बानाच बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 09:57, 21 July 2023

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, बानाच बीजगणित, जिसका नाम स्टीफ़न बानाच के नाम पर रखा गया है, सहयोगी बीजगणित है $A$ वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं पर (या गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर | गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण नॉर्म (गणित)) जो ही समय में बानाच स्थान भी है, अर्थात, मानक स्थान जो मीट्रिक में पूर्ण मीट्रिक स्थान है ( गणित) आदर्श से प्रेरित है। मानक को पूरा करना आवश्यक है

\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.

यह सुनिश्चित करता है कि गुणन ऑपरेशन निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है।

बानाच बीजगणित को इकाईक कहा जाता है यदि इसमें गुणन के लिए पहचान तत्व होता है जिसका मानदंड है $1,$ और क्रमविनिमेय यदि इसका गुणन क्रमविनिमेय है। कोई बनच बीजगणित $A$ (चाहे इसमें कोई पहचान तत्व हो या नहीं) आइसोमेट्री को यूनिटल बानाच बीजगणित में एम्बेड किया जा सकता है $A_{e}$ ताकि बंद सेट आदर्श (बीजगणित) बनाया जा सके $A_{e}$ . अक्सर कोई यह मान लेता है कि विचाराधीन बीजगणित एकात्मक है: क्योंकि कोई इस पर विचार करके अधिकांश सिद्धांत विकसित कर सकता है $A_{e}$ और फिर परिणाम को मूल बीजगणित में लागू करना। हालाँकि, हर समय ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, कोई भी बिना पहचान के बनच बीजगणित में सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित नहीं कर सकता है।

वास्तविक बनच बीजगणित का सिद्धांत जटिल बनच बीजगणित के सिद्धांत से बहुत भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, गैर-तुच्छ जटिल बानाच बीजगणित के तत्व का स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) कभी भी खाली नहीं हो सकता है, जबकि वास्तविक बानाच बीजगणित में यह कुछ तत्वों के लिए खाली हो सकता है।

बानाच बीजगणित को पी-एडिक संख्या के क्षेत्रों पर भी परिभाषित किया जा सकता है $p$ -एडिक नंबर. यह पी-एडिक विश्लेषण का हिस्सा है| $p$ -एडिक विश्लेषण.

उदाहरण

बानाच बीजगणित का प्रोटोटाइप उदाहरण है $C_{0}(X)$ , स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन (हॉसडॉर्फ़ स्थान) स्थान पर (जटिल-मूल्यवान) निरंतर कार्यों का स्थान जो अनंत पर गायब हो जाता है। $C_{0}(X)$ इकाई है यदि और केवल यदि $X$ सघनता है. जटिल संयुग्मन समावेशन (गणित) है, $C_{0}(X)$ वास्तव में C*-बीजगणित है। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक C*-बीजगणित परिभाषा के अनुसार बनच बीजगणित है।

वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याओं का समुच्चय बैनाच बीजगणित है जिसका मान निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
सभी वास्तविक या जटिल का सेट $n$ -द्वारा- $n$ मैट्रिक्स (गणित) इकाई बीजगणित बनच बीजगणित बन जाता है यदि हम इसे उप-गुणक मैट्रिक्स मानदंड से लैस करते हैं।
बानाच स्थान लें $\mathbb {R} ^{n}$ (या $\mathbb {C} ^{n}$ ) मानक के साथ $\|x\|=\max _{}|x_{i}|$ और गुणन को घटकवार परिभाषित करें: $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).$
चतुर्भुज 4-आयामी वास्तविक बानाच बीजगणित बनाते हैं, जिसमें मानदंड चतुर्भुजों के निरपेक्ष मान द्वारा दिए जाते हैं।
किसी सेट पर परिभाषित सभी सीमित वास्तविक या जटिल-मूल्यवान कार्यों का बीजगणित (बिंदुवार गुणन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) यूनिटल बानाच बीजगणित है।
कुछ स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान पर सभी बंधे हुए निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) के वास्तविक या जटिल-मूल्य वाले फ़ंक्शन का बीजगणित (फिर से बिंदुवार संचालन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) बानाच बीजगणित है।
बैनच स्पेस पर सभी निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) रैखिक परिवर्तन ऑपरेटरों का बीजगणित $E$ (गुणन के रूप में कार्यात्मक संरचना और मानदंड के रूप में ऑपरेटर मानदंड के साथ) यूनिटल बानाच बीजगणित है। सभी कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का सेट चालू है $E$ बनच बीजगणित और बंद आदर्श है। यदि यह बिना पहचान के है $\dim E=\infty .$ ^[1]
अगर $G$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष टोपोलॉजिकल समूह है और $\mu$ इसका हार माप है, फिर बानाच स्थान $L^{1}(G)$ के सभी $\mu$ -अभिन्न कार्य चालू $G$ कनवल्शन के तहत बनच बीजगणित बन जाता है $xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)$ के लिए $x,y\in L^{1}(G).$ ^[2]
समान बीजगणित: बानाच बीजगणित जो जटिल बीजगणित का उपबीजगणित है $C(X)$ सर्वोच्च मानदंड के साथ और जिसमें स्थिरांक शामिल हैं और बिंदुओं को अलग करता है $X$ (जो कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान होना चाहिए)।
समान बीजगणित: समान बीजगणित जिसके सभी वर्णों का मूल्यांकन बिंदुओं पर किया जाता है $X.$
सी*-बीजगणित: बानाच बीजगणित जो कुछ हिल्बर्ट स्थान पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित का बंद *-उपबीजगणित है।
बीजगणित को मापें: बैनाच बीजगणित जिसमें कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर सभी रेडॉन माप शामिल होते हैं, जहां दो उपायों का उत्पाद कन्वोल्यूशन # माप द्वारा दिया जाता है।^[2]* चतुर्भुज का बीजगणित $\mathbb {H}$ वास्तविक बानाच बीजगणित है, लेकिन यह जटिल बीजगणित नहीं है (और इसलिए जटिल बानाच बीजगणित नहीं है) इसका सरल कारण यह है कि चतुर्भुज का केंद्र वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनमें जटिल संख्याओं की प्रतिलिपि नहीं हो सकती है।
एफ़िनॉइड बीजगणित गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर निश्चित प्रकार का बानाच बीजगणित है। एफ़िनॉइड बीजगणित कठोर विश्लेषणात्मक स्थान में बुनियादी निर्माण खंड हैं।

गुण

पावर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित कार्यों की कई सूची किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में परिभाषित की जा सकती है; उदाहरणों में घातांकीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन, और सामान्यतः कोई भी संपूर्ण फलन शामिल हैं। (विशेष रूप से, घातीय मानचित्र का उपयोग अमूर्त सूचकांक समूहों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।) ज्यामितीय श्रृंखला का सूत्र सामान्य इकाई बनच बीजगणित में मान्य रहता है। द्विपद प्रमेय बानाच बीजगणित के दो आने वाले तत्वों के लिए भी मान्य है।

किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में व्युत्क्रमणीय तत्वों का सेट खुला सेट है, और इस सेट पर व्युत्क्रम संचालन निरंतर होता है (और इसलिए होमोमोर्फिज्म है), ताकि यह गुणन के तहत टोपोलॉजिकल समूह बना सके।^[3] यदि बनच बीजगणित में इकाई है $\mathbf {1} ,$ तब $\mathbf {1}$ कम्यूटेटर (रिंग सिद्धांत) नहीं हो सकता; वह है, $xy-yx\neq \mathbf {1}$ किसी के लिए $x,y\in A.$ यह है क्योंकि $xy$ और $yx$ संभवतः को छोड़कर समान स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) है $0.$ ऊपर दिए गए उदाहरणों में दिए गए कार्यों के विभिन्न बीजगणित में वास्तविक जैसे बीजगणित के मानक उदाहरणों से बहुत अलग गुण हैं। उदाहरण के लिए:

प्रत्येक वास्तविक बानाच बीजगणित जो कि विभाजन बीजगणित है, वास्तविक, संकुल, या चतुर्भुज के समरूपी है। इसलिए, एकमात्र जटिल बानाच बीजगणित जो विभाजन बीजगणित है, वह कॉम्प्लेक्स है। (इसे गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।)
प्रत्येक इकाई वास्तविक बानाच बीजगणित जिसमें कोई शून्य विभाजक नहीं है, और जिसमें प्रत्येक प्रमुख आदर्श बंद सेट है, वास्तविक, कॉम्प्लेक्स या चतुर्भुज के लिए आइसोमोर्फिक है।^[4]
प्रत्येक क्रमविनिमेय वास्तविक इकाई नोथेरियन अंगूठी बनच बीजगणित जिसमें कोई शून्य विभाजक नहीं है, वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए समरूपी है।
प्रत्येक क्रमविनिमेय वास्तविक इकाई नोथेरियन बानाच बीजगणित (संभवतः शून्य भाजक वाला) परिमित-आयामी है।
बनच बीजगणित में स्थायी रूप से एकवचन तत्व शून्य के टोपोलॉजिकल विभाजक हैं, अर्थात, विस्तार पर विचार करते हुए $B$ बानाच बीजगणित का $A$ कुछ तत्व जो दिए गए बीजगणित में एकवचन हैं $A$ बानाच बीजगणित विस्तार में गुणात्मक व्युत्क्रम तत्व है $B.$ शून्य इंच के टोपोलॉजिकल विभाजक $A$ किसी भी बनच एक्सटेंशन में स्थायी रूप से एकवचन होते हैं $B$ का $A.$

वर्णक्रमीय सिद्धांत

जटिल क्षेत्र पर यूनिटल बानाच बीजगणित वर्णक्रमीय सिद्धांत विकसित करने के लिए सामान्य सेटिंग प्रदान करते हैं। किसी तत्व का स्पेक्ट्रम $x\in A,$ द्वारा चिह्नित $\sigma (x)$ , उन सभी जटिल अदिश (गणित) से मिलकर बना है $\lambda$ ऐसा है कि $x-\lambda \mathbf {1}$ में उलटा नहीं है $A.$ किसी भी तत्व का स्पेक्ट्रम $x$ में बंद डिस्क का बंद उपसमुच्चय है $\mathbb {C}$ त्रिज्या के साथ $\|x\|$ और केंद्र $0,$ और इस प्रकार सघन स्थान है। इसके अलावा, स्पेक्ट्रम $\sigma (x)$ तत्व का $x$ गैर-रिक्त है और वर्णक्रमीय त्रिज्या सूत्र को संतुष्ट करता है:

\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.

दिया गया

x\in A,

होलोमोर्फिक कार्यात्मक कैलकुलस परिभाषित करने की अनुमति देता है

f(x)\in A

किसी भी समारोह के लिए

f

के पड़ोस में होलोमोर्फिक फ़ंक्शन

\sigma (x).

इसके अलावा, वर्णक्रमीय मानचित्रण प्रमेय मानता है:^[5]

\sigma (f(x))=f(\sigma (x)).

जब बनच बीजगणित

A

बीजगणित है

L(X)

जटिल बानाच स्थान पर बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों का

X

(उदाहरण के लिए, वर्ग मैट्रिक्स का बीजगणित), स्पेक्ट्रम की धारणा

A

ऑपरेटर सिद्धांत में सामान्य के साथ मेल खाता है। के लिए

f\in C(X)

(कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के साथ

X

), कोई यह देखता है:

\sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.

सामान्य तत्व का आदर्श

x

C*-बीजगणित का वर्णक्रमीय त्रिज्या से मेल खाता है। यह सामान्य ऑपरेटरों के लिए समान तथ्य का सामान्यीकरण करता है।

होने देना $A$ जटिल इकाई बनच बीजगणित बनें जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व हो $x$ व्युत्क्रमणीय (विभाजन बीजगणित) है। हरएक के लिए $a\in A,$ वहाँ है $\lambda \in \mathbb {C}$ ऐसा है कि $a-\lambda \mathbf {1}$ उलटा नहीं है (क्योंकि का स्पेक्ट्रम $a$ खाली नहीं है) इसलिए $a=\lambda \mathbf {1} :$ यह बीजगणित $A$ स्वाभाविक रूप से समरूपी है $\mathbb {C}$ (गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय का जटिल मामला)।

आदर्श और चरित्र

होने देना $A$ इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित बनें $\mathbb {C} .$ तब से $A$ फिर इकाई के साथ क्रमविनिमेय वलय है, जिसका प्रत्येक गैर-उलटा तत्व है $A$ के कुछ अधिकतम आदर्श से संबंधित है $A.$ अधिकतम आदर्श के बाद से ${\mathfrak {m}}$ में $A$ बन्द है, $A/{\mathfrak {m}}$ बानाच बीजगणित है जो क्षेत्र है, और यह गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय से निम्नानुसार है कि सभी अधिकतम आदर्शों के सेट के बीच आपत्ति है $A$ और सेट $\Delta (A)$ से सभी गैर-शून्य समरूपताएँ $A$ को $\mathbb {C} .$ सेट $\Delta (A)$ का संरचना स्थान या वर्ण स्थान कहा जाता है $A,$ और इसके सदस्यों के पात्र।

चरित्र $\chi$ पर रैखिक कार्यात्मक है $A$ वह ही समय में गुणक है, $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b),$ और संतुष्ट करता है $\chi (\mathbf {1} )=1.$ प्रत्येक वर्ण स्वचालित रूप से निरंतर है $A$ को $\mathbb {C} ,$ चूँकि किसी चरित्र का कर्नेल अधिकतम आदर्श है, जो बंद है। इसके अलावा, चरित्र का मानदंड (अर्थात, ऑपरेटर मानदंड) है। बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी से सुसज्जित $A$ (अर्थात, कमजोर-* टोपोलॉजी से प्रेरित टोपोलॉजी $A^{*}$ ), चरित्र स्थान, $\Delta (A),$ हॉसडॉर्फ़ कॉम्पैक्ट स्पेस है।

किसी के लिए $x\in A,$

\sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})

कहाँ

{\hat {x}}

गेलफैंड का प्रतिनिधित्व है

x

इस प्रकार परिभाषित:

{\hat {x}}

से सतत कार्य है

\Delta (A)

को

\mathbb {C}

द्वारा दिए गए

{\hat {x}}(\chi )=\chi (x).

का स्पेक्ट्रम

{\hat {x}},

उपरोक्त सूत्र में, बीजगणित के तत्व के रूप में स्पेक्ट्रम है

C(\Delta (A))

कॉम्पैक्ट स्पेस पर जटिल निरंतर कार्यों का

\Delta (A).

स्पष्ट रूप से,

\sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.

बीजगणित के रूप में, इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित अर्धसरल बीजगणित है (अर्थात्, इसका जैकबसन कट्टरपंथी शून्य है) यदि और केवल यदि इसके गेलफैंड प्रतिनिधित्व में तुच्छ कर्नेल है। ऐसे बीजगणित का महत्वपूर्ण उदाहरण क्रमविनिमेय C*-बीजगणित है। दरअसल, जब

A

क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित है, गेलफैंड प्रतिनिधित्व तब सममितीय *-समरूपता है

A

और

C(\Delta (A)).

^{[lower-alpha 1]}

बनाच *-बीजगणित

बनच *-बीजगणित $A$ मानचित्र के साथ सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र पर बानाच बीजगणित है ${}^{*}:A\to A$ जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

$\left(x^{*}\right)^{*}=x$ सभी के लिए $x\in A$ (इसलिए नक्शा इनवोलुशन (गणित) है)।
$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ सभी के लिए $x,y\in A.$
$(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ हरएक के लिए $\lambda \in \mathbb {C}$ और हर $x\in A;$ यहाँ, ${\bar {\lambda }}$ के जटिल संयुग्म को दर्शाता है $\lambda .$
$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ सभी के लिए $x,y\in A.$

दूसरे शब्दों में, बनच *-बीजगणित बनच बीजगणित है $\mathbb {C}$ वह भी *-बीजगणित है।

अधिकांश प्राकृतिक उदाहरणों में, किसी का यह भी मानना है कि इन्वोल्यूशन आइसोमेट्री है, अर्थात,

 $\|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.$

कुछ लेखक इस सममितीय गुण को बनच *-बीजगणित की परिभाषा में शामिल करते हैं।

बनच *-बीजगणित संतोषजनक $\|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|$ C*-बीजगणित है.

यह भी देखें

Approximate identity
Kaplansky's conjecture
Operator algebra – Branch of functional analysis
Shilov boundary

संदर्भ

↑ Conway 1990, Example VII.1.8.
↑ ^2.0 ^2.1 Conway 1990, Example VII.1.9.
↑ Conway 1990, Theorem VII.2.2.
↑ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). "गेलफ़ैंड-मज़ूर-कप्लांस्की प्रमेय का एक नया सरल प्रमाण". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (9): 2663–2666. doi:10.2307/2160559. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559.
↑ Takesaki 1979, Proposition 2.8.

Bollobás, B (1990). Linear Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38729-9.
Bonsall, F. F.; Duncan, J. (1973). Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.
Dales, H. G.; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, G. A. (2003). Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-53584-0.
Mosak, R. D. (1975). Banach algebras. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press). ISBN 0-226-54203-3.
Takesaki, M. (1979). Theory of Operator Algebras I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 124 (1st ed.). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN 0938-0396.

[6] Proof: Since every element of a commutative C*-algebra is normal, the Gelfand representation is isometric; in particular, it is injective and its image is closed. But the image of the Gelfand representation is dense by the Stone–Weierstrass theorem.

[1] Conway 1990, Example VII.1.8.

[harvnb_conway_1990_example_VII.1.9.-2] 2.0 ^2.1 Conway 1990, Example VII.1.9.

[3] Conway 1990, Theorem VII.2.2.

[4] García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). "गेलफ़ैंड-मज़ूर-कप्लांस्की प्रमेय का एक नया सरल प्रमाण". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (9): 2663–2666. doi:10.2307/2160559. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559.

[5] Takesaki 1979, Proposition 2.8.

[1]

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[3]

[4]

[5]

[lower-alpha 1]

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 {{Short description|Particular kind of algebraic structure}}
-गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, एक बानाच बीजगणित, जिसका नाम [[स्टीफ़न बानाच]] के नाम पर रखा गया है, एक सहयोगी बीजगणित है <math>A</math> [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]] संख्याओं पर (या एक गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर | गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण नॉर्म (गणित)) जो एक ही समय में एक बानाच स्थान भी है, अर्थात, एक [[मानक स्थान]] जो मीट्रिक में [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] है ( गणित) आदर्श से प्रेरित है। मानक को पूरा करना आवश्यक है
+गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, बानाच बीजगणित, जिसका नाम [[स्टीफ़न बानाच]] के नाम पर रखा गया है, सहयोगी बीजगणित है <math>A</math> [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]] संख्याओं पर (या गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर | गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण नॉर्म (गणित)) जो ही समय में बानाच स्थान भी है, अर्थात, [[मानक स्थान]] जो मीट्रिक में [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] है ( गणित) आदर्श से प्रेरित है। मानक को पूरा करना आवश्यक है
 <math display=block>\|x \, y\| \ \leq  \|x\| \, \|y\| \quad \text{ for all } x, y \in A.</math>
 यह सुनिश्चित करता है कि गुणन ऑपरेशन निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है।
-एक बानाच बीजगणित को इकाईक कहा जाता है यदि इसमें गुणन के लिए एक [[पहचान तत्व]] होता है जिसका मानदंड है <math>1,</math> और क्रम[[विनिमेय]] यदि इसका गुणन क्रमविनिमेय है।
+बानाच बीजगणित को इकाईक कहा जाता है यदि इसमें गुणन के लिए [[पहचान तत्व]] होता है जिसका मानदंड है <math>1,</math> और क्रम[[विनिमेय]] यदि इसका गुणन क्रमविनिमेय है।
-कोई बनच बीजगणित <math>A</math> (चाहे इसमें कोई पहचान तत्व हो या नहीं) [[आइसोमेट्री]] को यूनिटल बानाच बीजगणित में एम्बेड किया जा सकता है <math>A_e</math> ताकि एक [[बंद सेट]] [[आदर्श (बीजगणित)]] बनाया जा सके <math>A_e</math>. अक्सर कोई यह मान लेता है कि विचाराधीन बीजगणित एकात्मक है: क्योंकि कोई इस पर विचार करके अधिकांश सिद्धांत विकसित कर सकता है <math>A_e</math> और फिर परिणाम को मूल बीजगणित में लागू करना। हालाँकि, हर समय ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, कोई भी बिना पहचान के बनच बीजगणित में सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित नहीं कर सकता है।
+कोई बनच बीजगणित <math>A</math> (चाहे इसमें कोई पहचान तत्व हो या नहीं) [[आइसोमेट्री]] को यूनिटल बानाच बीजगणित में एम्बेड किया जा सकता है <math>A_e</math> ताकि [[बंद सेट]] [[आदर्श (बीजगणित)]] बनाया जा सके <math>A_e</math>. अक्सर कोई यह मान लेता है कि विचाराधीन बीजगणित एकात्मक है: क्योंकि कोई इस पर विचार करके अधिकांश सिद्धांत विकसित कर सकता है <math>A_e</math> और फिर परिणाम को मूल बीजगणित में लागू करना। हालाँकि, हर समय ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, कोई भी बिना पहचान के बनच बीजगणित में सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित नहीं कर सकता है।
-वास्तविक बनच बीजगणित का सिद्धांत जटिल बनच बीजगणित के सिद्धांत से बहुत भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक गैर-तुच्छ जटिल बानाच बीजगणित के एक तत्व का [[स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण)]] कभी भी खाली नहीं हो सकता है, जबकि वास्तविक बानाच बीजगणित में यह कुछ तत्वों के लिए खाली हो सकता है।
+वास्तविक बनच बीजगणित का सिद्धांत जटिल बनच बीजगणित के सिद्धांत से बहुत भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, गैर-तुच्छ जटिल बानाच बीजगणित के तत्व का [[स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण)]] कभी भी खाली नहीं हो सकता है, जबकि वास्तविक बानाच बीजगणित में यह कुछ तत्वों के लिए खाली हो सकता है।
 बानाच बीजगणित को पी-एडिक संख्या के क्षेत्रों पर भी परिभाषित किया जा सकता है<math>p</math>-एडिक नंबर. यह पी-एडिक विश्लेषण का हिस्सा है|<math>p</math>-एडिक विश्लेषण.
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 ==उदाहरण==
-बानाच बीजगणित का प्रोटोटाइप उदाहरण है <math>C_0(X)</math>, स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से सघन]] ([[हॉसडॉर्फ़ स्थान]]) स्थान पर (जटिल-मूल्यवान) निरंतर कार्यों का स्थान जो अनंत पर गायब हो जाता है। <math>C_0(X)</math> इकाई है यदि और केवल यदि <math>X</math> [[सघनता]] है. [[जटिल संयुग्मन]] एक समावेशन (गणित) है, <math>C_0(X)</math> वास्तव में एक C*-बीजगणित है। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक C*-बीजगणित परिभाषा के अनुसार एक बनच बीजगणित है।
+बानाच बीजगणित का प्रोटोटाइप उदाहरण है <math>C_0(X)</math>, स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से सघन]] ([[हॉसडॉर्फ़ स्थान]]) स्थान पर (जटिल-मूल्यवान) निरंतर कार्यों का स्थान जो अनंत पर गायब हो जाता है। <math>C_0(X)</math> इकाई है यदि और केवल यदि <math>X</math> [[सघनता]] है. [[जटिल संयुग्मन]] समावेशन (गणित) है, <math>C_0(X)</math> वास्तव में C*-बीजगणित है। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक C*-बीजगणित परिभाषा के अनुसार बनच बीजगणित है।
-* वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याओं का समुच्चय एक बैनाच बीजगणित है जिसका मान निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
+* वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याओं का समुच्चय बैनाच बीजगणित है जिसका मान निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
-* सभी वास्तविक या जटिल का सेट <math>n</math>-द्वारा-<math>n</math> [[मैट्रिक्स (गणित)]] एक [[इकाई बीजगणित]] बनच बीजगणित बन जाता है यदि हम इसे उप-गुणक [[मैट्रिक्स मानदंड]] से लैस करते हैं।
+* सभी वास्तविक या जटिल का सेट <math>n</math>-द्वारा-<math>n</math> [[मैट्रिक्स (गणित)]] [[इकाई बीजगणित]] बनच बीजगणित बन जाता है यदि हम इसे उप-गुणक [[मैट्रिक्स मानदंड]] से लैस करते हैं।
 * बानाच स्थान लें <math>\R^n</math> (या <math>\Complex^n</math>) मानक के साथ <math>\|x\| = \max_{} |x_i|</math> और गुणन को घटकवार परिभाषित करें: <math>\left(x_1, \ldots, x_n\right) \left(y_1, \ldots, y_n\right) = \left(x_1 y_1, \ldots, x_n y_n\right).</math>
-* चतुर्भुज एक 4-आयामी वास्तविक बानाच बीजगणित बनाते हैं, जिसमें मानदंड चतुर्भुजों के निरपेक्ष मान द्वारा दिए जाते हैं।
+* चतुर्भुज 4-आयामी वास्तविक बानाच बीजगणित बनाते हैं, जिसमें मानदंड चतुर्भुजों के निरपेक्ष मान द्वारा दिए जाते हैं।
-* किसी सेट पर परिभाषित सभी सीमित वास्तविक या जटिल-मूल्यवान कार्यों का बीजगणित (बिंदुवार गुणन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) एक यूनिटल बानाच बीजगणित है।
+* किसी सेट पर परिभाषित सभी सीमित वास्तविक या जटिल-मूल्यवान कार्यों का बीजगणित (बिंदुवार गुणन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) यूनिटल बानाच बीजगणित है।
-* कुछ स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] पर सभी बंधे हुए निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) के वास्तविक या जटिल-मूल्य वाले फ़ंक्शन का बीजगणित (फिर से बिंदुवार संचालन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) एक बानाच बीजगणित है।
+* कुछ स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] पर सभी बंधे हुए निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) के वास्तविक या जटिल-मूल्य वाले फ़ंक्शन का बीजगणित (फिर से बिंदुवार संचालन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) बानाच बीजगणित है।
-* बैनच स्पेस पर सभी निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) [[रैखिक परिवर्तन]] ऑपरेटरों का बीजगणित <math>E</math> (गुणन के रूप में कार्यात्मक संरचना और मानदंड के रूप में [[ऑपरेटर मानदंड]] के साथ) एक यूनिटल बानाच बीजगणित है। सभी [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]]ों का सेट चालू है <math>E</math> एक बनच बीजगणित और बंद आदर्श है। यदि यह बिना पहचान के है <math>\dim E = \infty.</math><ref>{{harvnb|Conway|1990|loc=Example VII.1.8.}}</ref>
+* बैनच स्पेस पर सभी निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) [[रैखिक परिवर्तन]] ऑपरेटरों का बीजगणित <math>E</math> (गुणन के रूप में कार्यात्मक संरचना और मानदंड के रूप में [[ऑपरेटर मानदंड]] के साथ) यूनिटल बानाच बीजगणित है। सभी [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]]ों का सेट चालू है <math>E</math> बनच बीजगणित और बंद आदर्श है। यदि यह बिना पहचान के है <math>\dim E = \infty.</math><ref>{{harvnb|Conway|1990|loc=Example VII.1.8.}}</ref>
-* अगर <math>G</math> एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष [[टोपोलॉजिकल समूह]] है और <math>\mu</math> इसका हार माप है, फिर बानाच स्थान <math>L^1(G)</math> के सभी <math>\mu</math>-अभिन्न कार्य चालू <math>G</math> [[कनवल्शन]] के तहत बनच बीजगणित बन जाता है <math>x y(g) = \int x(h) y\left(h^{-1} g\right) d \mu(h)</math> के लिए <math>x, y \in L^1(G).</math><ref name="harvnb conway 1990 example VII.1.9.">{{harvnb|Conway|1990|loc=Example VII.1.9.}}</ref>
+* अगर <math>G</math> स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष [[टोपोलॉजिकल समूह]] है और <math>\mu</math> इसका हार माप है, फिर बानाच स्थान <math>L^1(G)</math> के सभी <math>\mu</math>-अभिन्न कार्य चालू <math>G</math> [[कनवल्शन]] के तहत बनच बीजगणित बन जाता है <math>x y(g) = \int x(h) y\left(h^{-1} g\right) d \mu(h)</math> के लिए <math>x, y \in L^1(G).</math><ref name="harvnb conway 1990 example VII.1.9.">{{harvnb|Conway|1990|loc=Example VII.1.9.}}</ref>
-* समान बीजगणित: एक बानाच बीजगणित जो जटिल बीजगणित का एक उपबीजगणित है <math>C(X)</math> सर्वोच्च मानदंड के साथ और जिसमें स्थिरांक शामिल हैं और बिंदुओं को अलग करता है <math>X</math> (जो एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान होना चाहिए)।
+* समान बीजगणित: बानाच बीजगणित जो जटिल बीजगणित का उपबीजगणित है <math>C(X)</math> सर्वोच्च मानदंड के साथ और जिसमें स्थिरांक शामिल हैं और बिंदुओं को अलग करता है <math>X</math> (जो कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान होना चाहिए)।
-* समान बीजगणित: एक समान बीजगणित जिसके सभी वर्णों का मूल्यांकन बिंदुओं पर किया जाता है <math>X.</math>
+* समान बीजगणित: समान बीजगणित जिसके सभी वर्णों का मूल्यांकन बिंदुओं पर किया जाता है <math>X.</math>
-* सी*-बीजगणित: एक बानाच बीजगणित जो कुछ [[हिल्बर्ट स्थान]] पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित का एक बंद *-उपबीजगणित है।
+* सी*-बीजगणित: बानाच बीजगणित जो कुछ [[हिल्बर्ट स्थान]] पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित का बंद *-उपबीजगणित है।
-* [[बीजगणित को मापें]]: एक बैनाच बीजगणित जिसमें कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर सभी [[रेडॉन माप]] शामिल होते हैं, जहां दो उपायों का उत्पाद कन्वोल्यूशन # माप द्वारा दिया जाता है।<ref name="harvnb conway 1990 example VII.1.9." />* चतुर्भुज का बीजगणित <math>\H</math> एक वास्तविक बानाच बीजगणित है, लेकिन यह एक जटिल बीजगणित नहीं है (और इसलिए एक जटिल बानाच बीजगणित नहीं है) इसका सरल कारण यह है कि चतुर्भुज का केंद्र वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनमें जटिल संख्याओं की प्रतिलिपि नहीं हो सकती है।
+* [[बीजगणित को मापें]]: बैनाच बीजगणित जिसमें कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर सभी [[रेडॉन माप]] शामिल होते हैं, जहां दो उपायों का उत्पाद कन्वोल्यूशन # माप द्वारा दिया जाता है।<ref name="harvnb conway 1990 example VII.1.9." />* चतुर्भुज का बीजगणित <math>\H</math> वास्तविक बानाच बीजगणित है, लेकिन यह जटिल बीजगणित नहीं है (और इसलिए जटिल बानाच बीजगणित नहीं है) इसका सरल कारण यह है कि चतुर्भुज का केंद्र वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनमें जटिल संख्याओं की प्रतिलिपि नहीं हो सकती है।
-* एक एफ़िनॉइड बीजगणित एक गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर एक निश्चित प्रकार का बानाच बीजगणित है। एफ़िनॉइड बीजगणित [[कठोर विश्लेषणात्मक स्थान]] में बुनियादी निर्माण खंड हैं।
+* एफ़िनॉइड बीजगणित गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर निश्चित प्रकार का बानाच बीजगणित है। एफ़िनॉइड बीजगणित [[कठोर विश्लेषणात्मक स्थान]] में बुनियादी निर्माण खंड हैं।
 ==गुण==
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 पावर श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित कार्यों की कई सूची किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में परिभाषित की जा सकती है; उदाहरणों में घातांकीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन, और सामान्यतः कोई भी संपूर्ण फलन शामिल हैं। (विशेष रूप से, घातीय मानचित्र का उपयोग अमूर्त सूचकांक समूहों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।) ज्यामितीय श्रृंखला का सूत्र सामान्य इकाई बनच बीजगणित में मान्य रहता है। [[द्विपद प्रमेय]] बानाच बीजगणित के दो आने वाले तत्वों के लिए भी मान्य है।
-किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में व्युत्क्रमणीय तत्वों का सेट एक [[खुला सेट]] है, और इस सेट पर व्युत्क्रम संचालन निरंतर होता है (और इसलिए एक होमोमोर्फिज्म है), ताकि यह गुणन के तहत एक टोपोलॉजिकल समूह बना सके।<ref>{{harvnb|Conway|1990|loc=Theorem VII.2.2.}}</ref>
+किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में व्युत्क्रमणीय तत्वों का सेट [[खुला सेट]] है, और इस सेट पर व्युत्क्रम संचालन निरंतर होता है (और इसलिए होमोमोर्फिज्म है), ताकि यह गुणन के तहत टोपोलॉजिकल समूह बना सके।<ref>{{harvnb|Conway|1990|loc=Theorem VII.2.2.}}</ref>
-यदि एक बनच बीजगणित में इकाई है <math>\mathbf{1},</math> तब <math>\mathbf{1}</math> [[कम्यूटेटर (रिंग सिद्धांत)]] नहीं हो सकता; वह है, <math>xy - yx \neq \mathbf{1}</math>किसी के लिए <math>x, y \in A.</math> यह है क्योंकि <math>x y</math> और <math>y x</math> संभवतः को छोड़कर समान स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) है <math>0.</math>
+यदि बनच बीजगणित में इकाई है <math>\mathbf{1},</math> तब <math>\mathbf{1}</math> [[कम्यूटेटर (रिंग सिद्धांत)]] नहीं हो सकता; वह है, <math>xy - yx \neq \mathbf{1}</math>किसी के लिए <math>x, y \in A.</math> यह है क्योंकि <math>x y</math> और <math>y x</math> संभवतः को छोड़कर समान स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) है <math>0.</math>
 ऊपर दिए गए उदाहरणों में दिए गए कार्यों के विभिन्न बीजगणित में वास्तविक जैसे बीजगणित के मानक उदाहरणों से बहुत अलग गुण हैं। उदाहरण के लिए:
-* प्रत्येक वास्तविक बानाच बीजगणित जो कि एक [[विभाजन बीजगणित]] है, वास्तविक, संकुल, या चतुर्भुज के समरूपी है। इसलिए, एकमात्र जटिल बानाच बीजगणित जो एक विभाजन बीजगणित है, वह कॉम्प्लेक्स है। (इसे गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।)
+* प्रत्येक वास्तविक बानाच बीजगणित जो कि [[विभाजन बीजगणित]] है, वास्तविक, संकुल, या चतुर्भुज के समरूपी है। इसलिए, एकमात्र जटिल बानाच बीजगणित जो विभाजन बीजगणित है, वह कॉम्प्लेक्स है। (इसे गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।)
 * प्रत्येक इकाई वास्तविक बानाच बीजगणित जिसमें कोई शून्य विभाजक नहीं है, और जिसमें प्रत्येक [[प्रमुख आदर्श]] बंद सेट है, वास्तविक, कॉम्प्लेक्स या चतुर्भुज के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref>{{Cite journal|last1=García|first1=Miguel Cabrera|last2=Palacios|first2=Angel Rodríguez|date=1995|title=गेलफ़ैंड-मज़ूर-कप्लांस्की प्रमेय का एक नया सरल प्रमाण|url=https://www.jstor.org/stable/2160559|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=123|issue=9|pages=2663–2666|doi=10.2307/2160559|jstor=2160559|issn=0002-9939}}</ref>
 * प्रत्येक क्रमविनिमेय वास्तविक इकाई [[नोथेरियन अंगूठी]] बनच बीजगणित जिसमें कोई शून्य विभाजक नहीं है, वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए समरूपी है।
 * प्रत्येक क्रमविनिमेय वास्तविक इकाई नोथेरियन बानाच बीजगणित (संभवतः शून्य भाजक वाला) परिमित-आयामी है।
-* बनच बीजगणित में स्थायी रूप से एकवचन तत्व शून्य के टोपोलॉजिकल विभाजक हैं, अर्थात, विस्तार पर विचार करते हुए <math>B</math> बानाच बीजगणित का <math>A</math> कुछ तत्व जो दिए गए बीजगणित में एकवचन हैं <math>A</math> बानाच बीजगणित विस्तार में एक गुणात्मक व्युत्क्रम तत्व है <math>B.</math> शून्य इंच के टोपोलॉजिकल विभाजक <math>A</math> किसी भी बनच एक्सटेंशन में स्थायी रूप से एकवचन होते हैं <math>B</math> का <math>A.</math>
+* बनच बीजगणित में स्थायी रूप से एकवचन तत्व शून्य के टोपोलॉजिकल विभाजक हैं, अर्थात, विस्तार पर विचार करते हुए <math>B</math> बानाच बीजगणित का <math>A</math> कुछ तत्व जो दिए गए बीजगणित में एकवचन हैं <math>A</math> बानाच बीजगणित विस्तार में गुणात्मक व्युत्क्रम तत्व है <math>B.</math> शून्य इंच के टोपोलॉजिकल विभाजक <math>A</math> किसी भी बनच एक्सटेंशन में स्थायी रूप से एकवचन होते हैं <math>B</math> का <math>A.</math>
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 {{Main|Spectral theory}}
-जटिल क्षेत्र पर यूनिटल बानाच बीजगणित वर्णक्रमीय सिद्धांत विकसित करने के लिए एक सामान्य सेटिंग प्रदान करते हैं। किसी तत्व का स्पेक्ट्रम <math>x \in A,</math> द्वारा चिह्नित <math>\sigma(x)</math>, उन सभी जटिल [[अदिश (गणित)]] से मिलकर बना है <math>\lambda</math> ऐसा है कि <math>x - \lambda \mathbf{1}</math> में उलटा नहीं है <math>A.</math> किसी भी तत्व का स्पेक्ट्रम <math>x</math> में बंद डिस्क का एक बंद उपसमुच्चय है <math>\Complex</math> त्रिज्या के साथ <math>\|x\|</math> और केंद्र <math>0,</math> और इस प्रकार [[ सघन स्थान ]] है। इसके अलावा, स्पेक्ट्रम <math>\sigma(x)</math> एक तत्व का <math>x</math> गैर-रिक्त है और [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] सूत्र को संतुष्ट करता है:
+जटिल क्षेत्र पर यूनिटल बानाच बीजगणित वर्णक्रमीय सिद्धांत विकसित करने के लिए सामान्य सेटिंग प्रदान करते हैं। किसी तत्व का स्पेक्ट्रम <math>x \in A,</math> द्वारा चिह्नित <math>\sigma(x)</math>, उन सभी जटिल [[अदिश (गणित)]] से मिलकर बना है <math>\lambda</math> ऐसा है कि <math>x - \lambda \mathbf{1}</math> में उलटा नहीं है <math>A.</math> किसी भी तत्व का स्पेक्ट्रम <math>x</math> में बंद डिस्क का बंद उपसमुच्चय है <math>\Complex</math> त्रिज्या के साथ <math>\|x\|</math> और केंद्र <math>0,</math> और इस प्रकार [[ सघन स्थान ]] है। इसके अलावा, स्पेक्ट्रम <math>\sigma(x)</math> तत्व का <math>x</math> गैर-रिक्त है और [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] सूत्र को संतुष्ट करता है:
 <math display=block>\sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(x)\} = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.</math>
 दिया गया <math>x \in A,</math> [[होलोमोर्फिक कार्यात्मक कैलकुलस]] परिभाषित करने की अनुमति देता है <math>f(x) \in A</math> किसी भी समारोह के लिए <math>f</math> के पड़ोस में [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] <math>\sigma(x).</math> इसके अलावा, वर्णक्रमीय मानचित्रण प्रमेय मानता है:<ref>{{harvnb|Takesaki|1979|loc=Proposition 2.8.}}</ref>
 <math display=block>\sigma(f(x)) = f(\sigma(x)).</math>
-जब बनच बीजगणित <math>A</math> बीजगणित है <math>L(X)</math> एक जटिल बानाच स्थान पर बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों का <math>X</math> (उदाहरण के लिए, वर्ग मैट्रिक्स का बीजगणित), स्पेक्ट्रम की धारणा <math>A</math> [[ऑपरेटर सिद्धांत]] में सामान्य के साथ मेल खाता है। के लिए <math>f \in C(X)</math> (एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के साथ <math>X</math>), कोई यह देखता है:
+जब बनच बीजगणित <math>A</math> बीजगणित है <math>L(X)</math> जटिल बानाच स्थान पर बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों का <math>X</math> (उदाहरण के लिए, वर्ग मैट्रिक्स का बीजगणित), स्पेक्ट्रम की धारणा <math>A</math> [[ऑपरेटर सिद्धांत]] में सामान्य के साथ मेल खाता है। के लिए <math>f \in C(X)</math> (कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के साथ <math>X</math>), कोई यह देखता है:
 <math display=block>\sigma(f) = \{f(t) : t \in X\}.</math>
-एक सामान्य तत्व का आदर्श <math>x</math> C*-बीजगणित का वर्णक्रमीय त्रिज्या से मेल खाता है। यह सामान्य ऑपरेटरों के लिए एक समान तथ्य का सामान्यीकरण करता है।
+सामान्य तत्व का आदर्श <math>x</math> C*-बीजगणित का वर्णक्रमीय त्रिज्या से मेल खाता है। यह सामान्य ऑपरेटरों के लिए समान तथ्य का सामान्यीकरण करता है।
-होने देना <math>A</math> एक जटिल इकाई बनच बीजगणित बनें जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व हो <math>x</math> व्युत्क्रमणीय (एक विभाजन बीजगणित) है। हरएक के लिए <math>a \in A,</math> वहाँ है <math>\lambda \in \Complex</math> ऐसा है कि
+होने देना <math>A</math> जटिल इकाई बनच बीजगणित बनें जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व हो <math>x</math> व्युत्क्रमणीय (विभाजन बीजगणित) है। हरएक के लिए <math>a \in A,</math> वहाँ है <math>\lambda \in \Complex</math> ऐसा है कि
 <math>a - \lambda \mathbf{1}</math> उलटा नहीं है (क्योंकि का स्पेक्ट्रम <math>a</math> खाली नहीं है) इसलिए <math>a = \lambda \mathbf{1}:</math> यह बीजगणित <math>A</math> स्वाभाविक रूप से समरूपी है <math>\Complex</math> (गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय का जटिल मामला)।
 ==आदर्श और चरित्र==
-होने देना <math>A</math> एक इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित बनें <math>\Complex.</math> तब से <math>A</math> फिर इकाई के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है, जिसका प्रत्येक गैर-उलटा तत्व है <math>A</math> के कुछ [[अधिकतम आदर्श]] से संबंधित है <math>A.</math> एक अधिकतम आदर्श के बाद से <math>\mathfrak m</math> में <math>A</math> बन्द है, <math>A / \mathfrak m</math> एक बानाच बीजगणित है जो एक क्षेत्र है, और यह गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय से निम्नानुसार है कि सभी अधिकतम आदर्शों के सेट के बीच एक आपत्ति है <math>A</math> और सेट <math>\Delta(A)</math> से सभी गैर-शून्य समरूपताएँ <math>A</math> को <math>\Complex.</math> सेट <math>\Delta(A)</math> का [[संरचना स्थान]] या वर्ण स्थान कहा जाता है <math>A,</math> और इसके सदस्यों के पात्र।
+होने देना <math>A</math> इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित बनें <math>\Complex.</math> तब से <math>A</math> फिर इकाई के साथ क्रमविनिमेय वलय है, जिसका प्रत्येक गैर-उलटा तत्व है <math>A</math> के कुछ [[अधिकतम आदर्श]] से संबंधित है <math>A.</math> अधिकतम आदर्श के बाद से <math>\mathfrak m</math> में <math>A</math> बन्द है, <math>A / \mathfrak m</math> बानाच बीजगणित है जो क्षेत्र है, और यह गेलफैंड-मज़ूर प्रमेय से निम्नानुसार है कि सभी अधिकतम आदर्शों के सेट के बीच आपत्ति है <math>A</math> और सेट <math>\Delta(A)</math> से सभी गैर-शून्य समरूपताएँ <math>A</math> को <math>\Complex.</math> सेट <math>\Delta(A)</math> का [[संरचना स्थान]] या वर्ण स्थान कहा जाता है <math>A,</math> और इसके सदस्यों के पात्र।
-एक चरित्र <math>\chi</math> पर एक रैखिक कार्यात्मक है <math>A</math> वह एक ही समय में गुणक है, <math>\chi(a b) = \chi(a) \chi(b),</math> और संतुष्ट करता है <math>\chi(\mathbf{1}) = 1.</math> प्रत्येक वर्ण स्वचालित रूप से निरंतर है <math>A</math> को <math>\Complex,</math> चूँकि किसी चरित्र का कर्नेल एक अधिकतम आदर्श है, जो बंद है। इसके अलावा, एक चरित्र का मानदंड (अर्थात, ऑपरेटर मानदंड) एक है। बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी से सुसज्जित <math>A</math> (अर्थात, कमजोर-* टोपोलॉजी से प्रेरित टोपोलॉजी <math>A^*</math>), चरित्र स्थान, <math>\Delta(A),</math> हॉसडॉर्फ़ कॉम्पैक्ट स्पेस है।
+चरित्र <math>\chi</math> पर रैखिक कार्यात्मक है <math>A</math> वह ही समय में गुणक है, <math>\chi(a b) = \chi(a) \chi(b),</math> और संतुष्ट करता है <math>\chi(\mathbf{1}) = 1.</math> प्रत्येक वर्ण स्वचालित रूप से निरंतर है <math>A</math> को <math>\Complex,</math> चूँकि किसी चरित्र का कर्नेल अधिकतम आदर्श है, जो बंद है। इसके अलावा, चरित्र का मानदंड (अर्थात, ऑपरेटर मानदंड) है। बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी से सुसज्जित <math>A</math> (अर्थात, कमजोर-* टोपोलॉजी से प्रेरित टोपोलॉजी <math>A^*</math>), चरित्र स्थान, <math>\Delta(A),</math> हॉसडॉर्फ़ कॉम्पैक्ट स्पेस है।
 किसी के लिए <math>x \in A,</math>
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 कहाँ <math>\hat x</math> गेलफैंड का प्रतिनिधित्व है <math>x</math> इस प्रकार परिभाषित: <math>\hat x</math> से सतत कार्य है <math>\Delta(A)</math> को <math>\Complex</math> द्वारा दिए गए <math>\hat x(\chi) = \chi(x).</math> का स्पेक्ट्रम <math>\hat x,</math> उपरोक्त सूत्र में, बीजगणित के तत्व के रूप में स्पेक्ट्रम है <math>C(\Delta(A))</math> कॉम्पैक्ट स्पेस पर जटिल निरंतर कार्यों का <math>\Delta(A).</math> स्पष्ट रूप से,
 <math display=block>\sigma(\hat x) = \{\chi(x) : \chi \in \Delta(A)\}.</math>
-एक बीजगणित के रूप में, एक इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित [[अर्धसरल बीजगणित]] है (अर्थात्, इसका [[ जैकबसन कट्टरपंथी ]] शून्य है) यदि और केवल यदि इसके गेलफैंड प्रतिनिधित्व में तुच्छ कर्नेल है। ऐसे बीजगणित का एक महत्वपूर्ण उदाहरण क्रमविनिमेय C*-बीजगणित है। दरअसल, जब <math>A</math> एक क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित है, गेलफैंड प्रतिनिधित्व तब एक सममितीय *-समरूपता है <math>A</math> और <math>C(\Delta(A)).</math>{{efn-la|Proof: Since every element of a commutative C*-algebra is normal, the Gelfand representation is isometric; in particular, it is injective and its image is closed. But the image of the Gelfand representation is dense by the [[Stone–Weierstrass theorem]].}}
+बीजगणित के रूप में, इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित [[अर्धसरल बीजगणित]] है (अर्थात्, इसका [[ जैकबसन कट्टरपंथी ]] शून्य है) यदि और केवल यदि इसके गेलफैंड प्रतिनिधित्व में तुच्छ कर्नेल है। ऐसे बीजगणित का महत्वपूर्ण उदाहरण क्रमविनिमेय C*-बीजगणित है। दरअसल, जब <math>A</math> क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित है, गेलफैंड प्रतिनिधित्व तब सममितीय *-समरूपता है <math>A</math> और <math>C(\Delta(A)).</math>{{efn-la|Proof: Since every element of a commutative C*-algebra is normal, the Gelfand representation is isometric; in particular, it is injective and its image is closed. But the image of the Gelfand representation is dense by the [[Stone–Weierstrass theorem]].}}
 ==बनाच *-बीजगणित==
-एक बनच *-बीजगणित <math>A</math> एक मानचित्र के साथ सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र पर एक बानाच बीजगणित है <math>{}^* : A \to A</math> जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:
+बनच *-बीजगणित <math>A</math> मानचित्र के साथ सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र पर बानाच बीजगणित है <math>{}^* : A \to A</math> जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:
-# <math>\left(x^*\right)^* = x</math> सभी के लिए <math>x \in A</math> (इसलिए नक्शा एक इनवोलुशन (गणित) है)।
+# <math>\left(x^*\right)^* = x</math> सभी के लिए <math>x \in A</math> (इसलिए नक्शा इनवोलुशन (गणित) है)।
 # <math>(x + y)^* = x^* + y^*</math> सभी के लिए <math>x, y \in A.</math>
 # <math>(\lambda x)^* = \bar{\lambda}x^*</math> हरएक के लिए <math>\lambda \in \Complex</math> और हर <math>x \in A;</math> यहाँ, <math>\bar{\lambda}</math> के जटिल संयुग्म को दर्शाता है <math>\lambda.</math>
 # <math>(x y)^* = y^* x^*</math> सभी के लिए <math>x, y \in A.</math>
-दूसरे शब्दों में, एक बनच *-बीजगणित एक बनच बीजगणित है <math>\Complex</math> वह भी एक [[*-बीजगणित]] है।
+दूसरे शब्दों में, बनच *-बीजगणित बनच बीजगणित है <math>\Complex</math> वह भी [[*-बीजगणित]] है।
 अधिकांश प्राकृतिक उदाहरणों में, किसी का यह भी मानना है कि इन्वोल्यूशन आइसोमेट्री है, अर्थात,
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 कुछ लेखक इस सममितीय गुण को बनच *-बीजगणित की परिभाषा में शामिल करते हैं।
-एक बनच *-बीजगणित संतोषजनक <math>\|x^* x\| = \|x^*\| \|x\|</math> एक C*-बीजगणित है.
+बनच *-बीजगणित संतोषजनक <math>\|x^* x\| = \|x^*\| \|x\|</math> C*-बीजगणित है.
 ==यह भी देखें==

v t e Spectral theory and ^*-algebras
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v t e Banach space topics
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

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