आव्यूह मानदंड

गणित में, आव्यूह मानदंड सदिश समिष्ट में सदिश मानदंड है जिसके तत्व (सदिश) आव्यूह (दिए गए आयामों के) हैं।

प्रारंभिक

क्षेत्र $K$ या तो वास्तविक संख्या या समिष्ट संख्या है, $K^{m\times n}$ आव्यूहों का K- सदिश समष्टि है, जिसमें $m$ पंक्तियाँ एवं $n$ फ़ील्ड में कॉलम एवं $K$ प्रविष्टियाँ हैं। आव्यूह मानदंड आदर्श $K^{m\times n}$ है।

यह लेख सदैव दो प्रत्येकी ऊर्ध्वाधर पट्टी (जैसे: $\|A\|$) वाले ऐसे मानदंड लिखेगा, इस प्रकार, आव्यूह मानदंड फलन $\|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R}$ है जो निम्नलिखित गुणों को पूर्ण करता है:सभी अदिश $\alpha \in K$ एवं आव्यूह $A,B\in K^{m\times n}$के लिए,

• $\|A\|\geq 0$ (धनात्मक-मूल्यवान)
• $\|A\|=0\iff A=0_{m,n}$ (निश्चित)
• $\left\|\alpha A\right\|=\left|\alpha \right|\left\|A\right\|$ (बिल्कुल सजातीय)
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ (उप-योगात्मक या त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करना)

आव्यूह को पुनर्व्यवस्थित सदिश से भिन्न करने वाली एकमात्र विशेषता आव्यूह गुणन है। आव्यूह मानदंड विशेष रूप से उपयोगी होते हैं यदि वे 'उप-गुणक' भी हों:

• $\left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|$

K^n×n पर प्रत्येक मानक को उप-गुणक होने के लिए पुन: स्केल किया जा सकता है; कुछ पुस्तकों में, शब्दावली आव्यूह मानदंड उप-गुणक मानदंडों के लिए आरक्षित है।

सदिश मानदंडों से प्रेरित आव्यूह मानदंड

Main article: ऑपरेटर मानदंड

मान लीजिए सदिश मानदंड $\|\cdot \|_{\alpha }$ पर $K^{n}$ एवं सदिश मानदंड $\|\cdot \|_{\beta }$ पर $K^{m}$ दिया जाता है। कोई $m\times n$ आव्यूह A से रैखिक ऑपरेटर $K^{n}$ को $K^{m}$ मानक आधार के संबंध में प्रेरित करता है, एवं अंतरिक्ष पर संबंधित प्रेरित मानदंड या ऑपरेटर मानदंड या अधीनस्थ मानदंड को परिभाषित करता है। $K^{m\times n}$ के सभी $m\times n$ आव्यूह इस प्रकार हैं:

$${\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}$$

जहाँ $\sup$ उच्चतम को प्रदर्शित करता है। यह मानदंड मापता है कि मैपिंग $A$ द्वारा कितनी प्रेरित है, जो सदिश को विस्तृत कर सकते हैं। सदिश मानदंडों $\|\cdot \|_{\alpha }$, $\|\cdot \|_{\beta }$ पर निर्भर करता है, इसके अतिरिक्त अन्य संकेतन $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$ ऑपरेटर मानदंड के लिए उपयोग किया जा सकता है।

सदिश p-मानदंडों से प्रेरित आव्यूह मानदंड

यदि सदिश के लिए p-मानदंड ($1\leq p\leq \infty$) का उपयोग दोनों समिष्टों $K^{n}$ एवं $K^{m}$ के लिए किया जाता है, तो संबंधित ऑपरेटर मानदंड है:

$$\|A\|_{p}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}.$$

ये प्रेरित मानदंड एंट्रीवाइज आव्यूह मानदंडों नीचे दिए गए आव्यूह के लिए स्कैटन पी-मानदंड से भिन्न हैं जिन्हें सामान्यतः ${\Vert <!--\; \Vert \; -->A\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p$