अक्षों का स्थानांतरण

गणित में, दो आयामों में अक्षों का अनुवाद xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से x'y'-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक मानचित्र (गणित) है जिसमें x' अक्ष, x अक्ष के समानांतर (ज्यामिति) है और k इकाई दूर है, और y' अक्ष y अक्ष के समानांतर है और h इकाई दूर है। इसका मतलब यह है कि नई समन्वय प्रणाली के मूल (गणित) O' में मूल प्रणाली में निर्देशांक (h, k) हैं। सकारात्मक x' और y' दिशाओं को सकारात्मक x और y के समान माना जाता है। दिशानिर्देश. एक बिंदु P में मूल प्रणाली के संबंध में निर्देशांक (x, y) हैं और निर्देशांक (x', y') नई व्यवस्था के संबंध में जहां

$x=x'+h$      and      $y=y'+k$

(1)

या समकक्ष

$x'=x-h$      and      $y'=y-k.$

(2)

नई समन्वय प्रणाली में, बिंदु P विपरीत दिशा में अनुवादित होता हुआ प्रतीत होगा। उदाहरण के लिए, यदि xy-प्रणाली में दूरी h को दाईं ओर और दूरी k को ऊपर की ओर अनुवादित किया जाता है, तो ऐसा प्रतीत होगा कि P को x'y' में दूरी h को बाईं ओर और दूरी k को नीचे की ओर अनुवादित किया गया है। -प्रणाली। दो से अधिक आयामों में अक्षों का अनुवाद समान रूप से परिभाषित किया गया है। अक्षों का अनुवाद एक कठोर परिवर्तन है, लेकिन एक रेखीय मानचित्र नहीं है। (एफ़िन परिवर्तन देखें।)

प्रेरणा

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करके वक्र (ज्यामिति) के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए समन्वय प्रणाली आवश्यक हैं। समन्वय ज्यामिति की विधि का उपयोग करने के लिए, अक्षों को विचाराधीन वक्र के संबंध में सुविधाजनक स्थिति में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए, फोकस (ज्यामिति) आमतौर पर किसी एक अक्ष पर स्थित होता है और मूल बिंदु के संबंध में सममित रूप से स्थित होता है। यदि वक्र (अतिशयोक्ति , पैराबोला, दीर्घवृत्त, आदि) अक्षों के संबंध में सुविधाजनक रूप से स्थित नहीं है, तो वक्र को सुविधाजनक और परिचित स्थान और अभिविन्यास पर रखने के लिए समन्वय प्रणाली को बदला जाना चाहिए। इस परिवर्तन को करने की प्रक्रिया को समन्वय प्रणाली#परिवर्तन कहा जाता है। मूल अक्षों के समानांतर नए अक्ष प्राप्त करने के लिए समन्वय अक्षों का अनुवाद करके कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है।

शंकव खंडों का अनुवाद

Main article: Conic section

निर्देशांक में परिवर्तन के माध्यम से, एक शंकु अनुभाग के समीकरण को कार्टेशियन निर्देशांक में एक शंकु अनुभाग # मानक रूपों में रखा जा सकता है, जिसके साथ काम करना आमतौर पर आसान होता है। दूसरी डिग्री के सबसे सामान्य समीकरण के लिए, जो रूप लेता है

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ($A$, $B$ and $C$ not all zero);

(3)

अक्षों का घूर्णन इस प्रकार करना हमेशा संभव होता है कि नई प्रणाली में समीकरण आकार ले ले

$Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ($A$ and $C$ not both zero);

(4)

अर्थात्, xy शब्द को हटाना। इसके बाद, अक्षों का अनुवाद फॉर्म के समीकरण को कम कर सकता है (3) समान रूप के एक समीकरण के लिए लेकिन निर्देशांक के रूप में नए चर (x', y') के साथ, और D और E दोनों शून्य के बराबर हैं (कुछ अपवादों के साथ) -उदाहरण के लिए, परवलय)। इस प्रक्रिया में मुख्य उपकरण वर्ग को पूरा करना है। निम्नलिखित उदाहरणों में, यह माना जाता है कि अक्षों का घूर्णन पहले ही किया जा चुका है।

उदाहरण 1

समीकरण दिया गया है

$9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,$

अक्षों के अनुवाद का उपयोग करके, निर्धारित करें कि समीकरण का लोकस (गणित) एक परवलय, दीर्घवृत्त या अतिपरवलय है। फोकस (या फोकस), वर्टेक्स (ज्यामिति) (या वर्टेक्स), और विलक्षणता (गणित) निर्धारित करें।

समाधान: x और y में वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को फॉर्म में लिखें

$9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.$

वर्गों को पूरा करें और प्राप्त करें

$9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100$

$\Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.$

परिभाषित करना

$x'=x+1$      और      $y'=y-2.$

अर्थात्, समीकरणों में अनुवाद (2) के साथ बनाया गया है $h=-1,k=2.$ नई समन्वय प्रणाली में समीकरण है

$9x'^{2}+25y'^{2}=225.$

(5)

विभाजन समीकरण (5) 225 तक प्राप्त करना

${\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,$

जिसे दीर्घवृत्त के रूप में पहचाना जा सकता है $a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}.$ x'y'-सिस्टम में, हमारे पास है: केंद्र $(0,0)$; कोने $(\pm 5,0)$; फोकी $(\pm 4,0).$ xy-सिस्टम में, संबंधों का उपयोग करें $x=x'-1,y=y'+2$ प्राप्त करने के लिए: केंद्र $(-1,2)$; कोने $(4,2),(-6,2)$; फोकी $(3,2),(-5,2)$; सनक ${\tfrac {4}{5}}.$

कई आयामों का सामान्यीकरण

तीन आयामों में एक xyz-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए, मान लीजिए कि एक दूसरा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली शुरू की गई है, जिसमें अक्ष x', y' और z'</ हैं। nowiki> इस प्रकार स्थित है कि x<nowiki>' अक्ष x अक्ष के समानांतर है और h इकाइयाँ उससे दूर हैं, y' अक्ष y अक्ष के समानांतर है और k इकाइयाँ उससे दूर हैं , और z' अक्ष z अक्ष और उससे l इकाइयों के समानांतर है। अंतरिक्ष में एक बिंदु P में दोनों प्रणालियों में निर्देशांक होंगे। यदि इसके निर्देशांक मूल प्रणाली में (x, y, z) हैं और दूसरे में (x', y', z') हैं प्रणाली, समीकरण

$x'=x-h,\qquad y'=y-k,\qquad z'=z-l$

(6)

पकड़ना। समीकरण (6) तीन आयामों में अक्षों के अनुवाद को परिभाषित करें जहां (एच, के, एल) नए मूल के xyz-निर्देशांक हैं। किसी भी सीमित संख्या में आयामों में अक्षों का अनुवाद इसी तरह परिभाषित किया गया है।

चतुर्भुज सतहों का अनुवाद

Main article: Quadric surface

त्रि-स्थान में, x, y और z में दूसरी डिग्री का सबसे सामान्य समीकरण रूप है

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0,$

(7)

जहाँ मात्राएँ $A,B,C,\ldots ,J$ धनात्मक या ऋणात्मक संख्याएँ या शून्य हैं। ऐसे समीकरण को संतुष्ट करने वाले अंतरिक्ष के सभी बिंदु एक सतह (ज्यामिति) पर स्थित हैं। कोई भी द्वितीय-डिग्री समीकरण जो एक सिलेंडर, विमान, रेखा या बिंदु तक कम नहीं होता है वह एक सतह से मेल खाता है जिसे क्वाड्रिक कहा जाता है। जैसा कि समतल विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मामले में होता है, अक्षों के अनुवाद की विधि का उपयोग द्वितीय-डिग्री समीकरणों को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, जिससे कुछ चतुष्कोणीय सतहों की प्रकृति स्पष्ट हो जाती है। इस प्रक्रिया में मुख्य उपकरण वर्ग को पूरा करना है।

उदाहरण 2

चतुर्भुज सतह की पहचान करने के लिए निर्देशांक के अनुवाद का उपयोग करें

$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.$

समाधान: समीकरण को फॉर्म में लिखें

$x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.$

प्राप्त करने के लिए वर्ग पूरा करें

$(x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{\tfrac {27}{4}}.$

निर्देशांक के अनुवाद का परिचय दें

$x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.$

सतह का समीकरण रूप लेता है

$x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},$

जिसे दीर्घवृत्त के समीकरण के रूप में पहचाना जा सकता है।

यह भी देखें

• अनुवाद (ज्यामिति)

संदर्भ

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)