श्रृंखला जटिल

गणित में, श्रृंखला संकेतन बीजगणितीय संरचना है जिसमें एबेलियन समूहों (या मॉड्यूल (गणित)) का अनुक्रम होता है और लगातार समूहों के बीच समूह समरूपता का अनुक्रम होता है जैसे कि प्रत्येक समरूपता की छवि (गणित) कर्नेल में शामिल होती है ( बीजगणित)#अगले की समूह समरूपताएँ। श्रृंखला परिसर से संबद्ध इसकी [[सह-समरूपता (गणित)]] है, जो बताती है कि छवियों को कर्नेल में कैसे शामिल किया जाता है।

एक कोचेन कॉम्प्लेक्स चेन कॉम्प्लेक्स के समान है, सिवाय इसके कि इसकी समरूपताएं विपरीत दिशा में हैं। कोचेन कॉम्प्लेक्स की समरूपता को इसकी सहसंयोजकता कहा जाता है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, टोपोलॉजिकल स्पेस इस श्रृंखला परिसर की समरूपता को एक्स की एकवचन समरूपता कहा जाता है, और यह टोपोलॉजिकल स्पेस का आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय है।

श्रृंखला परिसरों का अध्ययन होमोलॉजिकल बीजगणित में किया जाता है, लेकिन गणित के कई क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, जिसमें अमूर्त बीजगणित, गैलोइस सिद्धांत, अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति शामिल हैं। इन्हें आम तौर पर एबेलियन श्रेणियों में परिभाषित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

एक शृंखला परिसर $(A_{\bullet },d_{\bullet })$ एबेलियन समूहों या मॉड्यूल का क्रम है ..., ए₀, ए₁, ए₂, ए₃, ए₄, ... समरूपताओं से जुड़ा हुआ (सीमा ऑपरेटर या अंतर कहा जाता है) d_n : A_n → A_n−1, इस प्रकार कि किन्हीं दो लगातार मानचित्रों की संरचना शून्य मानचित्र है। स्पष्ट रूप से, अंतर संतुष्ट करते हैं d_n ∘ d_n+1 = 0, या दबाए गए सूचकांकों के साथ, d² = 0. कॉम्प्लेक्स को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

$\cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots$

कोचेन कॉम्प्लेक्स $(A^{\bullet },d^{\bullet })$ श्रृंखला परिसर के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणा है। इसमें एबेलियन समूहों या मॉड्यूल का अनुक्रम शामिल है ..., ए⁰, ए¹, ए², ए³, ए⁴, ... समरूपता से जुड़ा हुआ dⁿ : Aⁿ → Aⁿ⁺¹ संतुष्टि देने वाला dⁿ⁺¹ ∘ dⁿ = 0. कोचेन कॉम्प्लेक्स को चेन कॉम्प्लेक्स के समान तरीके से लिखा जा सकता है।

$\cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots$

किसी भी ए में सूचकांक एन_n या एⁿ को 'डिग्री' (या 'आयाम') कहा जाता है। चेन और कोचेन कॉम्प्लेक्स के बीच अंतर यह है कि, चेन कॉम्प्लेक्स में, अंतर आयाम को कम करते हैं, जबकि कोचेन कॉम्प्लेक्स में वे आयाम बढ़ाते हैं। चेन कॉम्प्लेक्स के लिए सभी अवधारणाएं और परिभाषाएं कोचेन कॉम्प्लेक्स पर लागू होती हैं, सिवाय इसके कि वे आयाम के लिए इस अलग सम्मेलन का पालन करेंगे, और अक्सर शब्दों को उपसर्ग सह- दिया जाएगा। इस लेख में, श्रृंखला परिसरों के लिए परिभाषाएँ दी जाएंगी जब भेद की आवश्यकता नहीं होगी।

एक 'बाउंडेड चेन कॉम्प्लेक्स' वह है जिसमें लगभग सभी#कार्डिनैलिटी ए होती है_n 0 हैं; अर्थात्, परिमित संकुल को बायीं और दायीं ओर 0 से बढ़ाया गया है। उदाहरण श्रृंखला संकुल है जो परिमित सरल संकुल की सरल समरूपता को परिभाषित करता है। यदि किसी निश्चित डिग्री एन से ऊपर के सभी मॉड्यूल 0 हैं, तो चेन कॉम्प्लेक्स ऊपर से घिरा हुआ है, और यदि कुछ निश्चित डिग्री से नीचे के सभी मॉड्यूल 0 हैं, तो नीचे से घिरा हुआ है। स्पष्ट रूप से, कॉम्प्लेक्स ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हुआ है यदि और केवल यदि जटिल घिरा हुआ है.

(सह)श्रृंखला परिसर के व्यक्तिगत समूहों के तत्वों को (सह)श्रृंखला कहा जाता है। d के कर्नेल में तत्वों को (co)चक्र (या बंद तत्व) कहा जाता है, और d की छवि में तत्वों को (co)सीमाएँ (या सटीक तत्व) कहा जाता है। अंतर की परिभाषा से ही, सभी सीमाएँ चक्र हैं। एन-वें (सह)होमोलॉजी समूह एच_n (एचⁿ) डिग्री n में (co)चक्र मॉड्यूलो (शब्दजाल)#संरचनाओं (co)सीमाओं का समूह है, अर्थात,

$H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)$

सटीक अनुक्रम

Main article: Exact sequence

एक सटीक अनुक्रम (या सटीक कॉम्प्लेक्स) श्रृंखला कॉम्प्लेक्स है जिसके सभी समरूप समूह शून्य हैं। इसका मतलब है कि कॉम्प्लेक्स में सभी बंद तत्व सटीक हैं। संक्षिप्त सटीक अनुक्रम परिबद्ध सटीक अनुक्रम है जिसमें केवल समूह ए_k, ए_k+1, ए_k+2 शून्येतर हो सकता है. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित श्रृंखला परिसर संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है।

$\cdots \xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \;\mathbf {Z} \;\xrightarrow {\times p} \;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;\xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \cdots$

मध्य समूह में, बंद तत्व तत्व pZ हैं; ये स्पष्ट रूप से इस समूह के सटीक तत्व हैं।

श्रृंखला मानचित्र

दो श्रृंखला परिसरों के बीच श्रृंखला मानचित्र एफ $(A_{\bullet },d_{A,\bullet })$ और $(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ क्रम है $f_{\bullet }$ समरूपता का $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$ प्रत्येक n के लिए जो दो श्रृंखला परिसरों पर सीमा ऑपरेटरों के साथ आवागमन करता है, इसलिए $d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}$. इसे निम्नलिखित क्रमविनिमेय चित्र में लिखा गया है।

एक श्रृंखला मानचित्र चक्रों को चक्रों और सीमाओं को सीमाओं पर भेजता है, और इस प्रकार समरूपता पर मानचित्र उत्पन्न करता है $(f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$.

टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के बीच सतत मानचित्र f, X और Y के एकल श्रृंखला परिसरों के बीच श्रृंखला मानचित्र उत्पन्न करता है, और इसलिए मानचित्र f प्रेरित करता है_* एक्स और वाई की एकवचन समरूपता के बीच भी। जब X और Y दोनों n-स्फीयर|n-स्फीयर के बराबर होते हैं, तो होमोलॉजी पर प्रेरित मानचित्र निरंतर मैपिंग की डिग्री को परिभाषित करता है#मानचित्र f के Sn से Sn तक।

श्रृंखला मानचित्र की अवधारणा श्रृंखला मानचित्र के मानचित्रण शंकु (होमोलॉजिकल बीजगणित) के निर्माण के माध्यम से सीमा तक कम हो जाती है।

श्रृंखला समरूपता

See also: Homotopy category of chain complexes

एक श्रृंखला समरूपता दो श्रृंखला मानचित्रों को जोड़ने का तरीका प्रदान करती है जो समरूपता समूहों पर ही मानचित्र को प्रेरित करती है, भले ही मानचित्र भिन्न हो सकते हैं। दो श्रृंखला परिसर ए और बी, और दो श्रृंखला मानचित्र दिए गए हैं f, g : A → B, श्रृंखला समरूपता समरूपता का क्रम है h_n : A_n → B_n+1 ऐसा है कि hd_A + d_Bh = f − g. मानचित्रों को इस प्रकार आरेख में लिखा जा सकता है, लेकिन यह आरेख क्रमविनिमेय नहीं है।

मानचित्र एच.डी_A + डी_Bकिसी भी एच के लिए होमोटॉपी पर शून्य मानचित्र को प्रेरित करने के लिए एच को आसानी से सत्यापित किया जाता है। यह तुरंत इस प्रकार है कि एफ और जी होमोलॉजी पर ही मानचित्र उत्पन्न करते हैं। का कहना है कि एफ और जी 'श्रृंखला होमोटोपिक' (या बस 'होमोटोपिक') हैं, और यह संपत्ति श्रृंखला मानचित्रों के बीच तुल्यता संबंध को परिभाषित करती है।

मान लीजिए कि X और Y टोपोलॉजिकल स्पेस हैं। एकवचन समरूपता के मामले में, निरंतर मानचित्रों के बीच समरूपता f, g : X → Y f और g के अनुरूप श्रृंखला मानचित्रों के बीच श्रृंखला समरूपता उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि दो समस्थानिक मानचित्र एकवचन समरूपता पर ही मानचित्र को प्रेरित करते हैं। नाम श्रृंखला होमोटॉपी इस उदाहरण से प्रेरित है।

उदाहरण

एकवचन समरूपता

Main article: Singular homology

एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। सी को परिभाषित करें_n(एक्स) प्राकृतिक संख्या एन के लिए स्वतंत्र एबेलियन समूह औपचारिक रूप से एकवचन होमोलॉजी द्वारा उत्पन्न होता है | एक्स में एकवचन एन-सिम्प्लिसेस, और सीमा मानचित्र को परिभाषित करें $\partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)$ होना

$\partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)$

जहां टोपी शीर्ष (ज्यामिति) के लोप को दर्शाती है। अर्थात्, विलक्षण सिम्प्लेक्स की सीमा उसके चेहरों पर प्रतिबंधों का वैकल्पिक योग है। यह दिखाया जा सकता है कि ∂²=0, अतः $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ श्रृंखला जटिल है; एकवचन समरूपता $H_{\bullet }(X)$ इस परिसर की समरूपता है।

सिंगुलर होमोलॉजी होमोटॉपी#होमोटॉपी समकक्ष तक टोपोलॉजिकल स्पेस का उपयोगी अपरिवर्तनीय है। डिग्री शून्य होमोलॉजी समूह एक्स के कनेक्टेड स्पेस#पथ कनेक्टिविटी|पथ-घटकों पर मुक्त एबेलियन समूह है।

मेमने जैसा गर्भ

Main article: de Rham cohomology

किसी भी चिकनी कई गुना M पर डिफरेंशियल फॉर्म|डिफरेंशियल k-फॉर्म वास्तविक संख्या सदिश स्थल बनाते हैं जिसे Ω कहा जाता है^क(M) जोड़ के अंतर्गत। बाहरी व्युत्पन्न d मानचित्र Ω^क(M) से Ω^k+1(M), और d² = 0 अनिवार्य रूप से दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता से आता है, इसलिए बाहरी डेरिवेटिव के साथ के-फॉर्म के वेक्टर रिक्त स्थान कोचेन कॉम्प्लेक्स हैं।

$\Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \cdots$

इस परिसर के सह-समरूपता को एम का डी राम सह-समरूपता कहा जाता है। आयाम शून्य में समरूपता समूह एम से आर तक स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों के वेक्टर स्थान के लिए आइसोमोर्फिक है। इस प्रकार कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के लिए, यह वास्तविक वेक्टर स्थान है जिसका आयाम एम से जुड़े घटकों की संख्या है '.

स्मूथनेस#मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्य श्रृंखला मानचित्रों को प्रेरित करते हैं, और मानचित्रों के बीच सुचारू होमोटोपियां श्रृंखला होमोटोपियों को प्रेरित करती हैं।

श्रृंखला परिसरों की श्रेणी

श्रृंखला मानचित्रों के साथ K-मॉड्यूल के श्रृंखला परिसर श्रेणी (गणित) Ch बनाते हैं_K, जहां K क्रमविनिमेय वलय है।

यदि वी = वी${}_{*}$ और डब्ल्यू = डब्ल्यू${}_{*}$ चेन कॉम्प्लेक्स हैं, उनके टेंसर उत्पाद $V\otimes W$ द्वारा दी गई डिग्री n तत्वों वाला श्रृंखला परिसर है

$(V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j|i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}$

और अंतर द्वारा दिया गया

$\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b$ जहाँ a और b क्रमशः V और W में कोई दो सजातीय सदिश हैं, और $\left|a\right|$ a की डिग्री को दर्शाता है।

यह टेंसर उत्पाद श्रेणी Ch बनाता है_K सममित मोनोइडल श्रेणी में। इस मोनोइडल उत्पाद के संबंध में पहचान वस्तु बेस रिंग K है जिसे डिग्री 0 में श्रृंखला परिसर के रूप में देखा जाता है। ब्रेडेड मोनोइडल श्रेणी सजातीय तत्वों के सरल टेंसर पर दी गई है

$a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a$

ब्रेडिंग के लिए चेन मैप होना जरूरी है।

इसके अलावा, के-मॉड्यूल के चेन कॉम्प्लेक्स की श्रेणी में भी मोनोइडल श्रेणी बंद है: दिए गए चेन कॉम्प्लेक्स वी और डब्ल्यू, वी और डब्ल्यू का आंतरिक होम, जिसे होम (वी, डब्ल्यू) दर्शाया गया है, डिग्री एन तत्वों के साथ चेन कॉम्प्लेक्स है। $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$ और अंतर द्वारा दिया गया

$(\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))$.

हमारे पास प्राकृतिक समरूपता है

${\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))$

आगे के उदाहरण

• अमितसूर कॉम्प्लेक्स
• बलोच के उच्च चाउ समूहों को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला कॉम्प्लेक्स
• बुच्सबाउम-रिम कॉम्प्लेक्स
• सेच कॉम्प्लेक्स
• चचेरा भाई जटिल
• ईगॉन-नॉर्थकॉट कॉम्प्लेक्स
• गेर्स्टन कॉम्प्लेक्स
• ग्राफ जटिल
• जटिल शर्ट
• मूर कॉम्प्लेक्स
• शूर कॉम्प्लेक्स

यह भी देखें

• विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित
• विभेदक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित
• डॉल्ड-कान पत्राचार का कहना है कि श्रृंखला परिसरों की श्रेणी और सरल एबेलियन समूहों की श्रेणी के बीच समानता है।
• बुच्सबाम-ईसेनबड चक्रीयता मानदंड
• विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल

संदर्भ

• Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.