गिवेंस घूर्णन: Difference between revisions

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[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में, गिवेन्स रोटेशन दो निर्देशांक अक्षों द्वारा फैले विमान में एक [[घूर्णन (गणित)]] है। गिवेंस रोटेशन का नाम [[वालेस गिवेन्स]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1950 के दशक में उन्हें संख्यात्मक विश्लेषकों से परिचित कराया था जब वह [[आर्गोन नेशनल लेबोरेटरी]] में काम कर रहे थे।
[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में, '''गिवेंस घूर्णन''' दो समन्वय अक्षों द्वारा फैलाए गए समतल में एक [[घूर्णन (गणित)]] है। गिवेंस घूर्णन का नाम [[वालेस गिवेन्स]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1950 के दशक में [[आर्गोन नेशनल लेबोरेटरी]] में काम करते समय उन्हें संख्यात्मक विश्लेषकों से परिचित कराया था।


== मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ==
== आव्यूह प्रतिनिधित्व ==


गिवेन्स रोटेशन को फॉर्म के [[मैट्रिक्स (गणित)]] द्वारा दर्शाया जाता है
गिवेन्स घूर्णन को फॉर्म के [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जाता है


:<math>G(i, j, \theta) =  
:<math>G(i, j, \theta) =  
Line 14: Line 14:
                         0  & \cdots &    0  & \cdots &    0  & \cdots &    1
                         0  & \cdots &    0  & \cdots &    0  & \cdots &    1
       \end{bmatrix},</math>
       \end{bmatrix},</math>
कहाँ {{math|1=''c'' = cos ''θ''}} और {{math|1=''s'' = sin ''θ''}} चौराहों पर दिखाई देते हैं {{mvar|i}}वें और {{mvar|j}}वीं पंक्तियाँ और स्तंभ। यानी तय के लिए {{mvar|i}} {{mvar|>}} {{mvar|j}}, गिवेंस मैट्रिक्स के गैर-शून्य तत्व इस प्रकार दिए गए हैं:
जहाँ {{math|1=''c'' = cos ''θ''}} और {{math|1=''s'' = sin ''θ''}} {{mvar|i}}th और {{mvar|i}}th पंक्तियों और स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर दिखाई देते हैं। अर्थात्, निश्चित {{mvar|i}} {{mvar|>}} {{mvar|j}} के लिए, गिवेंस आव्यूह के गैर-शून्य तत्व इस प्रकार दिए गए हैं:
 
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
  g_{kk} &{}= 1 \qquad \text{for} \ k \ne i,\,j\\
  g_{kk} &{}= 1 \qquad \text{for} \ k \ne i,\,j\\
Line 20: Line 21:
  g_{ji} &{} = -g_{ij}= -s\\
  g_{ji} &{} = -g_{ij}= -s\\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
उत्पाद {{math|''G''(''i'', ''j'', ''θ'')'''x'''}} [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन सदिश]] के वामावर्त घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है {{math|'''x'''}} में {{math|(''i'', ''j'')}} का विमान {{mvar|θ}} रेडियन, इसलिए नाम गिवेंस रोटेशन।
उत्पाद {{math|''G''(''i'', ''j'', ''θ'')'''x'''}} [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन सदिश]] के वामावर्त घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है, {{math|'''x'''}} में {{math|(''i'', ''j'')}} का समतल {{mvar|θ}} रेडियन, इसलिए नाम गिवेंस घूर्णन है।


संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में गिवेंस रोटेशन का मुख्य उपयोग शून्य का परिचय देना है सदिशों या आव्यूहों में।
संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में गिवेंस घूर्णन का मुख्य उपयोग सदिश या आव्यूह में शून्य [स्पष्टीकरण की आवश्यकता] को प्रस्तुत करना है। उदाहरण के लिए, इस प्रभाव को आव्यूह के क्यूआर अपघटन की गणना के लिए नियोजित किया जा सकता है। घरेलू परिवर्तनों की तुलना में एक लाभ यह है कि उन्हें आसानी से समानांतर किया जा सकता है, और दूसरा यह है कि प्रायः बहुत विरल आव्यूह के लिए उनकी संचालन संख्या कम होती है।
उदाहरण के लिए, इस प्रभाव को मैट्रिक्स के [[क्यूआर अपघटन]] की गणना के लिए नियोजित किया जा सकता है। घरेलू परिवर्तनों पर एक फायदा यह है कि उन्हें आसानी से समानांतर किया जा सकता है, और दूसरा यह है कि अक्सर बहुत विरल मैट्रिक्स के लिए उनकी संचालन संख्या कम होती है।


== स्थिर गणना ==
== स्थिर गणना ==
जब एक गिवेंस रोटेशन मैट्रिक्स, {{math|''G''(''i'', ''j'', ''θ'')}}, दूसरे मैट्रिक्स को गुणा करता है, {{mvar|A}}, बाएं से, {{math|''G A''}}, केवल पंक्तियाँ {{mvar|i}} और {{mvar|j}} का {{mvar|A}} प्रभावित कर रहे हैं। इस प्रकार हम निम्नलिखित वामावर्त समस्या पर ध्यान केंद्रित करते हैं। दिया गया {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, पाना {{math|1=''c'' = cos ''θ''}} और {{math|1=''s'' = sin ''θ''}} ऐसा है कि
जब एक गिवेंस घूर्णन आव्यूह, {{math|''G''(''i'', ''j'', ''θ'')}}, दूसरे आव्यूह को गुणा करता है, {{mvar|A}}, बाएं से, {{math|''G A''}}, केवल पंक्तियाँ {{mvar|i}} और {{mvar|j}} का {{mvar|A}} प्रभावित कर रहे हैं। इस प्रकार हम निम्नलिखित वामावर्त समस्या पर ध्यान केंद्रित करते हैं। दिया गया {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, पाना {{math|1=''c'' = cos ''θ''}} और {{math|1=''s'' = sin ''θ''}} ऐसा है कि
:<math> \begin{bmatrix} c & -s \\ s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ 0 \end{bmatrix} , </math>
:<math> \begin{bmatrix} c & -s \\ s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ 0 \end{bmatrix} , </math>
कहाँ <math> r = \sqrt{a^2 + b^2} </math> सदिश की लंबाई है <math>(a,b)</math>.
जहाँ <math> r = \sqrt{a^2 + b^2} </math> सदिश की लंबाई <math>(a,b)</math> है। स्पष्ट गणना {{mvar|θ}} संभवतया ही कभी आवश्यक या वांछनीय हो। इसके बदले में हम सीधे खोजते हैं {{mvar|c}} और {{mvar|s}}. एक स्पष्ट समाधान होगा
की स्पष्ट गणना {{mvar|θ}} शायद ही कभी आवश्यक या वांछनीय हो। इसके बजाय हम सीधे खोजते हैं {{mvar|c}} और {{mvar|s}}. एक स्पष्ट समाधान होगा
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
  c &{}\larr a / r \\
  c &{}\larr a / r \\
  s &{}\larr -b / r.
  s &{}\larr -b / r.
\end{align}</math><ref>{{cite book|last1=Björck|first1=Ake|title=न्यूनतम वर्ग समस्याओं के लिए संख्यात्मक विधियाँ|date=1996|publisher=SIAM|location=United States|isbn=9780898713602|page=54|url=https://books.google.com/books?id=aQD1LLYz6tkC|accessdate=16 August 2016|language=en}}</ref>
\end{align}</math><ref>{{cite book|last1=Björck|first1=Ake|title=न्यूनतम वर्ग समस्याओं के लिए संख्यात्मक विधियाँ|date=1996|publisher=SIAM|location=United States|isbn=9780898713602|page=54|url=https://books.google.com/books?id=aQD1LLYz6tkC|accessdate=16 August 2016|language=en}}</ref>
हालाँकि, के लिए गणना {{mvar|r}} [[अंकगणित अतिप्रवाह]] या अल्पप्रवाह हो सकता है। इस समस्या से बचने का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण {{harv|Golub|Van Loan|1996|loc=§5.1.8}} को कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में [[हाइपोट]] फ़ंक्शन के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।
हालाँकि, के लिए गणना {{mvar|r}} अंकगणित अतिप्रवाह या अल्पप्रवाह हो सकता है। इस समस्या से बचने का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण {{harv|गोलब|वैन लोन|1996|loc=§5.1.8}} को कई प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में हाइपोट फलन के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।


निम्नलिखित फोरट्रान कोड वास्तविक संख्याओं के लिए गिवेंस रोटेशन का एक न्यूनतम कार्यान्वयन है। यदि इनपुट मान '' या 'बी' अक्सर शून्य होते हैं, तो इन मामलों को संभालने के लिए कोड को अनुकूलित किया जा सकता है जैसा कि प्रस्तुत किया गया है [https://dl.acm.org/cition.cfm?doid=567806.567809 यहां]।
निम्नलिखित फोरट्रान कोड वास्तविक संख्याओं के लिए गिवेंस घूर्णन का एक न्यूनतम कार्यान्वयन है। यदि इनपुट मान 'a' या 'b' प्रायः शून्य होते हैं, तो इन मामलों को संभालने के लिए कोड को अनुकूलित किया जा सकता है जैसा कि प्रस्तुत किया गया है [https://dl.acm.org/cition.cfm?doid=567806.567809 यहां]।


<syntaxhighlight lang=fortran>
<syntaxhighlight lang=fortran>
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end
end
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
इसके अलावा, जैसा कि एडवर्ड एंडरसन ने [[LAPACK]] को बेहतर बनाने में खोजा था, पहले से अनदेखा किया गया संख्यात्मक विचार निरंतरता है। इसे प्राप्त करने के लिए हमें आवश्यकता है {{mvar|r}} सकारात्मक होना।<ref>{{cite web|publisher=University of Tennessee at Knoxville and Oak Ridge National Laboratory|last1=Anderson|first1=Edward|title=असंतुलित समतल घुमाव और सममित आइगेनवैल्यू समस्या|url=http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn150.pdf|accessdate=16 August 2016|date=4 December 2000|series=LAPACK Working Note}}</ref> निम्नलिखित [[MATLAB]]/GNU ऑक्टेव कोड एल्गोरिथम को दर्शाता है।
इसके अतिरिक्त, जैसा कि एडवर्ड एंडरसन ने लैपैक (LAPACK) को उत्तम बनाने में खोजा था, पहले से अनदेखा किया गया संख्यात्मक विचार निरंतरता है। इसे प्राप्त करने के लिए, हमें {{mvar|r}} का धनात्मक होना आवश्यक है।<ref>{{cite web|publisher=University of Tennessee at Knoxville and Oak Ridge National Laboratory|last1=Anderson|first1=Edward|title=असंतुलित समतल घुमाव और सममित आइगेनवैल्यू समस्या|url=http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn150.pdf|accessdate=16 August 2016|date=4 December 2000|series=LAPACK Working Note}}</ref> निम्नलिखित मैटलैब/जेएनयू (MATLAB/GNU) ऑक्टेव कोड एल्गोरिथम को दर्शाता है।  


<syntaxhighlight lang="matlab">
<syntaxhighlight lang="matlab">
function [c, s, r] = givens_rotation(a, b)
function [c, s, r] = givens_rotation(a, b)
     if b == 0;
     if b == 0;
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end
end
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
[[आईईईई 754]] <code>copysign(x,y)</code> फ़ंक्शन, साइन को कॉपी करने का एक सुरक्षित और सस्ता तरीका प्रदान करता है <code>y</code> को <code>x</code>. यदि वह उपलब्ध नहीं है, {{math|{{abs|''x''}}⋅sgn(''y'')}}, निरपेक्ष मान और [[साइन फ़ंक्शन]] फ़ंक्शंस का उपयोग करना, एक विकल्प है जैसा कि ऊपर किया गया है।
[[आईईईई 754]] <code>copysign(x,y)</code> फलन, साइन को कॉपी करने का एक सुरक्षित और सरल तरीका प्रदान करता है <code>y</code> को <code>x</code>. यदि वह उपलब्ध नहीं है, {{math|{{abs|''x''}}⋅sgn(''y'')}}, निरपेक्ष मान और [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] का उपयोग करना, एक विकल्प है जैसा कि ऊपर किया गया है।


== त्रिकोणीकरण ==
== त्रिकोणीकरण ==
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                         0    &    4    &    3    \\
                         0    &    4    &    3    \\
       \end{bmatrix},</math>
       \end{bmatrix},</math>
क्यूआर अपघटन की गणना करने के लिए एक ऊपरी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] प्राप्त करने के लिए गिवेंस रोटेशन के दो पुनरावृत्तियों को निष्पादित करें (ध्यान दें कि यहां इस्तेमाल किया गया गिवेंस रोटेशन एल्गोरिदम ऊपर से थोड़ा अलग है)।
क्यूआर अपघटन की गणना करने के लिए एक ऊपरी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] प्राप्त करने के लिए गिवेंस घूर्णन के दो पुनरावृत्तियों को निष्पादित करें (ध्यान दें कि यहां प्रयोग किया गया गिवेंस घूर्णन एल्गोरिदम ऊपर से थोड़ा अलग है)।


वांछित मैट्रिक्स बनाने के लिए, हमें शून्य तत्व होने चाहिए {{gaps|(2,|1)}} और {{gaps|(3,|2)}}. हम पहले तत्व का चयन करते हैं {{gaps|(2,|1)}}शून्य करने के लिए. के रोटेशन मैट्रिक्स का उपयोग करना:
वांछित आव्यूह बनाने के लिए, हमें शून्य तत्व (2,1) और (3,2) चाहिए। हम पहले तत्वों (2,1) से शून्य तक का चयन करते हैं। घूर्णन आव्यूह का उपयोग करना:
:<math>G_{1} =
:<math>G_{1} =
       \begin{bmatrix}  c    &    -s    &    0  \\
       \begin{bmatrix}  c    &    -s    &    0  \\
Line 107: Line 106:
                         0    &    0    &    1    \\
                         0    &    0    &    1    \\
       \end{bmatrix}.</math>
       \end{bmatrix}.</math>
हमारे पास निम्नलिखित मैट्रिक्स गुणन है:
हमारे पास निम्नलिखित आव्यूह गुणन है:
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 121: Line 120:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
कहाँ
जहाँ
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
  r &{}= \sqrt{6^2 + 5^2} \approx 7.8102 \\
  r &{}= \sqrt{6^2 + 5^2} \approx 7.8102 \\
Line 128: Line 127:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
के लिए इन मानों को प्लग इन करना {{mvar|c}} और {{mvar|s}} और पैदावार के ऊपर मैट्रिक्स गुणन निष्पादित करना {{mvar|A<sub>2</sub>}}:
के लिए इन मानों को प्लग इन करना {{mvar|c}} और {{mvar|s}} और पैदावार के ऊपर आव्यूह गुणन निष्पादित करना {{mvar|A<sub>2</sub>}}:
:<math>A_2 \approx \begin{bmatrix}  7.8102    &    4.4813    &    2.5607  \\
:<math>A_2 \approx \begin{bmatrix}  7.8102    &    4.4813    &    2.5607  \\
                                 0    &    -2.4327    &    3.0729  \\
                                 0    &    -2.4327    &    3.0729  \\
                                 0    &          4    &        3  \\
                                 0    &          4    &        3  \\
       \end{bmatrix}</math>
       \end{bmatrix}</math>
अब हम तत्व को शून्य करना चाहते हैं {{gaps|(3,|2)}} प्रक्रिया को समाप्त करने के लिए। पहले की तरह ही विचार का उपयोग करते हुए, हमारे पास एक रोटेशन मैट्रिक्स है:
अब हम तत्व को शून्य करना चाहते हैं {{gaps|(3,|2)}} प्रक्रिया को समाप्त करने के लिए। पहले की तरह ही विचार का उपयोग करते हुए, हमारे पास एक घूर्णन आव्यूह है:
:<math>G_{2} =
:<math>G_{2} =
       \begin{bmatrix}  1    &    0    &    0  \\
       \begin{bmatrix}  1    &    0    &    0  \\
Line 139: Line 138:
                         0    &    s  &    c    \\
                         0    &    s  &    c    \\
       \end{bmatrix}</math>
       \end{bmatrix}</math>
हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स गुणन प्रस्तुत किया गया है:
हमें निम्नलिखित आव्यूह गुणन प्रस्तुत किया गया है:
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 153: Line 152:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
कहाँ
जहाँ
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
  r &{}\approx \sqrt{(-2.4327)^2 + 4^2} \approx 4.6817 \\
  r &{}\approx \sqrt{(-2.4327)^2 + 4^2} \approx 4.6817 \\
Line 160: Line 159:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
के लिए इन मानों को प्लग इन करना {{mvar|c}} और {{mvar|s}} और गुणन करने से हमें प्राप्त होता है {{mvar|A<sub>3</sub>}}:
 
 
{{mvar|c}} और {{mvar|s}} के लिए इन मानों को जोड़ने और गुणन करने से हमें {{mvar|A<sub>3</sub>}} प्राप्त होता है:
:<math>A_3 \approx
:<math>A_3 \approx
       \begin{bmatrix}  7.8102    &    4.4813    &    2.5607  \\
       \begin{bmatrix}  7.8102    &    4.4813    &    2.5607  \\
Line 167: Line 168:
       \end{bmatrix}.
       \end{bmatrix}.
</math>
</math>
यह नया मैट्रिक्स {{mvar|A<sub>3</sub>}} क्यूआर अपघटन की पुनरावृत्ति करने के लिए आवश्यक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।  {{mvar|Q}} अब निम्नलिखित तरीके से रोटेशन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण का उपयोग करके बनाया गया है:
यह नया आव्यूह {{mvar|A<sub>3</sub>}} क्यूआर अपघटन की पुनरावृत्ति करने के लिए आवश्यक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है।  {{mvar|Q}} अब निम्नलिखित तरीके से घूर्णन आव्यूह के स्थानान्तरण का उपयोग करके बनाया गया है:


:<math>Q = G_{1}^T\, G_{2}^T.
:<math>Q = G_{1}^T\, G_{2}^T.
</math>
</math>
इस मैट्रिक्स गुणन को निष्पादित करने से प्राप्त होता है:
इस आव्यूह गुणन को निष्पादित करने से प्राप्त होता है:
:<math>Q \approx
:<math>Q \approx
       \begin{bmatrix}  0.7682    &  0.3327    &    0.5470  \\
       \begin{bmatrix}  0.7682    &  0.3327    &    0.5470  \\
Line 177: Line 178:
                         0    &    0.8544    &    -0.5196    \\
                         0    &    0.8544    &    -0.5196    \\
       \end{bmatrix}.</math>
       \end{bmatrix}.</math>
यह गिवेंस रोटेशन के दो पुनरावृत्तियों को पूरा करता है और क्यूआर अपघटन की गणना अब की जा सकती है।
यह गिवेंस घूर्णन के दो पुनरावृत्तियों को पूरा करता है और क्यूआर अपघटन की गणना अब की जा सकती है।


==क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में==
==क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में==


क्लिफ़ोर्ड बीजगणित और इसकी बाल संरचनाओं जैसे [[ज्यामितीय बीजगणित]] में घुमावों को [[bivector]] द्वारा दर्शाया जाता है। दिए गए घुमावों को आधार वैक्टर के बाहरी उत्पाद द्वारा दर्शाया जाता है। आधार वैक्टर की किसी भी जोड़ी को देखते हुए <math>\mathbf e_i, \mathbf e_j</math> दिए गए घूर्णन द्विभाजक हैं:
क्लिफ़ोर्ड बीजगणित और इसकी बाल संरचनाओं जैसे [[ज्यामितीय बीजगणित]] में घुमावों को द्विसदिश द्वारा दर्शाया जाता है। दिए गए घुमावों को आधार सदिश के बाहरी उत्पाद द्वारा दर्शाया जाता है। आधार सदिश की किसी भी जोड़ी को देखते हुए <math>\mathbf e_i, \mathbf e_j</math> दिए गए घूर्णन द्विभाजक हैं:


: <math>B_{ij} = \mathbf e_i \wedge \mathbf e_j.</math>
: <math>B_{ij} = \mathbf e_i \wedge \mathbf e_j.</math>
Line 187: Line 188:


: <math>v=e^{-(\theta/2)(\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j)}u e^{(\theta/2)(\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j)},</math>
: <math>v=e^{-(\theta/2)(\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j)}u e^{(\theta/2)(\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j)},</math>
कहाँ
जहाँ


: <math>e^{(\theta/2)(\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j)}= \cos(\theta/2)+  \sin(\theta/2) \mathbf e_i \wedge \mathbf e_j.</math>
: <math>e^{(\theta/2)(\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j)}= \cos(\theta/2)+  \sin(\theta/2) \mathbf e_i \wedge \mathbf e_j.</math>
Line 193: Line 194:


==आयाम 3==
==आयाम 3==
{{see also|Euler angles|Davenport rotations}}
{{see also|यूलर कोण|डेवनपोर्ट घूर्णन}}


आयाम 3 में तीन गिवेंस घुमाव हैं:
आयाम 3 में तीन गिवेंस घुमाव हैं:
Line 236: Line 237:
यह देखते हुए कि वे [[एंडोमोर्फिज्म]] हैं, इसे ध्यान में रखते हुए, उन्हें एक-दूसरे के साथ जितनी बार चाहें, बनाया जा सकता है {{math|''g'' ∘ ''f'' ≠ ''f'' ∘ ''g''}}.
यह देखते हुए कि वे [[एंडोमोर्फिज्म]] हैं, इसे ध्यान में रखते हुए, उन्हें एक-दूसरे के साथ जितनी बार चाहें, बनाया जा सकता है {{math|''g'' ∘ ''f'' ≠ ''f'' ∘ ''g''}}.


ये तीन गिवेंस रोटेशन फंक्शन कंपोजिशन#रोटेशन कंपोजिशन डेवनपोर्ट चेन्ड रोटेशन|डेवेनपोर्ट के चेन्ड रोटेशन प्रमेय के अनुसार किसी भी रोटेशन मैट्रिक्स को उत्पन्न कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि वे अंतरिक्ष के [[मानक आधार]] को अंतरिक्ष में किसी अन्य फ्रेम में परिवर्तित (ज्यामिति) कर सकते हैं।{{clarify|date=March 2014}}
ये तीन गिवेंस घूर्णन फंक्शन कंपोजिशन#घूर्णन कंपोजिशन डेवनपोर्ट चेन्ड घूर्णन|डेवेनपोर्ट के चेन्ड घूर्णन प्रमेय के अनुसार किसी भी घूर्णन आव्यूह को उत्पन्न कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि वे अंतरिक्ष के [[मानक आधार]] को अंतरिक्ष में किसी अन्य फ्रेम में परिवर्तित (ज्यामिति) कर सकते हैं।


जब घूर्णन सही क्रम में किया जाता है, तो अंतिम फ्रेम के घूर्णन कोणों का मान संबंधित परिपाटी में अंतिम फ्रेम के [[यूलर कोण]]ों के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, एक ऑपरेटर <math>R = R_Y(\theta_3)\cdot R_X(\theta_2)\cdot R_Z(\theta_1)</math> अंतरिक्ष के आधार को कोण रोल, पिच और यॉ के साथ एक फ्रेम में बदल देता है <math>YPR = (\theta_3,\theta_2,\theta_1)</math> टैट-ब्रायन कोणों में | टैट-ब्रायन सम्मेलन z-x-y (सम्मेलन जिसमें नोड्स की रेखा z और Y अक्षों के लंबवत होती है, जिसे Y-X′-Z″ भी कहा जाता है)।
जब घूर्णन सही क्रम में किया जाता है, तो अंतिम फ्रेम के घूर्णन कोणों का मान संबंधित परिपाटी में अंतिम फ्रेम के [[यूलर कोण]]ों के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, एक ऑपरेटर <math>R = R_Y(\theta_3)\cdot R_X(\theta_2)\cdot R_Z(\theta_1)</math> अंतरिक्ष के आधार को कोण रोल, पिच और यॉ के साथ एक फ्रेम में बदल देता है <math>YPR = (\theta_3,\theta_2,\theta_1)</math> टैट-ब्रायन कोणों में है। टैट-ब्रायन सम्मेलन z-x-y (सम्मेलन जिसमें नोड्स की रेखा z और Y अक्षों के लंबवत होती है, जिसे Y-X′-Z″ भी कहा जाता है)।


इसी कारण से, 3डी में किसी भी [[रोटेशन मैट्रिक्स]] को इन [[त्रि-आयामी रोटेशन ऑपरेटर]]ों में से तीन के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।
इसी कारण से, 3डी में किसी भी [[रोटेशन मैट्रिक्स|घूर्णन आव्यूह]] को इन [[त्रि-आयामी रोटेशन ऑपरेटर|त्रि-आयामी घूर्णन ऑपरेटर]]ों में से तीन के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।


दो गिवेन्स घुमावों की संरचना का अर्थ {{math|''g'' ∘ ''f''}} एक ऑपरेटर है जो पहले वैक्टर को बदलता है {{mvar|f}} और फिर द्वारा {{mvar|g}}, प्राणी {{mvar|f}} और {{mvar|g}} अंतरिक्ष के आधार के एक अक्ष के बारे में घूर्णन। यह यूलर कोणों के समान है#यूलर कोणों के लिए बाहरी घुमावों की संरचना के रूप में यूलर कोण।
दो गिवेन्स घुमावों की संरचना का अर्थ {{math|''g'' ∘ ''f''}} एक ऑपरेटर है जो पहले सदिश को बदलता है {{mvar|f}} और फिर द्वारा {{mvar|g}}, प्राणी {{mvar|f}} और {{mvar|g}} अंतरिक्ष के आधार के एक अक्ष के बारे में घूर्णन है। यह यूलर कोणों के समान है#यूलर कोणों के लिए बाहरी घुमावों की संरचना के रूप में यूलर कोण है।


===रचित घुमावों की तालिका===
===रचित घुमावों की तालिका===


निम्न तालिका [[सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन]] की बाहरी संरचना (आधार अक्षों के बारे में घूर्णन की संरचना) और कोणों के सकारात्मक संकेत के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके विभिन्न यूलर कोण सम्मेलनों के समतुल्य तीन गिवेंस रोटेशन दिखाती है।
निम्न तालिका [[सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन]] की बाहरी संरचना (आधार अक्षों के बारे में घूर्णन की संरचना) और कोणों के सकारात्मक संकेत के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके विभिन्न यूलर कोण सम्मेलनों के समतुल्य तीन गिवेंस घूर्णन दिखाती है।


अंकन को इस प्रकार सरल बनाया गया है {{math|''c''<sub>1</sub>}} साधन {{math|cos ''θ''<sub>1</sub>}} और {{math|''s''<sub>2</sub>}} साधन {{math|sin ''θ''<sub>2</sub>)}}. कोणों के उपसूचकांक वह क्रम हैं जिसमें उन्हें बाहरी संरचना का उपयोग करके लागू किया जाता है (1 आंतरिक रोटेशन के लिए, 2 संकेतन के लिए, 3 पूर्वगमन के लिए)
अंकन को इस प्रकार सरल बनाया गया है {{math|''c''<sub>1</sub>}} साधन {{math|cos ''θ''<sub>1</sub>}} और {{math|''s''<sub>2</sub>}} साधन {{math|sin ''θ''<sub>2</sub>)}}. कोणों के उपसूचकांक वह क्रम हैं जिसमें उन्हें बाहरी संरचना का उपयोग करके लागू किया जाता है (1 आंतरिक घूर्णन के लिए, 2 संकेतन के लिए, 3 पूर्वगमन के लिए)


चूंकि घुमावों को यूलर कोणों के बिल्कुल विपरीत क्रम में लागू किया जाता है #रचित घुमावों की तालिका, यह तालिका समान है लेकिन संबंधित प्रविष्टि से जुड़े कोणों में सूचकांक 1 और 3 की अदला-बदली करती है। Zxy जैसी प्रविष्टि का अर्थ है आधार अक्षों में पहले y रोटेशन, फिर x और अंत में z लागू करना।
चूंकि घुमावों को यूलर कोणों के बिल्कुल विपरीत क्रम में लागू किया जाता है रचित घुमावों की तालिका, यह तालिका समान है लेकिन संबंधित प्रविष्टि से जुड़े कोणों में सूचकांक 1 और 3 की अदला-बदली करती है। Zxy जैसी प्रविष्टि का अर्थ है आधार अक्षों में पहले y घूर्णन, फिर x और अंत में z लागू करना।


सभी रचनाएँ आव्यूहों के लिए दाहिने हाथ की परिपाटी को मानती हैं जिन्हें गुणा किया जाता है, जिससे निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं।
सभी रचनाएँ आव्यूहों के लिए दाहिने हाथ की परिपाटी को मानती हैं जिन्हें गुणा किया जाता है, जिससे निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं।
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[जैकोबी रोटेशन]]
* [[जैकोबी रोटेशन|जैकोबी घूर्णन]]
* [[घूर्णन का तल]]
* [[घूर्णन का तल]]
*गृहस्थ परिवर्तन
*गृहस्थ परिवर्तन

Revision as of 18:42, 5 August 2023

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, गिवेंस घूर्णन दो समन्वय अक्षों द्वारा फैलाए गए समतल में एक घूर्णन (गणित) है। गिवेंस घूर्णन का नाम वालेस गिवेन्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1950 के दशक में आर्गोन नेशनल लेबोरेटरी में काम करते समय उन्हें संख्यात्मक विश्लेषकों से परिचित कराया था।

आव्यूह प्रतिनिधित्व

गिवेन्स घूर्णन को फॉर्म के आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है

जहाँ c = cos θ और s = sin θ ith और ith पंक्तियों और स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर दिखाई देते हैं। अर्थात्, निश्चित i > j के लिए, गिवेंस आव्यूह के गैर-शून्य तत्व इस प्रकार दिए गए हैं:

उत्पाद G(i, j, θ)x यूक्लिडियन सदिश के वामावर्त घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है, x में (i, j) का समतल θ रेडियन, इसलिए नाम गिवेंस घूर्णन है।

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में गिवेंस घूर्णन का मुख्य उपयोग सदिश या आव्यूह में शून्य [स्पष्टीकरण की आवश्यकता] को प्रस्तुत करना है। उदाहरण के लिए, इस प्रभाव को आव्यूह के क्यूआर अपघटन की गणना के लिए नियोजित किया जा सकता है। घरेलू परिवर्तनों की तुलना में एक लाभ यह है कि उन्हें आसानी से समानांतर किया जा सकता है, और दूसरा यह है कि प्रायः बहुत विरल आव्यूह के लिए उनकी संचालन संख्या कम होती है।

स्थिर गणना

जब एक गिवेंस घूर्णन आव्यूह, G(i, j, θ), दूसरे आव्यूह को गुणा करता है, A, बाएं से, G A, केवल पंक्तियाँ i और j का A प्रभावित कर रहे हैं। इस प्रकार हम निम्नलिखित वामावर्त समस्या पर ध्यान केंद्रित करते हैं। दिया गया a और b, पाना c = cos θ और s = sin θ ऐसा है कि

जहाँ सदिश की लंबाई है। स्पष्ट गणना θ संभवतया ही कभी आवश्यक या वांछनीय हो। इसके बदले में हम सीधे खोजते हैं c और s. एक स्पष्ट समाधान होगा

[1]

हालाँकि, के लिए गणना r अंकगणित अतिप्रवाह या अल्पप्रवाह हो सकता है। इस समस्या से बचने का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण (गोलब & वैन लोन 1996, §5.1.8) को कई प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में हाइपोट फलन के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।

निम्नलिखित फोरट्रान कोड वास्तविक संख्याओं के लिए गिवेंस घूर्णन का एक न्यूनतम कार्यान्वयन है। यदि इनपुट मान 'a' या 'b' प्रायः शून्य होते हैं, तो इन मामलों को संभालने के लिए कोड को अनुकूलित किया जा सकता है जैसा कि प्रस्तुत किया गया है यहां

subroutine givens_rotation(a, b, c, s, r)

real a, b, c, s, r
real h, d

if (b.ne.0.0) then
    h = hypot(a, b)
    d = 1.0 / h
    c = abs(a) * d
    s = sign(d, a) * b
    r = sign(1.0, a) * h
else
    c = 1.0
    s = 0.0
    r = a
end if

return
end

इसके अतिरिक्त, जैसा कि एडवर्ड एंडरसन ने लैपैक (LAPACK) को उत्तम बनाने में खोजा था, पहले से अनदेखा किया गया संख्यात्मक विचार निरंतरता है। इसे प्राप्त करने के लिए, हमें r का धनात्मक होना आवश्यक है।[2] निम्नलिखित मैटलैब/जेएनयू (MATLAB/GNU) ऑक्टेव कोड एल्गोरिथम को दर्शाता है।

function [c, s, r] = givens_rotation(a, b)
    if b == 0;
        c = sign(a);
        if (c == 0);
            c = 1.0; % Unlike other languages, MatLab's sign function returns 0 on input 0.
        end;
        s = 0;
        r = abs(a);
    elseif a == 0;
        c = 0;
        s = -sign(b);
        r = abs(b);
    elseif abs(a) > abs(b);
        t = b / a;
        u = sign(a) * sqrt(1 + t * t);
        c = 1 / u;
        s = -c * t;
        r = a * u;
    else
        t = a / b;
        u = sign(b) * sqrt(1 + t * t);
        s = -1 / u;
        c = t / u;
        r = b * u;
    end
end

आईईईई 754 copysign(x,y) फलन, साइन को कॉपी करने का एक सुरक्षित और सरल तरीका प्रदान करता है y को x. यदि वह उपलब्ध नहीं है, |x|⋅sgn(y), निरपेक्ष मान और साइन फलन का उपयोग करना, एक विकल्प है जैसा कि ऊपर किया गया है।

त्रिकोणीकरण

निम्नलिखित को देखते हुए 3×3 आव्यूह:

क्यूआर अपघटन की गणना करने के लिए एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह प्राप्त करने के लिए गिवेंस घूर्णन के दो पुनरावृत्तियों को निष्पादित करें (ध्यान दें कि यहां प्रयोग किया गया गिवेंस घूर्णन एल्गोरिदम ऊपर से थोड़ा अलग है)।

वांछित आव्यूह बनाने के लिए, हमें शून्य तत्व (2,1) और (3,2) चाहिए। हम पहले तत्वों (2,1) से शून्य तक का चयन करते हैं। घूर्णन आव्यूह का उपयोग करना:

हमारे पास निम्नलिखित आव्यूह गुणन है:

जहाँ

के लिए इन मानों को प्लग इन करना c और s और पैदावार के ऊपर आव्यूह गुणन निष्पादित करना A2:

अब हम तत्व को शून्य करना चाहते हैं (3,2) प्रक्रिया को समाप्त करने के लिए। पहले की तरह ही विचार का उपयोग करते हुए, हमारे पास एक घूर्णन आव्यूह है:

हमें निम्नलिखित आव्यूह गुणन प्रस्तुत किया गया है:

जहाँ


c और s के लिए इन मानों को जोड़ने और गुणन करने से हमें A3 प्राप्त होता है:

यह नया आव्यूह A3 क्यूआर अपघटन की पुनरावृत्ति करने के लिए आवश्यक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है। Q अब निम्नलिखित तरीके से घूर्णन आव्यूह के स्थानान्तरण का उपयोग करके बनाया गया है:

इस आव्यूह गुणन को निष्पादित करने से प्राप्त होता है:

यह गिवेंस घूर्णन के दो पुनरावृत्तियों को पूरा करता है और क्यूआर अपघटन की गणना अब की जा सकती है।

क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में

क्लिफ़ोर्ड बीजगणित और इसकी बाल संरचनाओं जैसे ज्यामितीय बीजगणित में घुमावों को द्विसदिश द्वारा दर्शाया जाता है। दिए गए घुमावों को आधार सदिश के बाहरी उत्पाद द्वारा दर्शाया जाता है। आधार सदिश की किसी भी जोड़ी को देखते हुए दिए गए घूर्णन द्विभाजक हैं:

किसी भी सदिश पर उनकी क्रिया लिखी जाती है:

जहाँ


आयाम 3

आयाम 3 में तीन गिवेंस घुमाव हैं:

[note 1]

यह देखते हुए कि वे एंडोमोर्फिज्म हैं, इसे ध्यान में रखते हुए, उन्हें एक-दूसरे के साथ जितनी बार चाहें, बनाया जा सकता है g ∘ ff ∘ g.

ये तीन गिवेंस घूर्णन फंक्शन कंपोजिशन#घूर्णन कंपोजिशन डेवनपोर्ट चेन्ड घूर्णन|डेवेनपोर्ट के चेन्ड घूर्णन प्रमेय के अनुसार किसी भी घूर्णन आव्यूह को उत्पन्न कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि वे अंतरिक्ष के मानक आधार को अंतरिक्ष में किसी अन्य फ्रेम में परिवर्तित (ज्यामिति) कर सकते हैं।

जब घूर्णन सही क्रम में किया जाता है, तो अंतिम फ्रेम के घूर्णन कोणों का मान संबंधित परिपाटी में अंतिम फ्रेम के यूलर कोणों के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, एक ऑपरेटर अंतरिक्ष के आधार को कोण रोल, पिच और यॉ के साथ एक फ्रेम में बदल देता है टैट-ब्रायन कोणों में है। टैट-ब्रायन सम्मेलन z-x-y (सम्मेलन जिसमें नोड्स की रेखा z और Y अक्षों के लंबवत होती है, जिसे Y-X′-Z″ भी कहा जाता है)।

इसी कारण से, 3डी में किसी भी घूर्णन आव्यूह को इन त्रि-आयामी घूर्णन ऑपरेटरों में से तीन के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।

दो गिवेन्स घुमावों की संरचना का अर्थ g ∘ f एक ऑपरेटर है जो पहले सदिश को बदलता है f और फिर द्वारा g, प्राणी f और g अंतरिक्ष के आधार के एक अक्ष के बारे में घूर्णन है। यह यूलर कोणों के समान है#यूलर कोणों के लिए बाहरी घुमावों की संरचना के रूप में यूलर कोण है।

रचित घुमावों की तालिका

निम्न तालिका सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन की बाहरी संरचना (आधार अक्षों के बारे में घूर्णन की संरचना) और कोणों के सकारात्मक संकेत के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके विभिन्न यूलर कोण सम्मेलनों के समतुल्य तीन गिवेंस घूर्णन दिखाती है।

अंकन को इस प्रकार सरल बनाया गया है c1 साधन cos θ1 और s2 साधन sin θ2). कोणों के उपसूचकांक वह क्रम हैं जिसमें उन्हें बाहरी संरचना का उपयोग करके लागू किया जाता है (1 आंतरिक घूर्णन के लिए, 2 संकेतन के लिए, 3 पूर्वगमन के लिए)

चूंकि घुमावों को यूलर कोणों के बिल्कुल विपरीत क्रम में लागू किया जाता है रचित घुमावों की तालिका, यह तालिका समान है लेकिन संबंधित प्रविष्टि से जुड़े कोणों में सूचकांक 1 और 3 की अदला-बदली करती है। Zxy जैसी प्रविष्टि का अर्थ है आधार अक्षों में पहले y घूर्णन, फिर x और अंत में z लागू करना।

सभी रचनाएँ आव्यूहों के लिए दाहिने हाथ की परिपाटी को मानती हैं जिन्हें गुणा किया जाता है, जिससे निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं।

xzx xzy
xyx xyz
yxy yxz
yzy yzx
zyz zyx
zxz zxy


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. The rotation matrix immediately below is not a Givens rotation. The matrix immediately below respects the right-hand rule and is this usual matrix one sees in Computer Graphics; however, a Givens rotation is simply a matrix as defined in the Matrix representation section above and does not necessarily respect the right-hand rule. The below matrix is actually the Givens rotation through an angle of -.


उद्धरण

  1. Björck, Ake (1996). न्यूनतम वर्ग समस्याओं के लिए संख्यात्मक विधियाँ (in English). United States: SIAM. p. 54. ISBN 9780898713602. Retrieved 16 August 2016.
  2. Anderson, Edward (4 December 2000). "असंतुलित समतल घुमाव और सममित आइगेनवैल्यू समस्या" (PDF). LAPACK Working Note. University of Tennessee at Knoxville and Oak Ridge National Laboratory. Retrieved 16 August 2016.


संदर्भ