आव्यूह मानदंड

For the general concept, see Norm (mathematics).

गणित में, आव्यूह मानदंड सदिश स्थान में वेक्टर मानदंड है जिसके तत्व (वेक्टर) आव्यूह (दिए गए आयामों के) हैं।

प्रारंभिक

क्षेत्र $K$ या तो वास्तविक संख्या या समिष्ट संख्या, चलो $K^{m\times n}$ हो K-मैट्रिसेस का वेक्टर स्पेस $m$ पंक्तियाँ और $n$ फ़ील्ड में कॉलम और प्रविष्टियाँ $K$. एक आव्यूह मानदंड एक सामान्य (गणित) पर है $K^{m\times n}$.

यह लेख हमेशा दोहरी ऊर्ध्वाधर पट्टी वाले ऐसे मानदंड लिखेगा (जैसे: $\|A\|$). इस प्रकार, आव्यूह मानदंड एक फ़ंक्शन (गणित) है $\|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R}$ उसे निम्नलिखित गुणों को पूरा करना होगा: सभी अदिश राशि वालों के लिए $\alpha \in K$ और आव्यूह $A,B\in K^{m\times n}$,

• $\|A\|\geq 0$ (सकारात्मक-मूल्यवान)
• $\|A\|=0\iff A=0_{m,n}$ (निश्चित)
• $\left\|\alpha A\right\|=\left|\alpha \right|\left\|A\right\|$ (बिल्कुल सजातीय)
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ (उप-योगात्मक या त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करना)

आव्यूह को पुनर्व्यवस्थित वैक्टर से अलग करने वाली एकमात्र विशेषता आव्यूह गुणन है। आव्यूह मानदंड विशेष रूप से उपयोगी होते हैं यदि वे 'उप-गुणक' भी हों:

• $\left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|$

हर मानक चालू K^n×n को उप-गुणक होने के लिए पुन: स्केल किया जा सकता है; कुछ पुस्तकों में, शब्दावली आव्यूह मानदंड उप-गुणक मानदंडों के लिए आरक्षित है।

वेक्टर मानदंडों से प्रेरित आव्यूह मानदंड

Main article: Operator norm

एक सदिश मानदंड मान लीजिए $\|\cdot \|_{\alpha }$ पर $K^{n}$ और एक वेक्टर मानदंड $\|\cdot \|_{\beta }$ पर $K^{m}$ दिया जाता है। कोई $m\times n$ आव्यूह A से एक रैखिक ऑपरेटर प्रेरित करता है $K^{n}$ को $K^{m}$ मानक आधार के संबंध में, और एक अंतरिक्ष पर संबंधित प्रेरित मानदंड या ऑपरेटर मानदंड या अधीनस्थ मानदंड को परिभाषित करता है $K^{m\times n}$ के सभी $m\times n$ आव्यूह इस प्रकार हैं:

$${\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}$$

कहाँ $\sup$ सबसे निचला और उच्चतम को दर्शाता है। यह मानदंड मापता है कि मैपिंग कितनी प्रेरित है $A$ वैक्टर को फैला सकते हैं। वेक्टर मानदंडों पर निर्भर करता है $\|\cdot \|_{\alpha }$, $\|\cdot \|_{\beta }$ उपयोग किया गया, इसके अलावा अन्य संकेतन $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$ ऑपरेटर मानदंड के लिए उपयोग किया जा सकता है।

वेक्टर पी-मानदंडों से प्रेरित आव्यूह मानदंड

यदि वेक्टर के लिए वेक्टर मानदंड#p-मानदंड|p-मानदंड ($1\leq p\leq \infty$) का उपयोग दोनों स्थानों के लिए किया जाता है $K^{n}$ और $K^{m}$, तो संबंधित ऑपरेटर मानदंड है:

$$\|A\|_{p}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}.$$

ये प्रेरित मानदंड #एंट्रीवाइज आव्यूह मानदंडों से भिन्न हैं| प्रविष्टि-वार पी-मानदंड और स्कैटन मानदंड|नीचे दिए गए आव्यूह के लिए स्कैटन पी-मानदंड, जिन्हें आमतौर पर इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है $\|A\|_{p}.$ के विशेष मामलों में $p=1,\infty$, प्रेरित आव्यूह मानदंडों की गणना या अनुमान लगाया जा सकता है

$$\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,$$

जो कि आव्यूह का अधिकतम निरपेक्ष स्तंभ योग है;

$$\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,$$

जो कि आव्यूह की अधिकतम पूर्ण पंक्ति राशि है।

उदाहरण के लिए, के लिए

$$A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},$$

हमारे पास वह है

$$\|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0;5+6+2;7+4+8)=\max(5,13,19)=19,$$

$$\|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7;2+6+4;0+2+8)=\max(15,12,10)=15.$$

के विशेष मामले में $p=2$ (यूक्लिडियन मानदंड या $\ell _{2}$-वेक्टर के लिए मानदंड), प्रेरित आव्यूह मानदंड वर्णक्रमीय मानदंड है। (दोनों मान अनंत आयामों में मेल नहीं खाते - आगे की चर्चा के लिए वर्णक्रमीय त्रिज्या देखें।) आव्यूह का वर्णक्रमीय मानदंड $A$ का सबसे बड़ा एकल मान है $A$ (अर्थात्, आव्यूह के सबसे बड़े eigenvalue का वर्गमूल $A^{*}A$, कहाँ $A^{*}$ के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है $A$):

$$\|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\left(A^{*}A\right)}}=\sigma _{\max }(A).$$

कहाँ $\sigma _{\max }(A)$ आव्यूह के सबसे बड़े एकल मान का प्रतिनिधित्व करता है $A$. भी,

$$\|A^{*}A\|_{2}=\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}$$

तब से $\|A^{*}A\|_{2}=\sigma _{\max }(A^{*}A)=\sigma _{\max }(A)^{2}=\|A\|_{2}^{2}$ और इसी तरह $\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}$ एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) द्वारा। एक और महत्वपूर्ण असमानता है:

$$\|A\|_{2}=\sigma _{\max }(A)\leq \|A\|_{\rm {F}}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{k=1}^{\min(m,n)}\sigma _{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}},$$

कहाँ $\|A\|_{\textrm {F}}$ #फ्रोबेनियस मानदंड है। समानता यदि और केवल यदि आव्यूह रखती है $A$ एक रैंक-वन आव्यूह या शून्य आव्यूह है। यह असमानता इस तथ्य से प्राप्त की जा सकती है कि एक आव्यूह का ट्रेस उसके स्वदेशी मानों के योग के बराबर है।

कब $p=2$ हमारे पास इसकी समतुल्य परिभाषा है $\|A\|_{2}$ जैसा $\sup\{x^{T}Ay:x,y\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{2}=\|y\|_{2}=1\}$. इसे कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग करके उपरोक्त परिभाषाओं के समकक्ष दिखाया जा सकता है।

===वेक्टर α- और β- मानदंड=== द्वारा प्रेरित आव्यूह मानदंड मान लीजिए वेक्टर मानदंड $\|\cdot \|_{\alpha }$ और $\|\cdot \|_{\beta }$ रिक्त स्थान के लिए उपयोग किया जाता है $K^{n}$ और $K^{m}$ क्रमशः, संबंधित ऑपरेटर मानदंड है:

$${\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}.\end{aligned}}$$

के विशेष मामलों में $\alpha =2$ और $\beta =\infty$, प्रेरित आव्यूह मानदंडों की गणना की जा सकती है

$$\|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},$$

कहाँ $A_{i:}$ आव्यूह की i-वीं पंक्ति है $A$.

के विशेष मामलों में $\alpha =1$ और $\beta =2$, प्रेरित आव्यूह मानदंडों की गणना की जा सकती है

$$\|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},$$

कहाँ $A_{:j}$ आव्यूह का j-वां कॉलम है $A$.

इस तरह, $\|A\|_{2,\infty }$ और $\|A\|_{1,2}$ क्रमशः आव्यूह की अधिकतम पंक्ति और स्तंभ 2-मानदंड हैं।

गुण

कोई भी ऑपरेटर मानदंड वेक्टर मानदंडों के साथ #सुसंगत और संगत मानदंड है जो इसे प्रेरित करता है, देता है

$$\|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.$$

कल्पना करना $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$; $\|\cdot \|_{\beta ,\gamma }$; और $\|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }$ वेक्टर मानदंडों के संबंधित जोड़े द्वारा प्रेरित ऑपरेटर मानदंड हैं $(\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })$; $(\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })$; और $(\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })$. तब,

$\|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };$

यह इस प्रकार है

$$\|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }$$

और

$$\sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.$$

वर्ग आव्यूह कल्पना करना $\|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }$ वर्ग आव्यूहों के स्थान पर एक संचालिका मानदंड है $K^{n\times n}$ वेक्टर मानदंडों से प्रेरित $\|\cdot \|_{\alpha }$ और $\|\cdot \|_{\alpha }$. फिर, ऑपरेटर मानदंड एक उप-गुणक आव्यूह मानदंड है:

$$\|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.$$

इसके अलावा, ऐसा कोई भी मानदंड असमानता को संतुष्ट करता है

$$(\|A^{r}\|_{\alpha ,\alpha })^{1/r}\geq \rho (A)$$

(1)

सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए r, कहाँ ρ(A) का वर्णक्रमीय त्रिज्या है A. सममित आव्यूह या हर्मिटियन आव्यूह के लिए A, हमारे पास समानता है (1) 2-मानदंड के लिए, क्योंकि इस मामले में 2-मानदंड बिल्कुल वर्णक्रमीय त्रिज्या है A. एक मनमाना आव्यूह के लिए, हमारे पास किसी भी मानदंड के लिए समानता नहीं हो सकती है; एक प्रति उदाहरण होगा

$$A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},$$

जिसकी वर्णक्रमीय त्रिज्या लुप्त हो रही है। किसी भी स्थिति में, किसी भी आव्यूह मानदंड के लिए, हमारे पास स्पेक्ट्रल त्रिज्या#गेलफैंड का सूत्र है:

$$\lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).$$

सुसंगत और सुसंगत मानदंड

एक आव्यूह मानदंड $\|\cdot \|$ पर $K^{m\times n}$ सदिश मानदंड के अनुरूप कहा जाता है $\|\cdot \|_{\alpha }$ पर $K^{n}$ और एक वेक्टर मानदंड $\|\cdot \|_{\beta }$ पर $K^{m}$, अगर:

$$\left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }$$

सभी के लिए $A\in K^{m\times n}$ और सभी $x\in K^{n}$. के विशेष मामले में m = n और $\alpha =\beta$, $\|\cdot \|$ के साथ संगत भी कहा जाता है $\|\cdot \|_{\alpha }$.

सभी प्रेरित मानदंड परिभाषा के अनुरूप हैं। इसके अलावा, किसी भी उप-गुणक आव्यूह मानदंड पर $K^{n\times n}$ एक संगत वेक्टर मानदंड प्रेरित करता है $K^{n}$ परिभाषित करके $\left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|$.

प्रवेश-वार आव्यूह मानदंड

ये मानदंड एक का इलाज करते हैं $m\times n$ आकार के वेक्टर के रूप में आव्यूह $m\cdot n$, और परिचित वेक्टर मानदंडों में से एक का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, वैक्टर के लिए पी-मानदंड का उपयोग करते हुए, p ≥ 1, हम पाते हैं:

$\|A\|_{p,p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}$

यह प्रेरित पी-मानदंड (ऊपर देखें) और स्कैटन पी-मानदंड (नीचे देखें) से एक अलग मानदंड है, लेकिन अंकन समान है।

विशेष मामला पी = 2 फ्रोबेनियस मानदंड है, और पी = ∞ अधिकतम मानदंड उत्पन्न करता है।

L_2,1 और L_p,qमानदंड

होने देना $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ आव्यूह के कॉलम बनें $A$. मूल परिभाषा से, आव्यूह $A$ एम-आयामी अंतरिक्ष में एन डेटा बिंदु प्रस्तुत करता है। $L_{2,1}$ एच> मानक आव्यूह के स्तंभों के यूक्लिडियन मानदंडों का योग है:

$\|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

$L_{2,1}$ h> एक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में मानदंड अधिक मजबूत है, क्योंकि प्रत्येक डेटा बिंदु (एक कॉलम) के लिए त्रुटि का वर्ग नहीं किया गया है। इसका उपयोग मजबूत डेटा विश्लेषण और विरल कोडिंग में किया जाता है।

के लिए p, q ≥ 1, द $L_{2,1}$ मानदंड को सामान्यीकृत किया जा सकता है $L_{p,q}$ मानदंड इस प्रकार है:

$\|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.$

फ्रोबेनियस मानदंड

Main article: Hilbert–Schmidt operator

See also: Frobenius inner product

कब p = q = 2 के लिए $L_{p,q}$ मानदंड, इसे फ्रोबेनियस मानदंड या हिल्बर्ट-श्मिट मानदंड कहा जाता है, हालांकि बाद वाला शब्द (संभवतः अनंत-आयामी) हिल्बर्ट स्थान पर ऑपरेटरों के संदर्भ में अधिक बार उपयोग किया जाता है। इस मानदंड को विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

$\|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},$

कहाँ $\sigma _{i}(A)$ के विलक्षण मूल्य हैं $A$. याद रखें कि ट्रेस (आव्यूह) एक वर्ग आव्यूह की विकर्ण प्रविष्टियों का योग लौटाता है।

फ्रोबेनियस मानदंड यूक्लिडियन मानदंड का विस्तार है $K^{n\times n}$ और सभी आव्यूहों के स्थान पर फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद से आता है।

फ्रोबेनियस मानदंड उप-गुणक है और संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के लिए बहुत उपयोगी है। कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग करके फ्रोबेनियस मानदंड की उप-गुणात्मकता को सिद्ध किया जा सकता है।

प्रेरित मानदंडों की तुलना में फ्रोबेनियस मानदंड की गणना करना अक्सर आसान होता है, और इसमें रोटेशन आव्यूह (और सामान्य रूप से एकात्मक ऑपरेटर संचालन) के तहत अपरिवर्तनीय होने की उपयोगी संपत्ति होती है। वह है, $\|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}$ किसी भी एकात्मक आव्यूह के लिए $U$. यह गुण ट्रेस की चक्रीय प्रकृति से अनुसरण करता है ($\operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (ZXY)$):

$\|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},$

और अनुरूप रूप से:

$\|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},$

जहां हमने एकात्मक प्रकृति का उपयोग किया है $U$ (वह है, $U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I}$).

इससे संतुष्टि भी मिलती है

$\|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}$

और

$\|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2Re\left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),$

कहाँ $\langle A,B\rangle _{\text{F}}$ फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद है, और रे एक समिष्ट संख्या का वास्तविक हिस्सा है (वास्तविक आव्यूह के लिए अप्रासंगिक)

अधिकतम मानदंड

अधिकतम मानदंड, सीमा में तत्ववार मानदंड है p = q अनंत तक जाता है:

$\|A\|_{\max }=\max _{ij}|a_{ij}|.$

यह मानदंड आव्यूह मानदंड#परिभाषा|उप-गुणक नहीं है।

ध्यान दें कि कुछ साहित्य में (जैसे संचार समिष्टता), अधिकतम-मानदंड की एक वैकल्पिक परिभाषा, जिसे द भी कहा जाता है $\gamma _{2}$-मानदंड, गुणनखंडन मानदंड को संदर्भित करता है:

$\gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}$

छाया मानदंड

Further information: Schatten norm

आव्यूह के एकवचन मान अपघटन के वेक्टर पर पी-मानदंड लागू करते समय स्कैटन पी-मानदंड उत्पन्न होते हैं।यदि के एकवचन मान $m\times n$ आव्यूह $A$ σ द्वारा निरूपित किया जाता है_i, तो स्कैटन पी-मानदंड द्वारा परिभाषित किया गया है

$\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\right)^{\frac {1}{p}}.$

ये मानदंड फिर से प्रेरित और प्रवेश-वार पी-मानदंडों के साथ संकेतन साझा करते हैं, लेकिन वे भिन्न हैं।

सभी स्कैटन मानदंड उप-गुणक हैं। वे इकाई रूप से अपरिवर्तनीय भी हैं, जिसका अर्थ है $\|A\|=\|UAV\|$ सभी आव्यूह के लिए $A$ और सभी एकात्मक आव्यूह $U$ और $V$.

सबसे परिचित मामले p = 1, 2, ∞ हैं। मामला पी = 2 फ्रोबेनियस मानदंड उत्पन्न करता है, जो पहले पेश किया गया था। मामला पी = ∞ वर्णक्रमीय मानदंड उत्पन्न करता है, जो वेक्टर 2-मानदंड (ऊपर देखें) द्वारा प्रेरित ऑपरेटर मानदंड है। अंत में, पी = 1 'परमाणु मानदंड' उत्पन्न करता है (जिसे ट्रेस मानदंड, या एकवचन मूल्य अपघटन # क्यू फैन मानदंड 'एन'-मानदंड के रूप में भी जाना जाता है)), के रूप में परिभाषित:

$\|A\|_{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right)=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}(A),$ कहाँ ${\sqrt {A^{*}A}}$ एक सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह को दर्शाता है $B$ ऐसा है कि $BB=A^{*}A$. अधिक सटीक रूप से, तब से $A^{*}A$ एक सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह है, इसके आव्यूह का वर्गमूल अच्छी तरह से परिभाषित है। परमाणु मानदंड $\|A\|_{*}$ रैंक फ़ंक्शन का उत्तल लिफाफा है ${\text{rank}}(A)$, इसलिए इसका उपयोग अक्सर निम्न-रैंक आव्यूह की खोज के लिए गणितीय अनुकूलन में किया जाता है।

वॉन न्यूमैन की ट्रेस असमानता का संयोजन यूक्लिडियन स्थान के लिए होल्डर की असमानता के साथ होल्डर की असमानता का एक संस्करण उत्पन्न करता है स्कैटन मानदंडों के लिए के लिए $1/p+1/q=1$:

$|\operatorname {trace} (A'B)|\leq \|A\|_{p}\|B\|_{q},$ विशेष रूप से, इसका तात्पर्य स्कैटन मानक असमानता से है

$\|A\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{p}\|A\|_{q}.$

मोनोटोन मानदंड

एक आव्यूह मानदंड $\|\cdot \|$ इसे मोनोटोन कहा जाता है यदि यह लोवेनर आदेश के संबंध में मोनोटोनिक है। इस प्रकार, एक आव्यूह मानदंड बढ़ रहा है यदि

$A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.$

फ्रोबेनियस मानदंड और वर्णक्रमीय मानदंड मोनोटोन मानदंडों के उदाहरण हैं।

मानदंडों में कटौती

आव्यूह मानदंडों के लिए प्रेरणा का एक अन्य स्रोत आव्यूह को भारित ग्राफ, निर्देशित ग्राफ के आसन्न आव्यूह के रूप में मानने से उत्पन्न होता है। तथाकथित कट मानदंड मापता है कि संबंधित ग्राफ द्विदलीय ग्राफ के कितना करीब है:

$$\|A\|_{\Box }=\max _{S\subseteq [n],T\subseteq [m]}{\left|\sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}\right|}$$

कहाँ A ∈ K^m×n. समतुल्य परिभाषाएँ (एक स्थिर कारक तक) शर्तें लगाती हैं 2|S| > n & 2|T| > m; S = T; या S ∩ T = ∅.

कट-मानदंड प्रेरित ऑपरेटर मानदंड के बराबर है ‖·‖_∞→1, जो स्वयं एक अन्य मानदंड के समतुल्य है, जिसे ग्रोथेंडिक असमानता मानदंड कहा जाता है।

ग्रोथेंडिक मानदंड को परिभाषित करने के लिए, पहले ध्यान दें कि एक रैखिक ऑपरेटर K¹ → K¹ केवल एक अदिश राशि है, और इस प्रकार किसी भी पर एक रैखिक संचालिका तक विस्तारित होती है K^k → K^k. इसके अलावा, आधार का कोई भी विकल्प दिया गया है Kⁿ और K^m, कोई भी रैखिक ऑपरेटर Kⁿ → K^m एक रैखिक ऑपरेटर तक विस्तारित है (K^k)ⁿ → (K^k)^m, प्रत्येक आव्यूह तत्व को तत्वों पर रखकर K^k अदिश गुणन के माध्यम से। ग्रोथेंडिक मानदंड उस विस्तारित ऑपरेटर का मानक है; प्रतीकों में:

$$\|A\|_{G,k}=\sup _{{\text{each }}u_{j},v_{j}\in K^{k};\|u_{j}\|=\|v_{j}\|=1}{\sum _{j\in [n],l\in [m]}{(u_{j}\cdot v_{j})A_{l,j}}}$$

ग्रोथेंडिक मानदंड आधार की पसंद पर निर्भर करता है (आमतौर पर इसे मानक आधार माना जाता है) और k.

मानदंडों की समतुल्यता

See also: Equivalent norms

किन्हीं दो आव्यूह मानदंडों के लिए $\|\cdot \|_{\alpha }$ और $\|\cdot \|_{\beta }$, हमारे पास वह है:

$r\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq s\|A\|_{\alpha }$

कुछ धनात्मक संख्याओं r और s के लिए, सभी आव्यूहों के लिए $A\in K^{m\times n}$. दूसरे शब्दों में, सभी मानदंड चालू हैं $K^{m\times n}$ समतुल्य हैं; वे उसी टोपोलॉजी (संरचना) को प्रेरित करते हैं $K^{m\times n}$. यह सत्य है क्योंकि सदिश समष्टि $K^{m\times n}$ इसका एक सीमित आयाम है (गणित) $m\times n$.

इसके अलावा, प्रत्येक वेक्टर मानदंड के लिए $\|\cdot \|$ पर $\mathbb {R} ^{n\times n}$, एक अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है $k$ ऐसा है कि $\ell \|\cdot \|$ प्रत्येक के लिए एक उप-गुणक आव्यूह मानदंड है $\ell \geq k$.

एक उप-गुणक आव्यूह मानदंड $\|\cdot \|_{\alpha }$ न्यूनतम कहा जाता है, यदि कोई अन्य उप-गुणक आव्यूह मानदंड मौजूद नहीं है $\|\cdot \|_{\beta }$ संतुष्टि देने वाला $\|\cdot \|_{\beta }<\|\cdot \|_{\alpha }$.

मानदंड तुल्यता के उदाहरण

होने देना $\|A\|_{p}$ एक बार फिर वेक्टर पी-नॉर्म द्वारा प्रेरित मानदंड को देखें (जैसा कि ऊपर प्रेरित नॉर्म अनुभाग में है)।

आव्यूह के लिए $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ रैंक का (रैखिक बीजगणित) $r$, निम्नलिखित असमानताएँ कायम हैं:

• $\|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}$
• $\|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}$
• $\|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }$
• ${\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }$
• ${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.$

यह भी देखें

• दोहरा मानदंड
• लघुगणकीय मानदंड

ग्रन्थसूची

• James W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, section 1.7, published by SIAM, 1997.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, published by SIAM, 2000. [1]
• John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
• Kendall Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, published by John Wiley & Sons, Inc 1989