्रमाण रेखाचित्र इस प्रकार है: क्योंकि कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) के अनुसार G के समूह Z का केंद्र [[तुच्छ समूह]] | गैर-तुच्छ (नीचे देखें) है | कॉची के प्रमेय Z में क्रम p का उपसमूह H है। जी में केंद्रीय होने के नाते, एच अनिवार्य रूप से जी में सामान्य है। अब हम आगमनात्मक परिकल्पना को जी/एच पर लागू कर सकते हैं, और परिणाम पत्राचार प्रमेय से आता है।
 ===गैर-तुच्छ केंद्र===
-[[वर्ग समीकरण]] का उपयोग करने वाले पहले मानक परिणामों में से एक यह है कि एक गैर-तुच्छ परिमित पी-समूह का [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] तुच्छ उपसमूह नहीं हो सकता है।<ref>[[Conjugacy class#Example|proof]]</ref>
+[[वर्ग समीकरण]] का उपयोग करने वाले पहले मानक परिणामों में से यह है कि गैर-तुच्छ परिमित पी-समूह का [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] तुच्छ उपसमूह नहीं हो सकता है।<ref>[[Conjugacy class#Example|proof]]</ref>
 यह पी-समूहों में कई आगमनात्मक विधियों का आधार बनता है।
-उदाहरण के लिए, एक परिमित पी-समूह जी के [[उचित उपसमूह]] एच के सामान्यीकरणकर्ता एन में उचित रूप से एच शामिल है, क्योंकि एच = एन के साथ किसी भी प्रति-उदाहरण के लिए, केंद्र जेड एन में निहित है, और इसी तरह एच में भी, लेकिन फिर एक है छोटा उदाहरण H/Z जिसका G/Z में सामान्यीकरणकर्ता N/Z = H/Z है, जो एक अनंत वंश का निर्माण करता है। परिणाम के रूप में, प्रत्येक परिमित पी-समूह शून्यशक्तिशाली समूह है।
+उदाहरण के लिए, परिमित पी-समूह जी के [[उचित उपसमूह]] एच के सामान्यीकरणकर्ता एन में उचित रूप से एच शामिल है, क्योंकि एच = एन के साथ किसी भी प्रति-उदाहरण के लिए, केंद्र जेड एन में निहित है, और इसी तरह एच में भी, लेकिन फिर है छोटा उदाहरण H/Z जिसका G/Z में सामान्यीकरणकर्ता N/Z = H/Z है, जो अनंत वंश का निर्माण करता है। परिणाम के रूप में, प्रत्येक परिमित पी-समूह शून्यशक्तिशाली समूह है।
-दूसरी दिशा में, एक परिमित पी-समूह का प्रत्येक [[सामान्य उपसमूह]] एन केंद्र को गैर-तुच्छ रूप से काटता है जैसा कि एन के तत्वों पर विचार करके साबित किया जा सकता है जो तब तय होते हैं जब जी संयुग्मन द्वारा एन पर कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक केंद्रीय उपसमूह सामान्य है, इसका तात्पर्य यह है कि परिमित पी-समूह का प्रत्येक न्यूनतम सामान्य उपसमूह केंद्रीय है और उसका क्रम पी है। दरअसल, एक परिमित पी-समूह के समूह का आधार केंद्र का उपसमूह है जिसमें क्रम पी के केंद्रीय तत्व शामिल हैं।
+दूसरी दिशा में, परिमित पी-समूह का प्रत्येक [[सामान्य उपसमूह]] एन केंद्र को गैर-तुच्छ रूप से काटता है जैसा कि एन के तत्वों पर विचार करके साबित किया जा सकता है जो तब तय होते हैं जब जी संयुग्मन द्वारा एन पर कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक केंद्रीय उपसमूह सामान्य है, इसका तात्पर्य यह है कि परिमित पी-समूह का प्रत्येक न्यूनतम सामान्य उपसमूह केंद्रीय है और उसका क्रम पी है। दरअसल, परिमित पी-समूह के समूह का आधार केंद्र का उपसमूह है जिसमें क्रम पी के केंद्रीय तत्व शामिल हैं।
-यदि G एक p-समूह है, तो G/Z भी है, और इसलिए इसका भी एक गैर-तुच्छ केंद्र है। जी में जी/जेड के केंद्र की पूर्वछवि को केंद्र (समूह सिद्धांत)#उच्च केंद्र कहा जाता है और ये समूह [[ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला]] शुरू करते हैं। सोसल के बारे में पहले की टिप्पणियों को सामान्यीकृत करते हुए, क्रम पी के साथ एक परिमित पी-समूह<sup>n</sup> में क्रम p के सामान्य उपसमूह शामिल हैं<sup>i</sup> 0 ≤ i ≤ n के साथ, और क्रम p का कोई भी सामान्य उपसमूह<sup>i</sup>itth केंद्र Z में समाहित है<sub>''i''</sub>. यदि एक सामान्य उपसमूह Z में समाहित नहीं है<sub>''i''</sub>, फिर इसका प्रतिच्छेदन Z के साथ है<sub>''i''+1</sub> इसका आकार कम से कम p है<sup>मैं+1</sup>.
+यदि G p-समूह है, तो G/Z भी है, और इसलिए इसका भी गैर-तुच्छ केंद्र है। जी में जी/जेड के केंद्र की पूर्वछवि को केंद्र (समूह सिद्धांत)#उच्च केंद्र कहा जाता है और ये समूह [[ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला]] शुरू करते हैं। सोसल के बारे में पहले की टिप्पणियों को सामान्यीकृत करते हुए, क्रम पी के साथ परिमित पी-समूह<sup>n</sup> में क्रम p के सामान्य उपसमूह शामिल हैं<sup>i</sup> 0 ≤ i ≤ n के साथ, और क्रम p का कोई भी सामान्य उपसमूह<sup>i</sup>itth केंद्र Z में समाहित है<sub>''i''</sub>. यदि सामान्य उपसमूह Z में समाहित नहीं है<sub>''i''</sub>, फिर इसका प्रतिच्छेदन Z के साथ है<sub>''i''+1</sub> इसका आकार कम से कम p है<sup>मैं+1</sup>.
 ===ऑटोमोर्फिज्म===
-पी-समूहों के समूह ऑटोमोर्फिज़्म समूहों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। जिस प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में एक गैर-तुच्छ केंद्र होता है ताकि [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह]] समूह का एक उचित भागफल हो, उसी प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में एक गैर-तुच्छ [[समूह स्वचालितता]] समूह हो<!-- Gaschuetz. In fact people tried to figure out how big it was, conjecture, minimal counterexample of order p^6, yada yada-->. G का प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म G/Φ(G) पर एक ऑटोमोर्फिज्म प्रेरित करता है, जहां Φ(G) G का [[फ्रैटिनी उपसमूह]] है। भागफल G/Φ(G) एक प्रारंभिक एबेलियन समूह है और इसका [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] एक [[सामान्य रैखिक समूह]] है, बहुत अच्छी तरह से समझ में आया. जी के ऑटोमोर्फिज्म समूह से इस सामान्य रैखिक समूह में मानचित्र का अध्ययन [[विलियम बर्नसाइड]] द्वारा किया गया है, जिन्होंने दिखाया कि इस मानचित्र का कर्नेल एक पी-समूह है। <!-- give corresponding theorems for action on Ω and the socle -->
+पी-समूहों के समूह ऑटोमोर्फिज़्म समूहों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। जिस प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ केंद्र होता है ताकि [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह]] समूह का उचित भागफल हो, उसी प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ [[समूह स्वचालितता]] समूह हो. G का प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म G/Φ(G) पर ऑटोमोर्फिज्म प्रेरित करता है, जहां Φ(G) G का [[फ्रैटिनी उपसमूह]] है। भागफल G/Φ(G) प्रारंभिक एबेलियन समूह है और इसका [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] [[सामान्य रैखिक समूह]] है, बहुत अच्छी तरह से समझ में आया. जी के ऑटोमोर्फिज्म समूह से इस सामान्य रैखिक समूह में मानचित्र का अध्ययन [[विलियम बर्नसाइड]] द्वारा किया गया है, जिन्होंने दिखाया कि इस मानचित्र का कर्नेल पी-समूह है।
 ==उदाहरण==
 समान क्रम के पी-समूह आवश्यक रूप से समरूपता नहीं हैं; उदाहरण के लिए, [[चक्रीय समूह]] सी<sub>4</sub> और क्लेन चार-समूह वी<sub>4</sub> दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं, लेकिन वे समरूपी नहीं हैं।
-न ही किसी पी-समूह को एबेलियन समूह होने की आवश्यकता है; [[डायहेड्रल समूह]] दिह<sub>4</sub> क्रम 8 का एक गैर-एबेलियन 2-समूह है। हालाँकि, ऑर्डर पी का प्रत्येक समूह<sup>2</sup>एबेलियन है.<ref group="note">To prove that a group of order ''p''<sup>2</sup> is abelian, note that it is a ''p''-group so has non-trivial center, so given a non-trivial element of the center ''g,'' this either generates the group (so ''G'' is cyclic, hence abelian: <math>G=C_{p^2}</math>), or it generates a subgroup of order ''p,'' so ''g'' and some element ''h'' not in its orbit generate ''G,'' (since the subgroup they generate must have order <math>p^2</math>) but they commute since ''g'' is central, so the group is abelian, and in fact <math>G=C_p \times C_p.</math></ref>
+न ही किसी पी-समूह को एबेलियन समूह होने की आवश्यकता है; [[डायहेड्रल समूह]] दिह<sub>4</sub> क्रम 8 का गैर-एबेलियन 2-समूह है। हालाँकि, ऑर्डर पी का प्रत्येक समूह<sup>2</sup>एबेलियन है, डायहेड्रल समूह चतुर्धातुक समूहों और सेमीडायहेड्रल समूहों के समान और बहुत भिन्न दोनों हैं। डायहेड्रल, [[अर्धफलकीय समूह]] क्वाटरनियन समूह मिलकर [[अधिकतम वर्ग]] के 2-समूह बनाते हैं, यानी क्रम 2 के समूह<sup>n+1</sup> और निलपोटेंसी क्लास एन।
-डायहेड्रल समूह चतुर्धातुक समूहों और सेमीडायहेड्रल समूहों के समान और बहुत भिन्न दोनों हैं। डायहेड्रल, [[अर्धफलकीय समूह]] क्वाटरनियन समूह मिलकर [[अधिकतम वर्ग]] के 2-समूह बनाते हैं, यानी क्रम 2 के समूह<sup>n+1</sup> और निलपोटेंसी क्लास एन।
 ===पुनरावृत्त [[पुष्पांजलि उत्पाद]]===
-क्रम p के चक्रीय समूहों के पुनरावृत्त पुष्प उत्पाद, p-समूहों के बहुत महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। क्रम p के चक्रीय समूह को W(1) के रूप में और W(1) के साथ W(n) के पुष्प उत्पाद को W(n + 1) के रूप में निरूपित करें। तब W(n) [[सममित समूह]] Sym(p) का सिलो पी-उपसमूह है<sup>n</sup>). सामान्य रैखिक समूह GL(n,'Q') के अधिकतम p-उपसमूह विभिन्न W(n) के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। इसमें ऑर्डर पी है<sup>क</sup> जहां क = (पृ<sup>n</sup> - 1)/(p - 1). इसमें निलपोटेंसी क्लास पी है<sup>n−1</sup>, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला, ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला, निचली घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला, और ऊपरी घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला बराबर हैं। यह क्रम p के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन इसका प्रतिपादक p है<sup>n</sup>. ऐसा दूसरा समूह, W(2), भी अधिकतम वर्ग का एक p-समूह है, क्योंकि इसका क्रम p है<sup>p+1</sup> और nilpotency वर्ग p, लेकिन यह नियमित p-समूह नहीं है|नियमित p-समूह। चूंकि आदेश के समूह पी<sup>पी</sup>हमेशा नियमित समूह होते हैं, यह भी ऐसा एक न्यूनतम उदाहरण है।
+क्रम p के चक्रीय समूहों के पुनरावृत्त पुष्प उत्पाद, p-समूहों के बहुत महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। क्रम p के चक्रीय समूह को W(1) के रूप में और W(1) के साथ W(n) के पुष्प उत्पाद को W(n + 1) के रूप में निरूपित करें। तब W(n) [[सममित समूह]] Sym(p) का सिलो पी-उपसमूह है<sup>n</sup>). सामान्य रैखिक समूह GL(n,'Q') के अधिकतम p-उपसमूह विभिन्न W(n) के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। इसमें ऑर्डर पी है<sup>क</sup> जहां क = (पृ<sup>n</sup> - 1)/(p - 1). इसमें निलपोटेंसी क्लास पी है<sup>n−1</sup>, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला, ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला, निचली घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला, और ऊपरी घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला बराबर हैं। यह क्रम p के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन इसका प्रतिपादक p है<sup>n</sup>. ऐसा दूसरा समूह, W(2), भी अधिकतम वर्ग का p-समूह है, क्योंकि इसका क्रम p है<sup>p+1</sup> और nilpotency वर्ग p, लेकिन यह नियमित p-समूह नहीं है|नियमित p-समूह। चूंकि आदेश के समूह पी<sup>पी</sup>हमेशा नियमित समूह होते हैं, यह भी ऐसा न्यूनतम उदाहरण है।
 ===सामान्यीकृत डायहेड्रल समूह===
-जब p = 2 और n = 2, W(n) क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है, तो कुछ अर्थों में W(n) n = 2 होने पर सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए डायहेड्रल समूह के लिए एक एनालॉग प्रदान करता है। हालाँकि, उच्चतर n के लिए सादृश्य तनावपूर्ण हो जाता है। उदाहरणों का एक अलग परिवार है जो क्रम 2 के डायहेड्रल समूहों की अधिक बारीकी से नकल करता है<sup>n</sup>, लेकिन इसके लिए थोड़े अधिक सेटअप की आवश्यकता है। मान लीजिए ζ सम्मिश्र संख्याओं में एकता के एक आदिम pth मूल को दर्शाता है, मान लीजिए कि 'Z'[ζ] इसके द्वारा उत्पन्न पूर्णांकों के वलय का वलय है, और मान लीजिए कि P 1−ζ द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श है। मान लीजिए कि G एक तत्व z द्वारा उत्पन्न क्रम p का एक चक्रीय समूह है। 'Z'[ζ] और G का [[अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद]] E(p) बनाएं जहां z, ζ से गुणन के रूप में कार्य करता है। शक्तियां पी<sup>n</sup> E(p) के सामान्य उपसमूह हैं, और उदाहरण समूह E(p,n) = E(p)/P हैं<sup>n</sup>. E(p,n) का क्रम p है<sup>n+1</sup> और निलपोटेंसी वर्ग n, अधिकतम वर्ग का एक पी-समूह भी है। जब p = 2, E(2,n) क्रम 2 का डायहेड्रल समूह है<sup>n</sup>. जब p विषम है, तो W(2) और E(p,p) दोनों अधिकतम वर्ग और क्रम p के अनियमित समूह हैं<sup>p+1</sup>, लेकिन समरूपी नहीं हैं।
+जब p = 2 और n = 2, W(n) क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है, तो कुछ अर्थों में W(n) n = 2 होने पर सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए डायहेड्रल समूह के लिए एनालॉग प्रदान करता है। हालाँकि, उच्चतर n के लिए सादृश्य तनावपूर्ण हो जाता है। उदाहरणों का अलग परिवार है जो क्रम 2 के डायहेड्रल समूहों की अधिक बारीकी से नकल करता है<sup>n</sup>, लेकिन इसके लिए थोड़े अधिक सेटअप की आवश्यकता है। मान लीजिए ζ सम्मिश्र संख्याओं में एकता के आदिम pth मूल को दर्शाता है, मान लीजिए कि 'Z'[ζ] इसके द्वारा उत्पन्न पूर्णांकों के वलय का वलय है, और मान लीजिए कि P 1−ζ द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श है। मान लीजिए कि G तत्व z द्वारा उत्पन्न क्रम p का चक्रीय समूह है। 'Z'[ζ] और G का [[अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद]] E(p) बनाएं जहां z, ζ से गुणन के रूप में कार्य करता है। शक्तियां पी<sup>n</sup> E(p) के सामान्य उपसमूह हैं, और उदाहरण समूह E(p,n) = E(p)/P हैं<sup>n</sup>. E(p,n) का क्रम p है<sup>n+1</sup> और निलपोटेंसी वर्ग n, अधिकतम वर्ग का पी-समूह भी है। जब p = 2, E(2,n) क्रम 2 का डायहेड्रल समूह है<sup>n</sup>. जब p विषम है, तो W(2) और E(p,p) दोनों अधिकतम वर्ग और क्रम p के अनियमित समूह हैं<sup>p+1</sup>, लेकिन समरूपी नहीं हैं।
 ===एकत्रिकोणीय मैट्रिक्स समूह===
-सामान्य रैखिक समूहों के सिलो उपसमूह उदाहरणों का एक और मौलिक परिवार हैं। मान लीजिए V आयाम n का एक सदिश समष्टि है जिसका आधार { e है<sub>1</sub>, यह है<sub>2</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub> } और वी को परिभाषित करें<sub>''i''</sub> { e द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि होना<sub>''i''</sub>, यह है<sub>''i''+1</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub> } 1 ≤ i ≤ n के लिए, और V को परिभाषित करें<sub>''i''</sub> = 0 जब मैं > एन. प्रत्येक 1 ≤ m ≤ n के लिए, V के व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तनों का सेट जो प्रत्येक V लेता है<sub>''i''</sub> अक्षर बी<sub>''i''+''m''</sub> Aut(V) का एक उपसमूह बनाएं जिसे U दर्शाया गया है<sub>''m''</sub>. यदि V, 'Z'/p'Z' के ऊपर एक सदिश समष्टि है, तो U<sub>1</sub> ऑट(वी) = जीएल(एन, पी) का एक सिलो पी-उपसमूह है, और इसकी [[निचली केंद्रीय श्रृंखला]] की शर्तें सिर्फ यू हैं<sub>''m''</sub>. मैट्रिक्स के संदर्भ में, यू<sub>''m''</sub> वे ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं जिनके एक विकर्ण पर 1s और पहले m−1 अतिविकर्णों पर 0s हैं। समूह यू<sub>1</sub> आदेश पी है<sup>n·(n−1)/2</sup>, निलपोटेंसी वर्ग n, और प्रतिपादक p<sup>k</sup> जहां k सबसे छोटा पूर्णांक है जो कम से कम n के आधार p लघुगणक जितना बड़ा है।
+सामान्य रैखिक समूहों के सिलो उपसमूह उदाहरणों का और मौलिक परिवार हैं। मान लीजिए V आयाम n का सदिश समष्टि है जिसका आधार { e है<sub>1</sub>, यह है<sub>2</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub> } और वी को परिभाषित करें<sub>''i''</sub> { e द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि होना<sub>''i''</sub>, यह है<sub>''i''+1</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub> } 1 ≤ i ≤ n के लिए, और V को परिभाषित करें<sub>''i''</sub> = 0 जब मैं > एन. प्रत्येक 1 ≤ m ≤ n के लिए, V के व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तनों का सेट जो प्रत्येक V लेता है<sub>''i''</sub> अक्षर बी<sub>''i''+''m''</sub> Aut(V) का उपसमूह बनाएं जिसे U दर्शाया गया है<sub>''m''</sub>. यदि V, 'Z'/p'Z' के ऊपर सदिश समष्टि है, तो U<sub>1</sub> ऑट(वी) = जीएल(एन, पी) का सिलो पी-उपसमूह है, और इसकी [[निचली केंद्रीय श्रृंखला]] की शर्तें सिर्फ यू हैं<sub>''m''</sub>. मैट्रिक्स के संदर्भ में, यू<sub>''m''</sub> वे ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं जिनके विकर्ण पर 1s और पहले m−1 अतिविकर्णों पर 0s हैं। समूह यू<sub>1</sub> आदेश पी है<sup>n·(n−1)/2</sup>, निलपोटेंसी वर्ग n, और प्रतिपादक p<sup>k</sup> जहां k सबसे छोटा पूर्णांक है जो कम से कम n के आधार p लघुगणक जितना बड़ा है।
 ==वर्गीकरण==
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 क्रम ''पी'' का प्रत्येक समूह<sup>5</sup>मेटाबेलियन समूह है।<ref name="metabelian">{{cite web | url=https://math.stackexchange.com/q/124010/178864 | title=Every group of order ''p''<sup>5</sup> is metabelian | date=24 March 2012 | publisher=Stack Exchange |access-date=7 January 2016}}</ref>
 ===पी तक<sup>3</sup>===
-तुच्छ समूह क्रम एक का एकमात्र समूह है, और चक्रीय समूह सी<sub>''p''</sub> ऑर्डर पी का एकमात्र समूह है। क्रम p के ठीक दो समूह हैं<sup>2</sup>, दोनों एबेलियन, अर्थात् सी<sub>''p''<sup>2</sup></sub> और सी<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub>. उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह सी<sub>4</sub> और क्लेन चार-समूह वी<sub>4</sub> जो सी है<sub>2</sub>× सी<sub>2</sub> दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं।
+तुच्छ समूह क्रम का एकमात्र समूह है, और चक्रीय समूह सी<sub>''p''</sub> ऑर्डर पी का एकमात्र समूह है। क्रम p के ठीक दो समूह हैं<sup>2</sup>, दोनों एबेलियन, अर्थात् सी<sub>''p''<sup>2</sup></sub> और सी<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub>. उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह सी<sub>4</sub> और क्लेन चार-समूह वी<sub>4</sub> जो सी है<sub>2</sub>× सी<sub>2</sub> दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं।
 ऑर्डर पी के तीन एबेलियन समूह हैं<sup>3</sup>, अर्थात् सी<sub>''p''<sup>3</sup></sub>, सी<sub>''p''<sup>2</sup></sub>× सी<sub>''p''</sub>, और सी<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub>. दो गैर-एबेलियन समूह भी हैं।
-पी ≠ 2 के लिए, एक सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub> सी के साथ<sub>''p''</sub>, और दूसरा सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है<sub>''p''<sup>2</sup></sub> सी के साथ<sub>''p''</sub>. पहले को अन्य शब्दों में पी तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर इकाई त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समूह यूटी (3, पी) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे हाइजेनबर्ग समूह # हाइजेनबर्ग समूह मोडुलो एक विषम अभाज्य पी भी कहा जाता है।
+पी ≠ 2 के लिए, सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub> सी के साथ<sub>''p''</sub>, और दूसरा सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है<sub>''p''<sup>2</sup></sub> सी के साथ<sub>''p''</sub>. पहले को अन्य शब्दों में पी तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर इकाई त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समूह यूटी (3, पी) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे हाइजेनबर्ग समूह # हाइजेनबर्ग समूह मोडुलो विषम अभाज्य पी भी कहा जाता है।
 पी = 2 के लिए, ऊपर उल्लिखित दोनों अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद डायहेड्रल समूह डिह के समरूपी हैं<sub>4</sub> क्रम 8 का। क्रम 8 का अन्य गैर-एबेलियन समूह चतुर्भुज समूह Q है<sub>8</sub>.
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 === समूहों के बीच ===
-क्रम पी के समूहों के समरूपता वर्गों की संख्या<sup>n</sup>के रूप में बढ़ता है <math>p^{\frac{2}{27}n^3+O(n^{8/3})}</math>, और इन पर उन वर्गों का वर्चस्व है जो दो-चरणीय शून्यशक्तिशाली हैं।<ref>{{harv|Sims|1965}}</ref> इस तीव्र वृद्धि के कारण, एक गणितीय लोककथा अनुमान है कि लगभग सभी परिमित समूह 2-समूह हैं: क्रम के समूहों के [[समरूपता वर्ग]]ों के बीच 2-समूहों के समरूपता वर्गों का अंश, अधिकतम n के रूप में 1 की ओर माना जाता है। अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। उदाहरण के लिए, ऑर्डर के 49 910 529 484 विभिन्न समूहों में से अधिकतम 2000, 49 487 365 422, या बस 99% से अधिक, ऑर्डर 1024 के 2-समूह हैं।<ref>{{harv|Besche|Eick|O'Brien|2002}}</ref>
+क्रम पी के समूहों के समरूपता वर्गों की संख्या<sup>n</sup>के रूप में बढ़ता है <math>p^{\frac{2}{27}n^3+O(n^{8/3})}</math>, और इन पर उन वर्गों का वर्चस्व है जो दो-चरणीय शून्यशक्तिशाली हैं।<ref>{{harv|Sims|1965}}</ref> इस तीव्र वृद्धि के कारण, गणितीय लोककथा अनुमान है कि लगभग सभी परिमित समूह 2-समूह हैं: क्रम के समूहों के [[समरूपता वर्ग]]ों के बीच 2-समूहों के समरूपता वर्गों का अंश, अधिकतम n के रूप में 1 की ओर माना जाता है। अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। उदाहरण के लिए, ऑर्डर के 49 910 529 484 विभिन्न समूहों में से अधिकतम 2000, 49 487 365 422, या बस 99% से अधिक, ऑर्डर 1024 के 2-समूह हैं।<ref>{{harv|Besche|Eick|O'Brien|2002}}</ref>
 === एक समूह के भीतर ===
-प्रत्येक परिमित समूह जिसका क्रम p से विभाज्य है, में एक उपसमूह होता है जो एक गैर-तुच्छ पी-समूह है, अर्थात् कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय से प्राप्त क्रम पी के एक तत्व द्वारा उत्पन्न क्रम पी का एक चक्रीय समूह। वास्तव में, इसमें अधिकतम संभव क्रम का एक पी-समूह शामिल है: यदि <math>|G|=n=p^km</math> जहाँ p, m को विभाजित नहीं करता है, तो G के पास क्रम का एक उपसमूह P है <math>p^k,</math> सिलो पी-उपसमूह कहा जाता है। इस उपसमूह को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इस क्रम का कोई भी उपसमूह संयुग्मित है, और G का कोई भी p-उपसमूह सिलो p-उपसमूह में समाहित है। यह और अन्य गुण साइलो प्रमेय में सिद्ध होते हैं।
+प्रत्येक परिमित समूह जिसका क्रम p से विभाज्य है, में उपसमूह होता है जो गैर-तुच्छ पी-समूह है, अर्थात् कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय से प्राप्त क्रम पी के तत्व द्वारा उत्पन्न क्रम पी का चक्रीय समूह। वास्तव में, इसमें अधिकतम संभव क्रम का पी-समूह शामिल है: यदि <math>|G|=n=p^km</math> जहाँ p, m को विभाजित नहीं करता है, तो G के पास क्रम का उपसमूह P है <math>p^k,</math> सिलो पी-उपसमूह कहा जाता है। इस उपसमूह को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इस क्रम का कोई भी उपसमूह संयुग्मित है, और G का कोई भी p-उपसमूह सिलो p-उपसमूह में समाहित है। यह और अन्य गुण साइलो प्रमेय में सिद्ध होते हैं।
 == समूह की संरचना के लिए आवेदन ==
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 एक परिमित समूह के बड़े प्राथमिक एबेलियन समूह उस समूह पर नियंत्रण रखते हैं जिसका उपयोग फीट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण में किया गया था। कुछ समूह विस्तार#प्राथमिक एबेलियन समूहों के केंद्रीय विस्तार, जिन्हें [[अतिरिक्त विशेष समूह]] कहा जाता है, समूहों की संरचना को सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थानों पर कार्य करने में मदद करते हैं।
-[[ रिचर्ड ब्रौएर ]] ने उन सभी समूहों को वर्गीकृत किया जिनके साइलो 2-उपसमूह क्रम 4 के दो चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं, और [[जॉन वाल्टर (गणितज्ञ)]], [[डैनियल गोरेन्स्टीन]], [[हेल्मुट बेंडर]], मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ), [[जॉर्ज फेथरमैन]] और अन्य ने उन सरल समूहों को वर्गीकृत किया है। जिनके सिलो 2-उपसमूह एबेलियन, डायहेड्रल, सेमीडायहेड्रल, या क्वाटरनियन थे।
+[[ रिचर्ड ब्रौएर | रिचर्ड ब्रौएर]] ने उन सभी समूहों को वर्गीकृत किया जिनके साइलो 2-उपसमूह क्रम 4 के दो चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं, और [[जॉन वाल्टर (गणितज्ञ)]], [[डैनियल गोरेन्स्टीन]], [[हेल्मुट बेंडर]], मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ), [[जॉर्ज फेथरमैन]] और अन्य ने उन सरल समूहों को वर्गीकृत किया है। जिनके सिलो 2-उपसमूह एबेलियन, डायहेड्रल, सेमीडायहेड्रल, या क्वाटरनियन थे।
 == यह भी देखें ==
 *[[प्राथमिक समूह]]
 * प्रुफ़र रैंक
-* [[नियमित पी-समूह]]<!-- include the power commutator structure -->
+* [[नियमित पी-समूह]]
 ==फ़ुटनोट==
 ===टिप्पणियाँ===
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 ===उद्धरण===
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