स्थिर मैनिफोल्ड

गणित में, और विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, स्थिर और अस्थिर सेट या 'स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड' का विचार एक आकर्षितकर्ता या प्रतिकारक के विचार में सन्निहित सामान्य धारणाओं को एक औपचारिक गणितीय परिभाषा देता है। हाइपरबोलिक गतिशीलता के मामले में, संबंधित धारणा अतिशयोक्तिपूर्ण सेट की है।

उदाहरण अतिशयोक्तिपूर्ण प्रवाह, स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड्स को दर्शाता है। सदिश क्षेत्र समीकरण है $(x+\exp(-y),-y)$. स्थिर मैनिफ़ोल्ड x-अक्ष है, और अस्थिर मैनिफ़ोल्ड x-अक्ष को पार करने वाला अन्य स्पर्शोन्मुख वक्र है।

भौतिक उदाहरण

शनि के छल्लों पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण ज्वारीय बल एक आसान-से-कल्पना योग्य भौतिक उदाहरण प्रदान करते हैं। ज्वारीय बल वलय को भूमध्यरेखीय तल में समतल कर देते हैं, यहाँ तक कि वे इसे रेडियल दिशा में फैलाते हैं। शनि के चारों ओर कक्षा में छल्लों को रेत या बजरी के कण (धूल) के रूप में कल्पना करते हुए, ज्वारीय बल ऐसे होते हैं कि कोई भी गड़बड़ी जो कणों को भूमध्यरेखीय तल के ऊपर या नीचे धकेलती है, जिसके परिणामस्वरूप उस कण को ​​एक पुनर्स्थापना बल महसूस होता है, जो उसे वापस तल में धकेल देता है। टकराव से नम हुए हार्मोनिक कुएं में कण प्रभावी ढंग से दोलन करते हैं। स्थिर दिशा रिंग के लंबवत है। अस्थिर दिशा किसी भी त्रिज्या के साथ होती है, जहां बल कणों को खींचकर अलग कर देते हैं। दो कण जो चरण स्थान में एक-दूसरे के बहुत करीब से शुरू होते हैं, रेडियल बलों का अनुभव करेंगे, जिससे वे रेडियल रूप से अलग हो जाएंगे। इन ताकतों के पास एक सकारात्मक ल्यपुनोव प्रतिपादक है; प्रक्षेप पथ हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड पर स्थित हैं, और कणों की गति अनिवार्य रूप से कैओस_थ्योरी है, जो रिंगों के माध्यम से घूमती है। केंद्र अनेक गुना छल्लों के स्पर्शरेखीय है, जिसमें कण न तो संपीड़न और न ही खिंचाव का अनुभव करते हैं। यह दूसरे क्रम के गुरुत्वाकर्षण बलों को हावी होने की अनुमति देता है, और इसलिए कणों को चंद्रमाओं या चंद्रमाओं द्वारा रिंगों, वृत्त मानचित्र में फंसाया जा सकता है। चंद्रमा की गुरुत्वाकर्षण शक्तियां प्रभावी रूप से कक्षा के चारों ओर हर बार नियमित रूप से दोहराई जाने वाली छोटी किक प्रदान करती हैं, जो कि किक किए गए रोटर के समान होती है, जैसे कि चरण-लॉक लूप में पाई जाती है।

रिंग में कणों की अलग-अलग समय की गति का अनुमान पोंकारे मानचित्र द्वारा लगाया जा सकता है। मानचित्र प्रभावी ढंग से सिस्टम का स्थानांतरण मैट्रिक्स प्रदान करता है। मैट्रिक्स के सबसे बड़े eigenvalue से जुड़ा eigenvector फ्रोबेनियस-पेरॉन eigenvector है|फ्रोबेनियस-पेरॉन eigenvector, जो अपरिवर्तनीय माप भी है, यानी रिंग में कणों का वास्तविक घनत्व। स्थानांतरण मैट्रिक्स के अन्य सभी eigenvectors में छोटे eigenvalues ​​​​हैं, और क्षयकारी मोड के अनुरूप हैं।

परिभाषा

निम्नलिखित एक ऐसे सिस्टम के मामले के लिए एक परिभाषा प्रदान करता है जो या तो एक पुनरावृत्त फ़ंक्शन है या जिसमें अलग-अलग समय की गतिशीलता है। इसी तरह की धारणाएँ उन प्रणालियों के लिए लागू होती हैं जिनका समय विकास एक प्रवाह (गणित) द्वारा दिया जाता है।

होने देना $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें, और $f\colon X\to X$ एक होमियोमोर्फिज्म. अगर $p$ के लिए एक निश्चित बिंदु (गणित) है $f$, का स्थिर सेट $p$द्वारा परिभाषित किया गया है

$W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}$

और का अस्थिर सेट $p$द्वारा परिभाषित किया गया है

$W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.$

यहाँ, $f^{-1}$ फ़ंक्शन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन को दर्शाता है $f$, अर्थात। $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}$, कहाँ $id_{X}$ पहचान मानचित्र पर है $X$.

अगर $p$ न्यूनतम अवधि का एक आवर्त बिंदु है $k$, तो यह एक निश्चित बिंदु है $f^{k}$, और स्थिर और अस्थिर सेट $p$ द्वारा परिभाषित हैं

$W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)$

और

$W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).$

एक पड़ोस दिया गया (गणित) $U$ का $p$, स्थानीय स्थिर और अस्थिर सेट $p$ द्वारा परिभाषित हैं

$W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ for each }}n\geq 0\}$

और

$W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).$

अगर $X$ मेट्रिज़ेबल है, हम किसी भी बिंदु के लिए स्थिर और अस्थिर सेट को परिभाषित कर सकते हैं

$W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \}$

और

$W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),$

कहाँ $d$ के लिए एक मीट्रिक (गणित) है $X$. यह परिभाषा स्पष्ट रूप से पिछली परिभाषा से मेल खाती है $p$ एक आवधिक बिंदु है.

अब मान लीजिये $X$ एक सघन स्थान चिकनी कई गुना है, और $f$ एक है ${\mathcal {C}}^{k}$ भिन्नता, $k\geq 1$. अगर $p$ एक अतिशयोक्तिपूर्ण आवधिक बिंदु है, स्थिर मैनिफोल्ड प्रमेय कुछ पड़ोस के लिए इसका आश्वासन देता है $U$ का $p$, स्थानीय स्थिर और अस्थिर सेट हैं ${\mathcal {C}}^{k}$ एंबेडेड डिस्क, जिनके स्पर्शरेखा स्थान पर हैं $p$ हैं $E^{s}$ और $E^{u}$ (के स्थिर और अस्थिर स्थान $Df(p)$), क्रमश; इसके अलावा, वे पड़ोस में लगातार (एक निश्चित अर्थ में) भिन्न होते हैं $f$ में ${\mathcal {C}}^{k}$ की टोपोलॉजी $\mathrm {Diff} ^{k}(X)$ (सभी का स्थान ${\mathcal {C}}^{k}$ भिन्नरूपता से $X$ खुद को)। अंततः, स्थिर और अस्थिर समुच्चय हैं ${\mathcal {C}}^{k}$ इंजेक्शन से डूबी हुई डिस्क। यही कारण है कि इन्हें आमतौर पर स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड कहा जाता है। यह परिणाम गैर-आवधिक बिंदुओं के लिए भी मान्य है, जब तक कि वे कुछ हाइपरबोलिक सेट (हाइपरबोलिक सेट के लिए स्थिर मैनिफोल्ड प्रमेय) में स्थित हैं।

टिप्पणी

अगर $X$ एक (परिमित-आयामी) सदिश स्थल है और $f$ एक समरूपता, इसके स्थिर और अस्थिर सेट को क्रमशः स्थिर स्थान और अस्थिर स्थान कहा जाता है।

यह भी देखें

• अपरिवर्तनीय अनेक गुना
• केंद्र अनेक गुना
• सीमा निर्धारित
• जूलिया सेट
• धीमी गति से कई गुना
• जड़त्वीय अनेक गुना
• सामान्यतः अतिशयोक्तिपूर्ण अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड
• लैग्रेंजियन सुसंगत संरचना

संदर्भ

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Irwin, Michael C. (2001). "Stable Manifolds". Smooth Dynamical Systems. World Scientific. pp. 143–160. ISBN 981-02-4599-8.
• Sritharan, S. S. (1990). Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.

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