आयताकार संभावित अवरोध

क्वांटम यांत्रिकी में, आयताकार (या, कभी-कभी, वर्गाकार) संभावित अवरोध मानक एक-आयामी समस्या है जो क्वांटम टनलिंग या वेव-मैकेनिकल टनलिंग (जिसे क्वांटम टनलिंग भी कहा जाता है) और तरंग-मैकेनिकल प्रतिबिंब की घटना को प्रदर्शित करता है। इस प्रकार कि समस्या में आयताकार संभावित ऊर्जा अवरोध का सामना करने वाले कण के लिए एक-आयामी समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को हल करना सम्मिलित है। जैसा कि यहां है, सामान्यतः यह माना जाता है कि फ्री पार्टिकल बाईं ओर से अवरोध से टकराता है।

चूँकि मौलिक रूप से बिंदु द्रव्यमान के रूप में व्यवहार करने वाला कण परावर्तित होगा यदि उसकी ऊर्जा $V_{0}$, से कम है वास्तव में पदार्थ की तरंग के रूप में व्यवहार करने वाले कण की अवरोध को भेदने और दूसरी ओर तरंग के रूप में अपनी यात्रा जारी रखने की गैर-शून्य संभावना होती है। मौलिक तरंग-भौतिकी में, इस प्रभाव को अपवर्तक तरंग युग्मन के रूप में जाना जाता है। कण के अवरोध से गुजरने की संभावना संचरण गुणांक द्वारा दी जाती है, इस प्रकार जबकि इसके परावर्तित होने की संभावना परावर्तन गुणांक द्वारा दी जाती है। श्रोडिंगर समीकरण या श्रोडिंगर का तरंग-समीकरण इन गुणांकों की गणना करने की अनुमति देता है।

गणना

ऊंचाई के सीमित संभावित अवरोध पर बिखराव $V_{0}$. बाएँ और दाएँ चलती तरंगों के आयाम और दिशा का संकेत दिया जाता है। लाल रंग में, उन तरंगों का उपयोग प्रतिबिंब और संचरण आयाम की व्युत्पत्ति के लिए किया जाता है। $E>V_{0}$ इस चित्रण के लिए.

तरंग फलन $\psi (x)$ के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पढ़ता है

$${\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)$$

जहाँ ${\hat {H}}$ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है, $\hbar$ प्लैंक स्थिरांक(कम) है, $m$ द्रव्यमान है, $E$ कण की ऊर्जा और

$$V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (x-a)]$$

ऊंचाई $V_{0}>0$ और चौड़ाई $a$ के साथ अवरोध क्षमता है

$\Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0$ हेविसाइड स्टेप फलन है, अर्थात,

$$V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}$$

अवरोध $x=0$ और $x=a$. के मध्य स्थित है। परिणामों को परिवर्तित किए बिना बैरियर को किसी भी $x$ स्थिति में स्थानांतरित किया जा सकता है। हैमिल्टनियन में पहला पद ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ गतिज ऊर्जा है।

बैरियर अंतरिक्ष को तीन भागों ($x<0,0<x<a,x>a$) में विभाजित करता है इनमें से किसी भी भाग में, क्षमता स्थिर है, जिसका अर्थ है कि कण अर्ध-मुक्त है, और श्रोडिंगर समीकरण का समाधान बाएं और दाएं चलती तरंगों के क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन के रूप में लिखा जा सकता है (मुक्त कण देखें)। यदि $E>V_{0}$

$${\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}$$

जहां तरंग संख्याएं ऊर्जा से संबंधित होती हैं

$${\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}$$

गुणांक $A$ और $B$ पर सूचकांक $r/l$ वेग सदिश की दिशा को दर्शाता है। ध्यान दें कि, यदि कण की ऊर्जा अवरोध ऊंचाई से नीचे है, तो $k_{1}$ काल्पनिक हो जाता है और तरंग फलन अवरोध के अन्दर तेजी से क्षय हो रहा है। फिर भी, हम $r/l$ अंकन रखते हैं, तथापि इस स्थिति में तरंगें अब विस्तृत नहीं हो रही हैं। यहां हमने $E\neq V_{0}$ मान लिया कि स्थिति $E=V_{0}$ का वर्णन नीचे किया गया है।

गुणांक $A,B,C$ को $x=0$ और $x=a$ पर तरंग फलन की सीमा स्थितियों से पाया जाना है। इसलिए, तरंग फलन और उसका व्युत्पन्न प्रत्येक समिष्ट निरंतर होना चाहिए

$${\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}$$

तरंग कार्यों को सम्मिलित करते हुए, सीमा स्थितियाँ गुणांकों पर निम्नलिखित प्रतिबंध देती हैं

$$A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}$$

$$ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})$$

$$B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}$$

$$ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).$$

E = V₀

यदि ऊर्जा अवरोध ऊंचाई के सामान है, तो अवरोध क्षेत्र के अंदर तरंग फलन का दूसरा अंतर 0 है, और इसलिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधान अब घातीय नहीं हैं किन्तु अंतरिक्ष समन्वय के रैखिक कार्य हैं

$$\psi _{C}(x)=B_{1}+B_{2}x\quad 0<x<a.$$

श्रोडिंगर समीकरण का पूरा समाधान ऊपर की तरह ही तरंग कार्यों और उनके डेरिवेटिव को $x=0$ और $x=a$ पर मिलान करके पाया जाता है। इस प्रकार इसके परिणामस्वरूप गुणांकों पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगते हैं:

$$A_{r}+A_{l}=B_{1}$$

$$ik_{0}(A_{r}-A_{l})=B_{2}$$

$$B_{1}+B_{2}a=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}$$

$$B_{2}=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).$$

संचरण और प्रतिबिंब

इस बिंदु पर, स्थिति की तुलना मौलिक स्थिति से करना शिक्षाप्रद है। दोनों ही स्थितियों में, कण अवरोध क्षेत्र के बाहर मुक्त कण के रूप में व्यवहार करता है। अवरोध की ऊंचाई $V_{0}$ से अधिक ऊर्जा $E$ वाला मौलिक कण सदैव अवरोध को पार कर जाएगा, और अवरोध पर $E<V_{0}$ घटना वाला मौलिक कण सदैव परावर्तित हो जाता है।

क्वांटम स्थिति का अध्ययन करने के लिए, निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: बाईं ओर से बाधा पर कण घटना ($A_{r}$).। इसे प्रतिबिंबित किया जा सकता है इस प्रकार ($A_{l}$) या ($C_{r}$). प्रसारित किया जा सकता है

बाईं ओर से घटना के लिए प्रतिबिंब और संचरण के आयाम खोजने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण $A_{r}=1$ (आने वाले कण), $A_{l}=r$ (प्रतिबिंब), $C_{l}=0$ (दाएं से कोई आने वाला कण नहीं), और $C_{r}=t$ (संचरण) डालते हैं। फिर हम समीकरण से गुणांक $B_{l},B_{r}$ हटा देते हैं और $r$ और $t$. के लिए हल करते हैं

परिणाम:

$$t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}$$

$$r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.$$

मॉडल की दर्पण समरूपता के कारण, दाईं ओर से आपतन के आयाम बाईं ओर से समान हैं। ध्यान दें कि ये अभिव्यक्तियाँ किसी भी ऊर्जा $E>0$, $E\neq V_{0}$. के लिए मान्य हैं यदि $E=V_{0}$, तब $k_{1}=0$, अत: इन दोनों भावों में विलक्षणता है।

प्राप्त भावों का विश्लेषण

E < V₀

के लिए सीमित संभावित अवरोध के माध्यम से संचरण संभावना ${\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }$ = 1, 3, और 7. धराशायी: मौलिक परिणाम। ठोस रेखा: क्वांटम यांत्रिक परिणाम।

आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि अवरोध ऊंचाई से कम ऊर्जा के लिए, $E<V_{0}$ गैर-शून्य संभावना है

$$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}$$

कण को अवरोध के माध्यम से प्रसारित करने के लिए, ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$. के साथ। यह प्रभाव, जो मौलिक स्थिति से भिन्न है, क्वांटम टनलिंग कहलाता है। ट्रांसमिशन को बैरियर चौड़ाई के साथ तेजी से दबाया जाता है, इस प्रकार जिसे तरंग फ़ंक्शन के कार्यात्मक रूप से समझा जा सकता है: बैरियर के बाहर यह तरंग वेक्टर $k_{0}$, के साथ दोलन करता है, जबकि बैरियर के अन्दर यह दूरी $1/k_{1}$. पर तेजी से नम होता है। यदि अवरोध इस क्षय लंबाई से अधिक चौड़ा है, तो बाएँ और दाएँ भाग वस्तुतः स्वतंत्र होते हैं और परिणामस्वरूप सुरंग बनाना दब जाता है।

E > V₀

इस स्थिति में

$$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},$$

जहाँ ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$.

उतना ही मौलिक की बात यह है कि अवरोध की ऊँचाई $E>V_{0}$ से अधिक ऊर्जा के लिए कण को गैर-शून्य संभावना के साथ अवरोध से परावर्तित किया जा सकता है

$$R=|r|^{2}=1-T.$$

संचरण और परावर्तन संभावनाएँ वास्तव में $k_{1}a$ के साथ दोलन कर रही हैं। इस प्रकार किसी प्रतिबिंब के सही संचरण का मौलिक परिणाम ($T=1$, $R=0$) न केवल उच्च ऊर्जा $E\gg V_{0}$ की सीमा में पुन: उत्पन्न होता है, किन्तु तब भी जब ऊर्जा और बाधा चौड़ाई संतुष्ट होती है। इस प्रकार $k_{1}a=n\pi$ जहां $n=1,2,\dots$ (उपरोक्त चित्र में $E/V_{0}=1.2$ और 1.8 के पास चोटियां देखें)। ध्यान दें कि लिखी गई संभावनाएं और आयाम किसी भी ऊर्जा (ऊपर/नीचे) बाधा ऊंचाई के लिए हैं।

E = V₀

$E=V_{0}$ पर संचरण संभावना है

$$T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.$$

यह अभिव्यक्ति अन्य स्थितियों की तरह ऊपर बताए गए स्थिरांकों से संचरण गुणांक की गणना करके या $E$ के $V_{0}$ के निकट पहुंचने पर $T$ की सीमा लेकर प्राप्त की जा सकती है। इस प्रयोजन के लिए अनुपात

$$x={\frac {E}{V_{0}}}$$

परिभाषित किया गया है, जिसका उपयोग फलन $f(x)$ में किया जाता है :

$$f(x)={\frac {sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}$$

आखिरी समीकरण में $v_{0}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}$$

इन परिभाषाओं को $T$ अभिव्यक्ति में डाला जा सकता है जो $E<V_{0}$ स्थिति के लिए प्राप्त किया गया था .

$$T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}$$

अब, जब x 1 के निकट पहुंचता है तो $f(x)$ किसी फलन की सीमा करते समय (L'हॉस्पिटल के नियम का उपयोग करके),

$\lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}cosh(0)=v_{0}$

जैसे-जैसे $x$ 1 की ओर बढ़ता है, $T(x)$ की सीमा भी प्राप्त की जा सकती है:

$\lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}$

सीमा के लिए मूल्यांकित मान में $v_{0}$ के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को प्लग करके T के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को सफलतापूर्वक पुन: प्रस्तुत किया जाता है।

टिप्पणियाँ और आवेदन

ऊपर प्रस्तुत गणना पहली बार में अवास्तविक और संभवतः ही उपयोगी लग सकती है। चूँकि यह विभिन्न वास्तविक जीवन प्रणालियों के लिए उपयुक्त मॉडल सिद्ध हुआ है। ऐसा उदाहरण दो विद्युत चालकता पदार्थो के मध्य इंटरफेस है। इस प्रकार अधिकांश पदार्थो में, इलेक्ट्रॉनों की गति अर्ध-मुक्त होती है और इसे प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) $m$ के साथ उपरोक्त हैमिल्टनियन में गतिज शब्द द्वारा वर्णित किया जा सकता है। अधिकांशतः ऐसी पदार्थो की सतहें ऑक्साइड लेयर से आवरण होती हैं या अन्य कारणों से आदर्श नहीं होती हैं। इस पतली, गैर-संवाहक परत को ऊपर बताए अनुसार अवरोध क्षमता द्वारा मॉडल किया जा सकता है। फिर इलेक्ट्रॉन पदार्थ से दूसरे पदार्थ तक सुरंग बना सकते हैं, जिससे करंट उत्पन्न होता है।

स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (एसटीएम) का संचालन इस टनलिंग प्रभाव पर निर्भर करता है। उस स्थिति में, अवरोध एसटीएम की नोक और अंतर्निहित वस्तु के मध्य के अंतर के कारण होती है। चूंकि सुरंग का प्रवाह अवरोध की चौड़ाई पर तेजी से निर्भर करता है, इसलिए यह उपकरण जांचे गए नमूने पर ऊंचाई भिन्नता के प्रति अत्यधिक संवेदनशील है।

उपरोक्त मॉडल एक-आयामी है, जबकि अंतरिक्ष त्रि-आयामी है। इस प्रकार श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में हल करना चाहिए। दूसरी ओर, अनेक प्रणालियाँ केवल समन्वय दिशा में परिवर्तित होती हैं और दूसरों के साथ अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीय होती हैं; वह वैरीएबल का पृथक्करण हैं। श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार के तरंग फलन के लिए एन्सैट्ज़ द्वारा यहां विचार किए गए स्थिति में कम किया जा सकता है: $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)$.

अवरोध के दूसरे संबंधित मॉडल के लिए, डेल्टा संभावित अवरोध (क्यूएम) देखें, जिसे परिमित संभावित अवरोध का विशेष स्थिति माना जा सकता है। इस प्रकार इस आलेख के सभी परिणाम तुरंत $V_{0}\to \infty ,\;a\to 0$ को स्थिर रखते हुए सीमा $V_{0}a=\lambda$ लेकर डेल्टा संभावित अवरोध पर प्रयुक्त होते हैं।

यह भी देखें

• मोर्स/लंबी दूरी की क्षमता
• स्टेप क्षमता
• सीमित क्षमता अच्छी तरह से
• पाउली अपवर्जन सिद्धांत

संदर्भ

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck; et al. (1996). Quantum mechanics. transl. from the French by Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. pp. 231–233. ISBN 978-0-471-56952-7.