प्राथमिक फलन अंकगणित: Difference between revisions
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[[प्रमाण सिद्धांत]] में, [[गणितीय तर्क]] की एक शाखा, '''प्राथमिक फलन अंकगणित''' (ईएफए), जिसे प्राथमिक अंकगणित और घातीय फलन अंकगणित भी कहा जाता है।<ref>C. Smoryński, "Nonstandard Models and Related Developments" (p. 217). From ''Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics'' (1985), Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 117.</ref> इसी प्रकार 0, 1, +, ×, | [[प्रमाण सिद्धांत]] में, [[गणितीय तर्क]] की एक शाखा, '''प्राथमिक फलन अंकगणित''' (ईएफए), जिसे प्राथमिक अंकगणित और घातीय फलन अंकगणित भी कहा जाता है।<ref>C. Smoryński, "Nonstandard Models and Related Developments" (p. 217). From ''Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics'' (1985), Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 117.</ref> इसी प्रकार 0, 1, +, ×, x<sup>y</sup> के सामान्य प्राथमिक गुणों के साथ अंकगणित की प्रणाली है, साथ में परिबद्ध परिमाणक वाले सूत्रों के लिए [[गणितीय प्रेरण]] भी है। | ||
ईएफए एक अत्यधिक वीक़ तार्किक प्रणाली है, जिसका प्रमाण सैद्धांतिक कोटिसूचक ω<sup>3</sup> है, लेकिन फिर भी यह सामान्य गणित को सिद्ध करने में सक्षम लगता है, जिसे प्रथम-कोटि अंकगणित की भाषा में व्यक्त किया जा सकता है। | ईएफए एक अत्यधिक वीक़ तार्किक प्रणाली है, जिसका प्रमाण सैद्धांतिक कोटिसूचक ω<sup>3</sup> है, लेकिन फिर भी यह सामान्य गणित को सिद्ध करने में सक्षम लगता है, जिसे प्रथम-कोटि अंकगणित की भाषा में व्यक्त किया जा सकता है। | ||
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:"[[गणित के इतिहास]] में प्रकाशित प्रत्येक प्रमेय जिसके कथन में केवल अंतिम गणितीय वस्तुएं सम्मिलित हैं (यानी, जिसे तर्कमौलिक अंकगणितीय कथन कहते हैं) जिसको ईएफए में सिद्ध किया जा सकता है। ईएफए [[पीनो अंकगणित]] 0, 1, +, ×, | :"[[गणित के इतिहास]] में प्रकाशित प्रत्येक प्रमेय जिसके कथन में केवल अंतिम गणितीय वस्तुएं सम्मिलित हैं (यानी, जिसे तर्कमौलिक अंकगणितीय कथन कहते हैं) जिसको ईएफए में सिद्ध किया जा सकता है। ईएफए [[पीनो अंकगणित]] 0, 1, +, ×, exp के लिए सामान्य परिमाणक-मुक्त सिद्धांतों के आधार पर पीनो अंकगणित का वीक़ भाग है, इसी प्रकार साथ ही भाषा में सभी सूत्रों के लिए प्रेरण की योजना के साथ जिनके सभी परिमाणक बंधे हुए हैं।" | ||
जबकि कृत्रिम अंकगणितीय कथनों का निर्माण करना सरल है जो सत्य हैं लेकिन ईएफए में सिद्ध नहीं हैं, इसी प्रकार फ्रीडमैन के अनुमान का विषय यह है कि गणित में ऐसे कथनों के प्राकृतिक उदाहरण दुर्लभ प्रतीत होते हैं। कुछ प्राकृतिक उदाहरणों में तर्क से संगति कथन, [[रैमसे सिद्धांत]] से संबंधित कई कथन जैसे ज़ेमेरीडी नियमितता लेम्मा और [[ग्राफ लघु प्रमेय|आलेख लघु प्रमेय]] सम्मिलित हैं। | जबकि कृत्रिम अंकगणितीय कथनों का निर्माण करना सरल है जो सत्य हैं लेकिन ईएफए में सिद्ध नहीं हैं, इसी प्रकार फ्रीडमैन के अनुमान का विषय यह है कि गणित में ऐसे कथनों के प्राकृतिक उदाहरण दुर्लभ प्रतीत होते हैं। कुछ प्राकृतिक उदाहरणों में तर्क से संगति कथन, [[रैमसे सिद्धांत]] से संबंधित कई कथन जैसे ज़ेमेरीडी नियमितता लेम्मा और [[ग्राफ लघु प्रमेय|आलेख लघु प्रमेय]] सम्मिलित हैं। | ||
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* इसी प्रकार कोई भी भाषा से द्विआधारी फलन प्रतीक | * इसी प्रकार कोई भी भाषा से द्विआधारी फलन प्रतीक exp को हटा सकता है, रॉबिन्सन अंकगणित को सभी सूत्रों के लिए बाध्य परिमाणक और एक स्वयंसिद्ध के साथ तथा प्रेरण के साथ ले कर, जो सामान्यतः बताता है कि घातांक हर जगह परिभाषित एक फलन है। इसी प्रकार यह ईएफए के समान है और इसमें समान प्रमाणित सैद्धांतिक प्रत्ययकारिता है, लेकिन इसके साथ काम करना अधिक असुविधाजनक है। | ||
*दूसरे कोटि के अंकगणित के वीक़ टुकड़े हैं जिन्हें <math>\mathsf{RCA}_0^*</math> कहा जाता है और <math>\mathsf{WKL}_0^*</math> जो <math>\Pi_2^0</math> वाक्यों के लिए ईएफए पर | *दूसरे कोटि के अंकगणित के वीक़ टुकड़े हैं जिन्हें <math>\mathsf{RCA}_0^*</math> कहा जाता है और <math>\mathsf{WKL}_0^*</math> जो <math>\Pi_2^0</math> वाक्यों के लिए ईएफए पर संरक्षी हैं (यानी कोई भी <math>\Pi_2^0</math> वाक्य जो <math>\mathsf{RCA}_0^*</math> या <math>\mathsf{WKL}_0^*</math> द्वारा सिद्ध हैं।)<ref>S. G. Simpson, R. L. Smith, "[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0168007286900746 Factorization of polynomials and <math>\Sigma_1^0</math>-induction]" (1986). Annals of Pure and Applied Logic, vol. 31 (p.305)</ref> इसी प्रकार पहले से ही ईएफए विशेष रूप से, वे निरंतरता कथनों के लिए संरक्षी हैं। इसी प्रकार इन अंशों का कभी-कभी उत्क्रम गणित में ([[सिम्पसन 2009]]) अध्ययन किया जाता है। | ||
*प्राथमिक आवर्ती अंकगणित (ईआरए) [[आदिम पुनरावर्ती अंकगणित|आदिम आवर्ती अंकगणित]] (पीआरए) का एक उपप्रणाली है जिसमें पुनरावर्तन सीमित योगफल और गुणनफल तक ही सीमित है। इसमें भी ईएफए के समान <math>\Pi_2^0</math> वाक्य हैं, इस अर्थ में कि जब भी ईएफए ∀x∃y P(x,y) को सिद्ध करता है, P परिमाणक-मुक्त के साथ, ईआरऐ संवृत सूत्र P(x,T(x)) को सिद्ध करता है, T के साथ ईआरऐ में एक शब्द परिभाषित होता है। पीआरए के जैसे, ईआरए को पूरे प्रकार से तर्क-मुक्त विधि से परिभाषित किया जा सकता है, इसी प्रकार केवल प्रतिस्थापन और प्रेरण के नियमों और सभी प्राथमिक आवर्ती फलन के लिए समीकरणों को परिभाषित करने के साथ, चूंकि, पीआरए के | *प्राथमिक आवर्ती अंकगणित (ईआरए) [[आदिम पुनरावर्ती अंकगणित|आदिम आवर्ती अंकगणित]] (पीआरए) का एक उपप्रणाली है जिसमें पुनरावर्तन सीमित योगफल और गुणनफल तक ही सीमित है। इसमें भी ईएफए के समान <math>\Pi_2^0</math> वाक्य हैं, इस अर्थ में कि जब भी ईएफए ∀x∃y P(x,y) को सिद्ध करता है, P परिमाणक-मुक्त के साथ, ईआरऐ संवृत सूत्र P(x,T(x)) को सिद्ध करता है, T के साथ ईआरऐ में एक शब्द परिभाषित होता है। पीआरए के जैसे, ईआरए को पूरे प्रकार से तर्क-मुक्त विधि से परिभाषित किया जा सकता है, इसी प्रकार केवल प्रतिस्थापन और प्रेरण के नियमों और सभी प्राथमिक आवर्ती फलन के लिए समीकरणों को परिभाषित करने के साथ, चूंकि, पीआरए के उत्क्रम, प्राथमिक आवर्ती फलन को आधार फलन की एक सीमित संख्या की संरचना और प्रक्षेपण के अनुसार विवृत करने की विशेषता हो सकती है, और इस प्रकार केवल परिभाषित समीकरणों की एक सीमित संख्या की आवश्यकता होती है। | ||
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Revision as of 22:12, 26 July 2023
प्रमाण सिद्धांत में, गणितीय तर्क की एक शाखा, प्राथमिक फलन अंकगणित (ईएफए), जिसे प्राथमिक अंकगणित और घातीय फलन अंकगणित भी कहा जाता है।[1] इसी प्रकार 0, 1, +, ×, xy के सामान्य प्राथमिक गुणों के साथ अंकगणित की प्रणाली है, साथ में परिबद्ध परिमाणक वाले सूत्रों के लिए गणितीय प्रेरण भी है।
ईएफए एक अत्यधिक वीक़ तार्किक प्रणाली है, जिसका प्रमाण सैद्धांतिक कोटिसूचक ω3 है, लेकिन फिर भी यह सामान्य गणित को सिद्ध करने में सक्षम लगता है, जिसे प्रथम-कोटि अंकगणित की भाषा में व्यक्त किया जा सकता है।
परिभाषा
ईएफए प्रथम कोटि तर्क (समानता के साथ) में एक प्रणाली है। इसकी भाषा में सम्मिलित हैं:
- दो स्थिरांक 0, 1,
- तीन द्विआधारी ऑपरेशन +, ×, exp, exp(x,y) के साथ सामान्यतः xy के रूप में लिखा जाता है।
- एक द्विआधारी संबंध प्रतीक < (यह वास्तव में आवश्यक नहीं है क्योंकि इसे अन्य प्रचालनों के संदर्भ में लिखा जा सकता है और कभी-कभी छोड़ा जाता है, लेकिन बंधे हुए परिमाणक को परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है)।
परिबद्ध परिमाणक ∀(x < y) और ∃(x < y) के रूप में होते हैं, इसी प्रकार जो सामान्य विधि से ∀ x (x < y) → ... और ∃x(x < y)∧... के संक्षिप्त रूप होते हैं।
ईएफए के अभिगृहीत हैं,
- 0, 1, +, ×, < के लिए रॉबिन्सन अंकगणित के अभिगृहीत
- घातांक के लिए अभिगृहीत: x0 = 1, xy+1 = xy × x.
- इसी प्रकार उन सूत्रों के लिए प्रेरण जिनके सभी परिमाणक परिबद्ध हैं (लेकिन जिनमें मुक्त चर हो सकते हैं)।
फ़्रीडमैन का सर्वोच्च अनुमान
हार्वे फ्रीडमैन के सर्वोच्च अनुमान का तात्पर्य है कि कई गणितीय प्रमेय, जैसे कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय, को ईएफए जैसी अत्यधिक वीक़ प्रणालियों में सिद्ध किया जा सकता है।
इसी प्रकार फ्रीडमैन (1999) के अनुमान का मूल कथन है:
- "गणित के इतिहास में प्रकाशित प्रत्येक प्रमेय जिसके कथन में केवल अंतिम गणितीय वस्तुएं सम्मिलित हैं (यानी, जिसे तर्कमौलिक अंकगणितीय कथन कहते हैं) जिसको ईएफए में सिद्ध किया जा सकता है। ईएफए पीनो अंकगणित 0, 1, +, ×, exp के लिए सामान्य परिमाणक-मुक्त सिद्धांतों के आधार पर पीनो अंकगणित का वीक़ भाग है, इसी प्रकार साथ ही भाषा में सभी सूत्रों के लिए प्रेरण की योजना के साथ जिनके सभी परिमाणक बंधे हुए हैं।"
जबकि कृत्रिम अंकगणितीय कथनों का निर्माण करना सरल है जो सत्य हैं लेकिन ईएफए में सिद्ध नहीं हैं, इसी प्रकार फ्रीडमैन के अनुमान का विषय यह है कि गणित में ऐसे कथनों के प्राकृतिक उदाहरण दुर्लभ प्रतीत होते हैं। कुछ प्राकृतिक उदाहरणों में तर्क से संगति कथन, रैमसे सिद्धांत से संबंधित कई कथन जैसे ज़ेमेरीडी नियमितता लेम्मा और आलेख लघु प्रमेय सम्मिलित हैं।
संबंधित प्रणाली
कई संबंधित अभिकलनात्मक सम्मिश्रता वर्गों में ईएफए के समान गुण हैं:
- इसी प्रकार कोई भी भाषा से द्विआधारी फलन प्रतीक exp को हटा सकता है, रॉबिन्सन अंकगणित को सभी सूत्रों के लिए बाध्य परिमाणक और एक स्वयंसिद्ध के साथ तथा प्रेरण के साथ ले कर, जो सामान्यतः बताता है कि घातांक हर जगह परिभाषित एक फलन है। इसी प्रकार यह ईएफए के समान है और इसमें समान प्रमाणित सैद्धांतिक प्रत्ययकारिता है, लेकिन इसके साथ काम करना अधिक असुविधाजनक है।
- दूसरे कोटि के अंकगणित के वीक़ टुकड़े हैं जिन्हें कहा जाता है और जो वाक्यों के लिए ईएफए पर संरक्षी हैं (यानी कोई भी वाक्य जो या द्वारा सिद्ध हैं।)[2] इसी प्रकार पहले से ही ईएफए विशेष रूप से, वे निरंतरता कथनों के लिए संरक्षी हैं। इसी प्रकार इन अंशों का कभी-कभी उत्क्रम गणित में (सिम्पसन 2009) अध्ययन किया जाता है।
- प्राथमिक आवर्ती अंकगणित (ईआरए) आदिम आवर्ती अंकगणित (पीआरए) का एक उपप्रणाली है जिसमें पुनरावर्तन सीमित योगफल और गुणनफल तक ही सीमित है। इसमें भी ईएफए के समान वाक्य हैं, इस अर्थ में कि जब भी ईएफए ∀x∃y P(x,y) को सिद्ध करता है, P परिमाणक-मुक्त के साथ, ईआरऐ संवृत सूत्र P(x,T(x)) को सिद्ध करता है, T के साथ ईआरऐ में एक शब्द परिभाषित होता है। पीआरए के जैसे, ईआरए को पूरे प्रकार से तर्क-मुक्त विधि से परिभाषित किया जा सकता है, इसी प्रकार केवल प्रतिस्थापन और प्रेरण के नियमों और सभी प्राथमिक आवर्ती फलन के लिए समीकरणों को परिभाषित करने के साथ, चूंकि, पीआरए के उत्क्रम, प्राथमिक आवर्ती फलन को आधार फलन की एक सीमित संख्या की संरचना और प्रक्षेपण के अनुसार विवृत करने की विशेषता हो सकती है, और इस प्रकार केवल परिभाषित समीकरणों की एक सीमित संख्या की आवश्यकता होती है।
यह भी देखें
- Elementary function
- Grzegorczyk hierarchy
- Reverse mathematics
- Ordinal analysis
- Tarski's high school algebra problem
संदर्भ
- ↑ C. Smoryński, "Nonstandard Models and Related Developments" (p. 217). From Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics (1985), Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 117.
- ↑ S. G. Simpson, R. L. Smith, "Factorization of polynomials and -induction" (1986). Annals of Pure and Applied Logic, vol. 31 (p.305)
- Avigad, Jeremy (2003), "Number theory and elementary arithmetic", Philosophia Mathematica, Series III, 11 (3): 257–284, doi:10.1093/philmat/11.3.257, ISSN 0031-8019, MR 2006194
- Friedman, Harvey (1999), grand conjectures
- Simpson, Stephen G. (2009), Subsystems of second order arithmetic, Perspectives in Logic (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88439-6, MR 1723993
