एडजुगेट मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, वर्ग आव्यूह A का सहायक या शास्त्रीय सहायक इसके सहकारक आव्यूह का स्थानान्तरण है और इसे adj(A) दर्शाया जाता है। इसे कभी-कभी सहायक आव्यूह या "एडजॉइंट" के रूप में भी जाना जाता है, चूंकि पश्चात वाला शब्द आज सामान्यतः भिन्न अवधारणा को संदर्भित करता है, हर्मिटियन सहायक जो आव्यूह के लिए संयुग्म स्थानान्तरण है।

इसके सहायक के साथ आव्यूह का उत्पाद विकर्ण आव्यूह देता है (मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियाँ शून्य नहीं हैं) जिनकी विकर्ण प्रविष्टियाँ मूल आव्यूह के निर्धारक हैं:

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,$

जहाँ I A के समान आकार का पहचान आव्यूह है। परिणाम स्वरूप, व्युत्क्रमणीय आव्यूह का गुणक व्युत्क्रम उसके सहायक को उसके निर्धारक द्वारा विभाजित करके पाया जा सकता है।

परिभाषा

A का निर्णायक A के सहकारक आव्यूह C का स्थानान्तरण है ,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

अधिक विस्तार से, मान लीजिए R इकाई क्रमविनिमेय रिंग है और A R प्रविष्टियों के साथ n × n आव्यूह है। A का (i, j) -लघु जिसे M_ij दर्शाया गया है, आव्यूह का निर्धारक है, जो A की पंक्ति i और कॉलम j को विस्थापित करने से परिणामस्वरूप होता है। A का सहकारक आव्यूह n × n आव्यूह C है, जिसका (i, j) प्रविष्टि A का (i, j) सहकारक (रैखिक बीजगणित) है, जो कि (i, j) साधारण गुणा संकेत कारक है:

$\mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$

A का स्थानांतरण C है, अर्थात n × n आव्यूह जिसकी (i, j) प्रविष्टि A का (j, i) सहकारक है,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$

महत्वपूर्ण परिणाम

एडजुगेट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि A का उत्पाद विकर्ण आव्यूह उत्पन्न करता है, जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ निर्धारक det(A) होती हैं। वह है,

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,$

जहाँ I n × n पहचान आव्यूह है। यह निर्धारक के लाप्लास विस्तार का परिणाम है।

उपरोक्त सूत्र आव्यूह बीजगणित में मूलभूत परिणामों में से एक का तात्पर्य है, A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है यदि और केवल तभी जब det(A) R का व्युत्क्रमणीय तत्व है। जब यह प्रारम्भ होता है, तो उपरोक्त समीकरण प्राप्त होता है।

${\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}$

उदाहरण

1 × 1 सामान्य आव्यूह

चूँकि 0 x 0 आव्यूह का निर्धारक 1 है, किसी भी 1 × 1 आव्यूह (जटिल संख्या अदिश) का सहायक है $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$. उसका अवलोकन करो:

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} \mathbf {I} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

2 × 2 सामान्य आव्यूह

2 × 2 आव्यूह का एडजुगेट

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

है

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.$

प्रत्यक्ष गणना द्वारा,

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

ऐसे में ये कथन भी सच है, कि det(adj(A))= det(A) और इसलिए adj(adj(A)) = A.

3 × 3 सामान्य आव्यूह

3 × 3 आव्यूह पर विचार करें

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.$

इसका सहकारक आव्यूह है

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},$

जहाँ

${\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.$

इसका सहायक इसके सहकारक आव्यूह का स्थानान्तरण है,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.$

3 × 3 संख्यात्मक आव्यूह

विशिष्ट उदाहरण के रूप में, हमारे पास है,

$\operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.$

यह परिक्षण करना सरल है कि एडजुगेट निर्धारक का व्युत्क्रम आव्यूह गुणा है, −6, वह −1 दूसरी पंक्ति में, एडजुगेट के तीसरे कॉलम की गणना निम्नानुसार की गई थी। एडजुगेट की (2,3) प्रविष्टि A का (3,2) सहकारक है। इस सहकारक की गणना मूल आव्यूह A की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ को विस्थापित कर प्राप्त सबआव्यूह का उपयोग करके की जाती है।

${\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.$

(3,2) सहकारक इस सबआव्यूह के निर्धारक का संकेत गुना है:

$(-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,$

और यह सहायक की (2,3) प्रविष्टि है।

गुण

किसी भी n × n आव्यूह A के लिए, प्रारंभिक गणना से ज्ञात होता है कि एडजुगेट में निम्नलिखित गुण हैं:

• $\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$, जहाँ $\mathbf {I}$ पहचान आव्यूह है.
• $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0}$, जहाँ $\mathbf {0}$ शून्य आव्यूह है, अतिरिक्त इसके कि यदि $n=1$ तब $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {I}$.
• किसी भी अदिश c के लिए $\operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ .
• $\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}$.
• $\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}$.
• यदि A तो व्युत्क्रमणीय है, तो $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$. यह इस प्रकार है कि:
  • adj(A) व्युत्क्रम (det A)⁻¹A के साथ व्युत्क्रमणीय है .
  • adj(A⁻¹) = adj(A)⁻¹.
• adj(A) A प्रवेशवार बहुपद है। विशेष रूप से, वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर, एडजुगेट A की प्रविष्टियों का सुचारू कार्य है।

सम्मिश्र संख्याओं पर,

• $\operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}$, जहां बार जटिल संयुग्मन को दर्शाता है।
• $\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}$, जहां तारांकन संयुग्म स्थानांतरण को दर्शाता है।

मान लीजिए कि B अन्य n × n आव्यूह है, तब

$\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

यह तीन प्रकार से गणितीय प्रमाण हो सकता है। तरीका, जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए मान्य है, कॉची-बिनेट सूत्र का उपयोग करके सीधी गणना है। दूसरा तरीका, जो वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए मान्य है, पहले व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का निरीक्षण करना है A और B,

$\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).$

चूँकि प्रत्येक गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की सीमा है, इसलिए सहायक के निरंतर कार्य का तात्पर्य यह है कि सूत्र तब सत्य रहता है जब इनमें से कोई हो A या B व्युत्क्रमणीय नहीं है.

पिछले सूत्र का परिणाम यह है कि, किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए k,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.$

यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो उपरोक्त सूत्र ऋणात्मक के लिए भी मान्य है k.

पहचान से

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),$

हम निष्कर्ष निकालते हैं

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .$

लगता है कि A आवागमन आव्यूह ेस के साथ B. पहचान को गुणा करना AB = BA बाएँ और दाएँ पर adj(A) यह साबित करता है

$\det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

यदि A व्युत्क्रमणीय है, इसका तात्पर्य यह है adj(A) भी साथ आवागमन करता है B. वास्तविक या जटिल संख्याओं पर, निरंतरता का तात्पर्य है adj(A) के साथ आवागमन करता है B यहां तक ​​कि जब A व्युत्क्रमणीय नहीं है.

अंत में, दूसरे प्रमाण की तुलना में अधिक सामान्य प्रमाण है, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि n × n आव्यूह में कम से कम 2n + 1 तत्वों (उदाहरण के लिए पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित 11 पर 5 × 5 आव्यूह) के साथ फ़ील्ड (गणित) पर प्रविष्टियाँ हों ). det(A+t I) t में बहुपद है जिसमें अधिकतम n पर बहुपद की घात होती है, इसलिए इसमें बहुपद का अधिकतम n मूल होता है। ध्यान दें कि ij वीं प्रविष्टि adj((A+t I)(B))अधिकतम क्रम n का बहुपद है, और इसी तरह के लिए भी adj(A+t I) adj(B). Ij वीं प्रविष्टि पर ये दो बहुपद कम से कम n+ 1 अंक पर सहमत हैं, क्योंकि हमारे पास क्षेत्र के कम से कम n+ 1 तत्व हैं जहां A+t I व्युत्क्रमणीय है, और हमने व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की पहचान सिद्ध कर दी है। डिग्री n के बहुपद जो n+ 1 बिंदुओं पर सहमत होते हैं, समान होने चाहिए (उन्हें दूसरे से घटाएं और आपके पास अधिकतम n डिग्री वाले बहुपद के लिए n+ 1 मूल होंगे - विरोधाभास जब तक कि उनका अंतर समान रूप से शून्य न हो)। चूँकि दोनों बहुपद समान हैं, वे t के प्रत्येक मान के लिए समान मान लेते हैं। इस प्रकार, जब t = 0 होता है तो वे समान मान लेते हैं।

उपरोक्त गुणों और अन्य प्राथमिक गणनाओं का उपयोग करके, यह दिखाना आसान है कि यदि A में निम्नलिखित गुणों में से है adj A भी करता है:

• ऊपरी त्रिकोणीय,
• निचला त्रिकोणीय,
• विकर्ण आव्यूह,
• ऑर्थोगोनल आव्यूह,
• ात्मक आव्यूह,
• सममित आव्यूह,
• हर्मिटियन आव्यूह,
• तिरछा-सममित आव्यूह|तिरछा-सममित,
• तिरछा-Hermitian,
• सामान्य आव्यूह.

यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो, जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसके लिए सूत्र है adj(A) निर्धारक और व्युत्क्रम के संदर्भ में A. कब A व्युत्क्रमणीय नहीं है, एडजुगेट भिन्न-भिन्न लेकिन निकट से संबंधित सूत्रों को संतुष्ट करता है।

• यदि rk(A) ≤ n − 2, तब adj(A) = 0.
• यदि rk(A) = n − 1, तब rk(adj(A)) = 1. (कुछ माइनर गैर-शून्य है, इसलिए adj(A) गैर-शून्य है और इसलिए इसकी रैंक (रैखिक बीजगणित) कम से कम है; पहचान adj(A) A = 0 तात्पर्य यह है कि शून्य स्थान का आयाम (वेक्टर स्थान)। adj(A) कम से कम है n − 1, इसलिए इसकी रैंक अधिकतम है।) यह उसका अनुसरण करता है adj(A) = αxy^T, कहाँ α अदिश राशि है और x और y ऐसे सदिश हैं Ax = 0 और A^T y = 0.

कॉलम प्रतिस्थापन और क्रैमर नियम

See also: Cramer's rule

PARTITION A स्तंभ सदिश में:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.$

होने देना b आकार का कॉलम वेक्टर बनें n. हल करना 1 ≤ i ≤ n और कॉलम को प्रतिस्थापित करके गठित आव्यूह पर विचार करें i का A द्वारा b:

$(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.$

लाप्लास कॉलम के साथ इस आव्यूह के निर्धारक का विस्तार करता है i. परिणाम प्रवेश है i उत्पाद की adj(A)b. विभिन्न संभावितों के लिए इन निर्धारकों को त्रित करना i कॉलम वैक्टर की समानता उत्पन्न करता है

$\left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .$

इस सूत्र के निम्नलिखित ठोस परिणाम हैं। समीकरणों की रैखिक प्रणाली पर विचार करें

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .$

ये मान लीजिए A वचन आव्यूह है|गैर-वचन। इस प्रणाली को बायीं ओर से गुणा करना adj(A) और निर्धारक पैदावार से विभाजित करना

$\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.$

इस स्थिति में पिछले सूत्र को प्रारम्भ करने से क्रैमर का नियम प्राप्त होता है,

$x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},$

कहाँ x_i है iवीं प्रविष्टि x.

अभिलक्षणिक बहुपद

मान लीजिए कि इसका अभिलक्षणिक बहुपद है A होना

$p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].$

का पहला विभाजित अंतर p घात का सममित बहुपद है n − 1,

$\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].$

गुणा sI − A इसके adjugate द्वारा. तब से p(A) = 0 केली-हैमिल्टन प्रमेय द्वारा, कुछ प्राथमिक जोड़-तोड़ से पता चलता है

$\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).$

विशेष रूप से, संकल्पात्मक औपचारिकता A को परिभाषित किया गया है

$R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},$

और उपरोक्त सूत्र के अनुसार, यह बराबर है

$R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.$

जैकोबी का सूत्र

Main article: Jacobi's formula

निर्धारक के व्युत्पन्न के लिए एडजुगेट जैकोबी के सूत्र में भी दिखाई देता है। यदि A(t) तो फिर लगातार भिन्न-भिन्न है

${\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).$

यह इस प्रकार है कि निर्धारक का कुल व्युत्पन्न सहायक का स्थानान्तरण है:

$d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.$

केली-हैमिल्टन सूत्र

Main article: Cayley–Hamilton theorem

होने देना p_A(t) का अभिलक्षणिक बहुपद बनें A. केली-हैमिल्टन प्रमेय यह बताता है

$p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .$

अचर पद को भिन्न करना और समीकरण को इससे गुणा करना adj(A) उस निर्णय के लिए अभिव्यक्ति देता है जो केवल पर निर्भर करता है A और के गुणांक p_A(t). इन गुणांकों को शक्तियों के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के संदर्भ में स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है A पूर्ण घातीय बेल बहुपद का उपयोग करना। परिणामी सूत्र है

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},$

कहाँ n का आयाम है A, और राशि ले ली जाती है s और सभी अनुक्रम k_l ≥ 0 रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को संतुष्ट करना

$s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.$

2 × 2 मामले के लिए, यह देता है

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .$

3 × 3 मामले के लिए, यह देता है

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.$

4 × 4 मामले के लिए, यह देता है

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.$

वही सूत्र सीधे फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिथ्म के अंतिम चरण का अनुसरण करता है, जो कुशलता से विशेषता बहुपद को निर्धारित करता है A.

बाह्य बीजगणित से संबंध

बाहरी बीजगणित का उपयोग करके सहायक को अमूर्त शब्दों में देखा जा सकता है। होने देना V सेम n-आयामी सदिश समष्टि. बाहरी उत्पाद द्विरेखीय युग्मन को परिभाषित करता है

$V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.$

संक्षेप में, $\wedge ^{n}V$ के लिए समरूपी है R, और ऐसी किसी भी समरूपता के तहत बाहरी उत्पाद आदर्श युग्मन है। इसलिए, यह समरूपता उत्पन्न करता है

$\phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).$

स्पष्ट रूप से, यह जोड़ी भेजती है v ∈ V को $\phi _{\mathbf {v} }$, कहाँ

$\phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .$

लगता है कि T : V → V रैखिक परिवर्तन है. द्वारा पुलबैक (n − 1)सेंट बाहरी शक्ति T का रूपवाद प्रेरित करता है Hom रिक्त स्थान. का निर्णायक T समग्र है

$V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V.$

यदि V = Rⁿ अपने विहित आधार से संपन्न है e₁, …, e_n, और यदि का आव्यूह Tइसमें आधार (रैखिक बीजगणित) है A, फिर का adjugate T का सहायक है A. यह देखने के लिए कि क्यों, दे दो $\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}$ बुनियाद

$\{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.$

आधार वेक्टर ठीक करें e_i का Rⁿ. की छवि e_i अंतर्गत $\phi$ यह इस आधार पर निर्धारित होता है कि यह आधार वैक्टर कहां भेजता है:

$\phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

वेक्टर के आधार पर, (n − 1)सेंट बाहरी शक्ति T है

$\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.$

इनमें से प्रत्येक पद शून्य के अंतर्गत मैप करता है $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ अतिरिक्त k = i अवधि। इसलिए, की वापसी $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है

$\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},$

अर्थात् यह बराबर है

$\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.$

का व्युत्क्रमणीय लगाना $\phi$ दर्शाता है कि का adjugate T जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है

$\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.$

परिणामस्वरूप, इसका आव्यूह प्रतिनिधित्व का सहायक है A.

यदि V आंतरिक उत्पाद और वॉल्यूम फॉर्म से संपन्न है, फिर मानचित्र φ को और अधिक विघटित किया जा सकता है। इस मामले में, φ को हॉज स्टार ऑपरेटर और दोहरीकरण के संयोजन के रूप में समझा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि ω आयतन रूप है, तो यह, आंतरिक उत्पाद के साथ मिलकर, समरूपता निर्धारित करता है

$\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .$

यह समरूपता को प्रेरित करता है

$\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.$

सदिश v में Rⁿ रैखिक कार्यात्मकता से मेल खाता है

$(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.$

हॉज स्टार ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार, यह रैखिक कार्यात्मकता दोहरी है *v. वह है, ω^∨∘ φ बराबर है v ↦ *v^∨.

उच्च adjugates

होने देना A सेम n × n आव्यूह, और ठीक करें r ≥ 0.rवां उच्चतर अधिनिर्णय A ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ आव्यूह, निरूपित adj_r A, जिनकी प्रविष्टियाँ आकार के आधार पर अनुक्रमित की जाती हैं r उपसमुच्चय I और J का {1, ..., m}. होने देना I^c और J^c के पूरक (सेट सिद्धांत) को निरूपित करें I और J, क्रमश। चलो भी $\mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}$ के सबआव्यूह को निरूपित करें A जिसमें वे पंक्तियाँ और स्तंभ शामिल हैं जिनके सूचकांक हैं I^c और J^c, क्रमश। फिर (I, J)की प्रविष्टि adj_r A है

$(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},$

कहाँ σ(I) और σ(J) के तत्वों का योग है I और J, क्रमश।

उच्च adjugates के मूल गुणों में शामिल हैं:

• adj₀(A) = det A.
• adj₁(A) = adj A.
• adj_n(A) = 1.
• adj_r(BA) = adj_r(A) adj_r(B).
• $\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}$, कहाँ C_r(A) दर्शाता है r&हेयरस्प;यौगिक आव्यूह।

उच्चतर एडजुगेट को सामान्य एडजुगेट, प्रतिस्थापन के समान ही अमूर्त बीजीय शब्दों में परिभाषित किया जा सकता है $\wedge ^{r}V$ और $\wedge ^{n-r}V$ के लिए $V$ और $\wedge ^{n-1}V$, क्रमश।

पुनरावृत्त adjugates

व्युत्क्रमणीय आव्यूह ए का एडजुगेट लेते हुए पुनरावृत्त फ़ंक्शन k गुना पैदावार होती है

$\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},$

$\det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.$

उदाहरण के लिए,

$\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .$

$\det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.$

यह भी देखें

• केली-हैमिल्टन प्रमेय
• क्रैमर का नियम
• ट्रेस आरेख
• जैकोबी का सूत्र
• फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
• यौगिक आव्यूह

ग्रन्थसूची

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

बाहरी संबंध

• Matrix Reference Manual
• Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
• "Adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". Wolfram Alpha.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)