परिमित संभावित स्रोत: Difference between revisions
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'''परिमित संभावित कुँआ''' ('''परिमित वर्ग कुँआ''' के रूप में भी जाना जाता है) [[क्वांटम यांत्रिकी]] की अवधारणा है। यह अनंत क्षमता वाले कुएं का विस्तार है, जिसमें | '''परिमित संभावित कुँआ''' ('''परिमित वर्ग कुँआ''' के रूप में भी जाना जाता है) [[क्वांटम यांत्रिकी]] की अवधारणा होती है। यह अनंत क्षमता वाले कुएं का विस्तार होता है, जिसमें कण '''"बॉक्स"''' तक ही सीमित होता है, किन्तु जिसकी संभावित [[ऊर्जा]] '''"दीवारें"''' सीमित होती हैं। इस प्रकार अनंत क्षमता वाले कुएं के विपरीत, कण के बॉक्स के बाहर पाए जाने से जुड़ी [[संभावना]] होती है। चूँकि क्वांटम यांत्रिक व्याख्या मौलिक व्याख्या के विपरीत होती है, जहां यदि कण की कुल ऊर्जा दीवारों की [[संभावित ऊर्जा]] बाधा से कम है तब इसे बॉक्स के बाहर नहीं पाया जा सकता है। इस प्रकार क्वांटम व्याख्या में, कण की ऊर्जा दीवारों की संभावित ऊर्जा बाधा (सीएफ [[क्वांटम टनलिंग]]) से कम होने पर भी कण के बॉक्स के बाहर होने की गैर-शून्य संभावना होती है। | ||
=='''एक-आयामी बॉक्स में कण'''== | =='''एक-आयामी बॉक्स में कण'''== | ||
एक्स-अक्ष पर 1-आयामी स्थितियों के लिए, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता | एक्स-अक्ष पर 1-आयामी स्थितियों के लिए, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है। | ||
{{NumBlk||<math display="block"> -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi </math>|{{EquationRef|1}}}} | {{NumBlk||<math display="block"> -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi </math>|{{EquationRef|1}}}} | ||
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*<math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}</math> घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, | *<math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}</math> घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक होता है, | ||
*<math>h </math> प्लैंक स्थिरांक है, | *<math>h </math> प्लैंक स्थिरांक होता है, | ||
*<math>m </math> कण का [[द्रव्यमान]] है, | *<math>m </math> कण का [[द्रव्यमान]] होता है, | ||
*<math>\psi</math> वह (समष्टि मूल्यवान) | *<math>\psi</math> वह (समष्टि मूल्यवान) [[तरंग क्रिया]] होती है जिसे हम खोजना चाहते हैं, | ||
*<math>V(x)</math> प्रत्येक बिंदु | *<math>V(x)</math> प्रत्येक बिंदु एक्स पर संभावित ऊर्जा का वर्णन करने वाला फलन होता है, और | ||
*<math>E</math> ऊर्जा है, वास्तविक संख्या, जिसे कभी-कभी आइजेनएनर्जी भी कहा जाता है। | *<math>E</math> ऊर्जा होती है, वास्तविक संख्या, जिसे कभी-कभी आइजेनएनर्जी भी कहा जाता है। | ||
लंबाई | लंबाई एल के 1-आयामी बॉक्स में कण की स्थितियों में, <math>V_0</math> क्षमता होती है। इस प्रकार बॉक्स के बाहर, और मध्य में एक्स के लिए शून्य <math>-L/2</math> और <math>L/2</math>. तरंग फलन को एक्स की विभिन्न श्रेणियों पर भिन्न-भिन्न तरंग फलन से बना माना जाता है, यह इस पर निर्भर करता है कि एक्स बॉक्स के अंदर या बाहर होता है। इसलिए, तरंग फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। | ||
<math display="block">\psi = \begin{cases} | <math display="block">\psi = \begin{cases} | ||
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\psi_3, & \text{if }x>L/2\text{ (the region outside the box)} | \psi_3, & \text{if }x>L/2\text{ (the region outside the box)} | ||
\end{cases}</math>बॉक्स के अंदर | \end{cases}</math>बॉक्स के अंदर | ||
बॉक्स के अंदर के क्षेत्र के लिए, | बॉक्स के अंदर के क्षेत्र के लिए, वी(एक्स) = 0 और समीकरण 1 कम हो जाता है<math display="block">-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 .</math> | ||
<math display="block">-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 .</math> | दे<math display="block">k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},</math>समीकरण बन जाता है<math display="block">\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = -k^2 \psi_2 .</math> | ||
दे | |||
समीकरण बन जाता है | यह सामान्य समाधान के साथ अच्छी प्रकार से अध्ययन किया गया [[अंतर समीकरण]] और [[eigenvectors|आइजेनवेक्टर]] समस्या होती है | ||
<math display="block">\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = -k^2 \psi_2 .</math> | |||
यह सामान्य समाधान के साथ अच्छी | |||
<math display="block">\psi_2 = A \sin(kx) + B \cos(kx)\, .</math> | <math display="block">\psi_2 = A \sin(kx) + B \cos(kx)\, .</math> | ||
इस | इस प्रकार, | ||
<math display="block">E = \frac{k^2 \hbar^2}{2m} .</math> | <math display="block">E = \frac{k^2 \hbar^2}{2m} .</math> | ||
यहां, | यहां, ए और बी कोई भी सम्मिश्र संख्या हो सकते हैं, और के कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। | ||
=== बॉक्स के बाहर === | === बॉक्स के बाहर === | ||
बॉक्स के बाहर के क्षेत्र के लिए | बॉक्स के बाहर के क्षेत्र के लिए <math>V(x) = V_0</math> और समीकरण {{EquationNote|1}} बन जाता है, चूँकि क्षमता स्थिर होती है। | ||
<math display="block">-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = ( E - V_0) \psi_1 </math> | <math display="block">-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = ( E - V_0) \psi_1 </math> | ||
समाधान के दो संभावित | समाधान के दो संभावित समूह होते हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि ई इससे कम होता है या नहीं होता है <math>V_0</math> (कण विभव में बंधा हुआ है) अथवा E से अधिक <math>V_0</math> (कण स्वतंत्र है) है। | ||
मुक्त कण के लिए, <math>E > V_0</math>, और देना <math display="block">k' = \frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar}</math> का उत्पादन | |||
<math display="block">\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = -k'^2 \psi_1 </math> | <math display="block">\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = -k'^2 \psi_1 </math> | ||
इनसाइड-वेल केस के समान समाधान फॉर्म के साथ: | इनसाइड-वेल केस के समान समाधान फॉर्म के साथ: | ||
<math display="block">\psi_1 = C \sin(k' x) + D \cos(k' x) </math> | <math display="block">\psi_1 = C \sin(k' x) + D \cos(k' x) </math> | ||
यह विश्लेषण बाध्य स्थिति पर ध्यान केंद्रित | यह विश्लेषण बाध्य स्थिति पर ध्यान केंद्रित करता है, जहां <math>E < V_0</math> देता है। | ||
<math display="block">\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}</math> | <math display="block">\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}</math> | ||
का उत्पादन | का उत्पादन | ||
<math display="block">\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1 </math> | <math display="block">\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1 </math> | ||
जहां सामान्य समाधान घातीय | जहां सामान्य समाधान घातीय है। | ||
<math display="block">\psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} </math> | <math display="block">\psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} </math> | ||
इसी प्रकार, बॉक्स के बाहर दूसरे क्षेत्र के लिए: | इसी प्रकार, बॉक्स के बाहर दूसरे क्षेत्र के लिए: | ||
<math display="block">\psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} </math> | <math display="block">\psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} </math> | ||
वर्तमान | वर्तमान उपस्तिथ समस्या का विशिष्ट समाधान खोजने के लिए, हमें उपयुक्त सीमा शर्तों को निर्दिष्ट करना होता है और ए, बी, एफ, जी, एच और आई के लिए मान खोजना होता है, जो उन शर्तों को पूर्ण करते हैं। | ||
===बाउंड अवस्था के लिए | ===बाउंड अवस्था के लिए तरंग फलन खोजना=== | ||
श्रोडिंगर समीकरण के समाधान निरंतर और निरंतर भिन्न | श्रोडिंगर समीकरण के समाधान निरंतर और निरंतर भिन्न होते है।<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Proposition 5.1</ref> यह आवश्यकताएं पहले से प्राप्त अंतर समीकरणों पर सीमा की स्थिति होती हैं, अर्थात् कुएं के अंदर और बाहर के समाधानों के मध्य मिलान की स्थिति होती है। | ||
इस स्थितियों में, परिमित संभावित कुआं सममित है, इसलिए आवश्यक गणनाओं को कम करने के लिए समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। | इस स्थितियों में, परिमित संभावित कुआं सममित होती है, इसलिए आवश्यक गणनाओं को कम करने के लिए समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। | ||
पिछले अनुभागों का सारांश: | पिछले अनुभागों का सारांश: | ||
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\psi_2, & \text{if }-L/2< x< L/2\text{ (the region inside the box)} \\ | \psi_2, & \text{if }-L/2< x< L/2\text{ (the region inside the box)} \\ | ||
\psi_3 & \text{if }x>L/2\text{ (the region outside the box)} | \psi_3 & \text{if }x>L/2\text{ (the region outside the box)} | ||
\end{cases}</math>जहां | \end{cases}</math>जहां हमें <math>\psi_1</math>, <math>\psi_2 </math>, और <math>\psi_3 </math> प्राप्त होता है। | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
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\psi_3 &= He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} | \psi_3 &= He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} | ||
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हम इसे ऐसे देखते हैं <math>x</math> जाता है <math>-\infty</math>, द <math>F</math> पद अनंत तक जाता है. इसी तरह, जैसे <math>x</math> जाता है <math>+\infty</math>, द <math>I</math> पद अनंत तक जाता है. तरंग फलन को वर्गाकार समाकलनीय बनाने के लिए, हमें समुच्चय करना होगा <math>F = I = 0</math>, और हमारे पास है: | हम इसे ऐसे देखते हैं <math>x</math> जाता है <math>-\infty</math>, द <math>F</math> पद अनंत तक जाता है. इसी तरह, जैसे <math>x</math> जाता है <math>+\infty</math>, द <math>I</math> पद अनंत तक जाता है. तरंग फलन को वर्गाकार समाकलनीय बनाने के लिए, हमें समुच्चय करना होगा <math>F = I = 0</math>, और हमारे पास है: | ||
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[[File:finite-well-roots.gif|right|परिमाणित ऊर्जा स्तरों के लिए समीकरण की जड़ें]] | [[File:finite-well-roots.gif|right|परिमाणित ऊर्जा स्तरों के लिए समीकरण की जड़ें]] | ||
<math display="block"> \alpha=k \tan(k L/2) .</math> | <math display="block"> \alpha=k \tan(k L/2) .</math> | ||
इसी प्रकार एंटीसिमेट्रिक केस के लिए हमें मिलता है<math display="block"> \alpha=-k \cot(k L/2) .</math>उस दोनों को याद करें <math>\alpha</math> और <math>k</math> ऊर्जा पर निर्भर है. हमने पाया है कि ऊर्जा के मनमाने मूल्य के लिए निरंतरता की शर्तों को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है; | इसी प्रकार एंटीसिमेट्रिक केस के लिए हमें मिलता है<math display="block"> \alpha=-k \cot(k L/2) .</math>उस दोनों को याद करें <math>\alpha</math> और <math>k</math> ऊर्जा पर निर्भर है. हमने पाया है कि ऊर्जा के मनमाने मूल्य के लिए निरंतरता की शर्तों को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है; जिससे कि यह अनंत संभावित कुएं के स्थितियों का परिणाम है। इस प्रकार, केवल कुछ ऊर्जा मान, जो इन दो समीकरणों में से या किसी का समाधान हैं, की अनुमति है। इसलिए हम पाते हैं कि सिस्टम का ऊर्जा स्तर नीचे है <math>V_0</math> भिन्न हैं; संबंधित आइजनफलन [[बाध्य अवस्था]]एँ हैं। (इसके विपरीत, उपरोक्त ऊर्जा स्तरों के लिए <math>V_0</math> निरंतर हैं.<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Section 5.5</ref>) | ||
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==गोलाकार गुहा== | ==गोलाकार गुहा== | ||
उपरोक्त परिणामों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि, एक-आयामी स्थितियों में, गोलाकार गुहा में दो बाध्य अवस्थाएँ होती हैं, | उपरोक्त परिणामों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि, एक-आयामी स्थितियों में, गोलाकार गुहा में दो बाध्य अवस्थाएँ होती हैं, जिससे कि गोलाकार निर्देशांक किसी भी दिशा में त्रिज्या के सामान्तर बनाते हैं। | ||
गोलाकार रूप से सममित क्षमता की जमीनी स्थिति (n = 1) में सदैव शून्य कक्षीय कोणीय गति (ℓ = n−1) होगी, और कम तरंग फलन होगा | गोलाकार रूप से सममित क्षमता की जमीनी स्थिति (n = 1) में सदैव शून्य कक्षीय कोणीय गति (ℓ = n−1) होगी, और कम तरंग फलन होगा | ||
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<math>{\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)} | <math>{\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)} | ||
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बार निर्धारित किया जाता है | |||
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निम्नलिखित पारलौकिक समीकरण के मूल के रूप में हल किया गया है | निम्नलिखित पारलौकिक समीकरण के मूल के रूप में हल किया गया है | ||
<math> {\displaystyle k(b-a)=n\pi}</math> | <math> {\displaystyle k(b-a)=n\pi}</math> | ||
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<math> {\displaystyle n=1,2,3,\dots }</math> | <math> {\displaystyle n=1,2,3,\dots }</math> | ||
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परिणाम सदैव गोलाकार समरूपता के साथ होते हैं। | परिणाम सदैव गोलाकार समरूपता के साथ होते हैं। | ||
यह उस स्थिति को | यह उस स्थिति को पूर्ण करता है जहां तरंग को गोले के अंदर कोई क्षमता नहीं मिलती है: <math> {\displaystyle U(a) = U(0)=0}</math> | ||
=='''यह भी देखें'''== | =='''यह भी देखें'''== | ||
*संभावित कुआँ | *संभावित कुआँ | ||
*डेल्टा कार्य क्षमता | *डेल्टा कार्य क्षमता | ||
*अनंत क्षमता वाला कुँआ | *अनंत क्षमता वाला कुँआ | ||
*अर्धवृत्त क्षमता अच्छी | *अर्धवृत्त क्षमता अच्छी प्रकार से | ||
*क्वांटम टनलिंग | *क्वांटम टनलिंग | ||
*[[आयताकार संभावित अवरोध]] | *[[आयताकार संभावित अवरोध]] |
Revision as of 17:06, 3 August 2023
परिमित संभावित कुँआ (परिमित वर्ग कुँआ के रूप में भी जाना जाता है) क्वांटम यांत्रिकी की अवधारणा होती है। यह अनंत क्षमता वाले कुएं का विस्तार होता है, जिसमें कण "बॉक्स" तक ही सीमित होता है, किन्तु जिसकी संभावित ऊर्जा "दीवारें" सीमित होती हैं। इस प्रकार अनंत क्षमता वाले कुएं के विपरीत, कण के बॉक्स के बाहर पाए जाने से जुड़ी संभावना होती है। चूँकि क्वांटम यांत्रिक व्याख्या मौलिक व्याख्या के विपरीत होती है, जहां यदि कण की कुल ऊर्जा दीवारों की संभावित ऊर्जा बाधा से कम है तब इसे बॉक्स के बाहर नहीं पाया जा सकता है। इस प्रकार क्वांटम व्याख्या में, कण की ऊर्जा दीवारों की संभावित ऊर्जा बाधा (सीएफ क्वांटम टनलिंग) से कम होने पर भी कण के बॉक्स के बाहर होने की गैर-शून्य संभावना होती है।
एक-आयामी बॉक्स में कण
एक्स-अक्ष पर 1-आयामी स्थितियों के लिए, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है।
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(1) |
जहाँ
- घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक होता है,
- प्लैंक स्थिरांक होता है,
- कण का द्रव्यमान होता है,
- वह (समष्टि मूल्यवान) तरंग क्रिया होती है जिसे हम खोजना चाहते हैं,
- प्रत्येक बिंदु एक्स पर संभावित ऊर्जा का वर्णन करने वाला फलन होता है, और
- ऊर्जा होती है, वास्तविक संख्या, जिसे कभी-कभी आइजेनएनर्जी भी कहा जाता है।
लंबाई एल के 1-आयामी बॉक्स में कण की स्थितियों में, क्षमता होती है। इस प्रकार बॉक्स के बाहर, और मध्य में एक्स के लिए शून्य और . तरंग फलन को एक्स की विभिन्न श्रेणियों पर भिन्न-भिन्न तरंग फलन से बना माना जाता है, यह इस पर निर्भर करता है कि एक्स बॉक्स के अंदर या बाहर होता है। इसलिए, तरंग फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।
यह सामान्य समाधान के साथ अच्छी प्रकार से अध्ययन किया गया अंतर समीकरण और आइजेनवेक्टर समस्या होती है
बॉक्स के बाहर
बॉक्स के बाहर के क्षेत्र के लिए और समीकरण 1 बन जाता है, चूँकि क्षमता स्थिर होती है।
मुक्त कण के लिए, , और देना
बाउंड अवस्था के लिए तरंग फलन खोजना
श्रोडिंगर समीकरण के समाधान निरंतर और निरंतर भिन्न होते है।[1] यह आवश्यकताएं पहले से प्राप्त अंतर समीकरणों पर सीमा की स्थिति होती हैं, अर्थात् कुएं के अंदर और बाहर के समाधानों के मध्य मिलान की स्थिति होती है।
इस स्थितियों में, परिमित संभावित कुआं सममित होती है, इसलिए आवश्यक गणनाओं को कम करने के लिए समरूपता का उपयोग किया जा सकता है।
पिछले अनुभागों का सारांश:
हम इसे ऐसे देखते हैं जाता है , द पद अनंत तक जाता है. इसी तरह, जैसे जाता है , द पद अनंत तक जाता है. तरंग फलन को वर्गाकार समाकलनीय बनाने के लिए, हमें समुच्चय करना होगा , और हमारे पास है:
इन समीकरणों के दो प्रकार के समाधान हैं, सममित, जिसके लिए और , और एंटीसिमेट्रिक, जिसके लिए और . सममित स्थितियों के लिए हमें मिलता है
ऊर्जा समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। फिर भी, हम देखेंगे कि सममित स्थितियों में, सदैव कम से कम बंधी हुई स्थिति उपस्तिथ होती है, यदि कुआँ बहुत उथला हो।[3]
ऊर्जा समीकरणों के आलेखीय या संख्यात्मक समाधानों को थोड़ा पुनः लिखने से सहायता मिलती है। यदि हम आयामहीन चर का परिचय देते हैं और , और की परिभाषाओं से ध्यान दें और वह , कहाँ , मास्टर समीकरण पढ़ें
और , संगत ऊर्जाओं के साथ
यदि हम चाहें तब हम पीछे जाकर स्थिरांकों का मान ज्ञात कर सकते हैं वर्तमान समीकरणों में (हमें सामान्यीकरण की स्थिति भी प्रयुक्त करने की आवश्यकता है)। दाईं ओर हम इस स्थितियों में ऊर्जा स्तर और तरंग कार्यों को दिखाते हैं (जहां)। ):
हम ध्यान दें कि यह कितना भी छोटा क्यों न हो (चाहे कुआँ कितना भी उथला या संकरा क्यों न हो), वहाँ सदैव कम से कम बंधी हुई अवस्था होती है।
दो विशेष स्थितियों ध्यान देने योग्य हैं। जैसे-जैसे क्षमता की ऊंचाई बड़ी होती जाती है, , अर्धवृत्त की त्रिज्या बड़ी हो जाती है और जड़ें मूल्यों के करीब और करीब आ जाती हैं , और हम अनंत वर्ग के स्थितियों को अच्छी तरह से पुनर्प्राप्त करते हैं।
दूसरा मामला बहुत ही संकीर्ण, गहरे कुएं का है - विशेष रूप से मामला और साथ हल किया गया। जैसा यह शून्य की ओर प्रवृत्त होगा, और इसलिए केवल बंधी हुई अवस्था होगी। तब अनुमानित समाधान है , और ऊर्जा प्रवृत्त होती है . किन्तु यह केवल डेल्टा फलन क्षमता की बाध्य अवस्था की ऊर्जा है , जैसा होना चाहिए।
गुणन के माध्यम से क्षमता और ऊर्जा को सामान्य करके ऊर्जा स्तरों के लिए सरल ग्राफिकल समाधान प्राप्त किया जा सकता है . सामान्यीकृत मात्राएँ हैं
असंबद्ध अवस्थाएँ
यदि हम किसी ऊर्जा के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को हल करते हैं , समाधान कुएं के अंदर और बाहर दोनों स्थान दोलनशील होंगे। इस प्रकार, समाधान कभी भी वर्ग पूर्णांक नहीं होता है; अर्थात्, यह सदैव गैर-सामान्यीकरण योग्य स्थिति होती है। चूँकि, इसका कारण यह नहीं है कि क्वांटम कण के लिए इससे अधिक ऊर्जा होना असंभव है , इसका कारण केवल यह है कि सिस्टम के ऊपर निरंतर स्पेक्ट्रम है . गैर-सामान्यीकरण योग्य ईजेनस्टेट वर्गाकार एकीकृत होने के अधिक करीब हैं कि वह अभी भी असीमित ऑपरेटर के रूप में हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम में योगदान करते हैं।[6]
असममित कुआँ
क्षमता द्वारा अच्छी तरह से दी गई एक-आयामी असममित क्षमता पर विचार करें[7]
गोलाकार गुहा
उपरोक्त परिणामों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि, एक-आयामी स्थितियों में, गोलाकार गुहा में दो बाध्य अवस्थाएँ होती हैं, जिससे कि गोलाकार निर्देशांक किसी भी दिशा में त्रिज्या के सामान्तर बनाते हैं।
गोलाकार रूप से सममित क्षमता की जमीनी स्थिति (n = 1) में सदैव शून्य कक्षीय कोणीय गति (ℓ = n−1) होगी, और कम तरंग फलन होगा
समीकरण को संतुष्ट करता है
कहाँ तरंग फलन का रेडियल भाग है। ध्यान दें कि (n = 1) के लिए कोणीय भाग स्थिर है (ℓ = 0)।
सीमा स्थितियों को छोड़कर, यह एक-आयामी समीकरण के समान है। पहले जैसा,
के लिए ऊर्जा स्तर
बार निर्धारित किया जाता है
निम्नलिखित पारलौकिक समीकरण के मूल के रूप में हल किया गया है
जहाँ
उपरोक्त समीकरण के मूल के अस्तित्व की सदैव गारंटी होती है।
परिणाम सदैव गोलाकार समरूपता के साथ होते हैं।
यह उस स्थिति को पूर्ण करता है जहां तरंग को गोले के अंदर कोई क्षमता नहीं मिलती है:
यह भी देखें
- संभावित कुआँ
- डेल्टा कार्य क्षमता
- अनंत क्षमता वाला कुँआ
- अर्धवृत्त क्षमता अच्छी प्रकार से
- क्वांटम टनलिंग
- आयताकार संभावित अवरोध
संदर्भ
- ↑ Hall 2013 Proposition 5.1
- ↑ Hall 2013 Section 5.5
- ↑ Hall 2013 Proposition 5.3
- ↑ Williams, Floyd (2003). क्वांटम यांत्रिकी में विषय. Springer Science+Business Media. p. 57. ISBN 978-1-4612-6571-9.
- ↑ Chiani, M. (2016). "वर्ग क्वांटम कुएं के ऊर्जा स्तर के लिए एक चार्ट". arXiv:1610.04468 [physics.gen-ph].
- ↑ Hall 2013 Section 5.5 and Exercise 4 in Chapter 3
- ↑ Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Quantum mechanics: non-relativistic theory (Vol. 3). Elsevier.
अग्रिम पठन
- ग्रिफ़िथ्स, डेविड जे. (2005). क्वांटम यांत्रिकी का परिचय (2nd ed.). शागिर्द कक्ष. ISBN 0-13-111892-7.
- बड़ा कमरा, ब्रायन सी. (2013), गणितज्ञों के लिए क्वांटम सिद्धांत, गणित में स्नातक पाठ, vol. 267, कोंपल.