लघु (रैखिक बीजगणित)

This article is about a concept in linear algebra. For the concept of "minor" in graph theory, see Graph minor.

रैखिक बीजगणित में, मैट्रिक्स (गणित) ए का एक छोटा सा कुछ छोटे उलटा मैट्रिक्स का निर्धारक होता है, जो इसकी एक या अधिक पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर ए से काटा जाता है। वर्ग आव्यूहों (पहले अवयस्कों) से केवल एक पंक्ति और एक स्तंभ को हटाकर प्राप्त किए गए अवयस्कों की आवश्यकता मैट्रिक्स सहकारकों की गणना के लिए होती है, जो बदले में वर्ग आव्यूहों के निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। परिभाषा में यह आवश्यकता अक्सर छोड़ दी जाती है कि वर्ग मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स से छोटा हो।

परिभाषा और चित्रण

पहले नाबालिग

यदि A एक वर्ग मैट्रिक्स है, तो i में प्रविष्टि का मामूलीवीं पंक्ति और जेवां कॉलम (जिसे (i, j) माइनर या पहला माइनर भी कहा जाता है) i को हटाकर बनने वाले सबमैट्रिक्स का निर्धारक हैवीं पंक्ति और जेवाँ स्तंभ. इस संख्या को अक्सर M से दर्शाया जाता है_i,j. (i, j) सहकारक लघु को गुणा करके प्राप्त किया जाता है $(-1)^{i+j}$.

इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 मैट्रिक्स पर विचार करें,

${\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}$

लघु एम की गणना करने के लिए_2,3 और सहकारक सी_2,3, हम पंक्ति 2 और स्तंभ 3 को हटाकर उपरोक्त मैट्रिक्स का निर्धारक पाते हैं।

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13$

तो (2,3) प्रविष्टि का सहकारक है

$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

सामान्य परिभाषा

मान लीजिए A एक m × n मैट्रिक्स है और k 0 < k ≤ m, और k ≤ n के साथ एक पूर्णांक है '. A k × k A का लघु, जिसे A के क्रम k का लघु निर्धारक भी कहा जाता है या, यदि m = n, (' 'n−k)A का वां लघु निर्धारक (निर्धारक शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी ऑर्डर के बजाय डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है) k × का निर्धारक है k मैट्रिक्स m-k पंक्तियों और n-k कॉलम को हटाकर A से प्राप्त किया गया है। कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त A से प्राप्त k × k मैट्रिक्स को संदर्भित करने के लिए किया जाता है ('m−k पंक्तियों और n− को हटाकर) k कॉलम), लेकिन इस मैट्रिक्स को A के (वर्ग) सबमैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस मैट्रिक्स के निर्धारक को संदर्भित करने के लिए माइनर शब्द को छोड़ दिया जाना चाहिए। उपरोक्त मैट्रिक्स ए के लिए, कुल हैं ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ k × k आकार के नाबालिग। क्रम शून्य के लघु को अक्सर 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, शून्यवां लघु केवल मैट्रिक्स का निर्धारक होता है।

होने देना $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ और $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ अनुक्रमित अनुक्रमों का क्रम दिया जाए (प्राकृतिक क्रम में, जैसा कि नाबालिगों के बारे में बात करते समय हमेशा माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहें। नाबालिग ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप निरूपित किया जाता है $\det _{I,J}A$ या $\det A_{I,J}$ या $[A]_{I,J}$ या $M_{I,J}$ या $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ या $M_{(i),(j)}$ (जहां $(i)$ स्रोत के आधार पर, सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है। इसके अलावा, साहित्य में उपयोग में आने वाले दो प्रकार के संकेत हैं: सूचकांक I और J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से जुड़े छोटे द्वारा, कुछ लेखक मैट्रिक्स के निर्धारक का मतलब है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल मैट्रिक्स के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं और जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, जबकि कुछ अन्य लेखकों का मतलब I और J से जुड़े एक नाबालिग से है I में पंक्तियों और J में स्तंभों को हटाकर मूल मैट्रिक्स से बने मैट्रिक्स का निर्धारक।किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसकी जांच हमेशा संबंधित स्रोत से की जानी चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चुनने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण मामला ऊपर वर्णित पहले माइनर या (i, j)-माइनर का मामला है; उस मामले में, विशेष अर्थ ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ साहित्य में हर जगह मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।

पूरक

पूरक, बी_{ijk...,pqr...}, एक नाबालिग का, एम_{ijk...,pqr...}, एक वर्ग मैट्रिक्स का, 'ए', मैट्रिक्स 'ए' के ​​निर्धारक द्वारा बनता है जिसमें से एम से जुड़ी सभी पंक्तियाँ (आईजेके...) और कॉलम (पीक्यूआर...)_{ijk...,pqr...}हटा दिया गया है। किसी तत्व के प्रथम अवयस्क का पूरक a_ijबस वह तत्व है.

नाबालिगों और सहकारकों के अनुप्रयोग

निर्धारक का सहकारक विस्तार

Main article: Laplace expansion

लाप्लास विस्तार में सहकारकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है|निर्धारकों के विस्तार के लिए लाप्लास का सूत्र, जो छोटे निर्धारकों के संदर्भ में बड़े निर्धारकों की गणना करने की एक विधि है। एक दिया गया n × n आव्यूह $A=(a_{ij})$, ए का निर्धारक, जिसे डेट (ए) कहा जाता है, को मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहकारकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जो उन्हें उत्पन्न करने वाली प्रविष्टियों से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, परिभाषित करना $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ फिर जे के साथ सहकारक विस्तारवां कॉलम देता है:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

I के साथ सहकारक विस्तारवीं पंक्ति देती है:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम

Main article: Invertible matrix

क्रैमर के नियम का उपयोग करके इसके सहकारकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का व्युत्क्रम इस प्रकार लिख सकता है। उलटा मैट्रिक्स A के सभी सहकारकों द्वारा निर्मित मैट्रिक्स को सहकारक मैट्रिक्स कहा जाता है (जिसे सहकारकों का मैट्रिक्स भी कहा जाता है या, कभी-कभी, कोमैट्रिक्स भी कहा जाता है):

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

फिर A का व्युत्क्रम A के निर्धारक के व्युत्क्रम से गुणा सहकारक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

सहकारक मैट्रिक्स के स्थानान्तरण को 'ए' का सहायक मैट्रिक्स (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: चलो $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ और $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ अनुक्रमितों के क्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिए जाएं (यहां A एक n × n मैट्रिक्स है)। तब

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

जहां I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जैसा कि ऊपर है), ताकि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I में बिल्कुल एक बार दिखाई दे। ', लेकिन दोनों में नहीं (समान रूप से जे और जे' के लिए) और $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ इंडेक्स सेट I की पंक्तियों और इंडेक्स सेट J के कॉलम को चुनकर गठित ए के सबमैट्रिक्स के निर्धारक को दर्शाता है। भी, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$. वेज उत्पाद का उपयोग करके एक सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

कहाँ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ आधार सदिश हैं। ए द्वारा दोनों तरफ से कार्य करने पर एक मिलता है

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

संकेत पर काम किया जा सकता है $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$, इसलिए चिह्न I और J में तत्वों के योग से निर्धारित होता है।

अन्य अनुप्रयोग

वास्तविक संख्या प्रविष्टियों (या किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत) r के साथ एक m × n मैट्रिक्स दिया गया है, तो कम से कम एक गैर-शून्य r × r माइनर मौजूद है, जबकि सभी बड़े माइनर शून्य हैं।

हम अवयस्कों के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे: यदि 'ए' एक एम × एन मैट्रिक्स है, तो मैं के तत्वों के साथ {1,...,एम} का एक उपसमुच्चय है, और जे, {1,... का एक उपसमुच्चय है। ,n} k तत्वों के साथ, फिर हम लिखते हैं ['A']_I,J के लिए k × k A का माइनर जो I में इंडेक्स वाली पंक्तियों और J में इंडेक्स वाले कॉलम से मेल खाता है।

• यदि मैं = जे, तो [ए]_I,J प्रधान अवयस्क कहा जाता है।
• यदि मैट्रिक्स जो एक प्रिंसिपल माइनर से मेल खाता है वह एक वर्गाकार ऊपरी-बाएँ मैट्रिक्स है (गणित) # बड़े मैट्रिक्स का सबमैट्रिक्स (यानी, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में मैट्रिक्स तत्व होते हैं, जिसे एक अग्रणी प्रिंसिपल सबमैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है) ), तो प्रिंसिपल माइनर को लीडिंग प्रिंसिपल माइनर (ऑर्डर k का) या कॉर्नर (प्रिंसिपल) माइनर (ऑर्डर k का) कहा जाता है। n × n वर्ग मैट्रिक्स के लिए, n प्रमुख प्रमुख अवयस्क हैं।
• मैट्रिक्स का एक बुनियादी माइनर एक वर्ग सबमैट्रिक्स का निर्धारक होता है जो गैर-शून्य निर्धारक के साथ अधिकतम आकार का होता है।* हर्मिटियन मैट्रिक्स के लिए, प्रमुख प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।

साधारण मैट्रिक्स गुणन के लिए सूत्र और दो मैट्रिक्स के उत्पाद के निर्धारक के लिए कॉची-बिनेट फॉर्मूला दोनों दो मैट्रिक्स के उत्पाद के नाबालिगों के बारे में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष मामले हैं। मान लीजिए कि A एक m × n मैट्रिक्स है, B एक n × p मैट्रिक्स है, I {1,..., का एक उपसमुच्चय है m} k तत्वों के साथ और J k तत्वों के साथ {1,...,p} का एक उपसमुच्चय है। तब

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चय K पर विस्तारित होता है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का सीधा विस्तार है।

बहुरेखीय बीजगणित दृष्टिकोण

वेज उत्पाद का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में माइनरों का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: मैट्रिक्स के k-माइनर, kth बाहरी पावर मैप में प्रविष्टियाँ हैं।

यदि मैट्रिक्स के कॉलम को एक समय में एक साथ जोड़ा जाता है, तो k × k माइनर परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के 2 × 2 माइनर्स

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

हैं −13 (पहली दो पंक्तियों से), −7 (पहली और आखिरी पंक्ति से), और 5 (अंतिम दो पंक्तियों से)। अब वेज उत्पाद पर विचार करें

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे मैट्रिक्स के दो स्तंभों से मेल खाती हैं। वेज उत्पाद के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह द्विरेखीय मानचित्र और वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र है,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

और प्रतिसंक्रामकता,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

हम इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

जहां गुणांक पहले गणना किए गए नाबालिगों से सहमत हैं।

विभिन्न संकेतन के बारे में एक टिप्पणी

कुछ पुस्तकों में सहकारक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है। इसके अलावा, इसे ए के रूप में दर्शाया गया है_ij और सहकारक के समान ही परिभाषित किया गया है:

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

इस नोटेशन का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को इस प्रकार लिखा जाता है:

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

ध्यान रखें कि सहायक सहायक या सहायक नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, मैट्रिक्स का उप अक्सर संबंधित सहायक संचालिका को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

• सबमैट्रिक्स

बाहरी संबंध

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath entry of Cofactors
• Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor