स्थिर सिद्धांत: Difference between revisions

Revision as of 10:45, 24 July 2023

मॉडल सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, सिद्धांत (गणितीय तर्क) को स्थिर कहा जाता है यदि यह अपनी सम्मिश्रता पर कुछ संयुक्त प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। स्थिर सिद्धांत मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण में निहित हैं और सहारों शेलाह के वर्गीकरण सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत) के हिस्से के रूप में बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया था, जिसने विरोधाभास दिखाया कि या तो किसी सिद्धांत के मॉडल अच्छे वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं या मॉडल इतने अधिक हैं कि उचित वर्गीकरण की कोई उम्मीद नहीं है। इस का पहला चरण यह दर्शा रहा था कि यदि कोई सिद्धांत स्थिर नहीं है तो उस योजना के मॉडल वर्गीकृत करने के लिए बहुत अधिक हैं।

1970 से 1990 के दशक तक स्थिर सिद्धांत शुद्ध मॉडल सिद्धांत का गणनसंख्या विषय थे, इसलिए उनके अध्ययन ने आधुनिक मॉडल सिद्धांत को आकार दिया^[1] और उनका विश्लेषण करने के लिए समृद्ध रूपरेखा और उपकरणों का समुच्चय मौजूद है। मॉडल सिद्धांत में गणनसंख्या दिशा "नवस्थिरता सिद्धांत" है, जो स्थिरता सिद्धांत की अवधारणाओं को सरल और एनआईपी (मॉडल सिद्धांत) सिद्धांतों जैसे व्यापक संदर्भों में सामान्यीकृत करने का प्रयास करता है।

प्रेरणा और इतिहास

मॉडल सिद्धांत में सामान्य लक्ष्य अपने मॉडलों में (पैरामीटर) निश्चित समुच्चय के बूलियन बीजगणित की सम्मिश्रता का विश्लेषण करके प्रथम-क्रम सिद्धांत का अध्ययन करना है। कोई इन बूलियन बीजगणित के स्टोन द्वंद्व की सम्मिश्रता का समान रूप से विश्लेषण कर सकता है, जो टाइप (मॉडल सिद्धांत) समष्टि हैं। स्थिरता इस टाइप के समष्टि की गणनांक को सीमित करके उनकी सम्मिश्रता को सीमित करती है। चूंकि टाइप किसी सिद्धांत के मॉडल में तत्वों के संभावित व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए प्रकारों की संख्या सीमित करने से इन मॉडलों की सम्मिश्रता सीमित हो जाती है।^[2]

स्थिरता सिद्धांत की जड़ें माइकल डी. मॉर्ले के 1965 में स्पष्ट सिद्धांतों पर लोस के अनुमान के प्रमाण में हैं। इस प्रमाण में, मुख्य धारणा पूरी तरह से पारलौकिक सिद्धांत की थी, जिसे टाइप समष्टि की सांस्थितिक सम्मिश्रता को सीमित करके परिभाषित किया गया था। हालाँकि, मॉर्ले ने दिखाया कि (गणनीय सिद्धांतों के लिए) यह सांस्थितिक प्रतिबंध गणनांक प्रतिबंध के बराबर है, स्थिरता का दृढ़ रूप जिसे अब $\omega$ -स्थिरता कहा जाता है, और उन्होंने इस तुल्यता का महत्वपूर्ण उपयोग किया। अनगिनत सिद्धांतों के लिए मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय को सामान्य बनाने के क्रम में, फ्रेडरिक रोबॉटम ने कुछ गणनसंख्या $\kappa$ के लिए $\kappa$ -स्थिर सिद्धांतों को पेश करके, $\omega$ -स्थिरता को सामान्यीकृत किया, और अंत में शेला ने स्थिर सिद्धांतों को पेश किया।^[3]

शेला के वर्गीकरण सिद्धांत योजना के दौरान स्थिरता सिद्धांत को और अधिक विकसित किया गया था। इस योजना का मुख्य लक्ष्य द्वंद्व दिखाना था कि या तो प्रथम-क्रम सिद्धांत के मॉडल को गणनसंख्या-अपरिवर्तनीय के तरु का उपयोग करके समरूपता तक अच्छी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उनके आयाम (सदिश समष्टि) द्वारा निश्चित क्षेत्र (गणित) पर सदिश रिक्त समष्टि का वर्गीकरण), या इतने जटिल हैं कि कोई उचित वर्गीकरण संभव नहीं है।^[4] इस वर्गीकरण सिद्धांत के ठोस परिणामों में सिद्धांत के संभावित स्पेक्ट्रम फ़ंक्शंस पर प्रमेय थे, जिसमें $\kappa$ के फलन के रूप में गणनांक $\kappa$ के मॉडलों की संख्या की गणना की गई थी।^{[lower-alpha 1]} शेला का दृष्टिकोण सिद्धांतों के लिए "विभाजन रेखाओं" की श्रृंखला की पहचान करना था। विभाजन रेखा सिद्धांत का ऐसा गुण है कि इसके और इसके निषेध दोनों के दृढ़ संरचनात्मक परिणाम होते हैं; एक को यह मानना चाहिए कि सिद्धांत के मॉडल अव्यवस्थित हैं, जबकि दूसरे को सुनिश्चित संरचना सिद्धांत प्राप्त करना चाहिए। वर्गीकरण सिद्धांत योजना में स्थिरता पहली ऐसी विभाजन रेखा थी, और चूंकि इसकी विफलता किसी भी उचित वर्गीकरण को खारिज करने में दिखाई गई थी, इसलिए आगे के सभी कार्य सिद्धांत को स्थिर मान सकते थे। इस प्रकार अधिकांश वर्गीकरण सिद्धांत स्थिर सिद्धांतों और अतिस्थिर सिद्धांतों जैसे आगे की विभाजन रेखाओं द्वारा दिए गए स्थिर सिद्धांतों के विभिन्न उपसमूहों का विश्लेषण करने से संबंधित था।^[3]

शेला द्वारा विकसित स्थिर सिद्धांतों की गणनसंख्या विशेषताओं में से एक यह है कि वे स्वतंत्रता की सामान्य धारणा को स्वीकार करते हैं जिसे फोर्किंग विस्तार स्वतंत्रता कहा जाता है, सदिश रिक्त समष्टि से रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र सिद्धांत से बीजगणितीय स्वतंत्रता को सामान्यीकृत किया जाता है। यद्यपि गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता मनमाने सिद्धांतों में समझ में आती है, और स्थिर सिद्धांतों से परे महत्वपूर्ण उपकरण बनी हुई है, इसमें स्थिर सिद्धांतों में विशेष रूप से अच्छे ज्यामितीय और संयोजक गुण हैं। रैखिक स्वतंत्रता की तरह, यह स्वतंत्र समुच्चय और स्थानीय आयामों की परिभाषा को इन स्वतंत्र समुच्चय के अधिकतम उदाहरणों की गणनांक के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो अतिरिक्त परिकल्पनाओं के तहत अच्छी तरह से परिभाषित हैं। ये स्थानीय आयाम तब समरूपता तक मॉडल को वर्गीकृत करने वाले गणनसंख्या-अपरिवर्तनीय को वृद्धि देते हैं।^[4]

परिभाषा और वैकल्पिक लक्षण

मान लीजिए कि T पूर्णता (तर्क) प्रथम-क्रम सिद्धांत है।

किसी दिए गए अनंत गणनसंख्या $\kappa$ के लिए, T, $\kappa$ -स्थिर है यदि T के मॉडल में गणनांक $\kappa$ के प्रत्येक सेट A के लिए, A पर पूर्ण प्रकार के सेट S(A) में भी गणनांक $\kappa$ है। यह S(A) की सबसे छोटी गणनांक है, जबकि यह $2^{\kappa }$ जितनी बड़ी हो सकती है। मामले $\kappa =\aleph _{0}$ के लिए, यह कहना आम बात है कि T, $\omega$ -स्थिर के बजाय $\aleph _{0}$ -स्थिरहै।^[5]

यदि T स्थिर है $\kappa$ कुछ अनंत गणनसंख्या के लिए $\kappa$ -स्थिरहै।^[6]

कार्डिनलों पर प्रतिबंध $\kappa$ जिसके लिए एक सिद्धांत एक साथ हो सकता है $\kappa$ -स्थिरता को स्थिरता स्पेक्ट्रम द्वारा वर्णित किया गया है,^[7] जो अतिस्थिर सिद्धांतों के सम-संयमी उपसमुच्चय को अलग करता है।

स्थिर सिद्धांतों की एक सामान्य वैकल्पिक परिभाषा यह है कि उनके पास ऑर्डर संपत्ति नहीं है। यदि कोई सूत्र है तो सिद्धांत में ऑर्डर गुण होता है $\phi ({\bar {x}},{\bar {y}})$ और टुपल्स के दो अनंत क्रम $A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )$ , $B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )$ कुछ मॉडल एम में ऐसा है $\phi$ पर एक अनंत आधे ग्राफ़ को परिभाषित करता है $A\times B$ , अर्थात। $\phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})$ एम में सत्य है $\iff i\leq j$ .^[8] यह एक सूत्र होने के बराबर है $\psi ({\bar {x}},{\bar {y}})$ और टुपल्स का एक अनंत क्रम $A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )$ कुछ मॉडल एम में ऐसा है $\psi$ A पर एक अनंत रैखिक क्रम को परिभाषित करता है, अर्थात $\psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})$ एम में सत्य है $\iff i\leq j$ .^[9]^{[lower-alpha 2]}^{[lower-alpha 3]}

स्थिरता की और भी कई विशेषताएँ हैं। मॉर्ले के पूरी तरह से ट्रान्सेंडैंटल सिद्धांतों के साथ, स्थिरता की गणनांक प्रतिबंध कैंटर-बेंडिक्सन रैंक के संदर्भ में टाइप समष्टि की सांस्थितिक सम्मिश्रता को सीमित करने के बराबर हैं।^[12] एक अन्य लक्षण वर्णन उन गुणों के माध्यम से है जो गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता स्थिर सिद्धांतों में होती है, जैसे कि सममित होना। यह इस अर्थ में स्थिरता की विशेषता है कि इनमें से कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले अमूर्त स्वतंत्रता संबंध वाला कोई भी सिद्धांत स्थिर होना चाहिए और स्वतंत्रता संबंध गैर-विभाजनकारी स्वतंत्रता होना चाहिए।^[13] अमूर्त स्वतंत्रता संबंध को छोड़कर, इनमें से किसी भी परिभाषा का उपयोग यह परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी दिए गए सिद्धांत टी में एकल सूत्र के स्थिर होने का क्या मतलब है। तब टी को स्थिर होने के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि प्रत्येक सूत्र टी में स्थिर है।^[14] स्थिर सूत्रों में परिणामों का स्थानीयकरण इन परिणामों को अस्थिर सिद्धांतों में स्थिर सूत्रों पर लागू करने की अनुमति देता है, और एकल सूत्रों के लिए यह स्थानीयकरण अक्सर स्थिर सिद्धांतों के मामले में भी उपयोगी होता है।^[15]

उदाहरण और गैर-उदाहरण

एक अस्थिर सिद्धांत के लिए, अंतिम बिंदुओं के बिना सघन क्रम के सिद्धांत डीएलओ पर विचार करें। तब परमाणु सूत्र क्रम संबंध में क्रम गुण होता है। वैकल्पिक रूप से, एक समुच्चय ए पर अवास्तविक 1-टाइप ए के क्रम में कटौती (सामान्यीकृत डेडेकाइंड कटौती, इस आवश्यकता के बिना कि दोनों समुच्चय गैर-खाली हों और निचले समुच्चय में कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है) के अनुरूप हैं,^[16] और किसी भी प्रमुखता के सघन आदेश मौजूद हैं $\kappa$ साथ $2^{\kappa }$ -कई कट.^[17] एक अन्य अस्थिर सिद्धांत राडो ग्राफ़ का सिद्धांत है, जहां परमाणु किनारे संबंध में ऑर्डर संपत्ति होती है।^[18] एक स्थिर सिद्धांत के लिए, सिद्धांत पर विचार करें $ACF_{p}$ विशेषता (बीजगणित) पी के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों की अनुमति $p=0$ . फिर यदि K का एक मॉडल है $ACF_{p}$ , एक समुच्चय पर टाइप की गिनती $A\subset K$ K में A द्वारा उत्पन्न क्षेत्र k पर प्रकारों की गिनती के बराबर है। k के ऊपर n-टाइप के समष्टि से बहुपद वलय में अभाज्य आदर्शों के समष्टि तक एक (निरंतर) आक्षेप है $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ . चूँकि ऐसे आदर्श सीमित रूप से उत्पन्न होते हैं, केवल होते हैं $|k|+\aleph _{0}$ बहुत, तो $ACF_{p}$ है $\kappa$ -सभी अनंत के लिए स्थिर $\kappa$ .^[19] स्थिर सिद्धांतों के कुछ और उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं।

एक रिंग पर किसी मॉड्यूल (गणित) का सिद्धांत (विशेष रूप से, सदिशरिक्त समष्टि या एबेलियन समूहों का कोई सिद्धांत)।^[20]
गैर-एबेलियन मुक्त समूहों का सिद्धांत।^[21]
विशेषता पी के विभेदित रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत। कब $p=0$ , सिद्धांत है $\omega$ -स्थिर।^[22]
किसी भी सघन ग्राफ़ वर्ग का सिद्धांत।^[23] इनमें परिबद्ध विस्तार के साथ ग्राफ़ वर्ग शामिल हैं, जिसमें बदले में समतल ग्राफ़ और परिबद्ध डिग्री का कोई भी ग्राफ़ वर्ग शामिल है।

ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत

ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का संबंध मॉडलों में स्थानीय ज्यामिति के सूक्ष्म विश्लेषण और उनके गुण वैश्विक संरचना को कैसे प्रभावित करते हैं, से है। परिणामों की यह रेखा बाद में स्थिरता सिद्धांत के विभिन्न अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण थी, उदाहरण के लिए डायोफैंटाइन ज्यामिति के लिए। आमतौर पर इसकी शुरुआत 1970 के दशक के अंत में बोरिस ज़िल्बर के पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के विश्लेषण से मानी जाती है, जो अंततः दिखाती है कि वे प्राथमिक वर्ग#परिभाषा नहीं हैं। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के प्रत्येक मॉडल को एक दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय द्वारा नियंत्रित किया जाता है (यानी गणनसंख्या मॉडल और न्यूनतम ओवर है), जो एक matroid संरचना रखता है^{[lower-alpha 4]} (मॉडल-सैद्धांतिक) बीजगणितीय सूत्र (मॉडल सिद्धांत) द्वारा निर्धारित किया जाता है जो स्वतंत्रता और आयाम की धारणा देता है। इस सेटिंग में, ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत तब स्थानीय प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की संरचना के लिए क्या संभावनाएं हैं, और स्थानीय-से-वैश्विक प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय पूरे मॉडल को कैसे नियंत्रित करता है।^[24] दूसरे प्रश्न का उत्तर ज़िल्बर की सीढ़ी प्रमेय द्वारा दिया गया है, जिसमें दिखाया गया है कि पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय पर निश्चित फाइबर बंडलों जैसी किसी चीज़ के एक सीमित अनुक्रम द्वारा बनाया गया है।^[25] पहले प्रश्न के लिए, ज़िल्बर का ट्राइकोटॉमी अनुमान यह था कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की ज्यामिति या तो बिना किसी संरचना वाले समुच्चय की तरह होनी चाहिए, या समुच्चय को अनिवार्य रूप से सदिशसमष्टि की संरचना, या बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र की संरचना को ले जाना चाहिए, पहले दो मामलों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर कहा जाता है।^[26] यह अनुमान दो केंद्रीय विषयों को दर्शाता है। सबसे पहले, वह (स्थानीय) प्रतिरूपकता बीजीय ज्यामिति की तरह संयोजनात्मक या रैखिक व्यवहार को गैर-रेखीय, ज्यामितीय सम्मिश्रता से विभाजित करने का कार्य करती है।^[27] दूसरा, जटिल संयोजक ज्यामिति आवश्यक रूप से बीजगणितीय वस्तुओं से आती है;^[28] यह प्रक्षेप्य तल की शास्त्रीय समस्या के समान है#घटनाओं द्वारा परिभाषित एक अमूर्त प्रक्षेप्य तल के लिए सामान्यीकृत निर्देशांक, और आगे के उदाहरण समूह विन्यास प्रमेय हैं जो दिखाते हैं कि तत्वों के बीच कुछ संयुक्त निर्भरताएँ एक निश्चित समूह में गुणन से उत्पन्न होनी चाहिए।^[29] प्रतिच्छेदन सिद्धांत जैसे न्यूनतम समुच्चय में बीजगणितीय ज्यामिति के कुछ हिस्सों के एनालॉग विकसित करके, ज़िल्बर ने अनगिनत श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के लिए ट्राइकोटॉमी अनुमान का एक कमजोर रूप साबित किया।^[30] हालाँकि एहुद ह्रुशोव्स्की ने पूर्ण अनुमान को गलत साबित करने के लिए ह्रुशोव्स्की निर्माण विकसित किया, बाद में इसे ज़ारिस्की ज्यामिति की सेटिंग में अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ साबित किया गया।^[31] शेला के वर्गीकरण योजना की धारणाएँ, जैसे कि नियमित टाइप, फोर्किंग और ऑर्थोगोनैलिटी, ने इन विचारों को अधिक व्यापकता तक ले जाने की अनुमति दी, विशेष रूप से अतिस्थिर सिद्धांतों में। यहां, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित समुच्चय दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की भूमिका निभाते हैं, उनकी स्थानीय ज्यामिति बीजगणितीय निर्भरता के बजाय फोर्किंग निर्भरता द्वारा निर्धारित होती है। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के एकल दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय नियंत्रण मॉडल के समष्टि पर, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित कई ऐसी स्थानीय ज्यामिति हो सकती हैं, और ऑर्थोगोनैलिटी तब वर्णन करती है जब इन प्रकारों में कोई बातचीत नहीं होती है।^[32]

अनुप्रयोग

जबकि स्थिर सिद्धांत मॉडल सिद्धांत में मौलिक हैं, यह खंड गणित के अन्य क्षेत्रों में स्थिर सिद्धांतों के अनुप्रयोगों को सूचीबद्ध करता है। इस सूची का लक्ष्य संपूर्णता नहीं है, बल्कि व्यापकता की भावना है।

चूंकि विशेषता 0 के विभेदित रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत है $\omega$ -स्थिर, विभेदक बीजगणित में स्थिरता सिद्धांत के कई अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे क्षेत्र के विभेदक समापन (बीजगणितीय समापन का एक एनालॉग) के अस्तित्व और विशिष्टता को क्रमशः प्राइम मॉडल पर सामान्य परिणामों का उपयोग करके लेनोर ब्लम और शेला द्वारा सिद्ध किया गया था। $\omega$ -स्थिर सिद्धांत.^[33]
डायोफैंटाइन ज्यामिति में, एहुद ह्रुशोवस्की ने सभी विशेषताओं में फलन क्षेत्र के लिए मोर्डेल-लैंग अनुमान को साबित करने के लिए ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का उपयोग किया, जो वक्रों पर तर्कसंगत बिंदुओं की गिनती के बारे में फाल्टिंग्स के प्रमेय और वक्रों पर मरोड़ बिंदुओं की गिनती के बारे में मैनिन-ममफोर्ड अनुमान को सामान्य बनाता है।^[34] प्रमाण में मुख्य बिंदु कुछ अंकगणितीय रूप से परिभाषित समूहों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर दिखाने के लिए विभेदक क्षेत्रों में ज़िल्बर की ट्राइकोटॉमी का उपयोग करना था।^[35]
ऑनलाइन मशीन लर्निंग में, कॉन्सेप्ट क्लास का लिटिलस्टोन आयाम सीखने की क्षमता को दर्शाने वाला एक सम्मिश्रता माप है, जो पीएसी सीखना में वीसी-आयाम के अनुरूप है। एक अवधारणा वर्ग के लिटलस्टोन आयाम को बांधना बाइनरी पेड़ों को शामिल करते हुए स्थिरता के संयोजन लक्षण वर्णन के बराबर है।^[36] उदाहरण के लिए, इस समतुल्यता का उपयोग यह साबित करने के लिए किया गया है कि एक अवधारणा वर्ग की ऑनलाइन सीखने की क्षमता विभेदक गोपनीयता पीएसी सीखने की क्षमता के बराबर है।^[37]
कार्यात्मक विश्लेषण में, जीन-लुई क्रिविन और बर्नार्ड मौरे ने बानाच रिक्त समष्टि के लिए स्थिरता की धारणा को परिभाषित किया, जो यह बताने के बराबर है कि किसी भी क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र में ऑर्डर प्रॉपर्टी नहीं है (प्रथम-क्रम तर्क के बजाय निरंतर तर्क में)। फिर उन्होंने दिखाया कि प्रत्येक स्थिर बानाच समष्टि Sequence_space#ℓp_spaces| के लगभग-आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है। $ℓ p$ कुछ के लिए $p\in [1,\infty )$ .^[38] यह कार्यात्मक विश्लेषण और सतत तर्क में स्थिरता के बीच व्यापक परस्पर क्रिया का हिस्सा है; उदाहरण के लिए, कार्यात्मक विश्लेषण में अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के शुरुआती परिणामों की व्याख्या स्थिरता सिद्धांत के मौलिक परिणामों के बराबर की जा सकती है।^[39]
एक गणनीय (संभवतः परिमित) संरचना अतिसजातीय होती है यदि प्रत्येक परिमित आंशिक ऑटोमोर्फिज्म पूर्ण संरचना के ऑटोमोर्फिज्म तक विस्तारित होता है। ग्रेगरी चेरलिन और एलिस्टेयर लाचलान ने सभी परिमित संरचनाओं सहित स्थिर अल्ट्राहोमोजीनस संरचनाओं के लिए एक सामान्य वर्गीकरण सिद्धांत प्रदान किया। विशेष रूप से, उनके परिणाम बताते हैं कि किसी भी निश्चित परिमित संबंधपरक भाषा के लिए, परिमित सजातीय संरचनाएं संख्यात्मक अपरिवर्तनवादियों और परिमित रूप से कई छिटपुट उदाहरणों द्वारा पैरामीट्रिज किए गए सदस्यों के साथ कई अनंत परिवारों में आती हैं। इसके अलावा, प्रत्येक छिटपुट उदाहरण किसी समृद्ध भाषा में एक अनंत परिवार का हिस्सा बन जाता है, और नए छिटपुट उदाहरण हमेशा उपयुक्त रूप से समृद्ध भाषाओं में दिखाई देते हैं।^[40]
अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स में, ह्रुशोव्स्की ने अनुमानित समूह की संरचना पर परिणाम साबित किए, उदाहरण के लिए बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय का एक दृढ़ संस्करण प्रस्तुत किया। हालाँकि इसमें सीधे तौर पर स्थिर सिद्धांतों का उपयोग नहीं किया गया था, मुख्य अंतर्दृष्टि यह थी कि स्थिर समूह सिद्धांत के मौलिक परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता था और इस सेटिंग में लागू किया जा सकता था।^[41] इसने सीधे अनुमानित उपसमूहों को वर्गीकृत करने वाले Approximate_group#Classification_of_approximate_subgroups|Bruillard-Green-Tao प्रमेय को वृद्धि दिया।^[42]

सामान्यीकरण

इसकी शुरूआत के बाद लगभग बीस वर्षों तक, स्थिरता शुद्ध मॉडल सिद्धांत का मुख्य विषय था।^[43] आधुनिक शुद्ध मॉडल सिद्धांत की एक केंद्रीय दिशा, जिसे कभी-कभी नवस्थिरता या वर्गीकरण सिद्धांत भी कहा जाता है,^{[lower-alpha 5]}इसमें स्थिर सिद्धांतों के लिए विकसित अवधारणाओं और तकनीकों को सिद्धांतों के व्यापक वर्गों में सामान्यीकृत करना शामिल है, और इसने मॉडल सिद्धांत के कई हालिया अनुप्रयोगों को शामिल किया है।^[44] ऐसे व्यापक वर्गों के दो उल्लेखनीय उदाहरण सरल और एनआईपी सिद्धांत हैं। ये स्थिर सिद्धांतों के ऑर्थोगोनल सामान्यीकरण हैं, क्योंकि एक सिद्धांत सरल और एनआईपी दोनों है यदि और केवल अगर यह स्थिर है।^[43]मोटे तौर पर, एनआईपी सिद्धांत स्थिर सिद्धांतों से अच्छे संयोजन व्यवहार को बनाए रखते हैं, जबकि सरल सिद्धांत गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता के अच्छे ज्यामितीय व्यवहार को बनाए रखते हैं।^[45] विशेष रूप से, सरल सिद्धांतों को गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता के सममित होने की विशेषता दी जा सकती है,^[46] जबकि एनआईपी को किसी भी परिमित पर प्राप्त प्रकारों की संख्या को सीमित करके चित्रित किया जा सकता है^[47] या अनंत^[48] समुच्चय.

सामान्यीकरण की एक अन्य दिशा पूर्ण प्रथम-क्रम सिद्धांतों की स्थापना से परे वर्गीकरण सिद्धांत को दोहराना है, जैसे कि अमूर्त प्रारंभिक कक्षाओं में।^[49]

यह भी देखें

स्थिरता स्पेक्ट्रम
एक सिद्धांत का स्पेक्ट्रम
मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय
एनआईपी (मॉडल सिद्धांत)

↑ One such result is Shelah's proof of Morley's conjecture for countable theories, stating that the number of models of cardinality $\kappa$ is non-decreasing for uncountable $\kappa$ .^[4]
↑ In work on Łoś's conjecture preceding Morley's proof, Andrzej Ehrenfeucht introduced a property slightly stronger than the order property, which Shelah later called property (E). This was another precursor of (uns)stable theories.^[10]
↑ One benefit of the definition of stability via the order property is that it is more clearly set-theoretically absolute.^[11]
↑ The term "pregeometry" is often used instead of "matroid" in this setting.
↑ The term "classification theory" has two uses. The narrow use described earlier refers to Shelah's program of identifying classifiable theories, and takes place almost entirely within stable theories. The broader use described here refers to the larger program of classifying theories by dividing lines possibly more general than stability.^[11]

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बाहरी संबंध

A map of the model-theoretic classification of theories, highlighting stability
Two book reviews discussing stability and classification theory for non-model theorists: Fundamentals of Stability Theory and Classification Theory
An overview of (geometric) stability theory for non-model theorists

[5] One such result is Shelah's proof of Morley's conjecture for countable theories, stating that the number of models of cardinality $\kappa$ is non-decreasing for uncountable $\kappa$ .^[4]

[12] In work on Łoś's conjecture preceding Morley's proof, Andrzej Ehrenfeucht introduced a property slightly stronger than the order property, which Shelah later called property (E). This was another precursor of (uns)stable theories.^[10]

[14] One benefit of the definition of stability via the order property is that it is more clearly set-theoretically absolute.^[11]

[27] The term "pregeometry" is often used instead of "matroid" in this setting.

[48] The term "classification theory" has two uses. The narrow use described earlier refers to Shelah's program of identifying classifiable theories, and takes place almost entirely within stable theories. The broader use described here refers to the larger program of classifying theories by dividing lines possibly more general than stability.^[11]

[1] Baldwin, John (2021). "The dividing line methodology: Model theory motivating set theory" (PDF). Theoria. 87 (2): 1. doi:10.1111/theo.12297. S2CID 211239082.

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[6] Marker, David (2006). Model Theory: An Introduction. Definition 4.2.17.

[7] Marker, David (2006). Model Theory: An Introduction. Definition 5.3.1.

[8] Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम. Theorem 8.6.5.

[9] Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम. Definition 8.2.1.

[10] Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम. Exercise 8.2.1.

[11] Shelah, Saharon (1974). "Categoricity of uncountable theories" (PDF). Proceedings of the Tarski symposium.

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[16] Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम. Theorem 8.5.10.

[17] Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम. Chapter 8.2.

[18] Baldwin, John (2017). स्थिरता सिद्धांत के मूल सिद्धांत. Chapter 3.1.

[19] Marker, David (2006). Model Theory: An Introduction. Example 4.1.12.

[20] Marker, David (2006). Model Theory: An Introduction. Lemma 5.2.12.

[21] Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम. Exercise 8.2.3.

[22] Marker, David (2006). Model Theory: An Introduction. Example 4.1.14.

[23] Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम. Example 8.6.6.

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[42] Iovino, José (2014). कार्यात्मक विश्लेषण के लिए मॉडल सिद्धांत के अनुप्रयोग (PDF). Chapters 13,15.

[43] Ben Yaacov, Itaï (2014). "ए ग्रोथेंडिक के बाद मॉडल सैद्धांतिक स्थिरता और प्रकारों की निश्चितता". Bulletin of Symbolic Logic. 20 (4). arXiv:1306.5852.

[44] Cherlin, Gregory (2000). "छिटपुट सजातीय संरचनाएँ" (PDF). The Gelfand mathematical seminars, 1996--1999.

[45] Hrushovski, Ehud (2012). "स्थिर समूह सिद्धांत और अनुमानित उपसमूह" (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 25 (1).

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[50] Adler, Hans (2008). "स्वतंत्रता संपत्ति के बिना सिद्धांतों का परिचय" (PDF). Archive for Mathematical Logic. 5: 21.

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 [[मॉडल सिद्धांत]] के गणितीय क्षेत्र में, [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] को '''स्थिर''' कहा जाता है यदि यह अपनी सम्मिश्रता पर कुछ संयुक्त प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। स्थिर सिद्धांत मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण में निहित हैं और [[सहारों शेलाह]] के [[वर्गीकरण सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत)]] के हिस्से के रूप में बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया था, जिसने विरोधाभास दिखाया कि या तो किसी सिद्धांत के मॉडल अच्छे वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं या मॉडल इतने अधिक हैं कि उचित वर्गीकरण की कोई उम्मीद नहीं है। इस  का पहला चरण यह दर्शा रहा था कि यदि कोई सिद्धांत स्थिर नहीं है तो उस योजना के मॉडल वर्गीकृत करने के लिए बहुत अधिक हैं।
-से 1990 के दशक तक स्थिर सिद्धांत शुद्ध मॉडल सिद्धांत का प्रमुख विषय थे, इसलिए उनके अध्ययन ने आधुनिक मॉडल सिद्धांत को आकार दिया<ref>{{cite journal |last1=Baldwin |first1=John |title=The dividing line methodology: Model theory motivating set theory |journal=Theoria |date=2021 |volume=87 |issue=2 |page=1 |doi=10.1111/theo.12297 |s2cid=211239082 |url=http://homepages.math.uic.edu/~jbaldwin/pub/atheoriabibjan619.pdf}}</ref> और उनका विश्लेषण करने के लिए समृद्ध रूपरेखा और उपकरणों का समुच्चय मौजूद है। मॉडल सिद्धांत में प्रमुख दिशा "नवस्थिरता सिद्धांत" है, जो स्थिरता सिद्धांत की अवधारणाओं को [[सरल सिद्धांत|सरल]] और [[एनआईपी (मॉडल सिद्धांत)]] सिद्धांतों जैसे व्यापक संदर्भों में सामान्यीकृत करने का प्रयास करता है।
+से 1990 के दशक तक स्थिर सिद्धांत शुद्ध मॉडल सिद्धांत का गणनसंख्या विषय थे, इसलिए उनके अध्ययन ने आधुनिक मॉडल सिद्धांत को आकार दिया<ref>{{cite journal |last1=Baldwin |first1=John |title=The dividing line methodology: Model theory motivating set theory |journal=Theoria |date=2021 |volume=87 |issue=2 |page=1 |doi=10.1111/theo.12297 |s2cid=211239082 |url=http://homepages.math.uic.edu/~jbaldwin/pub/atheoriabibjan619.pdf}}</ref> और उनका विश्लेषण करने के लिए समृद्ध रूपरेखा और उपकरणों का समुच्चय मौजूद है। मॉडल सिद्धांत में गणनसंख्या दिशा "नवस्थिरता सिद्धांत" है, जो स्थिरता सिद्धांत की अवधारणाओं को [[सरल सिद्धांत|सरल]] और [[एनआईपी (मॉडल सिद्धांत)]] सिद्धांतों जैसे व्यापक संदर्भों में सामान्यीकृत करने का प्रयास करता है।
 ==प्रेरणा और इतिहास==
 मॉडल सिद्धांत में सामान्य लक्ष्य अपने मॉडलों में (पैरामीटर) [[निश्चित सेट|निश्चित समुच्चय]] के [[बूलियन बीजगणित]] की सम्मिश्रता का विश्लेषण करके [[प्रथम-क्रम तर्क|प्रथम-क्रम]] सिद्धांत का अध्ययन करना है। कोई इन बूलियन बीजगणित के स्टोन द्वंद्व की सम्मिश्रता का समान रूप से विश्लेषण कर सकता है, जो [[प्रकार (मॉडल सिद्धांत)|टाइप (मॉडल सिद्धांत)]] समष्टि हैं। स्थिरता इस टाइप के समष्टि की गणनांक को सीमित करके उनकी सम्मिश्रता को सीमित करती है। चूंकि टाइप किसी सिद्धांत के मॉडल में तत्वों के संभावित व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए प्रकारों की संख्या सीमित करने से इन मॉडलों की सम्मिश्रता सीमित हो जाती है।<ref>{{cite web |last1=van den Dries |first1=Lou |title=मॉडल-सैद्धांतिक स्थिरता का परिचय|url=https://faculty.math.illinois.edu/~vddries/stable.pdf |access-date=9 January 2023 |at=Introduction |date=2005}}</ref>
-स्थिरता सिद्धांत की जड़ें माइकल डी. मॉर्ले के 1965 में स्पष्ट सिद्धांतों पर लोस के अनुमान के प्रमाण में हैं। इस प्रमाण में, मुख्य धारणा पूरी तरह से पारलौकिक सिद्धांत की थी, जिसे टाइप समष्टि की सांस्थितिक सम्मिश्रता को सीमित करके परिभाषित किया गया था। हालाँकि, मॉर्ले ने दिखाया कि (गणनीय सिद्धांतों के लिए) यह सांस्थितिक प्रतिबंध गणनांक प्रतिबंध के बराबर है, स्थिरता का दृढ़ रूप जिसे अब <math>\omega</math>-स्थिरता कहा जाता है, और उन्होंने इस तुल्यता का महत्वपूर्ण उपयोग किया। अनगिनत सिद्धांतों के लिए मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय को सामान्य बनाने के क्रम में, [[फ्रेडरिक रोबॉटम]] ने कुछ कार्डिनल <math>\kappa</math> के लिए <math>\kappa</math>-स्थिर सिद्धांतों को पेश करके, <math>\omega</math> -स्थिरता को सामान्यीकृत किया, और अंत में शेला ने स्थिर सिद्धांतों को पेश किया।<ref name="Pillay">{{cite book |last1=Pillay |first1=Anand |title=स्थिरता सिद्धांत का एक परिचय|chapter=Preface|date=1983}}</ref>
+स्थिरता सिद्धांत की जड़ें माइकल डी. मॉर्ले के 1965 में स्पष्ट सिद्धांतों पर लोस के अनुमान के प्रमाण में हैं। इस प्रमाण में, मुख्य धारणा पूरी तरह से पारलौकिक सिद्धांत की थी, जिसे टाइप समष्टि की सांस्थितिक सम्मिश्रता को सीमित करके परिभाषित किया गया था। हालाँकि, मॉर्ले ने दिखाया कि (गणनीय सिद्धांतों के लिए) यह सांस्थितिक प्रतिबंध गणनांक प्रतिबंध के बराबर है, स्थिरता का दृढ़ रूप जिसे अब <math>\omega</math>-स्थिरता कहा जाता है, और उन्होंने इस तुल्यता का महत्वपूर्ण उपयोग किया। अनगिनत सिद्धांतों के लिए मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय को सामान्य बनाने के क्रम में, [[फ्रेडरिक रोबॉटम]] ने कुछ गणनसंख्या <math>\kappa</math> के लिए <math>\kappa</math>-स्थिर सिद्धांतों को पेश करके, <math>\omega</math> -स्थिरता को सामान्यीकृत किया, और अंत में शेला ने स्थिर सिद्धांतों को पेश किया।<ref name="Pillay">{{cite book |last1=Pillay |first1=Anand |title=स्थिरता सिद्धांत का एक परिचय|chapter=Preface|date=1983}}</ref>
-शेला के वर्गीकरण सिद्धांत योजना के दौरान स्थिरता सिद्धांत को और अधिक विकसित किया गया था। इस योजना का मुख्य लक्ष्य द्वंद्व दिखाना था कि या तो प्रथम-क्रम सिद्धांत के मॉडल को कार्डिनल-इनवेरिएंट के पेड़ का उपयोग करके आइसोमोर्फिज्म तक अच्छी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उनके आयाम (वेक्टर समष्टि) द्वारा एक निश्चित [[फ़ील्ड (गणित)]] पर [[वेक्टर रिक्त स्थान|वेक्टर रिक्त समष्टि]] का वर्गीकरण), या इतने जटिल हैं कि कोई उचित वर्गीकरण संभव नहीं है।<ref name="Baldwin">{{cite journal |last1=Baldwin |first1=John |title=The dividing line methodology: Model theory motivating set theory |journal=Theoria |date=2021 |volume=87 |issue=2 |doi=10.1111/theo.12297 |s2cid=211239082 |at=Section 1.1 |url=http://homepages.math.uic.edu/~jbaldwin/pub/atheoriabibjan619.pdf}}</ref> इस वर्गीकरण सिद्धांत के ठोस परिणामों में एक सिद्धांत के संभावित स्पेक्ट्रम पर प्रमेय थे, जिसमें गणनांक के मॉडल की संख्या की गणना की गई थी <math>\kappa</math> के एक समारोह के रूप में <math>\kappa</math>.{{efn|One such result is Shelah's proof of [[Spectrum_of_a_theory#Early_results|Morley's conjecture]] for countable theories, stating that the number of models of cardinality <math>\kappa</math> is non-decreasing for uncountable <math>\kappa</math>.<ref name="Baldwin"/>}} शेला का दृष्टिकोण सिद्धांतों के लिए विभाजन रेखाओं की एक श्रृंखला की पहचान करना था। विभाजन रेखा एक सिद्धांत का ऐसा गुण है कि इसके और इसके निषेध दोनों के दृढ़ संरचनात्मक परिणाम होते हैं; एक को यह मानना चाहिए कि सिद्धांत के मॉडल अराजक हैं, जबकि दूसरे को एक सकारात्मक संरचना सिद्धांत प्राप्त करना चाहिए। वर्गीकरण सिद्धांत योजना में स्थिरता पहली ऐसी विभाजन रेखा थी, और चूंकि इसकी विफलता किसी भी उचित वर्गीकरण को खारिज करने में दिखाई गई थी, इसलिए आगे के सभी कार्य सिद्धांत को स्थिर मान सकते थे। इस टाइप अधिकांश वर्गीकरण सिद्धांत स्थिर सिद्धांतों और आगे की विभाजन रेखाओं, जैसे Stability_spectrum#Superstable_theories द्वारा दिए गए स्थिर सिद्धांतों के विभिन्न उपसमूहों का विश्लेषण करने से संबंधित था।<ref name="Pillay" />
+शेला के वर्गीकरण सिद्धांत योजना के दौरान स्थिरता सिद्धांत को और अधिक विकसित किया गया था। इस योजना का मुख्य लक्ष्य द्वंद्व दिखाना था कि या तो प्रथम-क्रम सिद्धांत के मॉडल को गणनसंख्या-अपरिवर्तनीय के तरु का उपयोग करके समरूपता तक अच्छी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उनके आयाम (सदिश समष्टि) द्वारा निश्चित [[फ़ील्ड (गणित)|क्षेत्र (गणित)]] पर [[वेक्टर रिक्त स्थान|सदिश रिक्त समष्टि]] का वर्गीकरण), या इतने जटिल हैं कि कोई उचित वर्गीकरण संभव नहीं है।<ref name="Baldwin">{{cite journal |last1=Baldwin |first1=John |title=The dividing line methodology: Model theory motivating set theory |journal=Theoria |date=2021 |volume=87 |issue=2 |doi=10.1111/theo.12297 |s2cid=211239082 |at=Section 1.1 |url=http://homepages.math.uic.edu/~jbaldwin/pub/atheoriabibjan619.pdf}}</ref> इस वर्गीकरण सिद्धांत के ठोस परिणामों में सिद्धांत के संभावित स्पेक्ट्रम फ़ंक्शंस पर प्रमेय थे, जिसमें <math>\kappa</math> के फलन के रूप में  गणनांक <math>\kappa</math> के मॉडलों की संख्या की गणना की गई थी।{{efn|One such result is Shelah's proof of [[Spectrum_of_a_theory#Early_results|Morley's conjecture]] for countable theories, stating that the number of models of cardinality <math>\kappa</math> is non-decreasing for uncountable <math>\kappa</math>.<ref name="Baldwin"/>}} शेला का दृष्टिकोण सिद्धांतों के लिए "विभाजन रेखाओं" की श्रृंखला की पहचान करना था। विभाजन रेखा सिद्धांत का ऐसा गुण है कि इसके और इसके निषेध दोनों के दृढ़ संरचनात्मक परिणाम होते हैं; एक को यह मानना चाहिए कि सिद्धांत के मॉडल अव्यवस्थित हैं, जबकि दूसरे को सुनिश्चित संरचना सिद्धांत प्राप्त करना चाहिए। वर्गीकरण सिद्धांत योजना में स्थिरता पहली ऐसी विभाजन रेखा थी, और चूंकि इसकी विफलता किसी भी उचित वर्गीकरण को खारिज करने में दिखाई गई थी, इसलिए आगे के सभी कार्य सिद्धांत को स्थिर मान सकते थे। इस प्रकार अधिकांश वर्गीकरण सिद्धांत स्थिर सिद्धांतों और अतिस्थिर सिद्धांतों जैसे आगे की विभाजन रेखाओं द्वारा दिए गए स्थिर सिद्धांतों के विभिन्न उपसमूहों का विश्लेषण करने से संबंधित था।<ref name="Pillay" />
-शेला द्वारा विकसित स्थिर सिद्धांतों की प्रमुख विशेषताओं में से एक यह है कि वे स्वतंत्रता की एक सामान्य धारणा को स्वीकार करते हैं जिसे [[ फोर्किंग विस्तार | फोर्किंग विस्तार]] कहा जाता है। गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता, वेक्टर रिक्त समष्टि से [[रैखिक स्वतंत्रता]] और क्षेत्र सिद्धांत से [[बीजगणितीय स्वतंत्रता]] को सामान्यीकृत करना। यद्यपि गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता मनमाने सिद्धांतों में समझ में आती है, और स्थिर सिद्धांतों से परे एक महत्वपूर्ण उपकरण बनी हुई है, इसमें स्थिर सिद्धांतों में विशेष रूप से अच्छे ज्यामितीय और संयोजक गुण हैं। रैखिक स्वतंत्रता की तरह, यह स्वतंत्र सेटों और स्थानीय आयामों की परिभाषा को इन स्वतंत्र सेटों के अधिकतम उदाहरणों की गणनांक के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो अतिरिक्त परिकल्पनाओं के तहत अच्छी तरह से परिभाषित हैं। ये स्थानीय आयाम तब आइसोमोर्फिज्म तक मॉडल को वर्गीकृत करने वाले कार्डिनल-इनवेरिएंट को जन्म देते हैं।<ref name="Baldwin" />
+शेला द्वारा विकसित स्थिर सिद्धांतों की गणनसंख्या विशेषताओं में से एक यह है कि वे स्वतंत्रता की सामान्य धारणा को स्वीकार करते हैं जिसे [[ फोर्किंग विस्तार |फोर्किंग विस्तार]] स्वतंत्रता कहा जाता है, सदिश रिक्त समष्टि से [[रैखिक स्वतंत्रता]] और क्षेत्र सिद्धांत से [[बीजगणितीय स्वतंत्रता]] को सामान्यीकृत किया जाता है। यद्यपि गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता मनमाने सिद्धांतों में समझ में आती है, और स्थिर सिद्धांतों से परे महत्वपूर्ण उपकरण बनी हुई है, इसमें स्थिर सिद्धांतों में विशेष रूप से अच्छे ज्यामितीय और संयोजक गुण हैं। रैखिक स्वतंत्रता की तरह, यह स्वतंत्र समुच्चय और स्थानीय आयामों की परिभाषा को इन स्वतंत्र समुच्चय के अधिकतम उदाहरणों की गणनांक के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो अतिरिक्त परिकल्पनाओं के तहत अच्छी तरह से परिभाषित हैं। ये स्थानीय आयाम तब समरूपता तक मॉडल को वर्गीकृत करने वाले गणनसंख्या-अपरिवर्तनीय को वृद्धि देते हैं।<ref name="Baldwin" />
+==परिभाषा और वैकल्पिक लक्षण==
+मान लीजिए कि ''T'' [[पूर्णता (तर्क)]] प्रथम-क्रम सिद्धांत है।
+किसी दिए गए अनंत गणनसंख्या <math>\kappa</math> के लिए, ''T,'' <math>\kappa</math>-स्थिर है यदि ''T'' के मॉडल में गणनांक <math>\kappa</math> के प्रत्येक सेट ''A'' के लिए, ''A'' पर पूर्ण प्रकार के सेट ''S(A)'' में भी गणनांक <math>\kappa</math> है। यह S(A) की सबसे छोटी गणनांक है, जबकि यह <math>2^\kappa</math>जितनी बड़ी हो सकती है। मामले <math>\kappa = \aleph_0</math> के लिए, यह कहना आम बात है कि T, <math>\omega</math>-स्थिर के बजाय <math>\aleph_0</math>-स्थिरहै।<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Definition 4.2.17}}</ref>
+यदि ''T'' '''स्थिर''' है <math>\kappa</math> कुछ अनंत गणनसंख्या के लिए <math>\kappa</math>-स्थिरहै।<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Definition 5.3.1}}</ref>
-==परिभाषा और वैकल्पिक लक्षण==
+कार्डिनलों पर प्रतिबंध <math>\kappa</math> जिसके लिए एक सिद्धांत एक साथ हो सकता है <math>\kappa</math>-स्थिरता को [[स्थिरता स्पेक्ट्रम]] द्वारा वर्णित किया गया है,<ref>{{cite book |last1=Tent |first1=Katrin |last2=Ziegler |first2=Martin |title=मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम|date=2012 |at=Theorem 8.6.5}}</ref> जो अतिस्थिर सिद्धांतों के सम-संयमी उपसमुच्चय को अलग करता है।
-मान लीजिए कि T एक [[पूर्णता (तर्क)]] प्रथम-क्रम सिद्धांत है।
-किसी दिए गए अनंत कार्डिनल के लिए <math>\kappa</math>, टी है<math>\kappa</math>-गणनांक के प्रत्येक समुच्चय ए के लिए स्थिर <math>\kappa</math> टी के एक मॉडल में, ए के ऊपर पूर्ण टाइप के समुच्चय एस (ए) में भी गणनांक होती है <math>\kappa</math>. यह S(A) की सबसे छोटी गणनांक है, जबकि यह इतनी बड़ी भी हो सकती है <math>2^\kappa</math>. मामले के लिए <math>\kappa = \aleph_0</math>, यह कहना आम बात है कि T है<math>\omega</math>-बल्कि स्थिर <math>\aleph_0</math>-स्थिर।<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Definition 4.2.17}}</ref>
-यदि टी 'स्थिर' है <math>\kappa</math>-कुछ अनंत कार्डिनल के लिए स्थिर <math>\kappa</math>.<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Definition 5.3.1}}</ref>
-कार्डिनलों पर प्रतिबंध <math>\kappa</math> जिसके लिए एक सिद्धांत एक साथ हो सकता है <math>\kappa</math>-स्थिरता को [[स्थिरता स्पेक्ट्रम]] द्वारा वर्णित किया गया है,<ref>{{cite book |last1=Tent |first1=Katrin |last2=Ziegler |first2=Martin |title=मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम|date=2012 |at=Theorem 8.6.5}}</ref> जो सुपरस्टेबल सिद्धांतों के सम-संयमी उपसमुच्चय को अलग करता है।
 स्थिर सिद्धांतों की एक सामान्य वैकल्पिक परिभाषा यह है कि उनके पास ऑर्डर संपत्ति नहीं है। यदि कोई सूत्र है तो सिद्धांत में ऑर्डर गुण होता है <math>\phi(\bar x, \bar y)</math> और टुपल्स के दो अनंत क्रम <math>A= (\bar a_i: i \in \mathbb N)</math>, <math>B= (\bar b_j: j \in \mathbb N)</math> कुछ मॉडल एम में ऐसा है <math>\phi</math> पर एक अनंत आधे ग्राफ़ को परिभाषित करता है <math>A \times B</math>, अर्थात। <math>\phi(\bar a_i, \bar b_j)</math> एम में सत्य है <math>\iff i \leq j</math>.<ref>{{cite book |last1=Tent |first1=Katrin |last2=Ziegler |first2=Martin |title=मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम|date=2012 |at=Definition 8.2.1}}</ref> यह एक सूत्र होने के बराबर है <math>\psi(\bar x, \bar y)</math> और टुपल्स का एक अनंत क्रम <math>A= (\bar a_i: i \in \mathbb N)</math> कुछ मॉडल एम में ऐसा है <math>\psi</math> A पर एक अनंत [[रैखिक क्रम]] को परिभाषित करता है, अर्थात <math>\psi(\bar a_i, \bar a_j)</math> एम में सत्य है <math>\iff i \leq j</math>.<ref>{{cite book |last1=Tent |first1=Katrin |last2=Ziegler |first2=Martin |title=मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम|date=2012 |at=Exercise 8.2.1}}</ref>{{efn|In work on Łoś's conjecture preceding Morley's proof, [[Andrzej Ehrenfeucht]] introduced a property slightly stronger than the order property, which Shelah later called property (E). This was another precursor of (uns)stable theories.<ref>{{cite conference |title=Categoricity of uncountable theories |last1=Shelah |first1=Saharon |date=1974 |book-title=Proceedings of the Tarski symposium |url=https://shelah.logic.at/files/203570/Sh-31.pdf}}</ref>}}{{efn|One benefit of the definition of stability via the order property is that it is more clearly set-theoretically [[Absoluteness (logic)|absolute]].<ref name="SEP">{{cite web |last1=Hodges |first1=Wilfrid |title=First-order Model Theory |url=https://plato.stanford.edu/entries/modeltheory-fo/ |website=Stanford Encyclopedia of Philosophy |at=Section 5.1 |access-date=9 January 2023}}</ref>}}
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 एक अस्थिर सिद्धांत के लिए, अंतिम बिंदुओं के बिना [[सघन क्रम]] के सिद्धांत डीएलओ पर विचार करें। तब [[परमाणु सूत्र]] क्रम संबंध में क्रम गुण होता है। वैकल्पिक रूप से, एक समुच्चय ए पर अवास्तविक 1-टाइप ए के क्रम में कटौती (सामान्यीकृत [[डेडेकाइंड कट]]ौती, इस आवश्यकता के बिना कि दोनों समुच्चय गैर-खाली हों और निचले समुच्चय में कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है) के अनुरूप हैं,<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Example 4.1.12}}</ref> और किसी भी प्रमुखता के सघन आदेश मौजूद हैं <math>\kappa</math> साथ <math>2^\kappa</math>-कई कट.<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Lemma 5.2.12}}</ref>
 एक अन्य अस्थिर सिद्धांत [[राडो ग्राफ]]़ का सिद्धांत है, जहां परमाणु किनारे संबंध में ऑर्डर संपत्ति होती है।<ref>{{cite book |last1=Tent |first1=Katrin |last2=Ziegler |first2=Martin |title=मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम|date=2012 |at=Exercise 8.2.3}}</ref>
-एक स्थिर सिद्धांत के लिए, सिद्धांत पर विचार करें <math>ACF_p</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] पी के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों की अनुमति <math>p=0</math>. फिर यदि K का एक मॉडल है <math>ACF_p</math>, एक समुच्चय पर टाइप की गिनती <math>A \subset K</math> K में A द्वारा उत्पन्न फ़ील्ड k पर प्रकारों की गिनती के बराबर है। k के ऊपर n-टाइप के समष्टि से [[बहुपद वलय]] में अभाज्य आदर्शों के समष्टि तक एक (निरंतर) आक्षेप है <math>k[X_1, \dots, X_n]</math>. चूँकि ऐसे आदर्श सीमित रूप से उत्पन्न होते हैं, केवल होते हैं <math>|k| + \aleph_0</math> बहुत, तो <math>ACF_p</math> है <math>\kappa</math>-सभी अनंत के लिए स्थिर <math>\kappa</math>.<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Example 4.1.14}}</ref>
+एक स्थिर सिद्धांत के लिए, सिद्धांत पर विचार करें <math>ACF_p</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] पी के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों की अनुमति <math>p=0</math>. फिर यदि K का एक मॉडल है <math>ACF_p</math>, एक समुच्चय पर टाइप की गिनती <math>A \subset K</math> K में A द्वारा उत्पन्न क्षेत्र k पर प्रकारों की गिनती के बराबर है। k के ऊपर n-टाइप के समष्टि से [[बहुपद वलय]] में अभाज्य आदर्शों के समष्टि तक एक (निरंतर) आक्षेप है <math>k[X_1, \dots, X_n]</math>. चूँकि ऐसे आदर्श सीमित रूप से उत्पन्न होते हैं, केवल होते हैं <math>|k| + \aleph_0</math> बहुत, तो <math>ACF_p</math> है <math>\kappa</math>-सभी अनंत के लिए स्थिर <math>\kappa</math>.<ref>{{cite book |last1=Marker |first1=David |title=Model Theory: An Introduction |date=2006 |at=Example 4.1.14}}</ref>
 स्थिर सिद्धांतों के कुछ और उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं।
-*एक रिंग पर किसी [[मॉड्यूल (गणित)]] का सिद्धांत (विशेष रूप से, वेक्टर रिक्त समष्टि या [[एबेलियन समूह]]ों का कोई सिद्धांत)।<ref>{{cite book |last1=Tent |first1=Katrin |last2=Ziegler |first2=Martin |title=मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम|date=2012 |at=Example 8.6.6}}</ref>
+*एक रिंग पर किसी [[मॉड्यूल (गणित)]] का सिद्धांत (विशेष रूप से, सदिशरिक्त समष्टि या [[एबेलियन समूह]]ों का कोई सिद्धांत)।<ref>{{cite book |last1=Tent |first1=Katrin |last2=Ziegler |first2=Martin |title=मॉडल थ्योरी में एक पाठ्यक्रम|date=2012 |at=Example 8.6.6}}</ref>
 *गैर-एबेलियन [[मुक्त समूह]]ों का सिद्धांत।<ref>{{cite journal |last1=Sela |first1=Zlil |title=Diophantine geometry over groups VIII: Stability |journal=Annals of Mathematics |date=2013 |volume=177 |issue=3 |pages=787–868 |doi=10.4007/annals.2013.177.3.1 |s2cid=119143329 |url=https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v177-n3-p01-s.pdf}}</ref>
 *विशेषता पी के [[विभेदित रूप से बंद क्षेत्र]]ों का सिद्धांत। कब <math>p=0</math>, सिद्धांत है <math>\omega</math>-स्थिर।<ref>{{cite journal |last1=Shelah |first1=Saharon |authorlink1=Saharon Shelah |title=विभेदित रूप से बंद फ़ील्ड|journal=[[Israel Journal of Mathematics]] |date=1973 |volume=16 |issue=3 |pages=314–328 |doi=10.1007/BF02756711 | doi-access=free |s2cid=119906669 |url=https://shelah.logic.at/files/95979/39.pdf}}</ref>
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 ==ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत==
-ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का संबंध मॉडलों में स्थानीय ज्यामिति के सूक्ष्म विश्लेषण और उनके गुण वैश्विक संरचना को कैसे प्रभावित करते हैं, से है। परिणामों की यह रेखा बाद में स्थिरता सिद्धांत के विभिन्न अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण थी, उदाहरण के लिए [[डायोफैंटाइन ज्यामिति]] के लिए। आमतौर पर इसकी शुरुआत 1970 के दशक के अंत में [[बोरिस ज़िल्बर]] के पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के विश्लेषण से मानी जाती है, जो अंततः दिखाती है कि वे प्राथमिक वर्ग#परिभाषा नहीं हैं। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के प्रत्येक मॉडल को एक दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय द्वारा नियंत्रित किया जाता है (यानी [[ प्रमुख मॉडल ]] और न्यूनतम ओवर है), जो एक [[matroid]] संरचना रखता है{{efn|The term "[[Pregeometry (model theory)|pregeometry]]" is often used instead of "matroid" in this setting.}} (मॉडल-सैद्धांतिक) बीजगणितीय सूत्र (मॉडल सिद्धांत) द्वारा निर्धारित किया जाता है जो स्वतंत्रता और आयाम की धारणा देता है। इस सेटिंग में, ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत तब स्थानीय प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की संरचना के लिए क्या संभावनाएं हैं, और स्थानीय-से-वैश्विक प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय पूरे मॉडल को कैसे नियंत्रित करता है।<ref>{{cite conference |last1=Pillay |first1=Anand |title=ज्यामितीय मॉडल सिद्धांत के पहलू|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=04212872c51a082eea4ded5b73cc6567dc8feb5e|book-title=Logic Colloquium ’99 |date=2001}}</ref>
+ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का संबंध मॉडलों में स्थानीय ज्यामिति के सूक्ष्म विश्लेषण और उनके गुण वैश्विक संरचना को कैसे प्रभावित करते हैं, से है। परिणामों की यह रेखा बाद में स्थिरता सिद्धांत के विभिन्न अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण थी, उदाहरण के लिए [[डायोफैंटाइन ज्यामिति]] के लिए। आमतौर पर इसकी शुरुआत 1970 के दशक के अंत में [[बोरिस ज़िल्बर]] के पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के विश्लेषण से मानी जाती है, जो अंततः दिखाती है कि वे प्राथमिक वर्ग#परिभाषा नहीं हैं। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के प्रत्येक मॉडल को एक दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय द्वारा नियंत्रित किया जाता है (यानी [[ प्रमुख मॉडल | गणनसंख्या मॉडल]] और न्यूनतम ओवर है), जो एक [[matroid]] संरचना रखता है{{efn|The term "[[Pregeometry (model theory)|pregeometry]]" is often used instead of "matroid" in this setting.}} (मॉडल-सैद्धांतिक) बीजगणितीय सूत्र (मॉडल सिद्धांत) द्वारा निर्धारित किया जाता है जो स्वतंत्रता और आयाम की धारणा देता है। इस सेटिंग में, ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत तब स्थानीय प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की संरचना के लिए क्या संभावनाएं हैं, और स्थानीय-से-वैश्विक प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय पूरे मॉडल को कैसे नियंत्रित करता है।<ref>{{cite conference |last1=Pillay |first1=Anand |title=ज्यामितीय मॉडल सिद्धांत के पहलू|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=04212872c51a082eea4ded5b73cc6567dc8feb5e|book-title=Logic Colloquium ’99 |date=2001}}</ref>
-दूसरे प्रश्न का उत्तर ज़िल्बर की सीढ़ी प्रमेय द्वारा दिया गया है, जिसमें दिखाया गया है कि पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय पर निश्चित [[फाइबर बंडल]]ों जैसी किसी चीज़ के एक सीमित अनुक्रम द्वारा बनाया गया है।<ref>{{cite book |last1=Pillay |first1=Anand |title=ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत|date=1996 |page=343}}</ref> पहले प्रश्न के लिए, ज़िल्बर का ट्राइकोटॉमी अनुमान यह था कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की ज्यामिति या तो बिना किसी संरचना वाले समुच्चय की तरह होनी चाहिए, या समुच्चय को अनिवार्य रूप से वेक्टर समष्टि की संरचना, या बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड की संरचना को ले जाना चाहिए, पहले दो मामलों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर कहा जाता है।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=ज़िल्बर का ट्राइकोटॉमी अनुमान|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/trichotomy.html |access-date=27 January 2023}}</ref> यह अनुमान दो केंद्रीय विषयों को दर्शाता है। सबसे पहले, वह (स्थानीय) प्रतिरूपकता बीजीय ज्यामिति की तरह संयोजनात्मक या रैखिक व्यवहार को गैर-रेखीय, ज्यामितीय सम्मिश्रता से विभाजित करने का कार्य करती है।<ref>{{cite conference |last1=Hrushovski |first1=Ehud |title=ज्यामितीय मॉडल सिद्धांत|date=1998 |url=https://eudml.org/doc/224669 |book-title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 1}}</ref> दूसरा, जटिल संयोजक ज्यामिति आवश्यक रूप से बीजगणितीय वस्तुओं से आती है;<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=संयुक्त ज्यामितीय स्थिरता|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/lec2.html |access-date=27 January 2023}}</ref> यह [[प्रक्षेप्य तल]] की शास्त्रीय समस्या के समान है#घटनाओं द्वारा परिभाषित एक अमूर्त प्रक्षेप्य तल के लिए सामान्यीकृत निर्देशांक, और आगे के उदाहरण समूह विन्यास प्रमेय हैं जो दिखाते हैं कि तत्वों के बीच कुछ संयुक्त निर्भरताएँ एक निश्चित समूह में गुणन से उत्पन्न होनी चाहिए।<ref>{{cite journal |last1=Ben-Yaacov |first1=Itaï |last2=Tomašić |first2=Ivan |last3=Wagner |first3=Frank |title=सरल सिद्धांतों और उसके अनुप्रयोगों में समूह विन्यास|journal=8 |date=2002 |volume=2 |url=http://math.univ-lyon1.fr/~begnac/articles/bsl.pdf}}</ref> [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] जैसे न्यूनतम सेटों में बीजगणितीय ज्यामिति के कुछ हिस्सों के एनालॉग विकसित करके, ज़िल्बर ने अनगिनत श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के लिए ट्राइकोटॉमी अनुमान का एक कमजोर रूप साबित किया।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=ज़िल्बर की ट्राइकोटॉमी प्रमेय|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/trichotomythm.html |access-date=27 January 2023}}</ref> हालाँकि [[एहुद ह्रुशोव्स्की]] ने पूर्ण अनुमान को गलत साबित करने के लिए ह्रुशोव्स्की निर्माण विकसित किया, बाद में इसे ज़ारिस्की ज्यामिति की सेटिंग में अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ साबित किया गया।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=संयुक्त ज्यामितीय स्थिरता|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/lec2.html |access-date=27 January 2023}}</ref>
+दूसरे प्रश्न का उत्तर ज़िल्बर की सीढ़ी प्रमेय द्वारा दिया गया है, जिसमें दिखाया गया है कि पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय पर निश्चित [[फाइबर बंडल]]ों जैसी किसी चीज़ के एक सीमित अनुक्रम द्वारा बनाया गया है।<ref>{{cite book |last1=Pillay |first1=Anand |title=ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत|date=1996 |page=343}}</ref> पहले प्रश्न के लिए, ज़िल्बर का ट्राइकोटॉमी अनुमान यह था कि दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की ज्यामिति या तो बिना किसी संरचना वाले समुच्चय की तरह होनी चाहिए, या समुच्चय को अनिवार्य रूप से सदिशसमष्टि की संरचना, या बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र की संरचना को ले जाना चाहिए, पहले दो मामलों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर कहा जाता है।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=ज़िल्बर का ट्राइकोटॉमी अनुमान|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/trichotomy.html |access-date=27 January 2023}}</ref> यह अनुमान दो केंद्रीय विषयों को दर्शाता है। सबसे पहले, वह (स्थानीय) प्रतिरूपकता बीजीय ज्यामिति की तरह संयोजनात्मक या रैखिक व्यवहार को गैर-रेखीय, ज्यामितीय सम्मिश्रता से विभाजित करने का कार्य करती है।<ref>{{cite conference |last1=Hrushovski |first1=Ehud |title=ज्यामितीय मॉडल सिद्धांत|date=1998 |url=https://eudml.org/doc/224669 |book-title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 1}}</ref> दूसरा, जटिल संयोजक ज्यामिति आवश्यक रूप से बीजगणितीय वस्तुओं से आती है;<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=संयुक्त ज्यामितीय स्थिरता|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/lec2.html |access-date=27 January 2023}}</ref> यह [[प्रक्षेप्य तल]] की शास्त्रीय समस्या के समान है#घटनाओं द्वारा परिभाषित एक अमूर्त प्रक्षेप्य तल के लिए सामान्यीकृत निर्देशांक, और आगे के उदाहरण समूह विन्यास प्रमेय हैं जो दिखाते हैं कि तत्वों के बीच कुछ संयुक्त निर्भरताएँ एक निश्चित समूह में गुणन से उत्पन्न होनी चाहिए।<ref>{{cite journal |last1=Ben-Yaacov |first1=Itaï |last2=Tomašić |first2=Ivan |last3=Wagner |first3=Frank |title=सरल सिद्धांतों और उसके अनुप्रयोगों में समूह विन्यास|journal=8 |date=2002 |volume=2 |url=http://math.univ-lyon1.fr/~begnac/articles/bsl.pdf}}</ref> [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] जैसे न्यूनतम समुच्चय में बीजगणितीय ज्यामिति के कुछ हिस्सों के एनालॉग विकसित करके, ज़िल्बर ने अनगिनत श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के लिए ट्राइकोटॉमी अनुमान का एक कमजोर रूप साबित किया।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=ज़िल्बर की ट्राइकोटॉमी प्रमेय|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/trichotomythm.html |access-date=27 January 2023}}</ref> हालाँकि [[एहुद ह्रुशोव्स्की]] ने पूर्ण अनुमान को गलत साबित करने के लिए ह्रुशोव्स्की निर्माण विकसित किया, बाद में इसे ज़ारिस्की ज्यामिति की सेटिंग में अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ साबित किया गया।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=संयुक्त ज्यामितीय स्थिरता|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/lec2.html |access-date=27 January 2023}}</ref>
-शेला के वर्गीकरण योजना की धारणाएँ, जैसे कि नियमित टाइप, फोर्किंग और ऑर्थोगोनैलिटी, ने इन विचारों को अधिक व्यापकता तक ले जाने की अनुमति दी, विशेष रूप से सुपरस्टेबल सिद्धांतों में। यहां, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित समुच्चय दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की भूमिका निभाते हैं, उनकी स्थानीय ज्यामिति बीजगणितीय निर्भरता के बजाय फोर्किंग निर्भरता द्वारा निर्धारित होती है। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के एकल दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय नियंत्रण मॉडल के समष्टि पर, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित कई ऐसी स्थानीय ज्यामिति हो सकती हैं, और ऑर्थोगोनैलिटी तब वर्णन करती है जब इन प्रकारों में कोई बातचीत नहीं होती है।<ref>{{cite conference |last1=Pillay |first1=Anand |title=ज्यामितीय मॉडल सिद्धांत के पहलू|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=04212872c51a082eea4ded5b73cc6567dc8feb5e|book-title=Logic Colloquium ’99 |date=2001}}</ref>
+शेला के वर्गीकरण योजना की धारणाएँ, जैसे कि नियमित टाइप, फोर्किंग और ऑर्थोगोनैलिटी, ने इन विचारों को अधिक व्यापकता तक ले जाने की अनुमति दी, विशेष रूप से अतिस्थिर सिद्धांतों में। यहां, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित समुच्चय दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय की भूमिका निभाते हैं, उनकी स्थानीय ज्यामिति बीजगणितीय निर्भरता के बजाय फोर्किंग निर्भरता द्वारा निर्धारित होती है। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के एकल दृढ़ता से न्यूनतम समुच्चय नियंत्रण मॉडल के समष्टि पर, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित कई ऐसी स्थानीय ज्यामिति हो सकती हैं, और ऑर्थोगोनैलिटी तब वर्णन करती है जब इन प्रकारों में कोई बातचीत नहीं होती है।<ref>{{cite conference |last1=Pillay |first1=Anand |title=ज्यामितीय मॉडल सिद्धांत के पहलू|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=04212872c51a082eea4ded5b73cc6567dc8feb5e|book-title=Logic Colloquium ’99 |date=2001}}</ref>
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 *चूंकि विशेषता 0 के विभेदित रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत है <math>\omega</math>-स्थिर, [[विभेदक बीजगणित]] में स्थिरता सिद्धांत के कई अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे क्षेत्र के विभेदक समापन (बीजगणितीय समापन का एक एनालॉग) के अस्तित्व और विशिष्टता को क्रमशः प्राइम मॉडल पर सामान्य परिणामों का उपयोग करके [[लेनोर ब्लम]] और शेला द्वारा सिद्ध किया गया था। <math>\omega</math>-स्थिर सिद्धांत.<ref>{{cite journal |last1=Sacks |first1=Gerald |title=एक विभेदक क्षेत्र का विभेदक समापन|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |date=1972 |volume=78 |issue=5 |pages=629–634 |doi=10.1090/S0002-9904-1972-12969-0 |s2cid=17860378 |url=https://www.ams.org/journals/bull/1972-78-05/S0002-9904-1972-12969-0/S0002-9904-1972-12969-0.pdf}}</ref>
-*डायोफैंटाइन ज्यामिति में, एहुद ह्रुशोवस्की ने सभी विशेषताओं में फ़ंक्शन फ़ील्ड के लिए मोर्डेल-लैंग अनुमान को साबित करने के लिए ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का उपयोग किया, जो वक्रों पर [[तर्कसंगत बिंदु]]ओं की गिनती के बारे में फाल्टिंग्स के प्रमेय और वक्रों पर [[मरोड़ बिंदु]]ओं की गिनती के बारे में [[मैनिन-ममफोर्ड अनुमान]] को सामान्य बनाता है।<ref>{{cite journal |last1=Hrushovski |first1=Ehud |title=फ़ंक्शन फ़ील्ड के लिए मोर्डेल-लैंग अनुमान|journal=Journal of the American Mathematical Society |date=1996 |volume=9 |issue=3 |pages=667–690 |doi=10.1090/S0894-0347-96-00202-0 |url=https://www.ams.org/journals/jams/1996-9-03/S0894-0347-96-00202-0/S0894-0347-96-00202-0.pdf}}</ref> प्रमाण में मुख्य बिंदु कुछ अंकगणितीय रूप से परिभाषित समूहों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर दिखाने के लिए विभेदक क्षेत्रों में ज़िल्बर की ट्राइकोटॉमी का उपयोग करना था।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=मोर्डेल-लैंग और वेरिएंट|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/ml.html |access-date=27 January 2023}}</ref>
+*डायोफैंटाइन ज्यामिति में, एहुद ह्रुशोवस्की ने सभी विशेषताओं में फलन क्षेत्र के लिए मोर्डेल-लैंग अनुमान को साबित करने के लिए ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का उपयोग किया, जो वक्रों पर [[तर्कसंगत बिंदु]]ओं की गिनती के बारे में फाल्टिंग्स के प्रमेय और वक्रों पर [[मरोड़ बिंदु]]ओं की गिनती के बारे में [[मैनिन-ममफोर्ड अनुमान]] को सामान्य बनाता है।<ref>{{cite journal |last1=Hrushovski |first1=Ehud |title=फ़ंक्शन फ़ील्ड के लिए मोर्डेल-लैंग अनुमान|journal=Journal of the American Mathematical Society |date=1996 |volume=9 |issue=3 |pages=667–690 |doi=10.1090/S0894-0347-96-00202-0 |url=https://www.ams.org/journals/jams/1996-9-03/S0894-0347-96-00202-0/S0894-0347-96-00202-0.pdf}}</ref> प्रमाण में मुख्य बिंदु कुछ अंकगणितीय रूप से परिभाषित समूहों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर दिखाने के लिए विभेदक क्षेत्रों में ज़िल्बर की ट्राइकोटॉमी का उपयोग करना था।<ref>{{cite web |last1=Scanlon |first1=Thomas |title=मोर्डेल-लैंग और वेरिएंट|url=https://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/LC04/LC04/ml.html |access-date=27 January 2023}}</ref>
 *[[ऑनलाइन मशीन लर्निंग]] में, कॉन्सेप्ट क्लास का लिटिलस्टोन आयाम सीखने की क्षमता को दर्शाने वाला एक सम्मिश्रता माप है, जो [[पीएसी सीखना]] में [[वीसी-आयाम]] के अनुरूप है। एक [[अवधारणा वर्ग]] के लिटलस्टोन आयाम को बांधना बाइनरी पेड़ों को शामिल करते हुए स्थिरता के संयोजन लक्षण वर्णन के बराबर है।<ref>{{cite journal |last1=Chase |first1=Hunter |last2=Freitag |first2=James |title=मॉडल सिद्धांत और मशीन लर्निंग|journal=Bulletin of Symbolic Logic |date=2019 |volume=25 |issue=3 |pages=319–332 |doi=10.1017/bsl.2018.71 |arxiv=1801.06566 |s2cid=119689419 }}</ref> उदाहरण के लिए, इस समतुल्यता का उपयोग यह साबित करने के लिए किया गया है कि एक अवधारणा वर्ग की ऑनलाइन सीखने की क्षमता [[विभेदक गोपनीयता]] पीएसी सीखने की क्षमता के बराबर है।<ref>{{cite journal |last1=Alon |first1=Noga |last2=Bun |first2=Mark |last3=Livni |first3=Roi |last4=Malliaris |first4=Maryanthe |last5=Moran |first5=Shay |title=निजी और ऑनलाइन सीखने की क्षमता समतुल्य है|journal=Journal of the ACM |date=2022 |volume=69 |issue=4 |pages=1–34 |doi=10.1145/3526074 |s2cid=247186721 |url=http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/JACMjoint1.pdf}}</ref>
 *[[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, [[जीन-लुई क्रिविन]] और [[बर्नार्ड मौरे]] ने बानाच रिक्त समष्टि के लिए स्थिरता की धारणा को परिभाषित किया, जो यह बताने के बराबर है कि किसी भी क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र में ऑर्डर प्रॉपर्टी नहीं है (प्रथम-क्रम तर्क के बजाय निरंतर तर्क में)। फिर उन्होंने दिखाया कि प्रत्येक स्थिर बानाच समष्टि Sequence_space#ℓp_spaces| के लगभग-आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है।{{math|''ℓ''{{i sup|''p''}}}} कुछ के लिए <math>p \in [1, \infty)</math>.<ref>{{cite book |last1=Iovino |first1=José |title=कार्यात्मक विश्लेषण के लिए मॉडल सिद्धांत के अनुप्रयोग|date=2014 |at=Chapters 13,15 |url=https://math.i-learn.unito.it/pluginfile.php/145468/mod_resource/content/2/Iovino.pdf}}</ref> यह कार्यात्मक विश्लेषण और सतत तर्क में स्थिरता के बीच व्यापक परस्पर क्रिया का हिस्सा है; उदाहरण के लिए, कार्यात्मक विश्लेषण में [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] के शुरुआती परिणामों की व्याख्या स्थिरता सिद्धांत के मौलिक परिणामों के बराबर की जा सकती है।<ref>{{cite journal |last1=Ben Yaacov |first1=Itaï |title=ए ग्रोथेंडिक के बाद मॉडल सैद्धांतिक स्थिरता और प्रकारों की निश्चितता|journal=Bulletin of Symbolic Logic |date=2014 |volume=20 |issue=4 |arxiv=1306.5852 }}</ref>
 *एक गणनीय (संभवतः परिमित) संरचना [[अतिसजातीय]] होती है यदि प्रत्येक परिमित आंशिक ऑटोमोर्फिज्म पूर्ण संरचना के ऑटोमोर्फिज्म तक विस्तारित होता है। ग्रेगरी चेरलिन और एलिस्टेयर लाचलान ने सभी परिमित संरचनाओं सहित स्थिर अल्ट्राहोमोजीनस संरचनाओं के लिए एक सामान्य वर्गीकरण सिद्धांत प्रदान किया। विशेष रूप से, उनके परिणाम बताते हैं कि किसी भी निश्चित परिमित संबंधपरक भाषा के लिए, परिमित सजातीय संरचनाएं संख्यात्मक अपरिवर्तनवादियों और परिमित रूप से कई छिटपुट उदाहरणों द्वारा पैरामीट्रिज किए गए सदस्यों के साथ कई अनंत परिवारों में आती हैं। इसके अलावा, प्रत्येक छिटपुट उदाहरण किसी समृद्ध भाषा में एक अनंत परिवार का हिस्सा बन जाता है, और नए छिटपुट उदाहरण हमेशा उपयुक्त रूप से समृद्ध भाषाओं में दिखाई देते हैं।<ref>{{cite conference |title=छिटपुट सजातीय संरचनाएँ|last1=Cherlin |first1=Gregory |date=2000 |book-title=The Gelfand mathematical seminars, 1996--1999 |url=https://sites.math.rutgers.edu/~cherlin/Paper/2000Sporadic.pdf}}</ref>
-*[[अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स]] में, ह्रुशोव्स्की ने [[अनुमानित समूह]] की संरचना पर परिणाम साबित किए, उदाहरण के लिए बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय का एक दृढ़ संस्करण प्रस्तुत किया। हालाँकि इसमें सीधे तौर पर स्थिर सिद्धांतों का उपयोग नहीं किया गया था, मुख्य अंतर्दृष्टि यह थी कि स्थिर समूह सिद्धांत के मौलिक परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता था और इस सेटिंग में लागू किया जा सकता था।<ref>{{cite journal |last1=Hrushovski |first1=Ehud |title=स्थिर समूह सिद्धांत और अनुमानित उपसमूह|journal=Journal of the American Mathematical Society |date=2012 |volume=25 |issue=1 |url=https://www.ams.org/journals/jams/2012-25-01/S0894-0347-2011-00708-X/S0894-0347-2011-00708-X.pdf}}</ref> इसने सीधे अनुमानित उपसमूहों को वर्गीकृत करने वाले Approximate_group#Classification_of_approximate_subgroups|Bruillard-Green-Tao प्रमेय को जन्म दिया।<ref>{{cite journal |last1=Breuillard |first1=Emmanuel |last2=Green |first2=Ben |last3=Tao |first3=Terence |title=अनुमानित समूहों की संरचना|journal=Publications mathématiques de l'IHÉS |date=2012 |volume=116 |doi=10.1007/s10240-012-0043-9 |arxiv=1110.5008 |s2cid=254166823 |at=Acknowledgments |url=http://www.numdam.org/item/10.1007/s10240-012-0043-9.pdf}}</ref>
+*[[अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स]] में, ह्रुशोव्स्की ने [[अनुमानित समूह]] की संरचना पर परिणाम साबित किए, उदाहरण के लिए बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय का एक दृढ़ संस्करण प्रस्तुत किया। हालाँकि इसमें सीधे तौर पर स्थिर सिद्धांतों का उपयोग नहीं किया गया था, मुख्य अंतर्दृष्टि यह थी कि स्थिर समूह सिद्धांत के मौलिक परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता था और इस सेटिंग में लागू किया जा सकता था।<ref>{{cite journal |last1=Hrushovski |first1=Ehud |title=स्थिर समूह सिद्धांत और अनुमानित उपसमूह|journal=Journal of the American Mathematical Society |date=2012 |volume=25 |issue=1 |url=https://www.ams.org/journals/jams/2012-25-01/S0894-0347-2011-00708-X/S0894-0347-2011-00708-X.pdf}}</ref> इसने सीधे अनुमानित उपसमूहों को वर्गीकृत करने वाले Approximate_group#Classification_of_approximate_subgroups|Bruillard-Green-Tao प्रमेय को वृद्धि दिया।<ref>{{cite journal |last1=Breuillard |first1=Emmanuel |last2=Green |first2=Ben |last3=Tao |first3=Terence |title=अनुमानित समूहों की संरचना|journal=Publications mathématiques de l'IHÉS |date=2012 |volume=116 |doi=10.1007/s10240-012-0043-9 |arxiv=1110.5008 |s2cid=254166823 |at=Acknowledgments |url=http://www.numdam.org/item/10.1007/s10240-012-0043-9.pdf}}</ref>

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