स्थिर सदिश बंडल

गणित में, स्थिर वेक्टर बंडल एक (होलोमोर्फिक या बीजगणितीय) वेक्टर बंडल होता है जो ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत के अर्थ में स्थिर होता है। किसी भी होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल को हार्डर-नरसिम्हन निस्पंदन का उपयोग करके स्थिर लोगों से बनाया जा सकता है। स्थिर बंडलों को डेविड ममफोर्ड (1963) द्वारा परिभाषित किया गया था और बाद में डेविड गिसेकर, फेडर बोगोमोलोव, थॉमस ब्रिजलैंड और कई अन्य लोगों द्वारा बनाया गया था।

प्रेरणा

स्थिर वेक्टर बंडलों का विश्लेषण करने की प्रेरणाओं में से एक परिवारों में उनका अच्छा व्यवहार है। वास्तव में, स्थिर वेक्टर बंडलों के मॉड्यूली रिक्त स्थान का निर्माण कई मामलों में कोट योजना का उपयोग करके किया जा सकता है, जबकि वेक्टर बंडलों का ढेर $\mathbf {B} GL_{n}$ ढेर कला है जिसका अंतर्निहित सेट एकल बिंदु है।

यहां वेक्टर बंडलों के परिवार का उदाहरण दिया गया है जो असंतोषजनक तरीके से पतित होता है। यदि हम यूलर अनुक्रम को टेंसर करते हैं $\mathbb {P} ^{1}$ द्वारा ${\mathcal {O}}(1)$ सटीक अनुक्रम है

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$

जो गैर-शून्य तत्व का प्रतिनिधित्व करता है $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ चूंकि तुच्छ सटीक अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है $0$ वेक्टर है

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$

यदि हम वेक्टर बंडलों के परिवार पर विचार करते हैं $E_{t}$ से विस्तार में $t\cdot v$ के लिए $t\in \mathbb {A} ^{1}$, संक्षिप्त सटीक अनुक्रम हैं

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to E_{t}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0$

जिसमें चेर्न कक्षाएं हैं $c_{1}=0,c_{2}=0$ सामान्यतः, परंतु है $c_{1}=0,c_{2}=-1$ मूल पर. संख्यात्मक अपरिवर्तनीयों की इस प्रकार की छलांग स्थिर वेक्टर बंडलों के मॉड्यूलि स्थानों में नहीं होती है।

वक्रों पर स्थिर वेक्टर बंडल

गैर-एकवचन बीजगणितीय वक्र (या रीमैन सतह पर) पर एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल डब्ल्यू का ढलान एक तर्कसंगत संख्या μ(W) = डिग्री(W)/रैंक(W)है। बंडल W स्थिर है यदि और केवल यदि

$\mu (V)<\mu (W)$

W के सभी उचित गैर-शून्य सबबंडलों V के लिए

और यदि 'अर्धवाचक' है

$\mu (V)\leq \mu (W)$

W के सभी उचित गैर-शून्य सबबंडल V के लिए। अनौपचारिक रूप से यह कहता है कि बंडल स्थिर है यदि यह किसी भी उचित सबबंडल से "अधिक पर्याप्त" है, और अस्थिर है यदि इसमें "अधिक पर्याप्त" सबबंडल है।

यदि W और V अर्धस्थिर वेक्टर बंडल हैं और μ(W) >μ(V), तो कोई गैर-शून्य मानचित्र W → V नहीं हैं।

डेविड ममफोर्ड ने साबित किया कि गैर-एकवचन वक्र पर दिए गए रैंक और डिग्री के स्थिर बंडलों का मॉड्यूलि स्थान एक अर्धप्रोजेक्टिव बीजगणितीय विविधता है। एक वक्र पर स्थिर वेक्टर बंडलों के मॉड्यूलि स्पेस की सह-समरूपता का वर्णन किया गया था हार्डर & नरसिम्हन (1975) परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करके और अतियाह & बॉट (1983) द्वारा नरसिम्हन- शेषाद्रि दृष्टिकोण का उपयोग करके किया गया था।

उच्च आयामों में स्थिर वेक्टर बंडल

यदि 'डेविड गिसेकर स्थिर') यदि

${\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}$

W के सभी उचित गैर-शून्य सबबंडलों (या सबशेव्स) V के लिए, जहां χ बीजगणितीय वेक्टर बंडल की यूलर विशेषताको दर्शाता है और वेक्टर बंडल V (nH) का मतलब H द्वारा V के एन-वें सेरे मोड़ है। W को सेमीस्टेबल कहा जाता है यदि उपरोक्त को ≤ द्वारा प्रतिस्थापित < के साथ रखा जाता है।

ढलान स्थिरता

वक्रों पर बंडलों के लिए ढलानों और हिल्बर्ट बहुपद की वृद्धि द्वारा परिभाषित स्थिरता मेल खाती है। उच्च आयामों में, ये दोनों धारणाएँ अलग-अलग हैं और इनके अलग-अलग फायदे हैं। गिसेकर स्थिरता की व्याख्या ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत के संदर्भ में की गई है, जबकि μ-स्थिरता में टेंसर उत्पादों, पुलबैक बंडल आदि के लिए बेहतर गुण हैं।

मान लीजिए कि X आयाम n की एक सुचारू प्रक्षेप्य विविधता है, H इसका हाइपरप्लेन अनुभाग है। H के संबंध में वेक्टर बंडल का 'ढलान' (या, अधिक सामान्यतः, एक मरोड़-मुक्त सुसंगत शीफ) एच के संबंध में E एक तर्कसंगत संख्या है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}$

जहां c₁ प्रथम चेर्न वर्ग है। एच पर निर्भरता अक्सर नोटेशन से हटा दी जाती है।

एक मरोड़-मुक्त सुसंगत शीफ E 'μ-सेमिसटेबल' है यदि किसी गैर-शून्य उपशीफ F ⊆ E के लिए ढलान असमानता μ(F) ≤ μ(E) को संतुष्ट करते हैं। यह 'μ-स्थिर' है, यदि इसके अलावा, छोटी रैंक के किसी भी गैर-शून्य उपशीर्ष F ⊆ E के लिए सख्त असमानता μ(F) < μ(E) कायम है। स्थिरता की इस धारणा को ढलान स्थिरता, μ-स्थिरता, कभी-कभी ममफोर्ड स्थिरता या ताकेमोटो स्थिरता कहा जा सकता है।

वेक्टर बंडल E के लिए निहितार्थों की निम्नलिखित श्रृंखला लागू होती है: E μ-स्थिर है ⇒ E स्थिर है ⇒ E अर्धस्थिर है ⇒ E μ-अर्धस्थिर है।

हार्डर-नरसिम्हन निस्पंदन

Main article: Harder–Narasimhan stratification

मान लीजिए E एक चिकने प्रक्षेप्य वक्र X पर एक सदिश बंडल है। तब उपबंडलों द्वारा एक अद्वितीय निस्पंदन (गणित) मौजूद होता है

$0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E$

जैसे कि संबंधित श्रेणीबद्ध मॉड्यूल घटक एफ_i := और_i+1/और_i सेमीस्टेबल वेक्टर बंडल हैं और ढलान कम हो जाते हैं, μ(F_i) > μ(एफ_i+1). इस निस्पंदन को पेश किया गया था Harder & Narasimhan (1975) और इसे हार्डर-नरसिम्हन निस्पंदन कहा जाता है। समरूपी संबद्ध ग्रेड वाले दो वेक्टर बंडलों को S-समतुल्य|S-समतुल्य कहा जाता है।

उच्च-आयामी किस्मों पर निस्पंदन भी हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है, लेकिन संबंधित वर्गीकृत घटक अब बंडल नहीं हो सकते हैं। गिसेकर स्थिरता के लिए ढलानों के बीच की असमानताओं को हिल्बर्ट बहुपदों के बीच की असमानताओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

कोबायाशी-हिचिन पत्राचार

Main article: Kobayashi–Hitchin correspondence

नरसिम्हन-शेषाद्रि प्रमेय का कहना है कि एक प्रक्षेप्य नॉनसिंगुलर वक्र पर स्थिर बंडल उन लोगों के समान होते हैं जिनमें प्रक्षेप्य रूप से सपाट एकात्मक इरेड्यूसबल कनेक्शन (वेक्टर बंडल) होता है। डिग्री 0 के बंडलों के लिए प्रोजेक्टिवली फ्लैट कनेक्शन फ्लैट वेक्टर बंडल होते हैं और इस प्रकार डिग्री 0 के स्थिर बंडल मौलिक समूह के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व एकात्मक प्रतिनिधित्व के अनुरूप होते हैं।

शोजी कोबायाशी और निगेल हिचिन ने उच्च आयामों में इसके एक एनालॉग का अनुमान लगाया। इसे प्रक्षेप्य गैर-एकवचन सतहों के लिए सिद्ध किया गया था Donaldson (1985), जिन्होंने दिखाया कि इस मामले में एक वेक्टर बंडल स्थिर है यदि और केवल तभी जब इसमें इरेड्यूसेबल हर्मिटियन-आइंस्टीन कनेक्शन हो।

सामान्यीकरण

बीजगणितीय विविधता के एकवचन बिंदु पर (μ-)स्थिरता को सामान्य बनाना संभव है | गैर-चिकनी प्रक्षेप्य योजना (गणित) और हिल्बर्ट श्रृंखला और हिल्बर्ट बहुपद#सामान्यीकरण का उपयोग करके सुसंगत शीव्स के लिए अधिक सामान्य सुसंगत शीफ। मान लीजिए कि X एक प्रक्षेप्य योजना है, d एक प्राकृतिक संख्या है, E मंद Supp(E) = d के साथ E के हिल्बर्ट बहुपद को P के रूप में लिखें_E(एम)= Σ^d
_i=0 ए_i(ई)/(आई!) एम^मैं. 'घटे हुए हिल्बर्ट बहुपद' पृष्ठ को परिभाषित करें_E := पी_E/ए_d(इ)।

यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं तो एक सुसंगत शीफ ई 'सेमस्टेबल' है:

• E, आयाम d से शुद्ध है, अर्थात E के सभी संबद्ध अभाज्य संख्याओं का आयाम d है;
• किसी भी उचित अशून्य उपशीर्षक F ⊆ E के लिए घटे हुए हिल्बर्ट बहुपद p को संतुष्ट करते हैं_F(एम) ≤ पी_E(एम) बड़े एम के लिए।

सख्त असमानता पी होने पर एक शीफ को 'स्थिर' कहा जाता है_F(एम) <पी_E(एम) बड़े एम के लिए धारण करता है।

लेट कोह_d(एक्स) आयाम ≤ डी के समर्थन के साथ एक्स पर सुसंगत शीव्स की पूरी उपश्रेणी बनें। कोह में किसी वस्तु F का 'ढलान'_d हिल्बर्ट बहुपद के गुणांकों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है ${\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)$ यदि एक_d(एफ) ≠ 0 और 0 अन्यथा। की निर्भरता ${\hat {\mu }}_{d}$ ऑन डी को आमतौर पर नोटेशन से हटा दिया जाता है।

एक सुसंगत शीफ ई के साथ $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं तो इसे μ-सेमिटेबल कहा जाता है:

• E का मरोड़ आयाम ≤ d-2 में है;
• किसी एबेलियन श्रेणी कोह के भागफल में किसी भी गैर-शून्य उप-वस्तु F ⊆ E के लिए_d(एक्स)/कोह_d-1(एक्स) हमारे पास है ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$.

यदि ई के सभी उचित गैर-शून्य उप-वस्तुओं के लिए सख्त असमानता लागू होती है तो ई 'μ-स्थिर' है।

ध्यान दें कि कोह_d किसी भी d के लिए एक सेरे उपश्रेणी है, इसलिए भागफल श्रेणी मौजूद है। सामान्य रूप से भागफल श्रेणी में एक उप-वस्तु एक उपशीर्षक से नहीं आती है, लेकिन मरोड़-मुक्त ढेरों के लिए मूल परिभाषा और d = n के लिए सामान्य एक समान हैं।

सामान्यीकरण के लिए अन्य दिशाएँ भी हैं, उदाहरण के लिए थॉमस ब्रिजलैंड की ब्रिजलैंड स्थिरता स्थितियाँ।

कोई स्थिर वेक्टर बंडलों के अनुरूप स्थिर प्रिंसिपल बंडलों को परिभाषित कर सकता है।

यह भी देखें

• कोबायाशी-हिचिन पत्राचार
• सिम्पसन पत्राचार|कॉर्लेट-सिम्पसन पत्राचार
• उद्धरण योजना

संदर्भ

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• Donaldson, S. K. (1985), "Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 50 (1): 1–26, doi:10.1112/plms/s3-50.1.1, ISSN 0024-6115, MR 0765366
• Friedman, Robert (1998), Algebraic surfaces and holomorphic vector bundles, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98361-5, MR 1600388
• Harder, G.; Narasimhan, M. S. (1975), "On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves", Mathematische Annalen, 212 (3): 215–248, doi:10.1007/BF01357141, ISSN 0025-5831, MR 0364254
• Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (2010), The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0521134200
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• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], vol. 34 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906 especially appendix 5C.
• Narasimhan, M. S.; Seshadri, C. S. (1965), "Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 82, No. 3, 82 (3): 540–567, doi:10.2307/1970710, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970710, MR 0184252