एहरनफेस्ट प्रमेय

एहरनफेस्ट प्रमेय, जिसका नाम ऑस्ट्रियाई सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी पॉल एरेनफेस्ट के नाम पर रखा गया है, स्थिति और गति ऑपरेटर (भौतिकी) x और p के उम्मीद मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी) के समय व्युत्पन्न को उम्मीद मूल्य से जोड़ता है। बल $F=-V'(x)$ अदिश विभव में गतिमान एक विशाल कण पर $V(x)$,

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.$

एरेनफेस्ट प्रमेय किसी भी क्वांटम यांत्रिकी ऑपरेटर (भौतिकी) की अपेक्षा और सिस्टम के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ उस ऑपरेटर के कम्यूटेटर की अपेक्षा के बीच अधिक सामान्य संबंध का एक विशेष मामला है

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,$

कहाँ A कुछ क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटर है और ⟨A⟩ इसका प्रत्याशा मूल्य है।

यह क्वांटम यांत्रिकी के हाइजेनबर्ग चित्र में सबसे अधिक स्पष्ट है, जहां यह गति के हाइजेनबर्ग समीकरण के अपेक्षित मूल्य के बराबर है। यह पत्राचार सिद्धांत को गणितीय समर्थन प्रदान करता है।

इसका कारण यह है कि एरेनफेस्ट का प्रमेय लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) से निकटता से संबंधित है। लिउविले का हैमिल्टनियन यांत्रिकी का प्रमेय, जिसमें कम्यूटेटर के बजाय पॉइसन ब्रैकेट शामिल है। डिराक के अंगूठे के नियम से पता चलता है कि क्वांटम यांत्रिकी में बयान जिसमें एक कम्यूटेटर होता है, शास्त्रीय यांत्रिकी में बयानों के अनुरूप होता है जहां कम्यूटेटर को पॉइसन ब्रैकेट द्वारा गुणा करके प्रतिस्थापित किया जाता है iħ. यह ऑपरेटर अपेक्षा मूल्यों को गति के संबंधित शास्त्रीय समीकरणों का पालन करता है, बशर्ते कि हैमिल्टनियन निर्देशांक और संवेग में अधिकतम द्विघात हो। अन्यथा, विकास समीकरण अभी भी मोयल ब्रैकेट को धारण कर सकते हैं, बशर्ते उतार-चढ़ाव छोटा हो।

शास्त्रीय भौतिकी से संबंध

हालाँकि, पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि एरेनफेस्ट प्रमेय कह रहा है कि क्वांटम यांत्रिक अपेक्षा मान न्यूटन की गति के शास्त्रीय समीकरणों का पालन करते हैं, वास्तव में ऐसा नहीं है। यदि जोड़ी $(\langle x\rangle ,\langle p\rangle )$ न्यूटन के दूसरे नियम को संतुष्ट करने के लिए, दूसरे समीकरण का दाहिना भाग होना होगा

$$-V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),$$

जो आमतौर पर वैसा नहीं है

$$-\left\langle V'(x)\right\rangle .$$

यदि उदाहरण के लिए, क्षमता $V(x)$ घन है, (अर्थात आनुपातिक)। $x^{3}$), तब $V'$ द्विघात (आनुपातिक) है $x^{2}$). इसका मतलब है, न्यूटन के दूसरे नियम के मामले में, दाईं ओर का रूप होगा $\langle x\rangle ^{2}$, जबकि एहरनफेस्ट प्रमेय में यह के रूप में है $\langle x^{2}\rangle$. इन दोनों मात्राओं के बीच का अंतर अनिश्चितता का वर्ग है $x$ और इसलिए शून्येतर है.

अपवाद उस स्थिति में होता है जब गति के शास्त्रीय समीकरण रैखिक होते हैं, अर्थात जब $V$ द्विघात है और $V'$ रैखिक है. उस विशेष मामले में, $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ और $\left\langle V'(x)\right\rangle$ सहमत हूँ. इस प्रकार, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के मामले में, अपेक्षित स्थिति और अपेक्षित गति बिल्कुल शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र का पालन करती है।

सामान्य प्रणालियों के लिए, यदि तरंग फ़ंक्शन एक बिंदु के आसपास अत्यधिक केंद्रित है $x_{0}$, तब $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ और $\left\langle V'(x)\right\rangle$ लगभग समान होंगे, क्योंकि दोनों लगभग बराबर होंगे $V'(x_{0})$. उस स्थिति में, अपेक्षित स्थिति और अपेक्षित गति लगभग शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र का पालन करेगी, कम से कम तब तक जब तक तरंग फ़ंक्शन स्थिति में स्थानीयकृत रहता है।

श्रोडिंगर चित्र में व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि कोई प्रणाली वर्तमान में कितना राज्य में है Φ. यदि हम अपेक्षा मूल्य का तात्कालिक समय व्युत्पन्न जानना चाहते हैं A, अर्थात्, परिभाषा के अनुसार

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\end{aligned}}$$

जहां हम संपूर्ण स्थान पर एकीकरण कर रहे हैं। यदि हम श्रोडिंगर समीकरण लागू करते हैं, तो हम पाते हैं

$${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi$$

जटिल संयुग्म को लेने से हम पाते हैं

$${\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.$$

टिप्पणी H = H ^∗, क्योंकि हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) हर्मिटियन ऑपरेटर है। इसे उपरोक्त समीकरण में रखने पर हमें प्राप्त होता है

$${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .$$

अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) ऑपरेटर A समय-स्वतंत्र है ताकि इसका व्युत्पन्न शून्य हो और हम अंतिम पद को अनदेखा कर सकें।

हाइजेनबर्ग चित्र में व्युत्पत्ति

हाइजेनबर्ग चित्र में, व्युत्पत्ति सीधी है। हाइजेनबर्ग चित्र सिस्टम की समय निर्भरता को राज्य वैक्टर के बजाय ऑपरेटरों पर ले जाता है। गति के हाइजेनबर्ग समीकरण से प्रारंभ करते हुए,

$${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],$$

एरेनफेस्ट का प्रमेय केवल हाइजेनबर्ग समीकरण को प्रक्षेपित करने पर आधारित है $|\Psi \rangle$ दाईं ओर से और $\langle \Psi |$ बाएँ से, या अपेक्षा मान ले रहे हैं, इसलिए

$$\left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,$$

कोई खींच सकता है d/dt पहले पद से बाहर, चूँकि हेइज़ेनबर्ग चित्र में राज्य सदिश अब समय पर निर्भर नहीं हैं। इसलिए,

$${\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .$$

सामान्य उदाहरण

किसी विभव में गतिमान एक विशाल प्राथमिक कण के बहुत सामान्य उदाहरण के लिए, हैमिल्टनियन बस है

$$H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)$$

कहाँ x कण की स्थिति है. मान लीजिए हम संवेग की अपेक्षा में तात्कालिक परिवर्तन जानना चाहते हैं p. एरेनफेस्ट के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

$${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,$$

ऑपरेटर के बाद से p अपने आप से यात्रा करता है और समय पर उसकी कोई निर्भरता नहीं है। दायीं ओर का विस्तार करके, प्रतिस्थापित करना p द्वारा −iħ∇, हम पाते हैं

$${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.$$

दूसरे पद पर उत्पाद नियम लागू करने के बाद, हमारे पास है

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}$$

जैसा कि परिचय में बताया गया है, यह परिणाम यह नहीं कहता कि युग्म $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ न्यूटन के दूसरे नियम को संतुष्ट करता है, क्योंकि सूत्र का दाहिना भाग है $\langle F(x,t)\rangle ,$ इसके बजाय $F(\langle X\rangle ,t)$. फिर भी, जैसा कि परिचय में बताया गया है, उन राज्यों के लिए जो अंतरिक्ष में अत्यधिक स्थानीयकृत हैं, अपेक्षित स्थिति और गति लगभग शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र का पालन करेगी, जिसे पत्राचार सिद्धांत के एक उदाहरण के रूप में समझा जा सकता है।

इसी प्रकार, हम स्थिति अपेक्षा मूल्य में तात्कालिक परिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं।

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}$$

यह परिणाम वास्तव में शास्त्रीय समीकरण के बिल्कुल अनुरूप है।

एरेनफेस्ट प्रमेय से श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति

यह ऊपर स्थापित किया गया था कि एरेनफेस्ट प्रमेय श्रोडिंगर समीकरण के परिणाम हैं। हालाँकि, इसका विपरीत भी सत्य है: श्रोडिंगर समीकरण का अनुमान एरेनफेस्ट प्रमेयों से लगाया जा सकता है। हम से शुरू करते हैं

$${\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}$$

उत्पाद नियम का अनुप्रयोग होता है

$${\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}$$

यहां, स्टोन के प्रमेय को एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर लागू करें|स्टोन के प्रमेय का उपयोग करते हुए Ĥ समय अनुवाद के क्वांटम जनरेटर को दर्शाने के लिए। अगला कदम यह दिखाना है कि यह क्वांटम यांत्रिकी में उपयोग किए जाने वाले हैमिल्टनियन ऑपरेटर के समान है। स्टोन के प्रमेय का तात्पर्य है

$$i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,$$

कहाँ ħ को संतुलन आयाम के लिए सामान्यीकरण स्थिरांक के रूप में पेश किया गया था। चूँकि ये पहचान किसी भी प्रारंभिक अवस्था के लिए मान्य होनी चाहिए, औसत को हटाया जा सकता है और कम्यूटेटर समीकरणों की प्रणाली के लिए Ĥ निकाली गई है:

$$im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).$$

यह मानते हुए कि निर्देशांक और संवेग के अवलोकन विहित रूपान्तरण संबंध का पालन करते हैं [x̂, p̂] = iħ. सेटिंग ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$, कम्यूटेटर समीकरणों को विभेदक समीकरणों में परिवर्तित किया जा सकता है

$$m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),$$

जिसका समाधान परिचित हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है

$${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).$$

जहां से, श्रोडिंगर समीकरण को समन्वय और गति के बीच विहित कम्यूटेशन संबंध मानकर एरेनफेस्ट प्रमेय से प्राप्त किया गया था। यदि कोई मानता है कि समन्वय और संवेग का आवागमन होता है, तो वही कम्प्यूटेशनल विधि कूपमैन-वॉन न्यूमैन शास्त्रीय यांत्रिकी की ओर ले जाती है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी का हिल्बर्ट स्थान फॉर्मूलेशन है।इसलिए, इस व्युत्पत्ति के साथ-साथ कूपमैन-वॉन न्यूमैन शास्त्रीय यांत्रिकी#ऑपरेटर स्वयंसिद्धों से शुरू होने वाली व्युत्पत्ति|कूपमैन-वॉन न्यूमैन यांत्रिकी की व्युत्पत्ति से पता चलता है कि क्वांटम और शास्त्रीय यांत्रिकी के बीच आवश्यक अंतर कम्यूटेटर के मूल्य तक कम हो जाता है [x̂, p̂]. शास्त्रीय रूप से अराजक गतिशीलता वाले सिस्टम के लिए एहरनफेस्ट प्रमेय के निहितार्थ पर स्कॉलरपीडिया लेख Ehrenfest समय और अराजकता पर चर्चा की गई है। शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र की घातीय अस्थिरता के कारण एरेनफेस्ट समय, जिस पर क्वांटम और शास्त्रीय विकास के बीच पूर्ण पत्राचार होता है, को विशिष्ट क्वांटम संख्या के लघुगणक के आनुपातिक होने के कारण लघुगणकीय रूप से छोटा दिखाया गया है। इंटीग्रेबल डायनेमिक्स के मामले में यह समय पैमाना क्वांटम संख्या की एक निश्चित शक्ति के आनुपातिक होने के कारण बहुत बड़ा है।

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158