विहित रूपान्तरण संबंध

क्वांटम यांत्रिकी में, कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंध विहित संयुग्म मात्राओं (मात्राएं जो परिभाषा से संबंधित होती हैं जैसे कि दूसरे का फूरियर रूपांतरण है) के बीच मौलिक संबंध है। उदाहरण के लिए,

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I}$$

स्थिति ऑपरेटर के बीच x और संवेग संचालिका p_x में x आयाम में बिंदु कण की दिशा, जहां [x , p_x] = x p_x − p_x x का कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत है x और p_x , i काल्पनिक इकाई है, और ℏ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है h/2π, और $\mathbb {I}$ इकाई संचालक है. सामान्य तौर पर, स्थिति और गति ऑपरेटरों के वैक्टर हैं और स्थिति और गति के विभिन्न घटकों के बीच उनके रूपान्तरण संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},$$

कहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

इस संबंध का श्रेय वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बोर्न और पास्कल जॉर्डन (1925) को दिया जाता है। जिन्होंने इसे सिद्धांत के अभिधारणा के रूप में कार्य करने वाली क्वांटम स्थिति कहा; इसे अर्ले हेस्से केनार्ड|ई द्वारा नोट किया गया था। केनार्ड (1927) वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत को लागू करने के लिए। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय विहित कम्यूटेशन संबंध को संतुष्ट करने वाले ऑपरेटरों के लिए विशिष्टता परिणाम देता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी से संबंध

इसके विपरीत, शास्त्रीय भौतिकी में, सभी अवलोकन योग्य वस्तुएँ आवागमन करती हैं और दिक्परिवर्तक शून्य होगा। हालाँकि, अनुरूप संबंध मौजूद है, जो कम्यूटेटर को पॉइसन ब्रैकेट से गुणा करके प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है iℏ,

$$\{x,p\}=1\,.$$

इस अवलोकन ने पॉल डिराक को क्वांटम समकक्षों का प्रस्ताव देने के लिए प्रेरित किया ${\hat {f}}$, ĝ शास्त्रीय अवलोकनों का f, g संतुष्ट करना

$$[{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.$$

1946 में, हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड ने प्रदर्शित किया कि क्वांटम कम्यूटेटर और पॉइसन ब्रैकेट के बीच सामान्य व्यवस्थित पत्राचार लगातार कायम नहीं रह सकता है। हालाँकि, उन्होंने आगे सराहना की कि इस तरह का व्यवस्थित पत्राचार, वास्तव में, क्वांटम कम्यूटेटर और पॉइसन ब्रैकेट के विरूपण सिद्धांत के बीच मौजूद है, जिसे आज मोयल ब्रैकेट कहा जाता है, और, सामान्य तौर पर, क्वांटम ऑपरेटरों और शास्त्रीय वेधशालाओं और चरण स्थान में वितरण के बीच मौजूद है। इस प्रकार उन्होंने अंततः सुसंगत पत्राचार तंत्र, विग्नर-वेइल ट्रांसफॉर्म को स्पष्ट किया, जो चरण-स्थान फॉर्मूलेशन के रूप में ज्ञात क्वांटम यांत्रिकी के वैकल्पिक समकक्ष गणितीय प्रतिनिधित्व को रेखांकित करता है।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी से व्युत्पत्ति

पत्राचार सिद्धांत के अनुसार, कुछ सीमाओं में राज्यों के क्वांटम समीकरणों को पॉइसन ब्रैकेट#हैमिल्टन की गति के समीकरण|हैमिल्टन की गति के समीकरणों के करीब आना चाहिए। उत्तरार्द्ध सामान्यीकृत समन्वय q (जैसे स्थिति) और सामान्यीकृत गति p के बीच निम्नलिखित संबंध बताता है:

$${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}$$

क्वांटम यांत्रिकी में हैमिल्टनियन ${\hat {H}}$, (सामान्यीकृत) समन्वय ${\hat {Q}}$ और (सामान्यीकृत) गति ${\hat {P}}$ सभी रैखिक ऑपरेटर हैं।

क्वांटम अवस्था का समय व्युत्पन्न है - $i{\hat {H}}/\hbar$ (श्रोडिंगर समीकरण द्वारा)। समान रूप से, चूंकि ऑपरेटर स्पष्ट रूप से समय-निर्भर नहीं हैं, इसलिए उन्हें हैमिल्टनियन के साथ उनके कम्यूटेशन संबंध के अनुसार समय में विकसित होते देखा जा सकता है (हाइजेनबर्ग चित्र देखें):

$${\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$$

$${\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.$$

हैमिल्टन की गति के समीकरणों के साथ शास्त्रीय सीमा में सामंजस्य स्थापित करने के लिए, $[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$ की उपस्थिति पर पूरी तरह से निर्भर होना चाहिए ${\hat {P}}$ हैमिल्टनियन में और $[{\hat {H}},{\hat {P}}]$ की उपस्थिति पर पूरी तरह से निर्भर होना चाहिए ${\hat {Q}}$ हैमिल्टनियन में. इसके अलावा, चूंकि हैमिल्टनियन ऑपरेटर (सामान्यीकृत) समन्वय और गति ऑपरेटरों पर निर्भर करता है, इसे कार्यात्मक के रूप में देखा जा सकता है, और हम लिख सकते हैं (कार्यात्मक व्युत्पन्न का उपयोग करके):

$$[{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]$$

$$[{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,\,.$$

शास्त्रीय सीमा प्राप्त करने के लिए हमारे पास यह होना चाहिए

$$[{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .$$

वेइल संबंध

झूठ समूह $H_{3}(\mathbb {R} )$ रूपान्तरण संबंध द्वारा निर्धारित 3-आयामी झूठ बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) द्वारा उत्पन्न $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ हाइजेनबर्ग समूह कहलाता है। इस समूह को समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है $3\times 3$ विकर्ण पर स्थित ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह। क्वांटम यांत्रिकी के मानक गणितीय सूत्रीकरण के अनुसार, क्वांटम वेधशालाएँ जैसे ${\hat {x}}$ और ${\hat {p}}$ कुछ हिल्बर्ट स्थान पर स्व-सहायक ऑपरेटरों के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए। यह देखना अपेक्षाकृत आसान है कि उपरोक्त विहित कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाले दो ऑपरेटर (गणित) दोनों परिबद्ध ऑपरेटर नहीं हो सकते हैं। निश्चित रूप से, यदि ${\hat {x}}$ और ${\hat {p}}$ ट्रेस क्लास ऑपरेटर थे, संबंध $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ दाईं ओर शून्येतर संख्या और बाईं ओर शून्य देता है।

वैकल्पिक रूप से, यदि ${\hat {x}}$ और ${\hat {p}}$ बाउंडेड ऑपरेटर थे, ध्यान दें $[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}$, इसलिए ऑपरेटर मानदंड संतुष्ट होंगे

$$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,$$

ताकि, किसी भी n के लिए,

$$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar$$

हालाँकि, n मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है, इसलिए कम से कम ऑपरेटर को सीमित नहीं किया जा सकता है, और अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान का आयाम सीमित नहीं हो सकता है। ात्मक संचालक वेइल संबंधों (नीचे वर्णित कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंधों का घातांकित संस्करण) को संतुष्ट करते हैं, तो स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय के परिणामस्वरूप, दोनों ऑपरेटरों को असीमित होना चाहिए।

फिर भी, इन विहित रूपान्तरण संबंधों को (परिबद्ध) ात्मक ऑपरेटरों के संदर्भ में लिखकर कुछ हद तक नियंत्रित किया जा सकता है $\exp(it{\hat {x}})$ और $\exp(is{\hat {p}})$. इन ऑपरेटरों के लिए परिणामी ब्रेडिंग संबंध तथाकथित स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय हैं

$$\exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).$$

इन संबंधों को विहित रूपान्तरण संबंधों के घातांकित संस्करण के रूप में सोचा जा सकता है; वे दर्शाते हैं कि स्थिति में अनुवाद और गति में अनुवाद परिवर्तन नहीं करते हैं। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय#द हाइजेनबर्ग समूह के संदर्भ में वेइल संबंधों को आसानी से दोबारा तैयार किया जा सकता है।

वेइल संबंधों के रूप में विहित रूपान्तरण संबंधों की विशिष्टता की गारंटी स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय द्वारा दी जाती है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि तकनीकी कारणों से, वेइल संबंध सख्ती से कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंध के बराबर नहीं हैं $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$. अगर ${\hat {x}}$ और ${\hat {p}}$ बंधे हुए ऑपरेटर थे, तो बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला का विशेष मामला किसी को वेइल संबंधों के विहित कम्यूटेशन संबंधों को घातांकित करने की अनुमति देगा। चूंकि, जैसा कि हमने नोट किया है, विहित कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाले किसी भी ऑपरेटर को असीमित होना चाहिए, बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला अतिरिक्त डोमेन मान्यताओं के बिना लागू नहीं होता है। वास्तव में, प्रति उदाहरण विहित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करने वाले मौजूद हैं लेकिन वेइल संबंधों को नहीं। (ये वही संचालक अनिश्चितता सिद्धांत देते हैं#अनिश्चितता सिद्धांत के अनुभवहीन रूप का प्रति उदाहरण।) ये तकनीकी मुद्दे ही कारण हैं कि स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय को वेइल संबंधों के संदर्भ में तैयार किया गया है।

वेइल संबंधों का अलग संस्करण, जिसमें पैरामीटर एस और टी की सीमा होती है $\mathbb {Z} /n$, पाउली मैट्रिसेस के सामान्यीकरण के माध्यम से परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर महसूस किया जा सकता है#निर्माण: घड़ी और शिफ्ट मैट्रिसेस।

सामान्यीकरण

सरल सूत्र

$$[x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,$$

सरलतम शास्त्रीय प्रणाली के विहित परिमाणीकरण के लिए मान्य, मनमाना लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है ${\mathcal {L}}$. हम विहित निर्देशांक की पहचान करते हैं (जैसे x उपरोक्त उदाहरण में, या किसी फ़ील्ड में Φ(x)क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के मामले में) और विहित संवेग π_x (उपरोक्त उदाहरण में यह है p, या अधिक सामान्यतः, समय के संबंध में विहित निर्देशांक के व्युत्पन्न से जुड़े कुछ कार्य):

$$\pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.$$

विहित गति की यह परिभाषा सुनिश्चित करती है कि यूलर-लैग्रेंज समीकरणों में से का रूप है

$${\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.$$

तब विहित रूपान्तरण संबंधों की मात्रा होती है

$$[x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,,$$

कहाँ δ_ij क्रोनकर डेल्टा है।

इसके अलावा, यह आसानी से दिखाया जा सकता है

$$[F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.$$

का उपयोग करते हुए $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$, इसे गणितीय प्रेरण द्वारा आसानी से दिखाया जा सकता है

$$\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},$$

आम तौर पर मैक कॉय के फार्मूले के रूप में जाना जाता है।

गेज अपरिवर्तन

कैनोनिकल परिमाणीकरण, परिभाषा के अनुसार, कैनोनिकल निर्देशांक पर लागू किया जाता है। हालाँकि, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उपस्थिति में, विहित गति p गेज अपरिवर्तनीय नहीं है. सही गेज-अपरिवर्तनीय गति (या गतिज गति) है

$p_{\text{kin}}=p-qA\,\!$ (एस.आई. युवा)      $p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!$ (गाऊसी इकाइयाँ),

कहाँ q कण का विद्युत आवेश है, A चुंबकीय वेक्टर क्षमता है, और c प्रकाश की गति है. यद्यपि मात्रा p_kin भौतिक गति है, इसमें प्रयोगशाला प्रयोगों में गति के साथ पहचानी जाने वाली मात्रा है, यह विहित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट नहीं करती है; केवल विहित गति ही ऐसा करती है। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।

द्रव्यमान के परिमाणित आवेशित कण के लिए गैर-सापेक्षवादी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)। m शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में (सीजीएस इकाइयों में) है

$$H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi$$

कहाँ A तीन-वेक्टर क्षमता है और φ अदिश क्षमता है. हैमिल्टनियन का यह रूप, साथ ही श्रोडिंगर समीकरण भी Hψ = iħ∂ψ/∂t, मैक्सवेल समीकरण और लोरेंत्ज़ बल कानून गेज परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं

$$A\to A'=A+\nabla \Lambda$$

$$\phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}$$

$$\psi \to \psi '=U\psi$$

$$H\to H'=UHU^{\dagger },$$

कहाँ

$$U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)$$

और Λ = Λ(x,t) गेज फ़ंक्शन है.

कोणीय संवेग संचालिका है

$$L=r\times p\,\!$$

और विहित परिमाणीकरण संबंधों का पालन करता है

$$[L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}$$

so(3) के लिए झूठ बीजगणित को परिभाषित करना, जहां $\epsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक है। गेज परिवर्तन के तहत, कोणीय गति इस प्रकार बदल जाती है

$$\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.$$

गेज-अपरिवर्तनीय कोणीय गति (या गतिज कोणीय गति) द्वारा दिया जाता है

$$K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),$$

जिसमें रूपान्तरण संबंध हैं

$$[K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)$$

कहाँ

$$B=\nabla \times A$$

चुंबकीय क्षेत्र है. इन दो योगों की असमानता ज़ीमन प्रभाव और अहरोनोव-बोहम प्रभाव में दिखाई देती है।

अनिश्चितता संबंध और कम्यूटेटर

ऑपरेटरों के जोड़े के लिए ऐसे सभी गैर-तुच्छ कम्यूटेशन संबंध संबंधित अनिश्चितता सिद्धांत की ओर ले जाते हैं, उनके संबंधित कम्यूटेटर और एंटीकम्यूटेटर द्वारा सकारात्मक अर्ध-निश्चित अपेक्षा योगदान शामिल है। सामान्य तौर पर, दो स्व-सहायक ऑपरेटर के लिए A और B, राज्य में प्रणाली में अपेक्षा मूल्यों पर विचार करें ψ, संगत अपेक्षा मूल्यों के आसपास भिन्नताएं हैं (ΔA)² ≡ ⟨(A − ⟨A⟩)²⟩, वगैरह।

तब

$$\Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},$$

कहाँ [A, B] ≡ A B − B A का कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत है A और B, और {A, B} ≡ A B + B A एंटीकम्यूटेटर है।

यह कॉची-श्वार्ज़ असमानता के उपयोग के बाद से होता है |⟨A²⟩| |⟨B²⟩| ≥ |⟨A B⟩|², और A B = ([A, B] + {A, B})/2 ; और इसी तरह स्थानांतरित ऑपरेटरों के लिए भी A − ⟨A⟩ और B − ⟨B⟩. (सीएफ. अनिश्चितता सिद्धांत व्युत्पत्तियाँ।)

के लिए स्थानापन्न A और B (और विश्लेषण का ध्यान रखते हुए) हेइज़ेनबर्ग के परिचित अनिश्चितता संबंध को प्राप्त करें x और p, हमेशा की तरह।

कोणीय संवेग परिचालकों के लिए अनिश्चितता संबंध

कोणीय संवेग परिचालकों के लिए L_x = y p_z − z p_y, आदि, किसी के पास वह है

$$[{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},$$

कहाँ $\epsilon _{xyz}$ लेवी-सिविटा प्रतीक है और सूचकांकों के जोड़ीवार आदान-प्रदान के तहत उत्तर के संकेत को उलट देता है। स्पिन (भौतिकी) ऑपरेटरों के लिए समान संबंध है।

लिए यहाँ L_x और L_y ,कोणीय गति गुणकों में ψ = |ℓ,m⟩, किसी के पास कासिमिर अपरिवर्तनीय के अनुप्रस्थ घटकों के लिए है L_x² + L_y²+ L_z², द z-सममितीय संबंध

⟨L_x²⟩ = ⟨L_y²⟩ = (ℓ (ℓ + 1) − m²) ℏ²/2 ,

साथ ही ⟨L_x⟩ = ⟨L_y⟩ = 0 .

नतीजतन, इस रूपान्तरण संबंध पर लागू उपरोक्त असमानता निर्दिष्ट करती है

$$\Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,$$

इस तरह

$${\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}m$$

और इसलिए

$$\ell (\ell +1)-m^{2}\geq m~,$$

तो, फिर, यह कासिमिर इनवेरिएंट पर निचली सीमा जैसी उपयोगी बाधाएँ उत्पन्न करता है: ℓ (ℓ + 1) ≥ m (m + 1), और इसलिए ℓ ≥ m, दूसरों के बीच में।

यह भी देखें

• विहित परिमाणीकरण
• सीसीआर और सीएआर बीजगणित
• संरूपस्थिक स्पेसटाइम
• झूठ व्युत्पन्न
• मोयल ब्रैकेट
• स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations, An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer.