मोयल प्रोडक्ट: Difference between revisions
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{{Short description|An example of a phase-space star product in mathematics}} | {{Short description|An example of a phase-space star product in mathematics}}गणित में, '''मोयल प्रोडक्ट''' (जोस एनरिक मोयल के पश्चात; जिसे [[हरमन वेइल]] और हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड के पश्चात स्टार प्रोडक्ट या वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है) फ़ेज़ इंटेग्रल स्टार प्रोडक्ट का इंटेग्रल उदाहरण है। यह इंटेग्रल सहयोगी, नॉन-कम्यूटेटिव प्रोडक्ट है, {{small|★}}, {{math|ℝ<sup>2''n''</sup>}} फलनों पर, इसके [[पॉइसन ब्रैकेट]] से सुसज्जित है (स्यम्प्लेटिक मैनिफोल्ड्स के सामान्यीकरण के साथ, नीचे वर्णित है)। यह [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित]] के "प्रतीकों के बीजगणित" {{small|★}}-प्रोडक्ट का विशेष केस है। | ||
गणित में, '''मोयल प्रोडक्ट''' (जोस एनरिक मोयल के पश्चात; जिसे [[हरमन वेइल]] और हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड के पश्चात स्टार प्रोडक्ट या वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है) | |||
==ऐतिहासिक टिप्पणियाँ== | ==ऐतिहासिक टिप्पणियाँ== | ||
मोयल प्रोडक्ट का नाम जोस एनरिक मोयल के नाम पर रखा गया है, किंतु कभी-कभी इसे हरमन वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है क्योंकि इसे एचजे ग्रोएनवॉल्ड ने अपने 1946 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध में वेइल पत्राचार की तीव्र सराहना में प्रस्तुत किया था। <ref>{{cite journal |last= Groenewold |first= H. J. |date= 1946 |title= प्राथमिक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों पर|url= http://www.rug.nl/research/vsi/events/groenewold/groenewold-article.pdf |journal= Physica |volume= 12 |pages= 405–460}}</ref>ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल को वास्तव में अपने प्रसिद्ध लेख में प्रोडक्ट के बारे में ज्ञात नहीं था<ref>{{cite journal |last1= Moyal |first1= J. E. |last2= Bartlett |first2= M. S. |date= 1949 |title= एक सांख्यिकीय सिद्धांत के रूप में क्वांटम यांत्रिकी|journal= Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume= 45 |pages = 99 |doi= 10.1017/S0305004100000487 |bibcode= 1949PCPS...45...99M }}</ref> और डिराक के साथ उनके प्रसिद्ध पत्राचार में इसका अत्यंत अभाव था। <ref>{{cite book |last= Moyal |first= Ann |date= 2006 |title= Maverick Mathematician: The Life and Science of J. E. Moyal |url= http://epress.anu.edu.au/maverick_citation.html |publisher= ANU E-press}}</ref> जैसा कि उनकी जीवनी में दर्शाया गया है। ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल के नाम पर लोकप्रिय नामकरण उनके फ्लैट [[चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण|चरण- | मोयल प्रोडक्ट का नाम जोस एनरिक मोयल के नाम पर रखा गया है, किंतु कभी-कभी इसे हरमन वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है क्योंकि इसे एचजे ग्रोएनवॉल्ड ने अपने 1946 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध में वेइल पत्राचार की तीव्र सराहना में प्रस्तुत किया था। <ref>{{cite journal |last= Groenewold |first= H. J. |date= 1946 |title= प्राथमिक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों पर|url= http://www.rug.nl/research/vsi/events/groenewold/groenewold-article.pdf |journal= Physica |volume= 12 |pages= 405–460}}</ref>ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल को वास्तव में अपने प्रसिद्ध लेख में प्रोडक्ट के बारे में ज्ञात नहीं था<ref>{{cite journal |last1= Moyal |first1= J. E. |last2= Bartlett |first2= M. S. |date= 1949 |title= एक सांख्यिकीय सिद्धांत के रूप में क्वांटम यांत्रिकी|journal= Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume= 45 |pages = 99 |doi= 10.1017/S0305004100000487 |bibcode= 1949PCPS...45...99M }}</ref> और डिराक के साथ उनके प्रसिद्ध पत्राचार में इसका अत्यंत अभाव था। <ref>{{cite book |last= Moyal |first= Ann |date= 2006 |title= Maverick Mathematician: The Life and Science of J. E. Moyal |url= http://epress.anu.edu.au/maverick_citation.html |publisher= ANU E-press}}</ref> जैसा कि उनकी जीवनी में दर्शाया गया है। ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल के नाम पर लोकप्रिय नामकरण उनके फ्लैट [[चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण|चरण-इंटेग्रल परिमाणीकरण]] चित्र के सम्मान में, 1970 के दशक में ही विकास हुआ था।<ref>{{cite journal |last1= Curtright |first1= T. L. |last2= Zachos |first2=C. K. |date=2012 |title= चरण अंतरिक्ष में क्वांटम यांत्रिकी|journal= [[Asia Pacific Physics Newsletter]] |volume= 1 |pages= 37 |arxiv= 1104.5269 |doi= 10.1142/S2251158X12000069}}</ref> | ||
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{{math|ℝ<sup>2''n''</sup>}} पर [[सुचारू कार्य]] {{mvar|f}} और {{mvar|g}} के लिए प्रोडक्ट रूप लेता है | {{math|ℝ<sup>2''n''</sup>}} पर [[सुचारू कार्य|सुचारू फलन]] {{mvar|f}} और {{mvar|g}} के लिए प्रोडक्ट रूप लेता है: | ||
<math display="block">f \star g = fg + \sum_{n=1}^\infty \hbar^n C_n(f,g),</math> | <math display="block">f \star g = fg + \sum_{n=1}^\infty \hbar^n C_n(f,g),</math> | ||
जहां प्रत्येक {{mvar|C<sub>n</sub>}} निम्नलिखित गुणों द्वारा विशेषता क्रम {{mvar|n}} का निश्चित द्विविभेदक ऑपरेटर है (स्पष्ट सूत्र के लिए नीचे देखें): | जहां प्रत्येक {{mvar|C<sub>n</sub>}} निम्नलिखित गुणों द्वारा विशेषता क्रम {{mvar|n}} का निश्चित द्विविभेदक ऑपरेटर है (स्पष्ट सूत्र के लिए नीचे देखें): | ||
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जहाँ {{mvar|m}} गुणन मानचित्र है, {{math|1=''m''(''a'' ⊗ ''b'') = ''ab''}}, और घातांक को इंटेग्रल घात श्रृंखला के रूप में माना जाता है,<math display="block">e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} A^n.</math>अर्थात् {{mvar|C<sub>n</sub>}} का सूत्र है:<math display="block">C_n = \frac{i^n}{2^n n!} m \circ \Pi^n.</math>जैसा कि संकेत दिया गया है, प्रायः उपरोक्त {{mvar|i}} की सभी घटनाओं को समाप्त कर दिया जाता है, और फिर सूत्र स्वाभाविक रूप से वास्तविक संख्याओं तक सीमित हो जाते हैं। | जहाँ {{mvar|m}} गुणन मानचित्र है, {{math|1=''m''(''a'' ⊗ ''b'') = ''ab''}}, और घातांक को इंटेग्रल घात श्रृंखला के रूप में माना जाता है,<math display="block">e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} A^n.</math>अर्थात् {{mvar|C<sub>n</sub>}} का सूत्र है:<math display="block">C_n = \frac{i^n}{2^n n!} m \circ \Pi^n.</math>जैसा कि संकेत दिया गया है, प्रायः उपरोक्त {{mvar|i}} की सभी घटनाओं को समाप्त कर दिया जाता है, और फिर सूत्र स्वाभाविक रूप से वास्तविक संख्याओं तक सीमित हो जाते हैं। | ||
ध्यान दें कि यदि फलन {{mvar|f}} और {{mvar|g}} बहुपद हैं, उपरोक्त अनंत योग परिमित हो जाते हैं (सामान्य वेइल-बीजगणित स्तिथि को कम करते हुए)। | ध्यान दें कि यदि फलन {{mvar|f}} और {{mvar|g}} बहुपद हैं, उपरोक्त अनंत योग परिमित हो जाते हैं (सामान्य वेइल-बीजगणित स्तिथि को कम करते हुए)। | ||
सार्वभौमिक आवरण | सार्वभौमिक आवरण "प्रतीकों के बीजगणित" की परिभाषा में उपयोग किए जाने वाले सामान्यीकृत {{small|★}}-प्रोडक्ट के साथ मोयल प्रोडक्ट का संबंध इस तथ्य से ज्ञात होता है कि वेइल बीजगणित हेइज़ेनबर्ग बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित है (मॉड्यूलो जो केंद्र में है) यह इकाई के समान है)। | ||
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\exp\left[-a\left(x^2 + p^2\right)\right] \star \exp\left[-b\left(x^2 + p^2\right)\right] = | \exp\left[-a\left(x^2 + p^2\right)\right] \star \exp\left[-b\left(x^2 + p^2\right)\right] = | ||
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</math>(शास्त्रीय सीमा पर ध्यान दें, {{math|''ħ'' → 0}}) | </math>(शास्त्रीय सीमा पर ध्यान दें, {{math|''ħ'' → 0}})<br />चूँकि, चरण स्थान और हिल्बर्ट स्थान के मध्य प्रत्येक पत्राचार विधि अपने स्वयं के उचित {{small|★}}-प्रोडक्ट को प्रेरित करता है।<ref>{{cite book |last= Cohen |first= L |date= 1995 |title= समय-आवृत्ति विश्लेषण|publisher= Prentice-Hall |location= New York |isbn= 978-0135945322}}</ref><ref>{{cite journal |last= Lee |first= H. W. |date= 1995 |title= क्वांटम चरण-अंतरिक्ष वितरण कार्यों का सिद्धांत और अनुप्रयोग|journal= Physics Reports |volume= 259 |issue= 3 |pages= 147 |doi= 10.1016/0370-1573(95)00007-4 |bibcode= 1995PhR...259..147L}}</ref> | ||
चूँकि, चरण स्थान और हिल्बर्ट स्थान के मध्य प्रत्येक पत्राचार विधि अपने स्वयं के उचित {{small|★}}-प्रोडक्ट को प्रेरित करता है।<ref>{{cite book |last= Cohen |first= L |date= 1995 |title= समय-आवृत्ति विश्लेषण|publisher= Prentice-Hall |location= New York |isbn= 978-0135945322}}</ref><ref>{{cite journal |last= Lee |first= H. W. |date= 1995 |title= क्वांटम चरण-अंतरिक्ष वितरण कार्यों का सिद्धांत और अनुप्रयोग|journal= Physics Reports |volume= 259 |issue= 3 |pages= 147 |doi= 10.1016/0370-1573(95)00007-4 |bibcode= 1995PhR...259..147L}}</ref> | |||
इसी प्रकार के परिणाम सेगल-बार्गमैन स्पेस और [[हाइजेनबर्ग समूह]] के [[थीटा प्रतिनिधित्व]] में देखे जाते हैं, जहां निर्माण और अन्निहिलेशन ऑपरेटरों {{math|1=''a''<sup>∗</sup> = ''z''}} और {{math|1=''a'' = ''∂''/''∂z''}} को जटिल तल (क्रमशः, [[ऊपरी आधा तल|ऊपरी]] पर कार्य करने के लिए हेइज़ेनबर्ग समूह के लिए [[ऊपरी आधा तल|अर्ध-तल]] को समझा जाता है), जिससे स्थिति और संवेग संचालक {{math|1=''x'' = (''a'' + ''a''<sup>∗</sup>)/2}} और {{math|1=''p'' = (''a'' - ''a''<sup>∗</sup>)/(2''i'')}} द्वारा दिए जाएं। यह स्थिति उस केस से स्पष्ट रूप से भिन्न है जहां पदों को वास्तविक-मूल्यवान माना जाता है, किंतु यह हाइजेनबर्ग बीजगणित और उसके आवरण, वेइल बीजगणित की समग्र बीजगणितीय संरचना में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। | इसी प्रकार के परिणाम सेगल-बार्गमैन स्पेस और [[हाइजेनबर्ग समूह]] के [[थीटा प्रतिनिधित्व]] में देखे जाते हैं, जहां निर्माण और अन्निहिलेशन ऑपरेटरों {{math|1=''a''<sup>∗</sup> = ''z''}} और {{math|1=''a'' = ''∂''/''∂z''}} को जटिल तल (क्रमशः, [[ऊपरी आधा तल|ऊपरी]] पर कार्य करने के लिए हेइज़ेनबर्ग समूह के लिए [[ऊपरी आधा तल|अर्ध-तल]] को समझा जाता है), जिससे स्थिति और संवेग संचालक {{math|1=''x'' = (''a'' + ''a''<sup>∗</sup>)/2}} और {{math|1=''p'' = (''a'' - ''a''<sup>∗</sup>)/(2''i'')}} द्वारा दिए जाएं। यह स्थिति उस केस से स्पष्ट रूप से भिन्न है जहां पदों को वास्तविक-मूल्यवान माना जाता है, किंतु यह हाइजेनबर्ग बीजगणित और उसके आवरण, वेइल बीजगणित की समग्र बीजगणितीय संरचना में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। | ||
==फ़ेज़-स्पेस इंटीग्रल्स के अंदर== | ==फ़ेज़-स्पेस इंटीग्रल्स के अंदर== | ||
फ़ेज़ इंटेग्रल अभिन्न अंग के अंदर, मोयल प्रकार का स्टार प्रोडक्ट ड्राप किया जा सकता है | फ़ेज़ इंटेग्रल अभिन्न अंग के अंदर, मोयल प्रकार का स्टार प्रोडक्ट ड्राप किया जा सकता है,<ref>{{cite book |last1=Curtright |first1=T. L. |last2= Fairlie |first2= D. B. |last3= Zachos |first3= C. K. |date= 2014 |title= चरण अंतरिक्ष में क्वांटम यांत्रिकी पर एक संक्षिप्त ग्रंथ|publisher= [[World Scientific]] |isbn= 9789814520430}}</ref> जिसके परिणामस्वरूप सरल गुणन होता है, जैसा कि भागों द्वारा एकीकरण से स्पष्ट होता है, | ||
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फ़ेज़ इंटेग्रल ट्रेस की चक्रीयता को प्रकट करना। यह उपरोक्त विशिष्ट मोयल प्रोडक्ट का इंटेग्रल अद्वितीय गुण है, और अन्य पत्राचार नियमों के स्टार प्रोडक्टों, जैसे हुसिमी, आदि के लिए प्रारम्भ नहीं होती है। | फ़ेज़ इंटेग्रल ट्रेस की चक्रीयता को प्रकट करना। यह उपरोक्त विशिष्ट मोयल प्रोडक्ट का इंटेग्रल अद्वितीय गुण है, और अन्य पत्राचार नियमों के स्टार प्रोडक्टों, जैसे हुसिमी, आदि के लिए प्रारम्भ नहीं होती है। | ||
Revision as of 21:44, 1 December 2023
गणित में, मोयल प्रोडक्ट (जोस एनरिक मोयल के पश्चात; जिसे हरमन वेइल और हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड के पश्चात स्टार प्रोडक्ट या वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है) फ़ेज़ इंटेग्रल स्टार प्रोडक्ट का इंटेग्रल उदाहरण है। यह इंटेग्रल सहयोगी, नॉन-कम्यूटेटिव प्रोडक्ट है, ★, ℝ2n फलनों पर, इसके पॉइसन ब्रैकेट से सुसज्जित है (स्यम्प्लेटिक मैनिफोल्ड्स के सामान्यीकरण के साथ, नीचे वर्णित है)। यह सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के "प्रतीकों के बीजगणित" ★-प्रोडक्ट का विशेष केस है।
ऐतिहासिक टिप्पणियाँ
मोयल प्रोडक्ट का नाम जोस एनरिक मोयल के नाम पर रखा गया है, किंतु कभी-कभी इसे हरमन वेइल-ग्रोएनवॉल्ड प्रोडक्ट भी कहा जाता है क्योंकि इसे एचजे ग्रोएनवॉल्ड ने अपने 1946 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध में वेइल पत्राचार की तीव्र सराहना में प्रस्तुत किया था। [1]ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल को वास्तव में अपने प्रसिद्ध लेख में प्रोडक्ट के बारे में ज्ञात नहीं था[2] और डिराक के साथ उनके प्रसिद्ध पत्राचार में इसका अत्यंत अभाव था। [3] जैसा कि उनकी जीवनी में दर्शाया गया है। ऐसा प्रतीत होता है कि मोयल के नाम पर लोकप्रिय नामकरण उनके फ्लैट चरण-इंटेग्रल परिमाणीकरण चित्र के सम्मान में, 1970 के दशक में ही विकास हुआ था।[4]
परिभाषा
ℝ2n पर सुचारू फलन f और g के लिए प्रोडक्ट रूप लेता है:
- बिंदुवार प्रोडक्ट का विरूपण उपरोक्त सूत्र में निहित है।
- पॉइसन ब्रैकेट का विरूपण, जिसे मोयल ब्रैकेट कहा जाता है।
- अविकृत बीजगणित का 1 नये बीजगणित में पहचान है।
- जटिल संयुग्म इंटेग्रल एंटीलिनियर एंटीऑटोमोर्फिज्म है।
ध्यान दें, यदि कोई वास्तविक संख्याओं में मान वाले फलन लेना चाहता है, तो इंटेग्रल वैकल्पिक वर्जन दूसरी स्थिति में i को विस्थापित कर देता है और चौथी स्थिति को समाप्त कर देता है।
यदि कोई बहुपद कार्यों को प्रतिबंधित करता है, तो उपरोक्त बीजगणित वेइल बीजगणित An के लिए आइसोमोर्फिक है, और दोनों n चर (या आयाम 2n के सदिश स्थान के सममित बीजगणित) में बहुपद के स्थान के विग्नर-वेइल परिवर्तन की वैकल्पिक प्राप्ति को प्रस्तुत करते हैं।
स्पष्ट सूत्र प्रदान करने के लिए, ℝ2n पर इंटेग्रल स्थिर पॉइसन बायवेक्टर Π पर विचार करें:
यह प्रतीकों के बीजगणित पर बेरेज़िन सूत्र[5] के रूप में जाना जाने वाला विशेष केस है और इसे विवृत रूप दिया जा सकता है[6] (जो बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र से अनुसरण करता है)। घातांक का उपयोग करके विवृत फॉर्म प्राप्त किया जा सकता है:
ध्यान दें कि यदि फलन f और g बहुपद हैं, उपरोक्त अनंत योग परिमित हो जाते हैं (सामान्य वेइल-बीजगणित स्तिथि को कम करते हुए)।
सार्वभौमिक आवरण "प्रतीकों के बीजगणित" की परिभाषा में उपयोग किए जाने वाले सामान्यीकृत ★-प्रोडक्ट के साथ मोयल प्रोडक्ट का संबंध इस तथ्य से ज्ञात होता है कि वेइल बीजगणित हेइज़ेनबर्ग बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित है (मॉड्यूलो जो केंद्र में है) यह इकाई के समान है)।
मैनिफोल्ड्स
किसी भी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर, कोई भी, कम से कम स्थानीय रूप से, निर्देशांक चयन कर सकता है जिससे डार्बौक्स के प्रमेय द्वारा सिंपलेक्टिक संरचना को स्थिर बनाया जा सके; और, संबंधित पॉइसन बायवेक्टर का उपयोग करके, कोई उपरोक्त सूत्र पर विचार कर सकता है। इसे विश्व स्तर पर कार्य करने के लिए, संपूर्ण मैनिफोल्ड (और सिर्फ इंटेग्रल स्थानीय सूत्र नहीं) पर इंटेग्रल फलन के रूप में, किसी को सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड को टॉरशन-फ्री सिम्पलेक्टिक कनेक्शन (गणित) से लैस करना होगा। यह इसे फेडोसोव मैनिफोल्ड बनाता है।
स्वेछानुसार पॉइसन मैनिफोल्ड्स (जहां डार्बौक्स प्रमेय प्रारम्भ नहीं होता है) के लिए अधिक सामान्य परिणाम कोंटसेविच परिमाणीकरण सूत्र द्वारा दिए गए हैं।
उदाहरण
★-प्रोडक्ट के निर्माण और उपयोगिता का इंटेग्रल सरल स्पष्ट उदाहरण (द्वि-आयामी यूक्लिडियन चरण स्थान के सबसे सरल केस के लिए) विग्नर-वेइल परिवर्तन पर लेख में दिया गया है: दो गॉसियन इस ★-प्रोडक्ट के अनुसार रचना करते हैं अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा नियम निम्न है:[7]
चूँकि, चरण स्थान और हिल्बर्ट स्थान के मध्य प्रत्येक पत्राचार विधि अपने स्वयं के उचित ★-प्रोडक्ट को प्रेरित करता है।[8][9]
इसी प्रकार के परिणाम सेगल-बार्गमैन स्पेस और हाइजेनबर्ग समूह के थीटा प्रतिनिधित्व में देखे जाते हैं, जहां निर्माण और अन्निहिलेशन ऑपरेटरों a∗ = z और a = ∂/∂z को जटिल तल (क्रमशः, ऊपरी पर कार्य करने के लिए हेइज़ेनबर्ग समूह के लिए अर्ध-तल को समझा जाता है), जिससे स्थिति और संवेग संचालक x = (a + a∗)/2 और p = (a - a∗)/(2i) द्वारा दिए जाएं। यह स्थिति उस केस से स्पष्ट रूप से भिन्न है जहां पदों को वास्तविक-मूल्यवान माना जाता है, किंतु यह हाइजेनबर्ग बीजगणित और उसके आवरण, वेइल बीजगणित की समग्र बीजगणितीय संरचना में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
फ़ेज़-स्पेस इंटीग्रल्स के अंदर
फ़ेज़ इंटेग्रल अभिन्न अंग के अंदर, मोयल प्रकार का स्टार प्रोडक्ट ड्राप किया जा सकता है,[10] जिसके परिणामस्वरूप सरल गुणन होता है, जैसा कि भागों द्वारा एकीकरण से स्पष्ट होता है,
संदर्भ
- ↑ Groenewold, H. J. (1946). "प्राथमिक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों पर" (PDF). Physica. 12: 405–460.
- ↑ Moyal, J. E.; Bartlett, M. S. (1949). "एक सांख्यिकीय सिद्धांत के रूप में क्वांटम यांत्रिकी". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 45: 99. Bibcode:1949PCPS...45...99M. doi:10.1017/S0305004100000487.
- ↑ Moyal, Ann (2006). Maverick Mathematician: The Life and Science of J. E. Moyal. ANU E-press.
- ↑ Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2012). "चरण अंतरिक्ष में क्वांटम यांत्रिकी". Asia Pacific Physics Newsletter. 1: 37. arXiv:1104.5269. doi:10.1142/S2251158X12000069.
- ↑ Berezin, Felix A. (1967). "लाई बीजगणित के संबंधित लिफ़ाफ़े के बारे में कुछ टिप्पणियाँ". Functional Analysis and its Applications. 1: 91.
- ↑ Bekaert, Xavier (June 2005). "सार्वभौमिक आवरण बीजगणित और भौतिकी में कुछ अनुप्रयोग" (PDF) (Lecture notes). Université Libre du Bruxelles, Institut des Hautes Études Scientifiques.
- ↑ Zachos, Cosmas; Fairlie, David; Curtright, Thomas, eds. (2005). Quantum Mechanics in Phase Space: An Overview with Selected Papers. World Scientific Series in 20th Century Physics. Vol. 34. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-384-6.
- ↑ Cohen, L (1995). समय-आवृत्ति विश्लेषण. New York: Prentice-Hall. ISBN 978-0135945322.
- ↑ Lee, H. W. (1995). "क्वांटम चरण-अंतरिक्ष वितरण कार्यों का सिद्धांत और अनुप्रयोग". Physics Reports. 259 (3): 147. Bibcode:1995PhR...259..147L. doi:10.1016/0370-1573(95)00007-4.
- ↑ Curtright, T. L.; Fairlie, D. B.; Zachos, C. K. (2014). चरण अंतरिक्ष में क्वांटम यांत्रिकी पर एक संक्षिप्त ग्रंथ. World Scientific. ISBN 9789814520430.
