पर्सिमेट्रिक मैट्रिक्स

गणित में, पर्सिमेट्रिक आव्यूह का उल्लेख हो सकता है:

1. वर्ग आव्यूह जो उत्तर-पूर्व से दक्षिण-पश्चिम विकर्ण के संबंध में सममित है; अथवा
2. ऐसा वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण के लंबवत प्रत्येक रेखा पर मान किसी दी गई रेखा के लिए समान होते हैं।

प्रथम परिभाषा साहित्य में सबसे सामान्य है। पदनाम हैंकेल आव्यूह का उपयोग अधिकांशतः दूसरी परिभाषा में गुण को संतुष्ट करने वाले आव्यूह के लिए किया जाता है।

परिभाषा 1

पर्सिमेट्रिक 5 × 5 आव्यूह का समरूपता प्रारूप

मान लीजिए A = (a_ij) n × n आव्यूह है। पर्सिमेट्रिक की प्रथम परिभाषा के लिए इसकी आवश्यकता है-

$a_{ij}=a_{n-j+1,n-i+1}$ सभी i, j के लिए है

उदाहरण के लिए, 5 × 5 पर्सिमेट्रिक आव्यूह इस प्रकार के होते हैं-

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.$

इसे समान रूप से AJ = JA^T के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां J विनिमय आव्यूह है।

सममित आव्यूह जिसका मान उत्तर-पश्चिम से दक्षिण-पूर्व विकर्ण में सममित होता है। यदि सममित आव्यूह को 90° घुमाया जाता है, तो यह द्विसममितीय आव्यूह बन जाता है। इस प्रकार सममित पर्सिमेट्रिक आव्यूह को कभी-कभी द्विसममितीय आव्यूह भी कहा जाता है।

परिभाषा 2

Further information: हैंकेल आव्यूह

द्वितीय परिभाषा थॉमस मुइर (गणितज्ञ) के कारण है। यह कहते है कि वर्ग आव्यूह A = (a_ij) परसिमेट्रिक है, यदि a_ij केवल i+j पर निर्भर करता है। इस अर्थ में पर्सिमेट्रिक आव्यूह, अथवा हैंकेल आव्यूह, जैसा कि उन्हें अधिकांशतः कहा जाता है, निम्नलिखित रूप के होते हैं I

$A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.$

आव्यूह सारणिक पर्सिमेट्रिक आव्यूह का सारणिक होता है।

आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के समानांतर प्रत्येक रेखा पर मान स्थिर होते हैं, टोएप्लिट्ज़ आव्यूह कहलाता है।

यह भी देखें

• सेंट्रोसिमेट्रिक आव्यूह