आव्यूह मानदंड

For the general concept, see Norm (mathematics).

गणित में, आव्यूह मानदंड सदिश स्थान में सदिश मानदंड है जिसके तत्व (सदिश) आव्यूह (दिए गए आयामों के) हैं।

प्रारंभिक

क्षेत्र $K$ या तो वास्तविक संख्या या समिष्ट संख्या, $K^{m\times n}$ हो K-मैट्रिसेस का सदिश स्पेस $m$ पंक्तियाँ एवं $n$ फ़ील्ड में कॉलम एवं प्रविष्टियाँ $K$. आव्यूह मानदंड सामान्य (गणित)$K^{m\times n}$ पर है।

यह लेख हमेशा दो प्रत्येकी ऊर्ध्वाधर पट्टी वाले ऐसे मानदंड लिखेगा (जैसे: $\|A\|$). इस प्रकार, आव्यूह मानदंड फलन है $\|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R}$ उसे निम्नलिखित गुणों को पूर्ण करना होगा: सभी अदिश राशि वालों के लिए $\alpha \in K$ एवं आव्यूह $A,B\in K^{m\times n}$,

• $\|A\|\geq 0$ (धनात्मक-मूल्यवान)
• $\|A\|=0\iff A=0_{m,n}$ (निश्चित)
• $\left\|\alpha A\right\|=\left|\alpha \right|\left\|A\right\|$ (बिल्कुल सजातीय)
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ (उप-योगात्मक या त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करना)

आव्यूह को पुनर्व्यवस्थित वैक्टर से भिन्न करने वाली एकमात्र विशेषता आव्यूह गुणन है। आव्यूह मानदंड विशेष रूप से उपयोगी होते हैं यदि वे 'उप-गुणक' भी हों:

• $\left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|$

प्रत्येक मानक चालू K^n×n को उप-गुणक होने के लिए पुन: स्केल किया जा सकता है; कुछ पुस्तकों में, शब्दावली आव्यूह मानदंड उप-गुणक मानदंडों के लिए आरक्षित है।

सदिश मानदंडों से प्रेरित आव्यूह मानदंड

Main article: ऑपरेटर मानदंड

सदिश मानदंड मान लीजिए $\|\cdot \|_{\alpha }$ पर $K^{n}$ एवं सदिश मानदंड $\|\cdot \|_{\beta }$ पर $K^{m}$ दिया जाता है। कोई $m\times n$ आव्यूह A से रैखिक ऑपरेटर प्रेरित करता है $K^{n}$ को $K^{m}$ मानक आधार के संबंध में, एवं अंतरिक्ष पर संबंधित प्रेरित मानदंड या ऑपरेटर मानदंड या अधीनस्थ मानदंड को परिभाषित करता है $K^{m\times n}$ के सभी $m\times n$ आव्यूह इस प्रकार हैं:

$${\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}$$

जहाँ $\sup$ सबसे निचला एवं उच्चतम को प्रदर्शित करता है। यह मानदंड मापता है कि मैपिंग कितनी प्रेरित है $A$ वैक्टर को विस्तृत कर सकते हैं। सदिश मानदंडों पर निर्भर करता है $\|\cdot \|_{\alpha }$, $\|\cdot \|_{\beta }$ उपयोग किया गया, इसके अतिरिक्त अन्य संकेतन $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$ ऑपरेटर मानदंड के लिए उपयोग किया जा सकता है।

सदिश पी-मानदंडों से प्रेरित आव्यूह मानदंड

यदि सदिश के लिए सदिश मानदंड#p-मानदंड|p-मानदंड ($1\leq p\leq \infty$) का उपयोग दोनों स्थानों के लिए किया जाता है $K^{n}$ एवं $K^{m}$, तो संबंधित ऑपरेटर मानदंड है:

$$\|A\|_{p}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}.$$

ये प्रेरित मानदंड #एंट्रीवाइज आव्यूह मानदंडों से भिन्न हैं| प्रविष्टि-वार पी-मानदंड एवं स्कैटन मानदंड|नीचे दिए गए आव्यूह के लिए स्कैटन पी-मानदंड, जिन्हें आमतौर पर इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है $\|A\|_{p}.$ के विशेष मामलों में $p=1,\infty$, प्रेरित आव्यूह मानदंडों की गणना या अनुमान लगाया जा सकता है

$$\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,$$

जो कि आव्यूह का अधिकतम निरपेक्ष स्तंभ योग है;

$$\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,$$

जो कि आव्यूह की अधिकतम पूर्ण पंक्ति राशि है।

उदा प्रत्येकण के लिए, के लिए

$$A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},$$

हमारे पास वह है

$$\|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0;5+6+2;7+4+8)=\max(5,13,19)=19,$$

$$\|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7;2+6+4;0+2+8)=\max(15,12,10)=15.$$

के विशेष मामले में $p=2$ (यूक्लिडियन मानदंड या $\ell _{2}$-सदिश के लिए मानदंड), प्रेरित आव्यूह मानदंड वर्णक्रमीय मानदंड है। (दोनों मान अनंत आयामों में मेल नहीं खाते - आगे की चर्चा के लिए वर्णक्रमीय त्रिज्या देखें।) आव्यूह का वर्णक्रमीय मानदंड $A$ का सबसे बड़ा एकल मान है $A$ (अर्थात्, आव्यूह के सबसे बड़े eigenvalue का वर्गमूल $A^{*}A$, जहाँ $A^{*}$ के संयुग्म स्थानान्तरण को प्रदर्शित करता है $A$):

$$\|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\left(A^{*}A\right)}}=\sigma _{\max }(A).$$

जहाँ $\sigma _{\max }(A)$ आव्यूह के सबसे बड़े एकल मान का प्रतिनिधित्व करता है $A$. भी,

$$\|A^{*}A\|_{2}=\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}$$

तब से $\|A^{*}A\|_{2}=\sigma _{\max }(A^{*}A)=\sigma _{\max }(A)^{2}=\|A\|_{2}^{2}$ एवं इसी तरह $\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}$ एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) द्वारा। एवं महत्वपूर्ण असमानता है:

$$\|A\|_{2}=\sigma _{\max }(A)\leq \|A\|_{\rm {F}}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{k=1}^{\min(m,n)}\sigma _{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}},$$

जहाँ $\|A\|_{\textrm {F}}$ #फ्रोबेनियस मानदंड है। समानता यदि एवं केवल यदि आव्यूह रखती है $A$ रैंक-वन आव्यूह या शून्य आव्यूह है। यह असमानता इस तथ्य से प्राप्त की जा सकती है कि आव्यूह का ट्रेस उसके स्वदेशी मानों के योग के बराबर है।

कब $p=2$ हमारे पास इसकी समतुल्य परिभाषा है $\|A\|_{2}$ जैसा $\sup\{x^{T}Ay:x,y\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{2}=\|y\|_{2}=1\}$. इसे कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग करके उपरोक्त परिभाषाओं के समकक्ष दिखाया जा सकता है।

===सदिश α- एवं β- मानदंड=== द्वारा प्रेरित आव्यूह मानदंड मान लीजिए सदिश मानदंड $\|\cdot \|_{\alpha }$ एवं $\|\cdot \|_{\beta }$ रिक्त स्थान के लिए उपयोग किया जाता है $K^{n}$ एवं $K^{m}$ क्रमशः, संबंधित ऑपरेटर मानदंड है:

$${\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}.\end{aligned}}$$

के विशेष मामलों में $\alpha =2$ एवं $\beta =\infty$, प्रेरित आव्यूह मानदंडों की गणना की जा सकती है

$$\|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},$$

जहाँ $A_{i:}$ आव्यूह की i-वीं पंक्ति है $A$.

के विशेष मामलों में $\alpha =1$ एवं $\beta =2$, प्रेरित आव्यूह मानदंडों की गणना की जा सकती है

$$\|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},$$

जहाँ $A_{:j}$ आव्यूह का j-वां कॉलम है $A$.

इस तरह, $\|A\|_{2,\infty }$ एवं $\|A\|_{1,2}$ क्रमशः आव्यूह की अधिकतम पंक्ति एवं स्तंभ 2-मानदंड हैं।

गुण

कोई भी ऑपरेटर मानदंड सदिश मानदंडों के साथ #सुसंगत एवं संगत मानदंड है जो इसे प्रेरित करता है, देता है

$$\|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.$$

कल्पना करना $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$; $\|\cdot \|_{\beta ,\gamma }$; एवं $\|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }$ सदिश मानदंडों के संबंधित जोड़े द्वारा प्रेरित ऑपरेटर मानदंड हैं $(\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })$; $(\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })$; एवं $(\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })$. तब,

$\|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };$

यह इस प्रकार है

$$\|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }$$

एवं

$$\sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.$$

वर्ग आव्यूह कल्पना करना $\|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }$ वर्ग आव्यूहों के स्थान पर संचालिका मानदंड है $K^{n\times n}$ सदिश मानदंडों से प्रेरित $\|\cdot \|_{\alpha }$ एवं $\|\cdot \|_{\alpha }$. फिर, ऑपरेटर मानदंड उप-गुणक आव्यूह मानदंड है:

$$\|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.$$

इसके अतिरिक्त, ऐसा कोई भी मानदंड असमानता को संतुष्ट करता है

$$(\|A^{r}\|_{\alpha ,\alpha })^{1/r}\geq \rho (A)$$

(1)

सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए r, जहाँ ρ(A) का वर्णक्रमीय त्रिज्या है A. सममित आव्यूह या प्रत्येक्मिटियन आव्यूह के लिए A, हमारे पास समानता है (1) 2-मानदंड के लिए, क्योंकि इस मामले में 2-मानदंड बिल्कुल वर्णक्रमीय त्रिज्या है A. मनमाना आव्यूह के लिए, हमारे पास किसी भी मानदंड के लिए समानता नहीं हो सकती है; प्रति उदा प्रत्येकण होगा

$$A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},$$

जिसकी वर्णक्रमीय त्रिज्या लुप्त हो रही है। किसी भी स्थिति में, किसी भी आव्यूह मानदंड के लिए, हमारे पास स्पेक्ट्रल त्रिज्या#गेलफैंड का सूत्र है:

$$\lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).$$

सुसंगत एवं सुसंगत मानदंड

एक आव्यूह मानदंड $\|\cdot \|$ पर $K^{m\times n}$ सदिश मानदंड के अनुरूप कहा जाता है $\|\cdot \|_{\alpha }$ पर $K^{n}$ एवं सदिश मानदंड $\|\cdot \|_{\beta }$ पर $K^{m}$, अगर:

$$\left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }$$

सभी के लिए $A\in K^{m\times n}$ एवं सभी $x\in K^{n}$. के विशेष मामले में m = n एवं $\alpha =\beta$, $\|\cdot \|$ के साथ संगत भी कहा जाता है $\|\cdot \|_{\alpha }$.

सभी प्रेरित मानदंड परिभाषा के अनुरूप हैं। इसके अतिरिक्त, किसी भी उप-गुणक आव्यूह मानदंड पर $K^{n\times n}$ संगत सदिश मानदंड प्रेरित करता है $K^{n}$ परिभाषित करके $\left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|$.

प्रवेश-वार आव्यूह मानदंड

ये मानदंड का इलाज करते हैं $m\times n$ आकार के सदिश के रूप में आव्यूह $m\cdot n$, एवं परिचित सदिश मानदंडों में से का उपयोग करें। उदा प्रत्येकण के लिए, वैक्टर के लिए पी-मानदंड का उपयोग करते हुए, p ≥ 1, हम पाते हैं:

$\|A\|_{p,p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}$

यह प्रेरित पी-मानदंड (ऊपर देखें) एवं स्कैटन पी-मानदंड (नीचे देखें) से भिन्न मानदंड है, लेकिन अंकन समान है।

विशेष मामला पी = 2 फ्रोबेनियस मानदंड है, एवं पी = ∞ अधिकतम मानदंड उत्पन्न करता है।

L_2,1 एवं L_p,qमानदंड

होने देना $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ आव्यूह के कॉलम बनें $A$. मूल परिभाषा से, आव्यूह $A$ एम-आयामी अंतरिक्ष में एन डेटा बिंदु प्रस्तुत करता है। $L_{2,1}$ एच> मानक आव्यूह के स्तंभों के यूक्लिडियन मानदंडों का योग है:

$\|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

$L_{2,1}$ h> त्रुटि फलन के रूप में मानदंड अधिक मजबूत है, क्योंकि प्रत्येक डेटा बिंदु (एक कॉलम) के लिए त्रुटि का वर्ग नहीं किया गया है। इसका उपयोग मजबूत डेटा विश्लेषण एवं विरल कोडिंग में किया जाता है।

के लिए p, q ≥ 1, द $L_{2,1}$ मानदंड को सामान्यीकृत किया जा सकता है $L_{p,q}$ मानदंड इस प्रकार है:

$\|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.$

फ्रोबेनियस मानदंड

Main article: Hilbert–Schmidt operator

See also: Frobenius inner product

कब p = q = 2 के लिए $L_{p,q}$ मानदंड, इसे फ्रोबेनियस मानदंड या हिल्बर्ट-श्मिट मानदंड कहा जाता है, हालांकि बाद वाला शब्द (संभवतः अनंत-आयामी) हिल्बर्ट स्थान पर ऑपरेटरों के संदर्भ में अधिक बार उपयोग किया जाता है। इस मानदंड को विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

$\|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},$

जहाँ $\sigma _{i}(A)$ के विलक्षण मूल्य हैं $A$. याद रखें कि ट्रेस (आव्यूह) वर्ग आव्यूह की विकर्ण प्रविष्टियों का योग लौटाता है।

फ्रोबेनियस मानदंड यूक्लिडियन मानदंड का विस्तार है $K^{n\times n}$ एवं सभी आव्यूहों के स्थान पर फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद से आता है।

फ्रोबेनियस मानदंड उप-गुणक है एवं संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के लिए बहुत उपयोगी है। कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग करके फ्रोबेनियस मानदंड की उप-गुणात्मकता को सिद्ध किया जा सकता है।

प्रेरित मानदंडों की तुलना में फ्रोबेनियस मानदंड की गणना करना अक्सर आसान होता है, एवं इसमें रोटेशन आव्यूह (एवं सामान्य रूप से एकात्मक ऑपरेटर संचालन) के तहत अपरिवर्तनीय होने की उपयोगी संपत्ति होती है। वह है, $\|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}$ किसी भी एकात्मक आव्यूह के लिए $U$. यह गुण ट्रेस की चक्रीय प्रकृति से अनुसरण करता है ($\operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (ZXY)$):

$\|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},$

एवं अनुरूप रूप से:

$\|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},$

जहां हमने एकात्मक प्रकृति का उपयोग किया है $U$ (वह है, $U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I}$).

इससे संतुष्टि भी मिलती है

$\|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}$

एवं

$\|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2Re\left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),$

जहाँ $\langle A,B\rangle _{\text{F}}$ फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद है, एवं रे समिष्ट संख्या का वास्तविक हिस्सा है (वास्तविक आव्यूह के लिए अप्रासंगिक)

अधिकतम मानदंड

अधिकतम मानदंड, सीमा में तत्ववार मानदंड है p = q अनंत तक जाता है:

$\|A\|_{\max }=\max _{ij}|a_{ij}|.$

यह मानदंड आव्यूह मानदंड#परिभाषा|उप-गुणक नहीं है।

ध्यान दें कि कुछ साहित्य में (जैसे संचार समिष्टता), अधिकतम-मानदंड की वैकल्पिक परिभाषा, जिसे द भी कहा जाता है $\gamma _{2}$-मानदंड, गुणनखंडन मानदंड को संदर्भित करता है:

$\gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}$

छाया मानदंड

Further information: Schatten norm

आव्यूह के एकवचन मान अपघटन के सदिश पर पी-मानदंड लागू करते समय स्कैटन पी-मानदंड उत्पन्न होते हैं।यदि के एकवचन मान $m\times n$ आव्यूह $A$ σ द्वारा निरूपित किया जाता है_i, तो स्कैटन पी-मानदंड द्वारा परिभाषित किया गया है

$\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\right)^{\frac {1}{p}}.$

ये मानदंड फिर से प्रेरित एवं प्रवेश-वार पी-मानदंडों के साथ संकेतन साझा करते हैं, लेकिन वे भिन्न हैं।

सभी स्कैटन मानदंड उप-गुणक हैं। वे इकाई रूप से अपरिवर्तनीय भी हैं, जिसका अर्थ है $\|A\|=\|UAV\|$ सभी आव्यूह के लिए $A$ एवं सभी एकात्मक आव्यूह $U$ एवं $V$.

सबसे परिचित मामले p = 1, 2, ∞ हैं। मामला पी = 2 फ्रोबेनियस मानदंड उत्पन्न करता है, जो पहले पेश किया गया था। मामला पी = ∞ वर्णक्रमीय मानदंड उत्पन्न करता है, जो सदिश 2-मानदंड (ऊपर देखें) द्वारा प्रेरित ऑपरेटर मानदंड है। अंत में, पी = 1 'परमाणु मानदंड' उत्पन्न करता है (जिसे ट्रेस मानदंड, या एकवचन मूल्य अपघटन # क्यू फैन मानदंड 'एन'-मानदंड के रूप में भी जाना जाता है)), के रूप में परिभाषित:

$\|A\|_{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right)=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}(A),$ जहाँ ${\sqrt {A^{*}A}}$ धनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह को प्रदर्शित करता है $B$ ऐसा है कि $BB=A^{*}A$. अधिक सटीक रूप से, तब से $A^{*}A$ धनात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह है, इसके आव्यूह का वर्गमूल अच्छी तरह से परिभाषित है। परमाणु मानदंड $\|A\|_{*}$ रैंक फलन का उत्तल लिफाफा है ${\text{rank}}(A)$, इसलिए इसका उपयोग अक्सर निम्न-रैंक आव्यूह की खोज के लिए गणितीय अनुकूलन में किया जाता है।

वॉन न्यूमैन की ट्रेस असमानता का संयोजन यूक्लिडियन स्थान के लिए होल्डर की असमानता के साथ होल्डर की असमानता का संस्करण उत्पन्न करता है स्कैटन मानदंडों के लिए के लिए $1/p+1/q=1$:

$|\operatorname {trace} (A'B)|\leq \|A\|_{p}\|B\|_{q},$ विशेष रूप से, इसका तात्पर्य स्कैटन मानक असमानता से है

$\|A\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{p}\|A\|_{q}.$

मोनोटोन मानदंड

एक आव्यूह मानदंड $\|\cdot \|$ इसे मोनोटोन कहा जाता है यदि यह लोवेनर आदेश के संबंध में मोनोटोनिक है। इस प्रकार, आव्यूह मानदंड बढ़ रहा है यदि

$A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.$

फ्रोबेनियस मानदंड एवं वर्णक्रमीय मानदंड मोनोटोन मानदंडों के उदा प्रत्येकण हैं।

मानदंडों में कटौती

आव्यूह मानदंडों के लिए प्रेरणा का अन्य स्रोत आव्यूह को भारित ग्राफ, निर्देशित ग्राफ के आसन्न आव्यूह के रूप में मानने से उत्पन्न होता है। तथाकथित कट मानदंड मापता है कि संबंधित ग्राफ द्विदलीय ग्राफ के कितना करीब है:

$$\|A\|_{\Box }=\max _{S\subseteq [n],T\subseteq [m]}{\left|\sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}\right|}$$

जहाँ A ∈ K^m×n. समतुल्य परिभाषाएँ (एक स्थिर कारक तक) शर्तें लगाती हैं 2|S| > n & 2|T| > m; S = T; या S ∩ T = ∅.

कट-मानदंड प्रेरित ऑपरेटर मानदंड के बराबर है ‖·‖_∞→1, जो स्वयं अन्य मानदंड के समतुल्य है, जिसे ग्रोथेंडिक असमानता मानदंड कहा जाता है।

ग्रोथेंडिक मानदंड को परिभाषित करने के लिए, पहले ध्यान दें कि रैखिक ऑपरेटर K¹ → K¹ केवल अदिश राशि है, एवं इस प्रकार किसी भी पर रैखिक संचालिका तक विस्तारित होती है K^k → K^k. इसके अतिरिक्त, आधार का कोई भी विकल्प दिया गया है Kⁿ एवं K^m, कोई भी रैखिक ऑपरेटर Kⁿ → K^m रैखिक ऑपरेटर तक विस्तारित है (K^k)ⁿ → (K^k)^m, प्रत्येक आव्यूह तत्व को तत्वों पर रखकर K^k अदिश गुणन के माध्यम से। ग्रोथेंडिक मानदंड उस विस्तारित ऑपरेटर का मानक है; प्रतीकों में:

$$\|A\|_{G,k}=\sup _{{\text{each }}u_{j},v_{j}\in K^{k};\|u_{j}\|=\|v_{j}\|=1}{\sum _{j\in [n],l\in [m]}{(u_{j}\cdot v_{j})A_{l,j}}}$$

ग्रोथेंडिक मानदंड आधार की पसंद पर निर्भर करता है (आमतौर पर इसे मानक आधार माना जाता है) एवं k.

मानदंडों की समतुल्यता

See also: Equivalent norms

किन्हीं दो आव्यूह मानदंडों के लिए $\|\cdot \|_{\alpha }$ एवं $\|\cdot \|_{\beta }$, हमारे पास वह है:

$r\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq s\|A\|_{\alpha }$

कुछ धनात्मक संख्याओं r एवं s के लिए, सभी आव्यूहों के लिए $A\in K^{m\times n}$. दूसरे शब्दों में, सभी मानदंड चालू हैं $K^{m\times n}$ समतुल्य हैं; वे उसी टोपोलॉजी (संरचना) को प्रेरित करते हैं $K^{m\times n}$. यह सत्य है क्योंकि सदिश समष्टि $K^{m\times n}$ इसका सीमित आयाम है (गणित) $m\times n$.

इसके अतिरिक्त, प्रत्येक सदिश मानदंड के लिए $\|\cdot \|$ पर $\mathbb {R} ^{n\times n}$, अद्वितीय धनात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है $k$ ऐसा है कि $\ell \|\cdot \|$ प्रत्येक के लिए उप-गुणक आव्यूह मानदंड है $\ell \geq k$.

एक उप-गुणक आव्यूह मानदंड $\|\cdot \|_{\alpha }$ न्यूनतम कहा जाता है, यदि कोई अन्य उप-गुणक आव्यूह मानदंड मौजूद नहीं है $\|\cdot \|_{\beta }$ संतुष्टि देने वाला $\|\cdot \|_{\beta }<\|\cdot \|_{\alpha }$.

मानदंड तुल्यता के उदा प्रत्येकण

होने देना $\|A\|_{p}$ बार फिर सदिश पी-नॉर्म द्वारा प्रेरित मानदंड को देखें (जैसा कि ऊपर प्रेरित नॉर्म अनुभाग में है)।

आव्यूह के लिए $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ रैंक का (रैखिक बीजगणित) $r$, निम्नलिखित असमानताएँ कायम हैं:

• $\|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}$
• $\|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}$
• $\|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }$
• ${\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }$
• ${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.$

यह भी देखें

• दो प्रत्येका मानदंड
• लघुगणकीय मानदंड

ग्रन्थसूची

• James W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, section 1.7, published by SIAM, 1997.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, published by SIAM, 2000. [1]
• John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
• Kendall Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, published by John Wiley & Sons, Inc 1989