विनिमय आव्यूह

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, विनिमय आव्यूह (जिसे उत्क्रमण मैट्रिक्स, पश्च तत्समक, या मानक अनैच्छिक क्रमपरिवर्तन भी कहा जाता है) क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के विशेष प्रकरण हैं, जहां 1 तत्व प्रतिविकर्ण (एंटीडायगोनल) पर रहते हैं और अन्य सभी तत्व शून्य हैं। दूसरे शब्दों में, वे तत्समक आव्यूह के 'पंक्ति-उत्क्रमित' या 'स्तंभ-उत्क्रमित' संस्करण हैं।

$J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}};\quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}.$

परिभाषा

यदि J n × n विनिमय आव्यूह है, तो J के तत्व हैं

$$J_{i,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}$$

गुण

• विनिमय आव्यूह द्वारा एक आव्यूह को पूर्व-गुणित करने से पूर्व की पंक्तियों की स्थिति लंबवत रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}}.$

• विनिमय आव्यूह द्वारा एक आव्यूह को पश्चात गुणन करने से पूर्व के कॉलम की स्थिति क्षैतिज रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{pmatrix}}.$

• विनिमय आव्यूह सममित हैं; अर्थात्, J_n^T = J_n
• किसी भी पूर्णांक k के लिए, यदि k सम है तो J_n^k = I और यदि k विषम है तो J_n^k = J_n है। विशेष रूप से, J_n एक अनैच्छिक आव्यूह है; अर्थात् J_n⁻¹ = J_n है।
• यदि n विषम है तो J_n का ट्रेस 1 है और यदि n सम है तो 0 है। दूसरे शब्दों में, J_n का ट्रेस $n{\bmod {2}}$ के समान है।
• J_n का निर्धारक $(-1)^{n(n-1)/2}$ के समान है। n के फलन के रूप में, इसका आवर्त 4 है, जो 1, 1, −1, −1 देता है जब n क्रमशः 4 से 0, 1, 2, और 3 के सर्वांगसम मापांक है।
• J_n का अभिलक्षणिक बहुपद $\det(\lambda I-J_{n})={\big (}(\lambda +1)(\lambda -1){\big )}^{n/2}$ है जब n सम है, और $(\lambda -1)^{(n+1)/2}(\lambda +1)^{(n-1)/2}$ जब n विषम है।
• J_n का एडजुगेट आव्यूह $\operatorname {adj} (J_{n})=\operatorname {sgn}(\pi _{n})J_{n}$ है।

संबंध

• विनिमय आव्यूह सबसे सरल प्रति-विकर्ण आव्यूह है।
• कोई भी आव्यूह A जो प्रतिबंध AJ = JA को संतुष्ट करता है उसे केन्द्रसममित कहा जाता है।
• कोई भी आव्यूह A जो AJ = JA^T की स्थिति को संतुष्ट करता है, उसे पर्सिमेट्रिक कहा जाता है।
• सममित आव्यूह A जो प्रतिबंध AJ = JA को संतुष्ट करते हैं, द्विसममित आव्यूह आव्यूह कहलाते हैं। द्विसममितीय मैट्रिक्स केन्द्रसममित और पर्सिमेट्रिक दोनों होते हैं।

यह भी देखें

• पाउली मैट्रिक्स (पहला पाउली मैट्रिक्स 2 × 2 विनिमय आव्यूह है)