समदिग्नत कक्षा (होमोक्लिनिक ऑर्बिट): Difference between revisions

Revision as of 14:24, 28 September 2023

समदिग्नत कक्षा

उन्मुख समदिग्नत कक्षा

मुड़ी हुई समदिग्नत कक्षा

गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, समदिग्नत कक्षा चरण स्थान के माध्यम से पथ है जो काठी संतुलन बिंदु को स्वयं से जोड़ती है। अधिक सटीक रूप से, समदिग्नत कक्षा संतुलन के स्थिर अनेक गुना और अस्थिर अनेक गुना के प्रतिच्छेदन में स्थित होती है। यह विभिन्न-रूखी कक्षा है - किन्हीं दो संतुलन बिंदुओं के बीच का पथ - जिसमें समापन बिंदु और समान होते हैं।

साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित सतत कार्य गतिशील प्रणाली पर विचार करें

{\dot {x}}=f(x)

मान लीजिए कि वहाँ संतुलन है $x=x_{0}$ , फिर समाधान $\Phi (t)$ यदि समदिग्नत कक्षा है

\Phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow \pm \infty

यदि चरण स्थान में तीन या अधिक आयाम हैं, तो सैडल बिंदु के अस्थिर नालिका की संस्थितिविज्ञान पर विचार करना महत्वपूर्ण है। आंकड़े दो स्थितियों दिखाते हैं. पहला, जब स्थिर नालिका संस्थितिविज्ञान रूप से सिलेंडर होता है, और दूसरा, जब अस्थिर नालिका संस्थितिविज्ञान रूप से मोबियस स्ट्रिप होता है; इस स्थितियों में समदिग्नत कक्षा को मुड़ कहा जाता है।

असतत गतिशील प्रणाली

समदिग्नत कक्षाओं और समदिग्नत बिंदुओं को पुनरावृत्त कार्यों के लिए उसी प्रकार से परिभाषित किया जाता है, जैसे प्रणाली के कुछ निश्चित बिंदु (गणित) या आवधिक बिंदु के स्थिर नालिका और अस्थिर समुच्चय का प्रतिच्छेदन होता है।

असतत गतिशील प्रणालियों पर विचार करते समय हमारे पास समदिग्नत कक्षा की भी धारणा है। ऐसे में यदि $f:M\rightarrow M$ अनेक गुना की भिन्नता है $M$ , हम ऐसा कहते हैं $x$ समदिग्नत बिंदु है यदि इसका अतीत और भविष्य समान है - अधिक विशेष रूप से, यदि कोई निश्चित (या आवधिक) बिंदु उपस्थित है $p$ ऐसा है कि

\lim _{n\rightarrow \pm \infty }f^{n}(x)=p.

गुण

इस प्रकार समदिग्नत बिंदु का अस्तित्व उनकी अनंत संख्या के अस्तित्व को दर्शाता है।^[1]यह इसकी परिभाषा से आता है: स्थिर और अस्थिर समुच्चय का प्रतिच्छेदन, दोनों समुच्चय परिभाषा के अनुसार धनात्मक अपरिवर्तनीय समुच्चय हैं, जिसका अर्थ है कि समदिग्नत बिंदु का आगे का पुनरावृत्ति स्थिर और अस्थिर समुच्चय दोनों पर है। N बार पुनरावृत्ति करके, नक्शा स्थिर समुच्चय द्वारा संतुलन बिंदु तक पहुंचता है, किन्तु प्रत्येक पुनरावृत्ति में यह अस्थिर नालिका पर भी होता है, जो इस संपत्ति को दर्शाता है।

यह गुण बताता देता है कि समदिग्नत बिंदु के अस्तित्व से जटिल गतिशीलता उत्पन्न होती है। वास्तव में, स्मेल (1967)^[2] पता चला कि ये बिंदु गतिशीलता जैसे घोड़े की नाल के नक्शे की ओर ले जाते हैं, जो की कोलाहल से जुड़ा होती है।

प्रतीकात्मक गतिशीलता

मार्कोव विभाजन का उपयोग करके, प्रतीकात्मक गतिशीलता की तकनीकों का उपयोग करके अतिशीघ्र प्रणाली के दीर्घकालिक व्यवहार का अध्ययन किया जा सकता है। इस स्थितियों में, समदिग्नत कक्षा का विशेष रूप से सरल और स्पष्ट प्रतिनिधित्व होता है। मान लें कि $S=\{1,2,\ldots ,M\}$ सीमित संख्यक M प्रतीकों का समुच्चय है। बिंदु x की गतिकता फिर से प्रतीकों की द्वि-अनंत स्ट्रिंग स्वरूप की स्त्रिंग द्वारा प्रदर्शित किया जाता है

\sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}

प्रणाली का आवृत्तिक बिंदु केवल आवृत्ति वाला प्रतीकों का एक दोहराने वाला सिरा होता है। विभिन्न-रूखी कक्षा तब दो विभिन्न आवधिक कक्षाओं का जुड़ना होता है। जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }

यहाँ $p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}$ लंबाई k के प्रतीकों की आवृत्तिक क्रम है (स्वभावसंख्या में, $t_{i}\in S$ ), और $q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}$ लंबाई m के प्रतीकों का और क्रम है (इसी प्रकार, $r_{i}\in S$ ). संकेतन $p^{\omega }$ बस अनंत बार p की पुनरावृत्ति को दर्शाता है। इस प्रकार, विभिन्न-रूखी कक्षा को आवधिक कक्षा से दूसरे में संक्रमण के रूप में समझा जा सकता है। इसके विपरीत, समदिग्नत कक्षा को इस प्रकार लिखा जा सकता है

p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }

जहां आंतरिक क्रम $s_{1}s_{2}\cdots s_{n}$ संख्यमूलक होता है और अवश्य, p नहीं होता है, बस कक्षा $p^{\omega }$ होती है ।

यह भी देखें

विभिन्न-रूखी कक्षा
समदिग्नत द्विभाजन

संदर्भ

↑ Ott, Edward (1994). डायनामिकल सिस्टम में अराजकता. Cambridge University Press. ISBN 9780521437998.
↑ Smale, Stephen (1967). विभेदक गतिशील प्रणालियाँ. Bull. Amer. Math. Soc.73, 747–817.

John Guckenheimer and Philip Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (Applied Mathematical Sciences Vol. 42), Springer

बाहरी संबंध

Homoclinic orbits in Henon map with Java applets and comments

[1] Ott, Edward (1994). डायनामिकल सिस्टम में अराजकता. Cambridge University Press. ISBN 9780521437998.

[2] Smale, Stephen (1967). विभेदक गतिशील प्रणालियाँ. Bull. Amer. Math. Soc.73, 747–817.

[1]

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 [[Image:homoclinic.svg|200px|thumb|right|समदिग्नत कक्षा]]
 [[Image:oriented.png|200px|thumb|right|उन्मुख समदिग्नत कक्षा]]
-[[Image:mobius.png|200px|thumb|right|मुड़ी हुई समदिग्नत कक्षा]]गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, '''समदिग्नत कक्षा''' [[चरण स्थान]] के माध्यम से पथ है जो काठी [[संतुलन बिंदु]] को स्वयं से जोड़ती है। अधिक सटीक रूप से, समदिग्नत कक्षा संतुलन के [[स्थिर अनेक गुना]] और [[अस्थिर अनेक गुना]] के प्रतिच्छेदन में स्थित होती है। यह [[हेटरोक्लिनिक कक्षा]] है - किन्हीं दो संतुलन बिंदुओं के बीच का पथ - जिसमें समापन बिंदु और समान होते हैं।
+[[Image:mobius.png|200px|thumb|right|मुड़ी हुई समदिग्नत कक्षा]]गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, '''समदिग्नत कक्षा''' [[चरण स्थान]] के माध्यम से पथ है जो काठी [[संतुलन बिंदु]] को स्वयं से जोड़ती है। अधिक सटीक रूप से, समदिग्नत कक्षा संतुलन के [[स्थिर अनेक गुना]] और [[अस्थिर अनेक गुना]] के प्रतिच्छेदन में स्थित होती है। यह [[हेटरोक्लिनिक कक्षा|विभिन्न-रूखी कक्षा]] है - किन्हीं दो संतुलन बिंदुओं के बीच का पथ - जिसमें समापन बिंदु और समान होते हैं।
 [[साधारण अंतर समीकरण]] द्वारा वर्णित [[सतत कार्य]] गतिशील प्रणाली पर विचार करें
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 :<math>\Phi(t)\rightarrow x_0\quad \mathrm{as}\quad
 t\rightarrow\pm\infty</math>
-यदि चरण स्थान में तीन या अधिक [[आयाम]] हैं, तो सैडल बिंदु के अस्थिर मैनिफोल्ड की [[टोपोलॉजी]] पर विचार करना महत्वपूर्ण है। आंकड़े दो स्थितियों दिखाते हैं. पहला, जब स्थिर मैनिफोल्ड टोपोलॉजिकल रूप से [[सिलेंडर]] होता है, और दूसरा, जब अस्थिर मैनिफोल्ड टोपोलॉजिकल रूप से मोबियस स्ट्रिप होता है; इस स्थितियों में समदिग्नत कक्षा को मुड़ कहा जाता है।
+यदि चरण स्थान में तीन या अधिक [[आयाम]] हैं, तो सैडल बिंदु के अस्थिर नालिका की [[टोपोलॉजी|संस्थितिविज्ञान]] पर विचार करना महत्वपूर्ण है। आंकड़े दो स्थितियों दिखाते हैं. पहला, जब स्थिर नालिका संस्थितिविज्ञान रूप से [[सिलेंडर]] होता है, और दूसरा, जब अस्थिर नालिका संस्थितिविज्ञान रूप से मोबियस स्ट्रिप होता है; इस स्थितियों में समदिग्नत कक्षा को मुड़ कहा जाता है।
 == असतत गतिशील प्रणाली ==
-समदिग्नत कक्षाओं और समदिग्नत बिंदुओं को पुनरावृत्त कार्यों के लिए उसी प्रकार से परिभाषित किया जाता है, जैसे प्रणाली के कुछ [[निश्चित बिंदु (गणित)]] या [[आवधिक बिंदु]] के स्थिर मैनिफोल्ड और [[अस्थिर सेट|अस्थिर]] समुच्चय का प्रतिच्छेदन।
+समदिग्नत कक्षाओं और समदिग्नत बिंदुओं को पुनरावृत्त कार्यों के लिए उसी प्रकार से परिभाषित किया जाता है, जैसे प्रणाली के कुछ [[निश्चित बिंदु (गणित)]] या [[आवधिक बिंदु]] के स्थिर नालिका और [[अस्थिर सेट|अस्थिर]] समुच्चय का प्रतिच्छेदन होता है।
-असतत गतिशील प्रणालियों पर विचार करते समय हमारे पास समदिग्नत कक्षा की भी धारणा है। ऐसे में यदि <math>f:M\rightarrow M</math> अनेक गुना की [[भिन्नता]] है <math>M</math>, हम ऐसा कहते हैं <math>x</math> समदिग्नत बिंदु है यदि इसका अतीत और भविष्य समान है - अधिक विशेष रूप से, यदि कोई निश्चित (या आवधिक) बिंदु उपस्तिथ है <math>p</math> ऐसा है कि
+असतत गतिशील प्रणालियों पर विचार करते समय हमारे पास समदिग्नत कक्षा की भी धारणा है। ऐसे में यदि <math>f:M\rightarrow M</math> अनेक गुना की [[भिन्नता]] है <math>M</math>, हम ऐसा कहते हैं <math>x</math> समदिग्नत बिंदु है यदि इसका अतीत और भविष्य समान है - अधिक विशेष रूप से, यदि कोई निश्चित (या आवधिक) बिंदु उपस्थित है <math>p</math> ऐसा है कि
 :<math>\lim_{n\rightarrow \pm\infty}f^n(x)=p.</math>
 == गुण ==
-समदिग्नत बिंदु का अस्तित्व उनकी अनंत संख्या के अस्तित्व को दर्शाता है।<ref>{{cite book|last=Ott|first=Edward|title=डायनामिकल सिस्टम में अराजकता|url=https://archive.org/details/chaosindynamical0000otte|url-access=registration|year=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521437998 }}</ref>यह इसकी परिभाषा से आता है: स्थिर और अस्थिर समुच्चय का प्रतिच्छेदन, दोनों समुच्चय परिभाषा के अनुसार [[सकारात्मक अपरिवर्तनीय सेट|सकारात्मक अपरिवर्तनीय]] समुच्चय हैं, जिसका अर्थ है कि समदिग्नत बिंदु का आगे का पुनरावृत्ति स्थिर और अस्थिर समुच्चय दोनों पर है। एन बार पुनरावृत्ति करके, नक्शा स्थिर समुच्चय द्वारा संतुलन बिंदु तक पहुंचता है, लेकिन प्रत्येक पुनरावृत्ति में यह अस्थिर मैनिफोल्ड पर भी होता है, जो इस संपत्ति को दर्शाता है।
+इस प्रकार समदिग्नत बिंदु का अस्तित्व उनकी अनंत संख्या के अस्तित्व को दर्शाता है।<ref>{{cite book|last=Ott|first=Edward|title=डायनामिकल सिस्टम में अराजकता|url=https://archive.org/details/chaosindynamical0000otte|url-access=registration|year=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521437998 }}</ref>यह इसकी परिभाषा से आता है: स्थिर और अस्थिर समुच्चय का प्रतिच्छेदन, दोनों समुच्चय परिभाषा के अनुसार [[सकारात्मक अपरिवर्तनीय सेट|धनात्मक अपरिवर्तनीय]] समुच्चय हैं, जिसका अर्थ है कि समदिग्नत बिंदु का आगे का पुनरावृत्ति स्थिर और अस्थिर समुच्चय दोनों पर है। N बार पुनरावृत्ति करके, नक्शा स्थिर समुच्चय द्वारा संतुलन बिंदु तक पहुंचता है, किन्तु प्रत्येक पुनरावृत्ति में यह अस्थिर नालिका पर भी होता है, जो इस संपत्ति को दर्शाता है।
 यह गुण बताता देता है कि समदिग्नत बिंदु के अस्तित्व से जटिल गतिशीलता उत्पन्न होती है। वास्तव में, स्मेल (1967)<ref>{{cite book|last=Smale|first=Stephen|title=विभेदक गतिशील प्रणालियाँ|year=1967|publisher=Bull. Amer. Math. Soc.73, 747–817}}</ref> पता चला कि ये बिंदु गतिशीलता जैसे घोड़े की नाल के नक्शे की ओर ले जाते हैं, जो की कोलाहल से जुड़ा होती है।
 == [[प्रतीकात्मक गतिशीलता]] ==
-[[मार्कोव विभाजन]] का उपयोग करके, प्रतीकात्मक गतिशीलता की तकनीकों का उपयोग करके हाइपरबोलिक प्रणाली के दीर्घकालिक व्यवहार का अध्ययन किया जा सकता है। इस स्थितियों में, समदिग्नत कक्षा का विशेष रूप से सरल और स्पष्ट प्रतिनिधित्व होता है।  मान लें कि <math>S=\{1,2,\ldots,M\}</math> सीमित संख्यक M प्रतीकों का समुच्चय है। बिंदु x की गतिकता फिर से प्रतीकों की [[द्वि-अनंत स्ट्रिंग]] स्वरूप की स्त्रिंग द्वारा प्रदर्शित किया जाता है
+[[मार्कोव विभाजन]] का उपयोग करके, प्रतीकात्मक गतिशीलता की तकनीकों का उपयोग करके अतिशीघ्र प्रणाली के दीर्घकालिक व्यवहार का अध्ययन किया जा सकता है। इस स्थितियों में, समदिग्नत कक्षा का विशेष रूप से सरल और स्पष्ट प्रतिनिधित्व होता है। मान लें कि <math>S=\{1,2,\ldots,M\}</math> सीमित संख्यक M प्रतीकों का समुच्चय है। बिंदु x की गतिकता फिर से प्रतीकों की [[द्वि-अनंत स्ट्रिंग]] स्वरूप की स्त्रिंग द्वारा प्रदर्शित किया जाता है
 :<math>\sigma =\{(\ldots,s_{-1},s_0,s_1,\ldots) : s_k \in S \; \forall k \in \mathbb{Z} \}</math>
-प्रणाली का आवृत्तिक बिंदु केवल आवृत्ति वाला प्रतीकों का एक दोहराने वाला सिरा होता है। हेटरोक्लिनिक कक्षा तब दो विभिन्न आवधिक कक्षाओं का जुड़ना होता है। जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
+प्रणाली का आवृत्तिक बिंदु केवल आवृत्ति वाला प्रतीकों का एक दोहराने वाला सिरा होता है। विभिन्न-रूखी कक्षा तब दो विभिन्न आवधिक कक्षाओं का जुड़ना होता है। जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
 :<math>p^\omega s_1 s_2 \cdots s_n q^\omega</math>
-यहाँ  <math>p= t_1 t_2 \cdots t_k</math> लंबाई k के प्रतीकों की आवृत्तिक क्रम है (स्वभावसंख्या में, <math>t_i\in S</math>), और <math>q = r_1 r_2 \cdots r_m</math> लंबाई m के प्रतीकों का और क्रम है (इसी प्रकार, <math>r_i\in S</math>). संकेतन <math>p^\omega</math> बस अनंत बार p की पुनरावृत्ति को दर्शाता है। इस प्रकार, हेटरोक्लिनिक कक्षा को आवधिक कक्षा से दूसरे में संक्रमण के रूप में समझा जा सकता है। इसके विपरीत, समदिग्नत कक्षा को इस प्रकार लिखा जा सकता है
+यहाँ <math>p= t_1 t_2 \cdots t_k</math> लंबाई k के प्रतीकों की आवृत्तिक क्रम है (स्वभावसंख्या में, <math>t_i\in S</math>), और <math>q = r_1 r_2 \cdots r_m</math> लंबाई m के प्रतीकों का और क्रम है (इसी प्रकार, <math>r_i\in S</math>). संकेतन <math>p^\omega</math> बस अनंत बार p की पुनरावृत्ति को दर्शाता है। इस प्रकार, विभिन्न-रूखी कक्षा को आवधिक कक्षा से दूसरे में संक्रमण के रूप में समझा जा सकता है। इसके विपरीत, समदिग्नत कक्षा को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 :<math>p^\omega s_1 s_2 \cdots s_n p^\omega</math>
-जहां आंतरिक क्रम <math>s_1 s_2 \cdots s_n</math> संख्यमूलक होता है और बेशक, p नहीं होता है, क्योंकि अन्यथा, ऑर्बिट बस <math>p^\omega</math> होती।
+जहां आंतरिक क्रम <math>s_1 s_2 \cdots s_n</math> संख्यमूलक होता है और अवश्य, p नहीं होता है, बस कक्षा <math>p^\omega</math> होती है ।
 == यह भी देखें ==
-* हेटरोक्लिनिक कक्षा
+* विभिन्न-रूखी कक्षा
 * [[होमोक्लिनिक द्विभाजन|समदिग्नत द्विभाजन]]

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