एकीकरण कारक

गणित में, समाकलन गुणक एक ऐसा फलन होता है जिसे किसी दिए गए अवकलन के साथ विभिन्न समीकरणों को हल करने के लिए चुना जाता है। इसका उपयोग प्रायः सामान्य अवकलन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, परंतु इसका उपयोग बहुपरिवर्तनीय कलन के लिए भी किया जाता है जब एक समाकलन गुणक द्वारा गुणा करने से किसी अपरिमित अवकलन को एक सटीक अवकलन में परिवर्तित किया जा सकता है जिसे बाद में एक अदिश क्षेत्र देने के लिए समाकलित किया जा सकता है। यह ऊष्मप्रवैगिकी में विशेष रूप से उपयोगी है जहां तापमान, समाकलन गुणक बन जाता है जो एन्ट्रापी को सटीक अवकलन बनाता है।

प्रयोग

समाकलन गुणक, ऐसी अभिव्यक्ति है जिसे समाकलन की सुविधा के लिए एक अवकलन समीकरण से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, अरेखीय दूसरे क्रम का समीकरण

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ को समाकलन गुणक के रूप में मानते हैं:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.$

एकीकृत करने के लिए, ध्यान दें कि समीकरण के दोनों पक्षों को श्रृंखला नियम के साथ पीछे जाकर व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).$

इसलिए,

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.$

जहाँ $C_{0}$ एक स्थिरांक है.

अनुप्रयोग के आधार पर यह रूप अधिक उपयोगी हो सकता है। चरों का पृथक्करण करने से निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होगा

$\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t$

यह एक अंतर्निहित फलन समाधान है जिसमें एक गैर-प्राथमिक समाकलन सम्मिलित है। सरल लोलक की अवधि को हल करने के लिए इसी विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रथम कोटि रैखिक साधारण अवकल समीकरणों को हल करना

समाकलन गुणक सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिन्हें फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है

$y'+P(x)y=Q(x)$

मान लीजिए, मूल विचार कुछ फलन ढूंढना है $M(x)$, जिसे समाकलन गुणक कहा जाता है, जिसे हम बाएं हाथ को एक सामान्य व्युत्पन्न के तहत लाने के लिए अपने अंतर समीकरण के माध्यम से गुणा कर सकते हैं। ऊपर दिखाए गए विहित प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण के लिए, समाकलन गुणक है $e^{\int P(x)\,dx}$.

ध्यान दें कि अभिन्न में मनमाना स्थिरांक, या अभिन्न के मामले में निरपेक्ष मूल्यों को सम्मिलित करना आवश्यक नहीं है $P(x)$ एक लघुगणक सम्मिलित है. सबसे पहले, हमें समीकरण को हल करने के लिए केवल एक समाकलन गुणक की आवश्यकता है, सभी संभावित कारकों की नहीं; दूसरे, ऐसे स्थिरांक और निरपेक्ष मान सम्मिलित होने पर भी रद्द हो जाएंगे। निरपेक्ष मूल्यों के लिए, इसे लिखकर देखा जा सकता है $|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)$, कहाँ $\operatorname {sgn}$ साइन फलन को संदर्भित करता है, जो एक अंतराल पर स्थिर रहेगा यदि $f(x)$ सतत है. जैसा $\ln |f(x)|$ अपरिभाषित है जब $f(x)=0$, और एंटीडेरिवेटिव में एक लघुगणक केवल तभी प्रकट होता है जब मूल फलन में लघुगणक या व्युत्क्रम सम्मिलित होता है (जिनमें से कोई भी 0 के लिए परिभाषित नहीं होता है), ऐसा अंतराल हमारे समाधान की वैधता का अंतराल होगा।

इसे प्राप्त करने के लिए आइए $M(x)$ प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन कारक इस प्रकार हो कि गुणा किया जा सके $M(x)$ आंशिक व्युत्पन्न को कुल व्युत्पन्न में परिवर्तित करता है, फिर:

1. $M(x){\underset {\text{partial derivative}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}$
2. $M(x)y'+M(x)P(x)y$
3. $\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{total derivative}}$

चरण 2 से चरण 3 तक जाने के लिए इसकी आवश्यकता होती है $M(x)P(x)=M'(x)$, जो चरों का पृथक्करण है, जिसका समाधान प्राप्त होता है $M(x)$ के अनुसार $P(x)$:

1. <ली मान=4 >$M(x)P(x)=M'(x)$
2. $P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}$
3. $\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
4. $M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

सत्यापित करने के लिए, से गुणा करना $M(x)$ देता है

$M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)$

उत्पाद नियम को उल्टा लागू करने से, हम देखते हैं कि बाईं ओर को एकल व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $x$

$M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)$

हम इस तथ्य का उपयोग अपनी अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए करते हैं

${\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)$

के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करना $x$

$Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx$

$e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C$

कहाँ $C$ एक स्थिरांक है.

घातांक को दाईं ओर ले जाने पर, साधारण अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है:

$y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}$

एक सजातीय अंतर समीकरण के मामले में, $Q(x)=0$ और साधारण विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान है:

$y=Ce^{-\int P(x)\,dx}$.

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण पर विचार करें

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

हम इसे इस मामले में देख सकते हैं $P(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

दोनों पक्षों को गुणा करने पर $M(x)$ हमने प्राप्त

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

${\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0$

x के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है

$x^{-2}y=C$

या

$y=Cx^{2}$

निम्नलिखित दृष्टिकोण का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

${\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0$

${\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0$

${\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.$

भागफल नियम को उलटने से प्राप्त होता है

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

या

${\frac {y}{x^{2}}}=C,$

या

$y=Cx^{2}.$

कहाँ $C$ एक स्थिरांक है.

दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अवकल समीकरणों को हल करना

पहले क्रम के समीकरणों के लिए कारकों को एकीकृत करने की विधि को स्वाभाविक रूप से दूसरे क्रम के समीकरणों तक भी बढ़ाया जा सकता है। प्रथम कोटि के समीकरणों को हल करने का मुख्य लक्ष्य एक समाकलन कारक खोजना था $M(x)$ ऐसा कि गुणा हो रहा है $y'+p(x)y=h(x)$ इससे उपज होगी $(M(x)y)'=M(x)h(x)$, जिसके बाद बाद में एकीकरण और विभाजन हुआ $M(x)$ उपज होगी $y$. दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों के लिए, यदि हम चाहें $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ फिर, एक समाकलन गुणक के रूप में काम करना

$(M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)$

इसका तात्पर्य यह है कि दूसरे क्रम का समीकरण बिल्कुल उसी रूप में होना चाहिए $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ समाकलन गुणक के प्रयोग योग्य होने के लिए।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरण

$y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0$

कारकों को एकीकृत करके सटीक रूप से हल किया जा सकता है। उपयुक्त $p(x)$की जांच करके अनुमान लगाया जा सकता है $y'$ अवधि। इस मामले में, $2p(x)=2x$, इसलिए $p(x)=x$. की जांच करने के बाद $y$ शब्द, हम देखते हैं कि वास्तव में हमारे पास है $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$, इसलिए हम सभी पदों को समाकलन कारक से गुणा करेंगे $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$. यह हमें देता है

$e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0$

जिसे देने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है

$\left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0$

दो बार पैदावार को एकीकृत करना

$e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}$

समाकलन कारक द्वारा विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

$y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}$

उदाहरण 2

दूसरे क्रम के समाकलन गुणकों के थोड़े कम स्पष्ट अनुप्रयोग में निम्नलिखित अंतर समीकरण सम्मिलित हैं:

$y''+2\cot(x)y'-y=1$

पहली नज़र में, यह स्पष्ट रूप से दूसरे क्रम के कारकों को एकीकृत करने के लिए आवश्यक रूप में नहीं है। हमारे पास एक $2p(x)$ के सामने शब्द $y'$ परंतु कोई नहीं $p(x)^{2}+p'(x)$ के सामने $y$. तथापि,

$p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)$

और कोटैंजेंट और कोसेकेंट से संबंधित पायथागॉरियन पहचान से,

$\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1$

तो वास्तव में हमारे सामने आवश्यक पद है $y$ और समाकलन गुणकों का उपयोग कर सकते हैं।

$e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)$

प्रत्येक पद को इससे गुणा करना $\sin(x)$ देता है

$\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)$

जिसे पुनर्व्यवस्थित किया गया है

$(\sin(x)y)''=\sin(x)$

दो बार एकीकृत करने से लाभ मिलता है

$\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}$

अंत में, समाकलन कारक द्वारा विभाजित करने पर प्राप्त होता है

$y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1$

nवें क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करना

समाकलन गुणकों को किसी भी क्रम तक बढ़ाया जा सकता है, हालांकि उन्हें लागू करने के लिए आवश्यक समीकरण का रूप ऑर्डर बढ़ने के साथ और अधिक विशिष्ट होता जाता है, जिससे वे ऑर्डर 3 और उससे ऊपर के लिए कम उपयोगी हो जाते हैं। सामान्य विचार फलन को अलग करना है $M(x)y$ $n$ एक के लिए कई बार $n$वें क्रम का अवकल समीकरण और समान पदों को संयोजित करें। इससे फॉर्म में एक समीकरण निकलेगा

$M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$

यदि एक $n$वें क्रम का समीकरण फॉर्म से मेल खाता है $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ जो विभेद करने के बाद प्राप्त होता है $n$ कई बार, कोई सभी पदों को समाकलन कारक से गुणा कर सकता है और एकीकृत कर सकता है $h(x)M(x)$ $n$ अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए समय को दोनों पक्षों के समाकलन गुणक द्वारा विभाजित किया जाता है।

उदाहरण

समाकलन गुणकों का तीसरा क्रम उपयोग देता है

$(M(x)y)'''=M(x)\left(y'''+3p(x)y''+\left(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y\right)$

इस प्रकार हमारे समीकरण का फॉर्म में होना आवश्यक है

$y'''+3p(x)y''+\left(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y=h(x)$

उदाहरण के लिए विभेदक समीकरण में

$y'''+3x^{2}y''+\left(3x^{4}+6x\right)y'+\left(x^{6}+6x^{3}+2\right)y=0$

अपने पास $p(x)=x^{2}$, तो हमारा समाकलन गुणक है $e^{x^{3}/3}$. पुनर्व्यवस्थित करना देता है

$\left(e^{x^{3}/3}y\right)'''=0$

तीन बार समाकलन करने और समाकलन कारक से भाग देने पर परिणाम प्राप्त होते हैं

$y={\frac {c_{1}x^{2}+c_{2}x+c_{3}}{e^{x^{3}/3}}}$

यह भी देखें

• मापदंडों का परिवर्तन
• विभेदक समीकरण
• प्रॉडक्ट नियम
• भागफल नियम
• सटीक अंतर
• मैट्रिक्स घातांक

संदर्भ

• Munkhammar, Joakim, "Integrating Factor", MathWorld.