घूर्णन (गणित)

For broader coverage of this topic, see Rotation.

किसी वस्तु का एक बिंदु के चारों ओर दो आयामों में घूमना O.

गणित में घूर्णन ज्यामिति से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घुमाव एक निश्चित स्थान (गणित) की एक गति (ज्यामिति) है जो कम से कम एक बिंदु (ज्यामिति) को संरक्षित करता है। उदाहरण के लिए, यह एक निश्चित बिंदु के चारों ओर किसी कठोर पिंड की गति का वर्णन कर सकता है। घूर्णन का एक चिह्न (गणित) हो सकता है (जैसा कि कोण#चिह्न में होता है): दक्षिणावर्त घूर्णन एक ऋणात्मक परिमाण होता है इसलिए वामावर्त घुमाव का एक सकारात्मक परिमाण होता है।

एक घूर्णन अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: अनुवाद (ज्यामिति), जिसका कोई निश्चित बिंदु नहीं होता है, और प्रतिबिंब (गणित) | (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब, उनमें से प्रत्येक में एक संपूर्ण होता है (n − 1)-ए में निश्चित बिंदुओं का आयामी फ्लैट (ज्यामिति)। n-आयाम (गणित) स्थान।

गणितीय रूप से, घूर्णन एक मानचित्र (गणित) है। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर सभी घुमाव फ़ंक्शन संरचना के तहत एक समूह (गणित) बनाते हैं जिसे रोटेशन समूह (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन यांत्रिकी में और, अधिक सामान्यतः, भौतिकी में, इस अवधारणा को अक्सर एक समन्वय परिवर्तन (महत्वपूर्ण रूप से, एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि किसी शरीर की किसी भी गति के लिए एक व्युत्क्रम परिवर्तन होता है जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है शरीर में संदर्भ परिणाम समान निर्देशांक पर होते हैं। उदाहरण के लिए, दो आयामों में अक्षों को स्थिर रखते हुए किसी पिंड को एक बिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त घुमाना, पिंड को स्थिर रखते हुए उसी बिंदु के चारों ओर अक्षों को वामावर्त घुमाने के बराबर है। इन दो प्रकार के घूर्णन को सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन कहा जाता है।

संबंधित परिभाषाएँ और शब्दावली

घूर्णन समूह एक समूह क्रिया (गणित)#निश्चित बिंदुओं और स्टेबलाइज़र उपसमूहों के बारे में घूर्णन का एक झूठ समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को घूर्णन का केंद्र (ज्यामिति) कहा जाता है और आमतौर पर इसकी पहचान मूल बिंदु (गणित) से की जाती है। रोटेशन समूह एक समूह क्रिया (गणित)#स्थिर बिंदु और स्थिरीकरण उपसमूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गति (ज्यामिति) के एक व्यापक समूह में है।

किसी विशेष घुमाव के लिए:

• घूर्णन की धुरी अपने निश्चित बिंदुओं की एक रेखा (ज्यामिति) है। वे केवल में ही मौजूद हैं n > 2.
• घूर्णन का तल एक समतल (ज्यामिति) है जो घूर्णन के अंतर्गत समूह क्रिया (गणित)#अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। अक्ष (जहाँ मौजूद है) और घूर्णन का तल ओर्थोगोनल हैं।

घुमावों का प्रतिनिधित्व एक विशेष औपचारिकता है, या तो बीजगणितीय या ज्यामितीय, जिसका उपयोग रोटेशन मानचित्र को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जाता है। यह अर्थ किसी तरह समूह प्रतिनिधित्व के विपरीत है।

एफ़िन स्पेस के घूर्णन|(एफ़िन) बिंदुओं और संबंधित वेक्टर स्थानों के स्थान हमेशा स्पष्ट रूप से प्रतिष्ठित नहीं होते हैं। पूर्व को कभी-कभी एफ़िन रोटेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है (हालांकि यह शब्द भ्रामक है), जबकि बाद वाले वेक्टर रोटेशन हैं। विवरण के लिए नीचे दिया गया आलेख देखें।

परिभाषाएँ और निरूपण

यूक्लिडियन ज्यामिति में

Further information: Euclidean space § Rotations and reflections, and Special orthogonal group

एक बिंदु के चारों ओर एक समतल घूर्णन के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और घूर्णन के परिणामस्वरूप कुल गति उत्पन्न होती है जो या तो एक घूर्णन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक अनुवाद (गणित)।

यूक्लिडियन स्थान की गति उसकी आइसोमेट्री के समान होती है: यह परिवर्तन के बाद किन्हीं दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी को अपरिवर्तित छोड़ देती है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) को भी संरक्षित करना होता है। अनुचित रोटेशन शब्द आइसोमेट्री को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में यूक्लिडियन समूह में अंतर को प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में पहचान घटक शामिल होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक आयाम में कोई गैर-तुच्छता (गणित) घुमाव नहीं हैं। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, मूल (गणित) के बारे में एक घूर्णन को निर्दिष्ट करने के लिए केवल एक कोण की आवश्यकता होती है - घूर्णन का कोण जो वृत्त समूह के एक तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे इस रूप में भी जाना जाता है) U(1)). घूर्णन एक कोण के माध्यम से किसी वस्तु को वामावर्त घुमाने का कार्य करता है θउत्पत्ति के बारे में (गणित); विवरण के लिए #दो आयाम देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों का योग मॉड्यूलर अंकगणित 1 मोड़ (ज्यामिति), जिसका अर्थ है कि एक ही बिंदु एबेलियन समूह के बारे में सभी द्वि-आयामी घुमाव। सामान्य तौर पर, विभिन्न बिंदुओं के बारे में घूर्णन नहीं होता है। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो अनुवाद या घूर्णन है; विवरण के लिए यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री देखें।

पृथ्वी का यूलर घूर्णन. आंतरिक (हरा), पूर्वता (नीला) और पोषण (लाल)

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों से भिन्न होता है। तीन आयामों में घूर्णन आम तौर पर क्रमविनिमेय नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू किए जाते हैं वह एक ही बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, सामान्य स्थिति में, एक घूर्णन नहीं बल्कि एक पेंच अक्ष है। मूल के चारों ओर घूमने में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।

त्रि-आयामी घुमाव को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य तरीके हैं:

• यूलर कोण (बाईं ओर चित्रित)। मूल के बारे में किसी भी घुमाव को तीन घुमावों की फ़ंक्शन संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसे अन्य दो स्थिरांक को छोड़ते हुए यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित किया गया है। वे घूर्णन प्रणाली के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को एक एकल फ्रेम के बजाय विभिन्न संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है जो पूरी तरह से बाहरी या पूरी तरह से आंतरिक होता है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर नोड्स की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा शरीर में तय अक्ष के चारों ओर एक आंतरिक घूर्णन (एक स्पिन) होता है जो चलता है। यूलर कोणों को आम तौर पर अल्फा|α, बीटा|β, गामा|γ, या फी|φ, थीटा|θ, Psi (अक्षर) के रूप में दर्शाया जाता है )|ψ. यह प्रस्तुति केवल एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमने के लिए सुविधाजनक है।

* अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व (दाईं ओर चित्रित) उस अक्ष के साथ एक कोण निर्दिष्ट करता है जिसके चारों ओर घूर्णन होता है। इसकी कल्पना आसानी से की जा सकती है. इसे दर्शाने के लिए दो प्रकार हैं:

• • एक जोड़ी के रूप में जिसमें कोण और अक्ष के लिए एक इकाई वेक्टर शामिल है, या
  • इस यूनिट वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलते हुए, यह एक छद्मवेक्टर है)।
• आव्यूह, छंद (चतुर्थक), और अन्य बीजगणितीय चीज़ें: विवरण के लिए अनुभाग #रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता देखें।

चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे टेसेरेक्ट के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।

चार-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य घूर्णन में केवल एक निश्चित बिंदु होता है, घूर्णन का केंद्र, और घूर्णन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन देखें। इसके बजाय घूर्णन में घूर्णन के दो परस्पर ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। घूर्णन में घूर्णन के दो कोण होते हैं, घूर्णन के प्रत्येक तल के लिए एक, जिसके माध्यम से तल के बिंदु घूमते हैं। यदि ये हैं ω₁ और ω₂ तो सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, उनके बीच के कोण से घूमते हैं ω₁ और ω₂. एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने में छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है। सामान्य स्थिति में एक चार-आयामी प्रत्यक्ष गति एक निश्चित बिंदु के बारे में एक घूर्णन है (जैसा कि सभी सम संख्या वाले यूक्लिडियन आयामों में होता है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।

रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता

Main article: Rotation matrix

जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो मूल (गणित) को संरक्षित करता है, तो बिंदु-वेक्टर भेद, जो शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण है, मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति (वेक्टर) के बीच एक विहित एक-से-एक पत्राचार होता है। यूक्लिडियन ज्यामिति के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान एक पूरक गणितीय संरचना के साथ एक संबद्ध स्थान है; #सापेक्षता में देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी संरचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई तुल्यता संबंध घूर्णन प्रस्तुत करता है।

एक गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक रैखिक ऑपरेटर के समान है जो समान ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह अभिव्यक्ति उनका परिमाण (यूक्लिडियन मानदंड) है। वास्तविक समन्वय स्थान में, ऐसे ऑपरेटर को व्यक्त किया जाता है n × n ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स जिसे स्तंभ सदिश से गुणा किया जाता है।

जैसा कि #यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक (उचित) घूर्णन वेक्टर स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक मनमाने ढंग से निश्चित-बिंदु गति से भिन्न होता है। इस प्रकार, एक रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना है −1, और इस परिणाम का अर्थ है कि परिवर्तन एक प्रतिबिंब (गणित), एक बिंदु प्रतिबिंब (विषम संख्या के लिए) है n), या किसी अन्य प्रकार का अनुचित घुमाव। सभी उचित घुमावों के आव्यूह विशेष ऑर्थोगोनल समूह बनाते हैं।

दो आयाम

Main article: Rotations and reflections in two dimensions

See also: Rotation of axes in two dimensions

दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए (x, y) वामावर्त घुमाए जाने को एक कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई रोटेशन मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है θ:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$.

घूर्णन के बाद बिंदु के निर्देशांक हैं x′, y′, और के लिए सूत्र x′ और y′ हैं

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$

वैक्टर ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ और ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ इनका परिमाण समान होता है और ये एक कोण से अलग होते हैं θ आशा के अनुसार।

पर अंक R² समतल को सम्मिश्र संख्याओं के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु (x, y) को समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है

$z=x+iy$

इसे एक कोण से घुमाया जा सकता है θ से गुणा करके e^iθ, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार निम्नानुसार करें:

${\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}$

और वास्तविक और काल्पनिक भागों को बराबर करने से द्वि-आयामी मैट्रिक्स के समान परिणाम मिलता है:

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$

चूँकि सम्मिश्र संख्याएँ एक क्रमविनिमेय वलय बनाती हैं, उच्च आयामों के विपरीत, दो आयामों में वेक्टर घूर्णन क्रमविनिमेय होते हैं। उनके पास स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री (यांत्रिकी) है, क्योंकि ऐसे घुमाव पूरी तरह से घूर्णन के कोण से निर्धारित होते हैं।

तीन आयाम

Main article: Rotation formalisms in three dimensions

See also: Three-dimensional rotation operator

Further information: 3D rotation group

दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है (x, y, z) एक स्तर तक (x′, y′, z′). प्रयुक्त मैट्रिक्स एक है 3×3 आव्यूह,

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$

परिणाम देने के लिए इसे बिंदु का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर से गुणा किया जाता है

$\mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}$

मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ सभी उपयुक्त मैट्रिक्स का सेट रोटेशन समूह SO(3) है। गणित का सवाल A त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, SO(3), यानी यह निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, इसका मतलब है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट हैं (इसलिए वे एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसे कि इसके कॉलम हैं, जिससे इसे स्पॉट करना और जांचना आसान हो जाता है। यदि कोई मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।

1. यूलर कोण|ऊपर उल्लिखित यूलर कोण और अक्ष-कोण निरूपण को आसानी से एक रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन वैक्टर के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने की एक और संभावना नीचे वर्णित चतुर्भुज हैं।

चतुर्भुज

Main article: Quaternions and spatial rotation

इकाई चतुर्भुज, या छंद, कुछ मायनों में त्रि-आयामी घुमावों का सबसे कम सहज प्रतिनिधित्व है। वे सामान्य दृष्टिकोण के त्रि-आयामी उदाहरण नहीं हैं। वे मैट्रिसेस की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट हैं और अन्य सभी तरीकों की तुलना में उनके साथ काम करना आसान है, इसलिए उन्हें अक्सर वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।

एक छंद (जिसे घूर्णन चतुर्भुज भी कहा जाता है) में चार वास्तविक संख्याएँ होती हैं, जो इस प्रकार सीमित होती हैं कि चतुर्भुज का मानक वेक्टर स्थान 1 है। यह बाधा आवश्यकतानुसार चतुर्भुज की स्वतंत्रता की डिग्री को तीन तक सीमित करती है। आव्यूहों और सम्मिश्र संख्याओं के विपरीत दो गुणन की आवश्यकता होती है:

$\mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},$

कहाँ q टर्नर है q⁻¹ इसका गुणात्मक व्युत्क्रम है, और x शून्य चतुर्भुज#अदिश और सदिश भागों के साथ एक चतुर्भुज के रूप में माना जाने वाला सदिश है। चतुर्भुज पर घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) द्वारा अक्ष कोण रोटेशन के घूर्णन वेक्टर रूप से संबंधित किया जा सकता है,

$\mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},$

कहाँ v घूर्णन सदिश को चतुर्भुज के रूप में माना जाता है।

एक छंद, बाएँ और दाएँ (बीजगणित) द्वारा एक एकल गुणन, स्वयं एक घूर्णन है, लेकिन चार आयामों में। मूल के बारे में किसी भी चार-आयामी घुमाव को दो चतुर्भुज गुणन के साथ दर्शाया जा सकता है: एक बाएँ और एक दाएँ, दो अलग-अलग इकाई चतुर्भुजों द्वारा।

आगे के नोट्स

अधिक सामान्यतः, किसी भी आयाम में समन्वयित घुमावों को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। सभी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का सेट n आयाम जो उचित घुमावों का वर्णन करते हैं (निर्धारक = +1), मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ मिलकर, विशेष ऑर्थोगोनल समूह बनाते हैं SO(n).

मैट्रिक्स का उपयोग अक्सर परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में बिंदुओं को परिवर्तित किया जा रहा हो, क्योंकि वे रैखिक मानचित्र का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व होते हैं। अन्य तरीकों से दर्शाए गए घुमावों को अक्सर उपयोग किए जाने से पहले मैट्रिक्स में बदल दिया जाता है। सजातीय निर्देशांक का उपयोग करके एक ही समय में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हें बढ़ाया जा सकता है। प्रोजेक्टिव परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व किया जाता है 4×4 मैट्रिक्स. वे रोटेशन मैट्रिक्स नहीं हैं, बल्कि एक परिवर्तन है जो यूक्लिडियन रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है 3×3 ऊपरी बाएँ कोने में रोटेशन मैट्रिक्स।

मैट्रिसेस का मुख्य नुकसान यह है कि उनकी गणना करना और उनके साथ गणना करना अधिक महंगा है। साथ ही उन गणनाओं में जहां संख्यात्मक स्थिरता एक चिंता का विषय है, मैट्रिक्स में इसका खतरा अधिक हो सकता है, इसलिए लंबनात्मकता को बहाल करने के लिए गणना, जो कि मैट्रिक्स के लिए करना महंगा है, को अधिक बार करने की आवश्यकता होती है।

मैट्रिक्स औपचारिकता के अधिक विकल्प

जैसा कि ऊपर प्रदर्शित किया गया था, तीन बहुरेखीय बीजगणित रोटेशन औपचारिकताएं मौजूद हैं: एक #कॉम्प्लेक्स संख्याओं के साथ|यू(1), या जटिल संख्याएं, दो आयामों के लिए, और दो अन्य तीन और चार आयामों के लिए #क्वाटर्नियन्स|वर्सर्स, या चतुर्भुज के साथ।

सामान्य तौर पर (यहां तक ​​कि गैर-यूक्लिडियन मिन्कोव्स्की द्विघात रूप से सुसज्जित वैक्टर के लिए भी) एक bivector स्थान के घूर्णन को एक द्विवेक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस औपचारिकता का उपयोग ज्यामितीय बीजगणित में और, अधिक सामान्यतः, ली समूहों के क्लिफ़ोर्ड बीजगणित प्रतिनिधित्व में किया जाता है।

सकारात्मक-निश्चित यूक्लिडियन द्विघात रूप के मामले में, आइसोमेट्री समूह का दोहरा आवरण समूह $\mathrm {SO} (n)$ स्पिन समूह के रूप में जाना जाता है, $\mathrm {Spin} (n)$. इसे क्लिफोर्ड बीजगणित के संदर्भ में आसानी से वर्णित किया जा सकता है। इकाई चतुर्भुज समूह देते हैं $\mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)$.

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में

गोलाकार ज्यामिति में, एक सीधी गति n-गोले का|n-गोलाकार (अण्डाकार ज्यामिति का एक उदाहरण) के घूर्णन के समान है (n + 1)-उत्पत्ति के बारे में आयामी यूक्लिडियन स्थान (SO(n + 1)). विषम के लिए n, इनमें से अधिकांश गतियों के कोई निश्चित बिंदु नहीं हैं n-गोलाकार और, सख्ती से कहें तो, गोले का घूर्णन नहीं है; ऐसी गतियाँ हैं कभी-कभी इसे विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड अनुवाद के रूप में भी जाना जाता है। अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष ज्यामिति में एक निश्चित बिंदु के बारे में घूर्णन यूक्लिडियन से भिन्न नहीं होते हैं।

एफ़िन ज्यामिति और प्रक्षेप्य ज्यामिति में घूर्णन की कोई विशिष्ट अवधारणा नहीं है।

सापेक्षता में

Main article: Lorentz transformation

घूर्णन का सामान्यीकरण विशेष सापेक्षता में लागू होता है, जहां इसे चार-आयामी अंतरिक्ष, अंतरिक्ष समय , तीन अंतरिक्ष आयामों और समय में से एक द्वारा संचालित माना जा सकता है। विशेष सापेक्षता में, इस स्थान को मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष कहा जाता है, और चार-आयामी घुमाव, जिन्हें लोरेंत्ज़ परिवर्तन कहा जाता है, की भौतिक व्याख्या होती है। ये परिवर्तन एक द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं जिसे स्पेसटाइम अंतराल कहा जाता है।

यदि मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष का एक घूर्णन अंतरिक्ष जैसे समतल में है, तो यह घूर्णन यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक स्थानिक घूर्णन के समान है। इसके विपरीत, एक अंतरिक्ष-जैसे आयाम और एक समय-जैसे आयाम द्वारा फैलाए गए विमान में एक घूर्णन एक अतिपरवलयिक घूर्णन है, और यदि इस विमान में संदर्भ फ्रेम का समय अक्ष शामिल है, तो इसे लोरेंत्ज़ बूस्ट कहा जाता है। ये परिवर्तन मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष की छद्म-यूक्लिडियन प्रकृति को प्रदर्शित करते हैं। हाइपरबोलिक घुमावों को कभी-कभी निचोड़ मैपिंग के रूप में वर्णित किया जाता है और अक्सर मिन्कोव्स्की आरेखों पर दिखाई देते हैं जो समतल चित्रों पर (1 + 1)-आयामी छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति की कल्पना करते हैं। सापेक्षता का अध्ययन अंतरिक्ष घूर्णन और अतिशयोक्तिपूर्ण घूर्णन द्वारा उत्पन्न लोरेंत्ज़ समूह से संबंधित है। जबकि SO(3)भौतिकी और खगोल विज्ञान में घूर्णन, एक गोले के रूप में आकाशीय गोले के घूर्णन के अनुरूप है|यूक्लिडियन 3-अंतरिक्ष में 2-गोलाकार, लोरेंत्ज़ परिवर्तन से SO(3;1)⁺आकाशीय क्षेत्र के अनुरूप मानचित्र परिवर्तनों को प्रेरित करें। यह क्षेत्र परिवर्तनों का एक व्यापक वर्ग है जिसे मोबियस परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

असतत घुमाव

See: point group.

महत्व

घूर्णन समरूपता के महत्वपूर्ण वर्गों को परिभाषित करते हैं: घूर्णी समरूपता एक विशेष घूर्णन के संबंध में एक अपरिवर्तनीय (गणित) है। वृत्ताकार समरूपता निश्चित अक्ष के चारों ओर सभी घूर्णन के संबंध में एक अपरिवर्तनीयता है।

जैसा कि ऊपर कहा गया था, यूक्लिडियन घुमाव कठोर शरीर की गतिशीलता पर लागू होते हैं। इसके अलावा, भौतिकी में अधिकांश गणितीय औपचारिकता (जैसे वेक्टर कैलकुलस) घूर्णन-अपरिवर्तनीय है; अधिक भौतिक पहलुओं के लिए ROTATION देखें। यूक्लिडियन घूर्णन और, अधिक सामान्यतः, लोरेंत्ज़ समरूपता #सापेक्षता में समरूपता (भौतिकी) माना जाता है। इसके विपरीत, समता (भौतिकी) प्रकृति का सटीक समरूपता नियम नहीं है।

सामान्यीकरण

वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के अनुरूप जटिल संख्या-मूल्य वाले मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स हैं $\mathrm {U} (n)$, जो जटिल स्थान में घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। किसी दिए गए आयाम में सभी एकात्मक आव्यूहों का समुच्चय n एक एकात्मक समूह बनाता है $\mathrm {U} (n)$ डिग्री का n; और इसका उपसमूह उचित घुमावों का प्रतिनिधित्व करता है (वे जो अंतरिक्ष के अभिविन्यास को संरक्षित करते हैं) विशेष एकात्मक समूह है $\mathrm {SU} (n)$ डिग्री का n. ये जटिल घुमाव स्पिनरों के संदर्भ में महत्वपूर्ण हैं। के तत्व $\mathrm {SU} (2)$ त्रि-आयामी यूक्लिडियन घुमावों को पैरामीट्रिज करने के लिए उपयोग किया जाता है (#क्वाटरनियंस देखें), साथ ही स्पिन (भौतिकी) के संबंधित परिवर्तनों (एसयू (2) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत देखें) के लिए उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• विमान के प्रमुख अक्ष
• SO(3) पर चार्ट
• दो आयामों में घूर्णन और परावर्तन
• कॉरडिक
• मैपिंग निचोड़ें
• अनंतिमल रोटेशन मैट्रिक्स
• तर्कहीन घूर्णन
• अभिविन्यास (ज्यामिति)
• रोड्रिग्स का घूर्णन सूत्र
• कुल्हाड़ियों का घूमना
• भंवर

संदर्भ

• Hestenes, David (1999). New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5514-8.

• Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7.

• Brannon, Rebecca M. (2002). "A review of useful theorems involving proper orthogonal matrices referenced to three-dimensional physical space" (PDF). Albuquerque: Sandia National Laboratories.