चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल: Difference between revisions

Revision as of 18:31, 29 November 2023

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल एक भौतिक प्रणाली की स्थिति है जो अंतरिक्ष के बजाय चरण स्थान में असतत समरूपता प्रदर्शित करती है। एकल-कण प्रणाली के लिए, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल स्थिति एक बंद क्वांटम प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन के अपना राज्य को संदर्भित करती है^[1] या एक खुली क्वांटम प्रणाली के लिए लिउविलियन का eigenoperator^[2] कई-निकाय प्रणाली के लिए, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल चरण अंतरिक्ष में ठोस जैसी क्रिस्टलीय अवस्था है।^[3]^[4] चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की सामान्य रूपरेखा ठोस अवस्था भौतिकी और संघनित पदार्थ भौतिकी के अध्ययन को गतिशील प्रणालियों के चरण स्थान में विस्तारित करना है।^[5] जबकि वास्तविक स्थान में यूक्लिडियन ज्यामिति है, चरण स्थान शास्त्रीय सहानुभूति ज्यामिति या क्वांटम गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के साथ अंतर्निहित है।

चरण अंतरिक्ष जालक

उनकी प्रसिद्ध पुस्तक गणितीय फ़ाउंडेशन ऑफ़ क्वांटम मैकेनिक्स में,^[6] जॉन वॉन न्यूमैन ने क्रमशः स्थिति और गति दिशाओं के साथ दो क्रमविनिमेय प्राथमिक विस्थापन ऑपरेटरों द्वारा एक चरण अंतरिक्ष जाली का निर्माण किया, जिसे आजकल वॉन न्यूमैन जाली भी कहा जाता है। यदि चरण स्थान को आवृत्ति-समय विमान से बदल दिया जाता है, तो वॉन न्यूमैन जाली को गैबोर जाली कहा जाता है ^[7] और सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ^[8] चरण अंतरिक्ष जाली मूल रूप से वास्तविक अंतरिक्ष जाली से भिन्न होती है क्योंकि चरण स्थान के दो निर्देशांक क्वांटम यांत्रिकी में गैर-अनुवांशिक होते हैं। परिणामस्वरूप, चरण स्थान में एक बंद पथ के साथ चलने वाली सुसंगत स्थिति एक अतिरिक्त चरण कारक प्राप्त करती है, जो चुंबकीय क्षेत्र में घूमने वाले चार्ज कण के अहरोनोव-बोहम प्रभाव के समान है।^[9]^[3]चरण स्थान और चुंबकीय क्षेत्र के बीच गहरा संबंध है। वास्तव में, गति के विहित समीकरण को लोरेन्ज़-बल रूप में भी फिर से लिखा जा सकता है जो शास्त्रीय चरण स्थान की सहानुभूति ज्यामिति को दर्शाता है ^[5]

गतिशील प्रणालियों के चरण स्थान में, स्थिर बिंदु अपने पड़ोसी क्षेत्रों के साथ मिलकर अराजक समुद्र में तथाकथित पोंकारे-बिरखॉफ द्वीप बनाते हैं जो चरण स्थान में एक श्रृंखला या कुछ नियमित दो आयामी जाली संरचनाएं बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, किक्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर (KHO) का प्रभावी हैमिल्टनियन ^[10]^[11] किकिंग संख्या के अनुपात के आधार पर चरण स्थान में वर्गाकार जाली, त्रिकोण जाली और यहां तक कि अर्ध-क्रिस्टल संरचनाएं भी हो सकती हैं। वास्तव में, किसी भी मनमाने चरण स्थान जाली को केएचओ के लिए उपयुक्त किकिंग अनुक्रम का चयन करके इंजीनियर किया जा सकता है ^[4]

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल (पीएससी)

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा गुओ एट अल द्वारा प्रस्तावित की गई थी ^[1]और मूल रूप से समय-समय पर संचालित (फ्लोक्वेट) गतिशील प्रणाली के प्रभावी हैमिल्टन के स्वदेशीकरण को संदर्भित करता है। इस पर निर्भर करते हुए कि इंटरैक्शन प्रभाव शामिल है या नहीं, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल को एकल-कण पीएससी और कई-बॉडी पीएससी में वर्गीकृत किया जा सकता है।^[12]

एकल-कण चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल

चरण अंतरिक्ष में समरूपता के आधार पर, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल एक आयामी (1डी) स्थिति हो सकता है $n$ चरण स्थान या द्वि-आयामी (2D) जाली स्थिति में घूर्णी समरूपता को पूरे चरण स्थान में विस्तारित करें। एक बंद प्रणाली के लिए चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को खुले क्वांटम सिस्टम में विस्तारित किया गया है और इसे विघटनकारी चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल का नाम दिया गया है।^[2]

जेड_n पीएससी

चरण स्थान मूल रूप से वास्तविक स्थान से भिन्न है क्योंकि चरण स्थान के दो निर्देशांक आवागमन नहीं करते हैं, अर्थात, $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\lambda$ कहाँ $\lambda$ आयामहीन प्लैंक स्थिरांक है। सीढ़ी ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है ${\hat {a}}=({\hat {x}}+i{\hat {p}})/{\sqrt {2\lambda }}$ ऐसा है कि $[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$ . एक भौतिक प्रणाली का हैमिल्टनियन ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$ सीढ़ी ऑपरेटरों के एक फ़ंक्शन में भी लिखा जा सकता है ${\hat {H}}=H({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })$ . चरण स्थान में घूर्णी ऑपरेटर को परिभाषित करके ^[1]^[13] द्वारा ${\hat {T}}_{\tau }=e^{-i\tau {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$ कहाँ $\tau ={2\pi }/{n}$ साथ $n$ सिस्टम के पास एक धनात्मक पूर्णांक है $n$ -गुना घूर्णी समरूपता या $Z_{n}$ समरूपता यदि हैमिल्टनियन घूर्णी ऑपरेटर के साथ कम्यूट करता है $[{\hat {H}},{\hat {T}}_{\tau }]=0$ , अर्थात।,

{\hat {H}}={\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{\tau }\rightarrow H({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })=H({\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {a}}{\hat {T}}_{\tau },{\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {a}}_{\tau }^{\dagger })=H({\hat {a}}e^{-i\tau },{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\tau }).

इस मामले में, कोई बलोच प्रमेय को लागू कर सकता है

n

-सममित हैमिल्टनियन को मोड़ें और बैंड संरचना की गणना करें।^[1]^[14] हैमिल्टनियन की असतत घूर्णी सममित संरचना को कहा जाता है

Z_{n}

चरण स्थान जाली ^[15] और संबंधित स्वदेशी राज्यों को कहा जाता है

Z_{n}

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल.

जाली पीएससी

असतत घूर्णी समरूपता को पूरे चरण स्थान में असतत अनुवादात्मक समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है। ऐसे उद्देश्य के लिए, चरण स्थान में विस्थापन ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है ${\hat {D}}(\xi )=\exp[(\xi {\hat {a}}^{\dagger }-\xi ^{*}{\hat {a}})/{\sqrt {2\lambda }}]$ जिसके पास संपत्ति है ${\hat {D}}^{\dagger }(\xi ){\hat {a}}{\hat {D}}(\xi )={\hat {a}}+\xi$ , कहाँ $\xi$ चरण स्थान में विस्थापन वेक्टर के अनुरूप एक जटिल संख्या है। यदि हैमिल्टनियन ट्रांसलेशनल ऑपरेटर के साथ कम्यूट करता है तो सिस्टम में असतत ट्रांसलेशनल समरूपता होती है $[{\hat {H}},{\hat {D}}^{\dagger }(\xi )]=0$ , अर्थात।,

{\hat {H}}={\hat {D}}^{\dagger }(\xi ){\hat {H}}{\hat {D}}(\xi )\rightarrow H({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })=H({\hat {D}}^{\dagger }(\xi ){\hat {a}}{\hat {D}}(\xi ),{\hat {D}}^{\dagger }{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {D}}(\xi ))=H({\hat {a}}+\xi ,{\hat {a}}^{\dagger }+\xi ^{*}).

यदि दो प्राथमिक विस्थापन मौजूद हैं

{\hat {D}}(\xi _{1})

और

{\hat {D}}(\xi _{2})

जो उपरोक्त शर्त को एक साथ पूरा करते हैं, चरण स्थान हैमिल्टनियन के पास चरण स्थान में 2डी जाली समरूपता है। हालाँकि, दो विस्थापन ऑपरेटर सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं हैं

[{\hat {D}}(\xi _{1}),{\hat {D}}(\xi _{2})]\neq 0

. गैर-क्रमविनिमेय चरण स्थान में, एक बिंदु की अवधारणा अर्थहीन है। इसके बजाय, एक सुसंगत स्थिति

|\alpha \rangle

के माध्यम से कम करने वाले ऑपरेटर के eigenstate के रूप में परिभाषित किया गया है

{\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle

. विस्थापन ऑपरेटर सुसंगत स्थिति को एक अतिरिक्त चरण के साथ विस्थापित करता है, अर्थात,

{\hat {D}}(\xi )|\alpha \rangle =e^{i\mathrm {Im} (\xi \alpha ^{*})}|\alpha +\xi \rangle

. एक सुसंगत अवस्था जो एक बंद रास्ते पर चलती है, उदाहरण के लिए, तीन किनारों वाला एक त्रिकोण

(\xi _{1},\xi _{2},-\xi _{1}-\xi _{2})

चरण स्थान में, एक ज्यामितीय चरण कारक प्राप्त करता है ^[16]^[3]

{\hat {D}}[-\xi _{1}-\xi _{2}]{\hat {D}}(\xi _{2}){\hat {D}}(\xi _{1})|\alpha \rangle =e^{i{\frac {S}{\lambda }}}|\alpha \rangle ,

कहाँ

S={\frac {1}{2}}\mathrm {Im} (\xi _{2}\xi _{1}^{*})

संलग्न क्षेत्र है. यह ज्यामितीय चरण चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के अहरोनोव-बोहम चरण के अनुरूप है। यदि चुंबकीय इकाई सेल और जाली इकाई सेल तुलनीय हैं, अर्थात्, दो पूर्णांक मौजूद हैं

r

और

s

ऐसा है कि

[{\hat {D}}^{r}(\xi _{1}),{\hat {D}}^{s}(\xi _{2})]=0

, कोई 2डी ब्रिलॉइन में परिभाषित बैंड संरचना की गणना कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक वर्गाकार चरण अंतरिक्ष जाली हैमिल्टनियन का स्पेक्ट्रम

{\hat {H}}=\cos {\hat {x}}+\cos {\hat {p}}

हॉफस्टैटर की तितली बैंड संरचना प्रदर्शित करता है ^[3]^[17] जो चुंबकीय क्षेत्र में कसकर बांधने वाली जाली साइटों के बीच आवेशित कणों के उछलने का वर्णन करता है।^[18] इस मामले में, ईजेनस्टेट्स को 2डी जाली चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल कहा जाता है।

विघटनकारी पीएससी

बंद क्वांटम प्रणाली के लिए चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को खुले क्वांटम प्रणाली तक विस्तारित किया गया है।^[2]सर्किट QED सिस्टम में, एक माइक्रोवेव रेज़ोनेटर जोसेफसन जंक्शनों और वोल्टेज पूर्वाग्रह के साथ संयुक्त होता है $n$ -फोटॉन अनुनाद को घूर्णन तरंग सन्निकटन (आरडब्ल्यूए) हैमिल्टनियन द्वारा वर्णित किया जा सकता है ${\hat {H}}_{RWA}$ साथ $Z_{n}$ ऊपर वर्णित चरण स्थान समरूपता। जब एकल-फोटॉन हानि प्रमुख होती है, तो अनुनादक की विघटनकारी गतिशीलता को निम्नलिखित मास्टर समीकरण (लिंडब्लैड समीकरण) द्वारा वर्णित किया जाता है।

 ${\frac {d\rho }{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{RWA},\rho ]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\hat {a}}\rho {\hat {a}}^{\dagger }-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rho -\rho {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})={\mathcal {L}}(\rho ),$ कहाँ  $\gamma$  हानि दर और सुपरऑपरेटर है  ${\mathcal {L}}$  लिउविलियन कहा जाता है। कोई सिस्टम के लिउविलियन के eigenspectrum और संबंधित ईजेनऑपरेटर की गणना कर सकता है  ${\mathcal {L}}{\hat {\rho }}_{m}=\lambda _{m}{\hat {\rho }}_{m}$ .

ध्यान दें कि न केवल हैमिल्टनियन बल्कि लिउविलियन भी इसके अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं $n$ -फोल्ड रोटेशनल ऑपरेशन, यानी, $[{\mathcal {L}},{\mathcal {T}}_{\tau }]=0$ साथ ${\mathcal {T}}_{\tau }{\hat {O}}={\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {O}}{\hat {T}}_{\tau }$ और $\tau ={2\pi }/{n}$ . यह समरूपता चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को एक खुली क्वांटम प्रणाली तक विस्तारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। परिणामस्वरूप, लिउविलियन ईजेनऑपरेटर्स ${\hat {\rho }}_{m}$ चरण स्थान में एक बलोच मोड संरचना होती है, जिसे विघटनकारी चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल कहा जाता है।^[2]

अनेक-निकाय चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को परस्पर क्रिया करने वाले कणों की प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है जहां यह चरण अंतरिक्ष में ठोस जैसी क्रिस्टलीय संरचना वाले कई-शरीर वाले राज्य को संदर्भित करता है।^[3]^[4]^[12]इस मामले में, कणों की परस्पर क्रिया एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। वास्तविक स्थान में, कई शरीर वाले हैमिल्टनियन एक परेशान आवधिक ड्राइव (अवधि के साथ) के अधीन थे $T$ ) द्वारा दिया गया है

{\mathcal {H}}=\sum _{i}H(x_{i},p_{i},t)+\sum _{i<j}V(x_{i}-x_{j}).

आमतौर पर, बातचीत की क्षमता

V(x_{i}-x_{j})

वास्तविक स्थान में दो कणों की दूरी का एक फलन है। ड्राइविंग आवृत्ति के साथ घूर्णन फ्रेम में परिवर्तन करके और घूर्णन तरंग सन्निकटन (आरडब्ल्यूए) को अपनाकर, कोई प्रभावी हैमिल्टनियन प्राप्त कर सकता है ^[15]^[5]

{\mathcal {H}}_{RWA}=\sum _{i}H_{RWA}(X_{i},P_{i},t)+\sum _{i<j}U(X_{i},P_{i};X_{j},P_{j}).

यहाँ,

X_{i},P_{i}

की स्ट्रोबोस्कोपिक स्थिति और गति हैं

i

-वें कण, अर्थात्, वे का मान लेते हैं

x_{i}(t),p_{i}(t)

ड्राइविंग अवधि के पूर्णांक गुणज पर

t=nT

. चरण स्थान में क्रिस्टल संरचना रखने के लिए, चरण स्थान में प्रभावी अंतःक्रिया को चरण स्थान में अलग-अलग घूर्णी या अनुवादात्मक संचालन के तहत अपरिवर्तनीय होना आवश्यक है।

चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन

शास्त्रीय गतिकी में, अग्रणी क्रम में, चरण स्थान में प्रभावी अंतःक्रिया क्षमता एक ड्राइविंग अवधि में समय-औसत वास्तविक अंतरिक्ष अंतःक्रिया है

U_{ij}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V[x_{i}(t)-x_{j}(t)].

यहाँ,

x_{i}(t)

के प्रक्षेप पथ का प्रतिनिधित्व करता है

i

ड्राइविंग क्षेत्र की अनुपस्थिति में -वाँ कण। मॉडल बिजली कानून इंटरैक्शन क्षमता के लिए

V(x_{i}-x_{j})=\epsilon ^{2n}/|x_{i}-x_{j}|^{2n}

पूर्णांकों और अर्ध-पूर्णांकों के साथ

n\geq 1/2

, उपरोक्त समय-औसत सूत्र द्वारा दिया गया प्रत्यक्ष अभिन्न अंग अपसारी है, अर्थात,

U_{ij}=\infty .

विचलन को दूर करने के लिए एक पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया शुरू की गई थी ^[19] और सही चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया चरण अंतरिक्ष दूरी का एक कार्य है

R_{ij}

में

(X_{i},P_{i})

विमान। कूलम्ब विभव के लिए

n=1/2

, परिणाम

U(R_{ij})=2\pi ^{-1}{\tilde {\epsilon }}/R_{ij}

अभी भी कूलम्ब के नियम का स्वरूप लघुगणकीय पुनर्सामान्यीकृत आवेश तक बना हुआ है

{\tilde {\epsilon }}=\epsilon \ln(\epsilon ^{-1}e^{2}R_{ij}^{3}/2)

, कहाँ

e=2.71828\cdots

यूलर की संख्या है. के लिए

n=1,3/2,2,5/2,\cdots

, पुनर्सामान्यीकृत चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया क्षमता है ^[19]

U_{ij}=U(R_{ij})={\frac {2\epsilon \gamma ^{2n-1}4^{{\frac {1}{2n}}-1}}{\pi (2n-1)}}R_{ij}^{1-{\frac {1}{n}}},

कहाँ

\gamma =(4n-1)^{\frac {1}{2n-1}}

टकराव कारक है. के विशेष मामले के लिए

n=1

, तब से चरण स्थान में कोई प्रभावी अंतःक्रिया नहीं हुई है

U(R_{ij})={\sqrt {3}}\epsilon \pi ^{-1}

चरण अंतरिक्ष दूरी के संबंध में एक स्थिरांक है। सामान्य तौर पर के मामले के लिए

n>1

, चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया

{U}(R_{ij})

चरण स्थान दूरी के साथ बढ़ता है

R_{ij}

. हार्ड-स्फीयर इंटरैक्शन के लिए (

n\rightarrow \infty

), चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया

U(R_{ij})=\epsilon \pi ^{-1}R_{ij}

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) में क्वार्कों के बीच कारावास की बातचीत की तरह व्यवहार करता है। उपरोक्त चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन वास्तव में चरण स्थान में अलग-अलग घूर्णी या अनुवाद संबंधी संचालन के तहत अपरिवर्तनीय है। ड्राइविंग से चरण अंतरिक्ष जाली क्षमता के साथ संयुक्त, एक स्थिर शासन मौजूद है जहां कण समय-समय पर चरण स्थान में खुद को व्यवस्थित करते हैं जिससे कई-शरीर चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल को जन्म मिलता है।^[3]^[4]^[12]

क्वांटम यांत्रिकी में, बिंदु कण को क्वांटम तरंग पैकेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और विचलन समस्या से स्वाभाविक रूप से बचा जाता है। फ़्लोक्वेट प्रणाली के लिए निम्नतम क्रम के मैग्नस विस्तार के लिए, दो कणों का क्वांटम चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन आवधिक दो-शरीर क्वांटम स्थिति पर समय-औसत वास्तविक अंतरिक्ष इंटरैक्शन है $\Phi (x_{i},x_{j},t)$ निम्नलिखित नुसार।^[20]^[3]

U_{ij}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\langle \Phi (x_{i},x_{j},t)|V(x_{i}-x_{j})|\Phi (x_{i},x_{j},t)\rangle .

सुसंगत राज्य प्रतिनिधित्व में, क्वांटम चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन लंबी दूरी की सीमा में शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन तक पहुंचता है।^[3]के लिए

N

प्रतिकारक संपर्क अंतःक्रिया के साथ बोसोनिक अल्ट्राकोल्ड परमाणु एक दोलनशील दर्पण पर उछलते हुए, मॉट इन्सुलेटर जैसी स्थिति बनाना संभव है

Z_{n}

चरण स्थान जाली.^[20]^[15]इस मामले में, प्रत्येक संभावित साइट में कणों की एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या होती है जिसे 1डी कई-बॉडी चरण स्पेस क्रिस्टल के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।

यदि दो अविभाज्य कणों में स्पिन होती है, तो कुल चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन को प्रत्यक्ष इंटरैक्शन और विनिमय इंटरैक्शन के योग में लिखा जा सकता है।^[3]इसका मतलब यह है कि दो कणों की टक्कर के दौरान विनिमय प्रभाव एक प्रभावी स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन को प्रेरित कर सकता है ^[5]

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल कंपन

ठोस क्रिस्टल को वास्तविक स्थान में परमाणुओं की आवधिक व्यवस्था द्वारा परिभाषित किया जाता है, समय-आवधिक ड्राइव के अधीन परमाणु चरण स्थान में भी क्रिस्टल बना सकते हैं।^[3]इन परमाणुओं के बीच परस्पर क्रिया ठोस क्रिस्टल में फोनन के समान सामूहिक कंपन मोड को जन्म देती है। मधुकोश चरण स्पेस क्रिस्टल विशेष रूप से दिलचस्प है क्योंकि कंपन बैंड संरचना में दो उप-जाली बैंड होते हैं जिनमें गैर-तुच्छ टोपोलॉजिकल भौतिकी हो सकती है।^[4]किन्हीं दो परमाणुओं के कंपन को आंतरिक रूप से जटिल युग्मन के साथ युग्मन अंतःक्रिया के माध्यम से जोड़ा जाता है। उनके जटिल चरणों की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या होती है और इसे गेज परिवर्तन द्वारा समाप्त नहीं किया जा सकता है, जिससे चरण स्थान में गैर-तुच्छ चेर्न संख्याओं और चिरल किनारे वाले राज्यों के साथ एक कंपन बैंड संरचना बनती है। वास्तविक अंतरिक्ष में सभी टोपोलॉजिकल परिवहन परिदृश्यों के विपरीत, चरण अंतरिक्ष फ़ोनों के लिए चिरल परिवहन भौतिक समय-उलट समरूपता को तोड़ने के बिना उत्पन्न हो सकता है।

समय क्रिस्टल से संबंध

समय क्रिस्टल और चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल निकट से संबंधित हैं लेकिन अलग-अलग अवधारणाएँ हैं।^[5]वे दोनों समय-समय पर संचालित प्रणालियों में उभरने वाले सबहार्मोनिक मोड का अध्ययन करते हैं। टाइम क्रिस्टल असतत समय अनुवादात्मक समरूपता (डीटीटीएस) की सहज समरूपता तोड़ने की प्रक्रिया और क्वांटम कई-बॉडी सिस्टम में सबहार्मोनिक मोड के सुरक्षा तंत्र पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इसके विपरीत, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल का अध्ययन चरण अंतरिक्ष में असतत समरूपता पर केंद्रित है। चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल का निर्माण करने वाले बुनियादी तरीके आवश्यक रूप से कई-निकाय वाले राज्य नहीं हैं, और एकल-कण चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल के लिए डीटीटीएस को तोड़ने की आवश्यकता नहीं है। कई-निकाय प्रणालियों के लिए, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल संभावित सबहार्मोनिक मोड के परस्पर क्रिया का अध्ययन करते हैं जो समय-समय पर चरण स्थान में व्यवस्थित होते हैं। अनेक समय के क्रिस्टलों की परस्पर क्रिया का अध्ययन करने का चलन है ^[21] जिसे समय के क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी के रूप में गढ़ा गया है ^[22]^[15]^[23]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Guo, Lingzhen; Marthaler, Michael; Schön, Gerd (13 November 2013). "Phase Space Crystals: A New Way to Create a Quasienergy Band Structure". Physical Review Letters. 111 (20): 205303. arXiv:1305.1800. Bibcode:2013PhRvL.111t5303G. doi:10.1103/PhysRevLett.111.205303. PMID 24289695. S2CID 9337383.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Lang, Ben; Armour, Andrew D (1 March 2021). "जोसेफसन जंक्शन-गुहा सर्किट में मल्टी-फोटॉन अनुनाद". New Journal of Physics. 23 (3): 033021. arXiv:2012.10149. Bibcode:2021NJPh...23c3021L. doi:10.1088/1367-2630/abe483. S2CID 229332222.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 ^3.5 ^3.6 ^3.7 ^3.8 ^3.9 Liang, Pengfei; Marthaler, Michael; Guo, Lingzhen (3 April 2018). "Floquet many-body engineering: topology and many-body physics in phase space lattices". New Journal of Physics. 20 (2): 023043. arXiv:1710.09716. Bibcode:2018NJPh...20b3043L. doi:10.1088/1367-2630/aaa7c3. S2CID 3275846.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 Guo, Lingzhen; Peano, Vittorio; Marquardt, Florian (3 March 2022). "Phase space crystal vibrations: Chiral edge states with preserved time-reversal symmetry". Physical Review B. 105 (9): 094301. arXiv:2105.06989. Bibcode:2022PhRvB.105i4301G. doi:10.1103/PhysRevB.105.094301. S2CID 234680134.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 Guo, Lingzhen (2021). Phase space crystals : condensed matter in dynamical systems. Bristol UK: IOP Publishing Ltd. ISBN 978-0-7503-3563-8.
↑ von Neumann, John (1955). क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव. Princeton NJ: Princeton University Press. p. 406.
↑ Gabor, D. (1946). "संचार का सिद्धांत". J. Inst. Electr. Eng. 93: 429–457.
↑ Daubechies, I. (1990). "तरंगिका परिवर्तन, समय-आवृत्ति स्थानीयकरण और संकेत विश्लेषण". IEEE Transactions on Information Theory. 36 (5): 961–1005. Bibcode:1990ITIT...36..961D. doi:10.1109/18.57199.
↑ Zak, J (1 February 1992). "लैंडौ लेवल ऑर्बिटल्स के लिए पहचान". Europhysics Letters (EPL). 17 (5): 443–448. Bibcode:1992EL.....17..443Z. doi:10.1209/0295-5075/17/5/011. S2CID 250911987.
↑ Zaslavsky, G. M. (2008). हैमिल्टनियन कैओस और फ्रैक्शनल डायनेमिक्स (1 ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199535484.
↑ Zaslavsky, George (11 October 2007). "ज़स्लावस्की वेब मानचित्र". Scholarpedia (in English). 2 (10): 3369. Bibcode:2007SchpJ...2.3369Z. doi:10.4249/scholarpedia.3369.
↑ ^12.0 ^12.1 ^12.2 Hannaford, Peter; Sacha, Krzysztof (December 2022). "बड़े असतत समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी". AAPPS Bulletin. 32 (1): 12. arXiv:2202.05544. Bibcode:2022APPSB..32...12H. doi:10.1007/s43673-022-00041-8. S2CID 246823338.
↑ Grimsmo, Arne L.; Combes, Joshua; Baragiola, Ben Q. (6 March 2020). "रोटेशन-सममित बोसोनिक कोड के साथ क्वांटम कंप्यूटिंग". Physical Review X. 10 (1): 011058. arXiv:1901.08071. Bibcode:2020PhRvX..10a1058G. doi:10.1103/PhysRevX.10.011058. S2CID 119383352.
↑ Guo, Lingzhen; Marthaler, Michael (1 February 2016). "चरण स्थान में जाली संरचनाओं का संश्लेषण". New Journal of Physics. 18 (2): 023006. Bibcode:2016NJPh...18b3006G. doi:10.1088/1367-2630/18/2/023006. S2CID 117684029.
↑ ^15.0 ^15.1 ^15.2 ^15.3 Guo, Lingzhen; Liang, Pengfei (1 July 2020). "समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी". New Journal of Physics. 22 (7): 075003. arXiv:2005.03138. Bibcode:2020NJPh...22g5003G. doi:10.1088/1367-2630/ab9d54. S2CID 218538401.
↑ Pechal, M.; Berger, S.; Abdumalikov, A. A.; Fink, J. M.; Mlynek, J. A.; Steffen, L.; Wallraff, A.; Filipp, S. (23 April 2012). "एक इलेक्ट्रॉनिक हार्मोनिक ऑसिलेटर में ज्यामितीय चरण और नॉनडायबेटिक प्रभाव". Physical Review Letters. 108 (17): 170401. arXiv:1109.1157. Bibcode:2012PhRvL.108q0401P. doi:10.1103/PhysRevLett.108.170401. PMID 22680840. S2CID 22269801.
↑ Billam, T. P.; Gardiner, S. A. (20 August 2009). "Quantum resonances in an atom-optical δ -kicked harmonic oscillator" (PDF). Physical Review A. 80 (2): 023414. arXiv:0809.4373. Bibcode:2009PhRvA..80b3414B. doi:10.1103/PhysRevA.80.023414. S2CID 118574456.
↑ Hofstadter, Douglas R. (15 September 1976). "तर्कसंगत और अपरिमेय चुंबकीय क्षेत्रों में बलोच इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्तर और तरंग कार्य". Physical Review B. 14 (6): 2239–2249. Bibcode:1976PhRvB..14.2239H. doi:10.1103/PhysRevB.14.2239.
↑ ^19.0 ^19.1 Guo, Lingzhen; Liu, Modan; Marthaler, Michael (20 May 2016). "समय-समय पर संचालित एक-आयामी शास्त्रीय प्रणाली में कम दूरी की बातचीत से प्रभावी लंबी दूरी की बातचीत". Physical Review A. 93 (5): 053616. arXiv:1503.03096. Bibcode:2016PhRvA..93e3616G. doi:10.1103/PhysRevA.93.053616. S2CID 19442809.
↑ ^20.0 ^20.1 Sacha, Krzysztof (1 September 2015). "टाइम डोमेन में एंडरसन स्थानीयकरण और मॉट इंसुलेटर चरण". Scientific Reports. 5 (1): 10787. arXiv:1502.02507. Bibcode:2015NatSR...510787S. doi:10.1038/srep10787. PMC 4466589. PMID 26074169.
↑ Autti, S.; Heikkinen, P. J.; Mäkinen, J. T.; Volovik, G. E.; Zavjalov, V. V.; Eltsov, V. B. (February 2021). "दो सुपरफ्लुइड समय क्रिस्टल के बीच एसी जोसेफसन प्रभाव" (PDF). Nature Materials. 20 (2): 171–174. arXiv:2003.06313. Bibcode:2021NatMa..20..171A. doi:10.1038/s41563-020-0780-y. PMID 32807922. S2CID 212717702.
↑ Sacha, Krzysztof; Zakrzewski, Jakub (1 January 2018). "Time crystals: a review". Reports on Progress in Physics. 81 (1): 016401. arXiv:1704.03735. Bibcode:2018RPPh...81a6401S. doi:10.1088/1361-6633/aa8b38. PMID 28885193. S2CID 28224975.
↑ Sacha, Krzysztof (2020). "समय आयाम में संघनित पदार्थ भौतिकी". Time Crystals. Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics. 114: 173–235. doi:10.1007/978-3-030-52523-1_5. ISBN 978-3-030-52522-4. S2CID 226488734.

[Guo2013prl-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Guo, Lingzhen; Marthaler, Michael; Schön, Gerd (13 November 2013). "Phase Space Crystals: A New Way to Create a Quasienergy Band Structure". Physical Review Letters. 111 (20): 205303. arXiv:1305.1800. Bibcode:2013PhRvL.111t5303G. doi:10.1103/PhysRevLett.111.205303. PMID 24289695. S2CID 9337383.

[Lang2021NJP-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Lang, Ben; Armour, Andrew D (1 March 2021). "जोसेफसन जंक्शन-गुहा सर्किट में मल्टी-फोटॉन अनुनाद". New Journal of Physics. 23 (3): 033021. arXiv:2012.10149. Bibcode:2021NJPh...23c3021L. doi:10.1088/1367-2630/abe483. S2CID 229332222.

[Liang2018NJP-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 ^3.5 ^3.6 ^3.7 ^3.8 ^3.9 Liang, Pengfei; Marthaler, Michael; Guo, Lingzhen (3 April 2018). "Floquet many-body engineering: topology and many-body physics in phase space lattices". New Journal of Physics. 20 (2): 023043. arXiv:1710.09716. Bibcode:2018NJPh...20b3043L. doi:10.1088/1367-2630/aaa7c3. S2CID 3275846.

[guo2022prb-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 Guo, Lingzhen; Peano, Vittorio; Marquardt, Florian (3 March 2022). "Phase space crystal vibrations: Chiral edge states with preserved time-reversal symmetry". Physical Review B. 105 (9): 094301. arXiv:2105.06989. Bibcode:2022PhRvB.105i4301G. doi:10.1103/PhysRevB.105.094301. S2CID 234680134.

[Guo2021book-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 Guo, Lingzhen (2021). Phase space crystals : condensed matter in dynamical systems. Bristol UK: IOP Publishing Ltd. ISBN 978-0-7503-3563-8.

[6] von Neumann, John (1955). क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव. Princeton NJ: Princeton University Press. p. 406.

[7] Gabor, D. (1946). "संचार का सिद्धांत". J. Inst. Electr. Eng. 93: 429–457.

[8] Daubechies, I. (1990). "तरंगिका परिवर्तन, समय-आवृत्ति स्थानीयकरण और संकेत विश्लेषण". IEEE Transactions on Information Theory. 36 (5): 961–1005. Bibcode:1990ITIT...36..961D. doi:10.1109/18.57199.

[Zak1992EPL-9] Zak, J (1 February 1992). "लैंडौ लेवल ऑर्बिटल्स के लिए पहचान". Europhysics Letters (EPL). 17 (5): 443–448. Bibcode:1992EL.....17..443Z. doi:10.1209/0295-5075/17/5/011. S2CID 250911987.

[10] Zaslavsky, G. M. (2008). हैमिल्टनियन कैओस और फ्रैक्शनल डायनेमिक्स (1 ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199535484.

[11] Zaslavsky, George (11 October 2007). "ज़स्लावस्की वेब मानचित्र". Scholarpedia (in English). 2 (10): 3369. Bibcode:2007SchpJ...2.3369Z. doi:10.4249/scholarpedia.3369.

[Sach2022aapps-12] 12.0 ^12.1 ^12.2 Hannaford, Peter; Sacha, Krzysztof (December 2022). "बड़े असतत समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी". AAPPS Bulletin. 32 (1): 12. arXiv:2202.05544. Bibcode:2022APPSB..32...12H. doi:10.1007/s43673-022-00041-8. S2CID 246823338.

[13] Grimsmo, Arne L.; Combes, Joshua; Baragiola, Ben Q. (6 March 2020). "रोटेशन-सममित बोसोनिक कोड के साथ क्वांटम कंप्यूटिंग". Physical Review X. 10 (1): 011058. arXiv:1901.08071. Bibcode:2020PhRvX..10a1058G. doi:10.1103/PhysRevX.10.011058. S2CID 119383352.

[guo2016njp-14] Guo, Lingzhen; Marthaler, Michael (1 February 2016). "चरण स्थान में जाली संरचनाओं का संश्लेषण". New Journal of Physics. 18 (2): 023006. Bibcode:2016NJPh...18b3006G. doi:10.1088/1367-2630/18/2/023006. S2CID 117684029.

[Guo2020njp-15] 15.0 ^15.1 ^15.2 ^15.3 Guo, Lingzhen; Liang, Pengfei (1 July 2020). "समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी". New Journal of Physics. 22 (7): 075003. arXiv:2005.03138. Bibcode:2020NJPh...22g5003G. doi:10.1088/1367-2630/ab9d54. S2CID 218538401.

[16] Pechal, M.; Berger, S.; Abdumalikov, A. A.; Fink, J. M.; Mlynek, J. A.; Steffen, L.; Wallraff, A.; Filipp, S. (23 April 2012). "एक इलेक्ट्रॉनिक हार्मोनिक ऑसिलेटर में ज्यामितीय चरण और नॉनडायबेटिक प्रभाव". Physical Review Letters. 108 (17): 170401. arXiv:1109.1157. Bibcode:2012PhRvL.108q0401P. doi:10.1103/PhysRevLett.108.170401. PMID 22680840. S2CID 22269801.

[17] Billam, T. P.; Gardiner, S. A. (20 August 2009). "Quantum resonances in an atom-optical δ -kicked harmonic oscillator" (PDF). Physical Review A. 80 (2): 023414. arXiv:0809.4373. Bibcode:2009PhRvA..80b3414B. doi:10.1103/PhysRevA.80.023414. S2CID 118574456.

[Hofstadter1976prb-18] Hofstadter, Douglas R. (15 September 1976). "तर्कसंगत और अपरिमेय चुंबकीय क्षेत्रों में बलोच इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्तर और तरंग कार्य". Physical Review B. 14 (6): 2239–2249. Bibcode:1976PhRvB..14.2239H. doi:10.1103/PhysRevB.14.2239.

[guo2016pra-19] 19.0 ^19.1 Guo, Lingzhen; Liu, Modan; Marthaler, Michael (20 May 2016). "समय-समय पर संचालित एक-आयामी शास्त्रीय प्रणाली में कम दूरी की बातचीत से प्रभावी लंबी दूरी की बातचीत". Physical Review A. 93 (5): 053616. arXiv:1503.03096. Bibcode:2016PhRvA..93e3616G. doi:10.1103/PhysRevA.93.053616. S2CID 19442809.

[sacha2015sr-20] 20.0 ^20.1 Sacha, Krzysztof (1 September 2015). "टाइम डोमेन में एंडरसन स्थानीयकरण और मॉट इंसुलेटर चरण". Scientific Reports. 5 (1): 10787. arXiv:1502.02507. Bibcode:2015NatSR...510787S. doi:10.1038/srep10787. PMC 4466589. PMID 26074169.

[autti2021nm-21] Autti, S.; Heikkinen, P. J.; Mäkinen, J. T.; Volovik, G. E.; Zavjalov, V. V.; Eltsov, V. B. (February 2021). "दो सुपरफ्लुइड समय क्रिस्टल के बीच एसी जोसेफसन प्रभाव" (PDF). Nature Materials. 20 (2): 171–174. arXiv:2003.06313. Bibcode:2021NatMa..20..171A. doi:10.1038/s41563-020-0780-y. PMID 32807922. S2CID 212717702.

[sacha2018rpp-22] Sacha, Krzysztof; Zakrzewski, Jakub (1 January 2018). "Time crystals: a review". Reports on Progress in Physics. 81 (1): 016401. arXiv:1704.03735. Bibcode:2018RPPh...81a6401S. doi:10.1088/1361-6633/aa8b38. PMID 28885193. S2CID 28224975.

[sacha2020tc-23] Sacha, Krzysztof (2020). "समय आयाम में संघनित पदार्थ भौतिकी". Time Crystals. Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics. 114: 173–235. doi:10.1007/978-3-030-52523-1_5. ISBN 978-3-030-52522-4. S2CID 226488734.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

@@ Line 11: / Line 11: @@
 गतिशील प्रणालियों के चरण स्थान में, स्थिर बिंदु अपने पड़ोसी क्षेत्रों के साथ मिलकर अराजक समुद्र में तथाकथित पोंकारे-बिरखॉफ द्वीप बनाते हैं जो चरण स्थान में एक श्रृंखला या कुछ नियमित दो आयामी जाली संरचनाएं बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, किक्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर (KHO) का प्रभावी हैमिल्टनियन <ref>{{cite book |last1=Zaslavsky |first1=G. M. |title=हैमिल्टनियन कैओस और फ्रैक्शनल डायनेमिक्स|date=2008 |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |isbn=978-0199535484 |edition=1}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Zaslavsky |first1=George |title=ज़स्लावस्की वेब मानचित्र|journal=Scholarpedia |pages=3369 |language=en |doi=10.4249/scholarpedia.3369 |date=11 October 2007|volume=2 |issue=10 |bibcode=2007SchpJ...2.3369Z |doi-access=free }}</ref> किकिंग संख्या के अनुपात के आधार पर चरण स्थान में वर्गाकार जाली, त्रिकोण जाली और यहां तक कि अर्ध-क्रिस्टल संरचनाएं भी हो सकती हैं। वास्तव में, किसी भी मनमाने चरण स्थान जाली को केएचओ के लिए उपयुक्त किकिंग अनुक्रम का चयन करके इंजीनियर किया जा सकता है <ref name="guo2022prb" />
+== चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल (पीएससी) ==
-==चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल (पीएससी)==
 चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा गुओ एट अल द्वारा प्रस्तावित की गई थी <ref name="Guo2013prl" />और मूल रूप से समय-समय पर संचालित (फ्लोक्वेट) गतिशील प्रणाली के प्रभावी हैमिल्टन के स्वदेशीकरण को संदर्भित करता है। इस पर निर्भर करते हुए कि इंटरैक्शन प्रभाव शामिल है या नहीं, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल को एकल-कण पीएससी और कई-बॉडी पीएससी में वर्गीकृत किया जा सकता है।<ref name="Sach2022aapps">{{cite journal |last1=Hannaford |first1=Peter |last2=Sacha |first2=Krzysztof |title=बड़े असतत समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी|journal=AAPPS Bulletin |date=December 2022 |volume=32 |issue=1 |pages=12 |doi=10.1007/s43673-022-00041-8|arxiv=2202.05544 |bibcode=2022APPSB..32...12H |s2cid=246823338 }}</ref>
+'''एकल-कण चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल'''
-===एकल-कण चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल===
 चरण अंतरिक्ष में समरूपता के आधार पर, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल एक आयामी (1डी) स्थिति हो सकता है <math>n</math>चरण स्थान या द्वि-आयामी (2D) जाली स्थिति में घूर्णी समरूपता को पूरे चरण स्थान में विस्तारित करें। एक बंद प्रणाली के लिए चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को खुले क्वांटम सिस्टम में विस्तारित किया गया है और इसे विघटनकारी चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल का नाम दिया गया है।<ref name=Lang2021NJP />
+'''जेड<sub>n</sub> पीएससी'''
-====जेड<sub>n</sub> पीएससी====
 चरण स्थान मूल रूप से वास्तविक स्थान से भिन्न है क्योंकि चरण स्थान के दो निर्देशांक आवागमन नहीं करते हैं, अर्थात, <math>[\hat{x},\hat{p}]=i\lambda </math> कहाँ <math>\lambda</math> आयामहीन [[प्लैंक स्थिरांक]] है। सीढ़ी ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है <math> \hat{a}=(\hat{x}+i\hat{p})/\sqrt{2\lambda} </math> ऐसा है कि <math>[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1</math>. एक भौतिक प्रणाली का हैमिल्टनियन <math>\hat{H}=H(\hat{x},\hat{p})</math> सीढ़ी ऑपरेटरों के एक फ़ंक्शन में भी लिखा जा सकता है <math>\hat{H}=H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)</math>. चरण स्थान में घूर्णी ऑपरेटर को परिभाषित करके <ref name="Guo2013prl" /><ref>{{cite journal |last1=Grimsmo |first1=Arne L. |last2=Combes |first2=Joshua |last3=Baragiola |first3=Ben Q. |title=रोटेशन-सममित बोसोनिक कोड के साथ क्वांटम कंप्यूटिंग|journal=Physical Review X |date=6 March 2020 |volume=10 |issue=1 |pages=011058 |doi=10.1103/PhysRevX.10.011058|arxiv=1901.08071 |bibcode=2020PhRvX..10a1058G |s2cid=119383352 }}</ref> द्वारा <math>\hat{T}_\tau=e^{-i\tau \hat{a}^\dagger \hat{a}}</math> कहाँ <math>\tau={2\pi}/{n}</math> साथ <math>n</math> सिस्टम के पास एक धनात्मक पूर्णांक है <math>n</math>-गुना घूर्णी समरूपता या <math>Z_n</math> समरूपता यदि हैमिल्टनियन घूर्णी ऑपरेटर के साथ कम्यूट करता है <math>[\hat{H},\hat{T}_\tau]=0</math>, अर्थात।,
-<math display="block">\hat{H}=\hat{T}^\dagger_\tau\hat{H}\hat{T}_\tau \rightarrow H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)=H(\hat{T}^\dagger_\tau\hat{a}\hat{T}_\tau,\hat{T}^\dagger_\tau\hat{H}\hat{a}^\dagger_\tau)=H(\hat{a}e^{-i\tau},\hat{a}^\dagger e^{i\tau}).</math>
+<math display="block">\hat{H}=\hat{T}^\dagger_\tau\hat{H}\hat{T}_\tau \rightarrow H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)=H(\hat{T}^\dagger_\tau\hat{a}\hat{T}_\tau,\hat{T}^\dagger_\tau\hat{H}\hat{a}^\dagger_\tau)=H(\hat{a}e^{-i\tau},\hat{a}^\dagger e^{i\tau}).</math>इस मामले में, कोई [[बलोच प्रमेय]] को लागू कर सकता है <math>n</math>-सममित हैमिल्टनियन को मोड़ें और [[बैंड संरचना]] की गणना करें।<ref name="Guo2013prl" /><ref name="guo2016njp">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Marthaler |first2=Michael |title=चरण स्थान में जाली संरचनाओं का संश्लेषण|journal=New Journal of Physics |date=1 February 2016 |volume=18 |issue=2 |pages=023006 |doi=10.1088/1367-2630/18/2/023006|bibcode=2016NJPh...18b3006G |s2cid=117684029 |doi-access=free }}</ref> हैमिल्टनियन की असतत घूर्णी सममित संरचना को कहा जाता है<math>Z_n</math> चरण स्थान जाली  <ref name="Guo2020njp">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Liang |first2=Pengfei |title=समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी|journal=New Journal of Physics |date=1 July 2020 |volume=22 |issue=7 |pages=075003 |doi=10.1088/1367-2630/ab9d54|arxiv=2005.03138 |bibcode=2020NJPh...22g5003G |s2cid=218538401 }}</ref> और संबंधित स्वदेशी राज्यों को कहा जाता है<math>Z_n</math> चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल.
-इस मामले में, कोई [[बलोच प्रमेय]] को लागू कर सकता है <math>n</math>-सममित हैमिल्टनियन को मोड़ें और [[बैंड संरचना]] की गणना करें।<ref name="Guo2013prl" /><ref name="guo2016njp">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Marthaler |first2=Michael |title=चरण स्थान में जाली संरचनाओं का संश्लेषण|journal=New Journal of Physics |date=1 February 2016 |volume=18 |issue=2 |pages=023006 |doi=10.1088/1367-2630/18/2/023006|bibcode=2016NJPh...18b3006G |s2cid=117684029 |doi-access=free }}</ref> हैमिल्टनियन की असतत घूर्णी सममित संरचना को कहा जाता है<math>Z_n</math> चरण स्थान जाली  <ref name="Guo2020njp">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Liang |first2=Pengfei |title=समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी|journal=New Journal of Physics |date=1 July 2020 |volume=22 |issue=7 |pages=075003 |doi=10.1088/1367-2630/ab9d54|arxiv=2005.03138 |bibcode=2020NJPh...22g5003G |s2cid=218538401 }}</ref> और संबंधित स्वदेशी राज्यों को कहा जाता है<math>Z_n</math> चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल.
 ====जाली पीएससी====
-असतत घूर्णी समरूपता को पूरे चरण स्थान में असतत अनुवादात्मक समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है। ऐसे उद्देश्य के लिए, चरण स्थान में विस्थापन ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है <math>\hat{D}(\xi)=\exp[(\xi\hat{a}^\dagger-\xi^*\hat{a})/\sqrt{2\lambda}]</math> जिसके पास संपत्ति है <math>\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{D}(\xi)=\hat{a}+\xi</math>, कहाँ <math>\xi</math> चरण स्थान में विस्थापन वेक्टर के अनुरूप एक [[जटिल संख्या]] है। यदि हैमिल्टनियन ट्रांसलेशनल ऑपरेटर के साथ कम्यूट करता है तो सिस्टम में असतत ट्रांसलेशनल समरूपता होती है <math>[\hat{H},\hat{D}^\dagger(\xi)]=0</math>, अर्थात।,
+असतत घूर्णी समरूपता को पूरे चरण स्थान में असतत अनुवादात्मक समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है। ऐसे उद्देश्य के लिए, चरण स्थान में विस्थापन ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है <math>\hat{D}(\xi)=\exp[(\xi\hat{a}^\dagger-\xi^*\hat{a})/\sqrt{2\lambda}]</math> जिसके पास संपत्ति है <math>\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{D}(\xi)=\hat{a}+\xi</math>, कहाँ <math>\xi</math> चरण स्थान में विस्थापन वेक्टर के अनुरूप एक [[जटिल संख्या]] है। यदि हैमिल्टनियन ट्रांसलेशनल ऑपरेटर के साथ कम्यूट करता है तो सिस्टम में असतत ट्रांसलेशनल समरूपता होती है <math>[\hat{H},\hat{D}^\dagger(\xi)]=0</math>, अर्थात।,<math display="block"> \hat{H}=\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{H}\hat{D}(\xi) \rightarrow H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)=H(\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{D}(\xi),\hat{D}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{D}(\xi))=H(\hat{a}+\xi,\hat{a}^\dagger+\xi^*).</math>यदि दो प्राथमिक विस्थापन मौजूद हैं <math>\hat{D}(\xi_1)</math> और <math>\hat{D}(\xi_2)</math> जो उपरोक्त शर्त को एक साथ पूरा करते हैं, चरण स्थान हैमिल्टनियन के पास चरण स्थान में 2डी जाली समरूपता है। हालाँकि, दो विस्थापन ऑपरेटर सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं हैं <math>[\hat{D}(\xi_1),\hat{D}(\xi_2)]\neq 0</math>. गैर-क्रमविनिमेय चरण स्थान में, एक बिंदु की अवधारणा अर्थहीन है। इसके बजाय, एक सुसंगत स्थिति <math>|\alpha\rangle</math> के माध्यम से कम करने वाले ऑपरेटर के eigenstate के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle</math>. विस्थापन ऑपरेटर सुसंगत स्थिति को एक अतिरिक्त चरण के साथ विस्थापित करता है, अर्थात, <math>\hat{D}(\xi)|\alpha\rangle=e^{i\mathrm{Im}(\xi\alpha^*)}|\alpha+\xi\rangle</math>. एक सुसंगत अवस्था जो एक बंद रास्ते पर चलती है, उदाहरण के लिए, तीन किनारों वाला एक त्रिकोण <math>(\xi_1,\xi_2,-\xi_1-\xi_2)</math> चरण स्थान में, एक [[ज्यामितीय चरण]] कारक प्राप्त करता है <ref>{{cite journal |last1=Pechal |first1=M. |last2=Berger |first2=S. |last3=Abdumalikov |first3=A. A. |last4=Fink |first4=J. M. |last5=Mlynek |first5=J. A. |last6=Steffen |first6=L. |last7=Wallraff |first7=A. |last8=Filipp |first8=S. |title=एक इलेक्ट्रॉनिक हार्मोनिक ऑसिलेटर में ज्यामितीय चरण और नॉनडायबेटिक प्रभाव|journal=Physical Review Letters |date=23 April 2012 |volume=108 |issue=17 |pages=170401 |doi=10.1103/PhysRevLett.108.170401|pmid=22680840 |arxiv=1109.1157 |bibcode=2012PhRvL.108q0401P |s2cid=22269801 }}</ref><ref name="Liang2018NJP" />
-<math display="block"> \hat{H}=\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{H}\hat{D}(\xi) \rightarrow H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)=H(\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{D}(\xi),\hat{D}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{D}(\xi))=H(\hat{a}+\xi,\hat{a}^\dagger+\xi^*).</math>
-यदि दो प्राथमिक विस्थापन मौजूद हैं <math>\hat{D}(\xi_1)</math> और <math>\hat{D}(\xi_2)</math> जो उपरोक्त शर्त को एक साथ पूरा करते हैं, चरण स्थान हैमिल्टनियन के पास चरण स्थान में 2डी जाली समरूपता है। हालाँकि, दो विस्थापन ऑपरेटर सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं हैं <math>[\hat{D}(\xi_1),\hat{D}(\xi_2)]\neq 0</math>. गैर-क्रमविनिमेय चरण स्थान में, एक बिंदु की अवधारणा अर्थहीन है। इसके बजाय, एक सुसंगत स्थिति <math>|\alpha\rangle</math> के माध्यम से कम करने वाले ऑपरेटर के eigenstate के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle</math>. विस्थापन ऑपरेटर सुसंगत स्थिति को एक अतिरिक्त चरण के साथ विस्थापित करता है, अर्थात, <math>\hat{D}(\xi)|\alpha\rangle=e^{i\mathrm{Im}(\xi\alpha^*)}|\alpha+\xi\rangle</math>. एक सुसंगत अवस्था जो एक बंद रास्ते पर चलती है, उदाहरण के लिए, तीन किनारों वाला एक त्रिकोण <math>(\xi_1,\xi_2,-\xi_1-\xi_2)</math> चरण स्थान में, एक [[ज्यामितीय चरण]] कारक प्राप्त करता है <ref>{{cite journal |last1=Pechal |first1=M. |last2=Berger |first2=S. |last3=Abdumalikov |first3=A. A. |last4=Fink |first4=J. M. |last5=Mlynek |first5=J. A. |last6=Steffen |first6=L. |last7=Wallraff |first7=A. |last8=Filipp |first8=S. |title=एक इलेक्ट्रॉनिक हार्मोनिक ऑसिलेटर में ज्यामितीय चरण और नॉनडायबेटिक प्रभाव|journal=Physical Review Letters |date=23 April 2012 |volume=108 |issue=17 |pages=170401 |doi=10.1103/PhysRevLett.108.170401|pmid=22680840 |arxiv=1109.1157 |bibcode=2012PhRvL.108q0401P |s2cid=22269801 }}</ref><ref name="Liang2018NJP" />
 <math>\hat{D}[-\xi_1-\xi_2]\hat{D}(\xi_2)\hat{D}(\xi_1)|\alpha\rangle=e^{i\frac{S}{\lambda}}|\alpha\rangle,</math>
 कहाँ <math>S=\frac{1}{2}\mathrm{Im}(\xi_2\xi^*_1)</math> संलग्न क्षेत्र है. यह ज्यामितीय चरण चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के अहरोनोव-बोहम चरण के अनुरूप है। यदि चुंबकीय इकाई सेल और जाली इकाई सेल तुलनीय हैं, अर्थात्, दो पूर्णांक मौजूद हैं <math>r</math> और <math>s</math> ऐसा है कि <math>[\hat{D}^r(\xi_1),\hat{D}^s(\xi_2)]=0</math>, कोई 2डी ब्रिलॉइन में परिभाषित बैंड संरचना की गणना कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक वर्गाकार चरण अंतरिक्ष जाली हैमिल्टनियन का स्पेक्ट्रम <math>\hat{H}=\cos\hat{x}+\cos\hat{p}</math> हॉफस्टैटर की तितली बैंड संरचना प्रदर्शित करता है <ref name="Liang2018NJP" /><ref>{{cite journal |last1=Billam |first1=T. P. |last2=Gardiner |first2=S. A. |title=Quantum resonances in an atom-optical δ -kicked harmonic oscillator |journal=Physical Review A |date=20 August 2009 |volume=80 |issue=2 |pages=023414 |doi=10.1103/PhysRevA.80.023414|arxiv=0809.4373 |bibcode=2009PhRvA..80b3414B |s2cid=118574456 |url=http://dro.dur.ac.uk/7054/1/7054.pdf }}</ref> जो चुंबकीय क्षेत्र में कसकर बांधने वाली जाली साइटों के बीच आवेशित कणों के उछलने का वर्णन करता है।<ref name="Hofstadter1976prb">{{cite journal |last1=Hofstadter |first1=Douglas R. |title=तर्कसंगत और अपरिमेय चुंबकीय क्षेत्रों में बलोच इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्तर और तरंग कार्य|journal=Physical Review B |date=15 September 1976 |volume=14 |issue=6 |pages=2239–2249 |doi=10.1103/PhysRevB.14.2239|bibcode=1976PhRvB..14.2239H }}</ref> इस मामले में, ईजेनस्टेट्स को 2डी जाली चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल कहा जाता है।
@@ Line 40: / Line 31: @@
 बंद क्वांटम प्रणाली के लिए चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को खुले क्वांटम प्रणाली तक विस्तारित किया गया है।<ref name="Lang2021NJP" />[[सर्किट QED]] सिस्टम में, एक माइक्रोवेव रेज़ोनेटर [[जोसेफसन जंक्शन]]ों और [[वोल्टेज पूर्वाग्रह]] के साथ संयुक्त होता है <math>n</math>-फोटॉन अनुनाद को [[घूर्णन तरंग सन्निकटन]] (आरडब्ल्यूए) हैमिल्टनियन द्वारा वर्णित किया जा सकता है <math>\hat{H}_{RWA}</math> साथ <math>Z_n</math> ऊपर वर्णित चरण स्थान समरूपता। जब एकल-फोटॉन हानि प्रमुख होती है, तो अनुनादक की विघटनकारी गतिशीलता को निम्नलिखित [[मास्टर समीकरण]] (लिंडब्लैड समीकरण) द्वारा वर्णित किया जाता है।
-  <math display="block"> \frac{d\rho}{dt}=-\frac{i}{\hbar}[\hat{H}_{RWA},\rho]+\frac{\gamma}{2}(2\hat{a}\rho\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\rho-\rho\hat{a}^{\dagger}\hat{a})=\mathcal{L}(\rho),</math>
+  <math display="block"> \frac{d\rho}{dt}=-\frac{i}{\hbar}[\hat{H}_{RWA},\rho]+\frac{\gamma}{2}(2\hat{a}\rho\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\rho-\rho\hat{a}^{\dagger}\hat{a})=\mathcal{L}(\rho),</math>कहाँ <math>\gamma</math> हानि दर और [[सुपरऑपरेटर]] है <math>\mathcal{L}</math> लिउविलियन कहा जाता है। कोई सिस्टम के लिउविलियन के [[eigenspectrum]] और संबंधित ईजेनऑपरेटर की गणना कर सकता है <math>\mathcal{L}\hat{\rho}_m=\lambda_m\hat{\rho}_m</math>.
-कहाँ <math>\gamma</math> हानि दर और [[सुपरऑपरेटर]] है <math>\mathcal{L}</math> लिउविलियन कहा जाता है। कोई सिस्टम के लिउविलियन के [[eigenspectrum]] और संबंधित ईजेनऑपरेटर की गणना कर सकता है <math>\mathcal{L}\hat{\rho}_m=\lambda_m\hat{\rho}_m</math>.
 ध्यान दें कि न केवल हैमिल्टनियन बल्कि लिउविलियन भी इसके अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं <math>n</math>-फोल्ड रोटेशनल ऑपरेशन, यानी, <math>[\mathcal{L},\mathcal{T}_\tau]=0</math> साथ <math>\mathcal{T}_\tau\hat{O}=\hat{T}^\dagger_\tau\hat{O}\hat{T}_\tau</math> और <math>\tau={2\pi}/{n}</math>. यह समरूपता चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को एक खुली क्वांटम प्रणाली तक विस्तारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। परिणामस्वरूप, लिउविलियन ईजेनऑपरेटर्स <math>\hat{\rho}_m</math> चरण स्थान में एक बलोच मोड संरचना होती है, जिसे विघटनकारी चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल कहा जाता है।<ref name="Lang2021NJP" />
+'''अनेक-निकाय चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल'''
-===अनेक-निकाय चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल===
 चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल की अवधारणा को परस्पर क्रिया करने वाले कणों की प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है जहां यह चरण अंतरिक्ष में ठोस जैसी क्रिस्टलीय संरचना वाले कई-शरीर वाले राज्य को संदर्भित करता है।<ref name="Liang2018NJP" /><ref name="guo2022prb" /><ref name="Sach2022aapps" />इस मामले में, कणों की परस्पर क्रिया एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। वास्तविक स्थान में, कई शरीर वाले हैमिल्टनियन एक परेशान आवधिक ड्राइव (अवधि के साथ) के अधीन थे <math>T</math>) द्वारा दिया गया है
- <math display="block">\mathcal{H}=\sum_iH(x_i,p_i,t)+\sum_{i<j}V(x_i-x_j).</math> आमतौर पर, बातचीत की क्षमता <math>V(x_i-x_j)</math> वास्तविक स्थान में दो कणों की दूरी का एक फलन है। ड्राइविंग आवृत्ति के साथ घूर्णन फ्रेम में परिवर्तन करके और घूर्णन तरंग सन्निकटन (आरडब्ल्यूए) को अपनाकर, कोई प्रभावी हैमिल्टनियन प्राप्त कर सकता है <ref name="Guo2020njp" /><ref name="Guo2021book" />
+<math display="block">\mathcal{H}=\sum_iH(x_i,p_i,t)+\sum_{i<j}V(x_i-x_j).</math>आमतौर पर, बातचीत की क्षमता <math>V(x_i-x_j)</math> वास्तविक स्थान में दो कणों की दूरी का एक फलन है। ड्राइविंग आवृत्ति के साथ घूर्णन फ्रेम में परिवर्तन करके और घूर्णन तरंग सन्निकटन (आरडब्ल्यूए) को अपनाकर, कोई प्रभावी हैमिल्टनियन प्राप्त कर सकता है <ref name="Guo2020njp" /><ref name="Guo2021book" /><math display="block">\mathcal{H}_{RWA}=\sum_iH_{RWA}(X_i,P_i,t)+\sum_{i<j}U(X_i,P_i;X_j,P_j).</math>यहाँ, <math>X_i, P_i</math> की स्ट्रोबोस्कोपिक स्थिति और गति हैं <math>i</math>-वें कण, अर्थात्, वे का मान लेते हैं  <math>x_i(t), p_i(t)</math> ड्राइविंग अवधि के पूर्णांक गुणज पर <math>t=nT</math>. चरण स्थान में क्रिस्टल संरचना रखने के लिए, चरण स्थान में प्रभावी अंतःक्रिया को चरण स्थान में अलग-अलग घूर्णी या अनुवादात्मक संचालन के तहत अपरिवर्तनीय होना आवश्यक है।
-<math display="block">\mathcal{H}_{RWA}=\sum_iH_{RWA}(X_i,P_i,t)+\sum_{i<j}U(X_i,P_i;X_j,P_j).</math> यहाँ, <math>X_i, P_i</math> की स्ट्रोबोस्कोपिक स्थिति और गति हैं <math>i</math>-वें कण, अर्थात्, वे का मान लेते हैं  <math>x_i(t), p_i(t)</math> ड्राइविंग अवधि के पूर्णांक गुणज पर <math>t=nT</math>. चरण स्थान में क्रिस्टल संरचना रखने के लिए, चरण स्थान में प्रभावी अंतःक्रिया को चरण स्थान में अलग-अलग घूर्णी या अनुवादात्मक संचालन के तहत अपरिवर्तनीय होना आवश्यक है।
 ====चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन====
 शास्त्रीय गतिकी में, अग्रणी क्रम में, चरण स्थान में प्रभावी अंतःक्रिया क्षमता एक ड्राइविंग अवधि में समय-औसत वास्तविक अंतरिक्ष अंतःक्रिया है
-<math display="block">U_{ij}=\frac{1}{T}\int^T_0V[x_i(t)-x_j(t)].</math> यहाँ, <math>x_i(t)</math> के प्रक्षेप पथ का प्रतिनिधित्व करता है <math>i</math>ड्राइविंग क्षेत्र की अनुपस्थिति में -वाँ कण। मॉडल [[बिजली कानून]] इंटरैक्शन क्षमता के लिए <math>V(x_i-x_j)=\epsilon^{2n}/|x_i-x_j|^{2n}</math> पूर्णांकों और अर्ध-पूर्णांकों के साथ <math>n\geq 1/2</math>, उपरोक्त समय-औसत सूत्र द्वारा दिया गया प्रत्यक्ष अभिन्न अंग अपसारी है, अर्थात, <math>U_{ij}=\infty.</math> विचलन को दूर करने के लिए एक पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया शुरू की गई थी <ref name="guo2016pra">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Liu |first2=Modan |last3=Marthaler |first3=Michael |title=समय-समय पर संचालित एक-आयामी शास्त्रीय प्रणाली में कम दूरी की बातचीत से प्रभावी लंबी दूरी की बातचीत|journal=Physical Review A |date=20 May 2016 |volume=93 |issue=5 |pages=053616 |doi=10.1103/PhysRevA.93.053616|arxiv=1503.03096 |bibcode=2016PhRvA..93e3616G |s2cid=19442809 |url=https://research.chalmers.se/en/publication/237876 }}</ref> और सही चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया चरण अंतरिक्ष दूरी का एक कार्य है <math> R_{ij}</math> में <math>(X_i,P_i)</math> विमान। कूलम्ब विभव के लिए <math>n=1/2</math>, परिणाम <math>U(R_{ij})=2\pi^{-1}\tilde{\epsilon}/R_{ij}</math> अभी भी कूलम्ब के नियम का स्वरूप लघुगणकीय पुनर्सामान्यीकृत आवेश तक बना हुआ है <math>\tilde{\epsilon}=\epsilon\ln (\epsilon^{-1}e^2 R^3_{ij}/2)</math>, कहाँ <math>e=2.71828\cdots</math> यूलर की संख्या है. के लिए <math>n=1,3/2,2,5/2,\cdots</math>, पुनर्सामान्यीकृत चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया क्षमता है <ref name="guo2016pra" />
+<math display="block">U_{ij}=\frac{1}{T}\int^T_0V[x_i(t)-x_j(t)].</math>यहाँ, <math>x_i(t)</math> के प्रक्षेप पथ का प्रतिनिधित्व करता है <math>i</math>ड्राइविंग क्षेत्र की अनुपस्थिति में -वाँ कण। मॉडल [[बिजली कानून]] इंटरैक्शन क्षमता के लिए <math>V(x_i-x_j)=\epsilon^{2n}/|x_i-x_j|^{2n}</math> पूर्णांकों और अर्ध-पूर्णांकों के साथ <math>n\geq 1/2</math>, उपरोक्त समय-औसत सूत्र द्वारा दिया गया प्रत्यक्ष अभिन्न अंग अपसारी है, अर्थात, <math>U_{ij}=\infty.</math> विचलन को दूर करने के लिए एक पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया शुरू की गई थी <ref name="guo2016pra">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Liu |first2=Modan |last3=Marthaler |first3=Michael |title=समय-समय पर संचालित एक-आयामी शास्त्रीय प्रणाली में कम दूरी की बातचीत से प्रभावी लंबी दूरी की बातचीत|journal=Physical Review A |date=20 May 2016 |volume=93 |issue=5 |pages=053616 |doi=10.1103/PhysRevA.93.053616|arxiv=1503.03096 |bibcode=2016PhRvA..93e3616G |s2cid=19442809 |url=https://research.chalmers.se/en/publication/237876 }}</ref> और सही चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया चरण अंतरिक्ष दूरी का एक कार्य है <math> R_{ij}</math> में <math>(X_i,P_i)</math> विमान। कूलम्ब विभव के लिए <math>n=1/2</math>, परिणाम <math>U(R_{ij})=2\pi^{-1}\tilde{\epsilon}/R_{ij}</math> अभी भी कूलम्ब के नियम का स्वरूप लघुगणकीय पुनर्सामान्यीकृत आवेश तक बना हुआ है <math>\tilde{\epsilon}=\epsilon\ln (\epsilon^{-1}e^2 R^3_{ij}/2)</math>, कहाँ <math>e=2.71828\cdots</math> यूलर की संख्या है. के लिए <math>n=1,3/2,2,5/2,\cdots</math>, पुनर्सामान्यीकृत चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया क्षमता है <ref name="guo2016pra" /><math>U_{ij}=U(R_{ij})=\frac{2\epsilon\gamma^{2n-1}4^{\frac{1}{2n}-1}}{\pi(2n-1)}R^{1-\frac{1}{n}}_{ij}, </math> कहाँ <math>\gamma=(4n-1)^{\frac{1}{2n-1}}</math> टकराव कारक है. के विशेष मामले के लिए <math>n=1</math>, तब से चरण स्थान में कोई प्रभावी अंतःक्रिया नहीं हुई है <math>U(R_{ij})=\sqrt{3}\epsilon\pi^{-1}</math> चरण अंतरिक्ष दूरी के संबंध में एक स्थिरांक है। सामान्य तौर पर के मामले के लिए <math>n>1</math>, चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया <math>{U}(R_{ij})</math> चरण स्थान दूरी के साथ बढ़ता है <math>R_{ij}</math>. हार्ड-स्फीयर इंटरैक्शन के लिए (<math>n\rightarrow\infty</math>), चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया <math>U(R_{ij})=\epsilon\pi^{-1}R_{ij}</math> [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (क्यूसीडी) में [[क्वार्क]]ों के बीच कारावास की बातचीत की तरह व्यवहार करता है। उपरोक्त चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन वास्तव में चरण स्थान में अलग-अलग घूर्णी या अनुवाद संबंधी संचालन के तहत अपरिवर्तनीय है। ड्राइविंग से चरण अंतरिक्ष जाली क्षमता के साथ संयुक्त, एक स्थिर शासन मौजूद है जहां कण समय-समय पर चरण स्थान में खुद को व्यवस्थित करते हैं जिससे कई-शरीर चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल को जन्म मिलता है।<ref name="Liang2018NJP" /><ref name="guo2022prb" /><ref name="Sach2022aapps" />
-<math>U_{ij}=U(R_{ij})=\frac{2\epsilon\gamma^{2n-1}4^{\frac{1}{2n}-1}}{\pi(2n-1)}R^{1-\frac{1}{n}}_{ij}, </math> कहाँ <math>\gamma=(4n-1)^{\frac{1}{2n-1}}</math> टकराव कारक है. के विशेष मामले के लिए <math>n=1</math>, तब से चरण स्थान में कोई प्रभावी अंतःक्रिया नहीं हुई है <math>U(R_{ij})=\sqrt{3}\epsilon\pi^{-1}</math> चरण अंतरिक्ष दूरी के संबंध में एक स्थिरांक है। सामान्य तौर पर के मामले के लिए <math>n>1</math>, चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया <math>{U}(R_{ij})</math> चरण स्थान दूरी के साथ बढ़ता है <math>R_{ij}</math>. हार्ड-स्फीयर इंटरैक्शन के लिए (<math>n\rightarrow\infty</math>), चरण अंतरिक्ष अंतःक्रिया <math>U(R_{ij})=\epsilon\pi^{-1}R_{ij}</math> [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (क्यूसीडी) में [[क्वार्क]]ों के बीच कारावास की बातचीत की तरह व्यवहार करता है। उपरोक्त चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन वास्तव में चरण स्थान में अलग-अलग घूर्णी या अनुवाद संबंधी संचालन के तहत अपरिवर्तनीय है। ड्राइविंग से चरण अंतरिक्ष जाली क्षमता के साथ संयुक्त, एक स्थिर शासन मौजूद है जहां कण समय-समय पर चरण स्थान में खुद को व्यवस्थित करते हैं जिससे कई-शरीर चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल को जन्म मिलता है।<ref name="Liang2018NJP" /><ref name="guo2022prb" /><ref name="Sach2022aapps" />
 क्वांटम यांत्रिकी में, बिंदु कण को क्वांटम तरंग पैकेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और विचलन समस्या से स्वाभाविक रूप से बचा जाता है। फ़्लोक्वेट प्रणाली के लिए निम्नतम क्रम के [[मैग्नस विस्तार]] के लिए, दो कणों का क्वांटम चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन आवधिक दो-शरीर क्वांटम स्थिति पर समय-औसत वास्तविक अंतरिक्ष इंटरैक्शन है <math>\Phi(x_i,x_j,t)</math> निम्नलिखित नुसार।<ref name="sacha2015sr">{{cite journal |last1=Sacha |first1=Krzysztof |title=टाइम डोमेन में एंडरसन स्थानीयकरण और मॉट इंसुलेटर चरण|journal=Scientific Reports |date=1 September 2015 |volume=5 |issue=1 |pages=10787 |doi=10.1038/srep10787|pmid=26074169 |pmc=4466589 |arxiv=1502.02507 |bibcode=2015NatSR...510787S }}</ref><ref name="Liang2018NJP" />
-<math display="block">U_{ij}=\frac{1}{T}\int^T_0\langle \Phi(x_i,x_j,t) |V(x_i-x_j)|\Phi(x_i,x_j,t)\rangle.</math> सुसंगत राज्य प्रतिनिधित्व में, क्वांटम चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन लंबी दूरी की सीमा में शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन तक पहुंचता है।<ref name="Liang2018NJP" />के लिए <math>N</math> प्रतिकारक संपर्क अंतःक्रिया के साथ बोसोनिक [[अल्ट्राकोल्ड परमाणु]] एक दोलनशील दर्पण पर उछलते हुए, [[मॉट इन्सुलेटर]] जैसी स्थिति बनाना संभव है <math>Z_n</math> चरण स्थान जाली.<ref name="sacha2015sr" /><ref name="Guo2020njp" />इस मामले में, प्रत्येक संभावित साइट में कणों की एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या होती है जिसे 1डी कई-बॉडी चरण स्पेस क्रिस्टल के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।
+<math display="block">U_{ij}=\frac{1}{T}\int^T_0\langle \Phi(x_i,x_j,t) |V(x_i-x_j)|\Phi(x_i,x_j,t)\rangle.</math>सुसंगत राज्य प्रतिनिधित्व में, क्वांटम चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन लंबी दूरी की सीमा में शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन तक पहुंचता है।<ref name="Liang2018NJP" />के लिए <math>N</math> प्रतिकारक संपर्क अंतःक्रिया के साथ बोसोनिक [[अल्ट्राकोल्ड परमाणु]] एक दोलनशील दर्पण पर उछलते हुए, [[मॉट इन्सुलेटर]] जैसी स्थिति बनाना संभव है <math>Z_n</math> चरण स्थान जाली.<ref name="sacha2015sr" /><ref name="Guo2020njp" />इस मामले में, प्रत्येक संभावित साइट में कणों की एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या होती है जिसे 1डी कई-बॉडी चरण स्पेस क्रिस्टल के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।
 यदि दो अविभाज्य कणों में [[स्पिन]] होती है, तो कुल चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन को प्रत्यक्ष इंटरैक्शन और विनिमय इंटरैक्शन के योग में लिखा जा सकता है।<ref name="Liang2018NJP" />इसका मतलब यह है कि दो कणों की टक्कर के दौरान विनिमय प्रभाव एक प्रभावी स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन को प्रेरित कर सकता है <ref name="Guo2021book" />
+'''चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल कंपन'''
-====चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल कंपन====
 ठोस क्रिस्टल को वास्तविक स्थान में परमाणुओं की आवधिक व्यवस्था द्वारा परिभाषित किया जाता है, समय-आवधिक ड्राइव के अधीन परमाणु चरण स्थान में भी क्रिस्टल बना सकते हैं।<ref name="Liang2018NJP" />इन परमाणुओं के बीच परस्पर क्रिया ठोस क्रिस्टल में [[फोनन]] के समान सामूहिक कंपन मोड को जन्म देती है। [[ मधुकोश ]] चरण स्पेस क्रिस्टल विशेष रूप से दिलचस्प है क्योंकि कंपन बैंड संरचना में दो उप-जाली बैंड होते हैं जिनमें गैर-तुच्छ टोपोलॉजिकल भौतिकी हो सकती है।<ref name="guo2022prb" />किन्हीं दो परमाणुओं के कंपन को आंतरिक रूप से जटिल युग्मन के साथ युग्मन अंतःक्रिया के माध्यम से जोड़ा जाता है। उनके जटिल चरणों की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या होती है और इसे [[गेज परिवर्तन]] द्वारा समाप्त नहीं किया जा सकता है, जिससे चरण स्थान में गैर-तुच्छ [[चेर्न संख्या]]ओं और चिरल किनारे वाले राज्यों के साथ एक कंपन बैंड संरचना बनती है। वास्तविक अंतरिक्ष में सभी टोपोलॉजिकल परिवहन परिदृश्यों के विपरीत, चरण अंतरिक्ष फ़ोनों के लिए चिरल परिवहन भौतिक [[समय-उलट समरूपता]] को तोड़ने के बिना उत्पन्न हो सकता है।
@@ Line 70: / Line 56: @@
 समय क्रिस्टल और चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल निकट से संबंधित हैं लेकिन अलग-अलग अवधारणाएँ हैं।<ref name="Guo2021book" />वे दोनों समय-समय पर संचालित प्रणालियों में उभरने वाले सबहार्मोनिक मोड का अध्ययन करते हैं। टाइम क्रिस्टल असतत [[ समय अनुवादात्मक समरूपता ]] (डीटीटीएस) की सहज समरूपता तोड़ने की प्रक्रिया और क्वांटम कई-बॉडी सिस्टम में सबहार्मोनिक मोड के सुरक्षा तंत्र पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इसके विपरीत, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल का अध्ययन चरण अंतरिक्ष में असतत समरूपता पर केंद्रित है। चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल का निर्माण करने वाले बुनियादी तरीके आवश्यक रूप से कई-निकाय वाले राज्य नहीं हैं, और एकल-कण चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल के लिए डीटीटीएस को तोड़ने की आवश्यकता नहीं है। कई-निकाय प्रणालियों के लिए, चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल संभावित सबहार्मोनिक मोड के परस्पर क्रिया का अध्ययन करते हैं जो समय-समय पर चरण स्थान में व्यवस्थित होते हैं। अनेक समय के क्रिस्टलों की परस्पर क्रिया का अध्ययन करने का चलन है <ref name="autti2021nm">{{cite journal |last1=Autti |first1=S. |last2=Heikkinen |first2=P. J. |last3=Mäkinen |first3=J. T. |last4=Volovik |first4=G. E. |last5=Zavjalov |first5=V. V. |last6=Eltsov |first6=V. B. |title=दो सुपरफ्लुइड समय क्रिस्टल के बीच एसी जोसेफसन प्रभाव|journal=Nature Materials |date=February 2021 |volume=20 |issue=2 |pages=171–174 |doi=10.1038/s41563-020-0780-y|pmid=32807922 |arxiv=2003.06313 |bibcode=2021NatMa..20..171A |s2cid=212717702 |url=https://eprints.lancs.ac.uk/id/eprint/147170/1/TimeCrystalJosephson.pdf }}</ref> जिसे [[समय के क्रिस्टल]] में संघनित पदार्थ भौतिकी के रूप में गढ़ा गया है <ref name="sacha2018rpp">{{cite journal |last1=Sacha |first1=Krzysztof |last2=Zakrzewski |first2=Jakub |title=Time crystals: a review |journal=Reports on Progress in Physics |date=1 January 2018 |volume=81 |issue=1 |pages=016401 |doi=10.1088/1361-6633/aa8b38|pmid=28885193 |arxiv=1704.03735 |bibcode=2018RPPh...81a6401S |s2cid=28224975 }}</ref><ref name="Guo2020njp" /><ref name="sacha2020tc">{{cite journal |last1=Sacha |first1=Krzysztof |title=समय आयाम में संघनित पदार्थ भौतिकी|journal=Time Crystals |series=Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics |date=2020 |volume=114 |pages=173–235 |doi=10.1007/978-3-030-52523-1_5|isbn=978-3-030-52522-4 |s2cid=226488734 }}</ref>
 == संदर्भ ==
 {{reflist}}
 [[Category: भौतिकी में अवधारणाएँ]] [[Category: हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] [[Category: आयामी विश्लेषण]] [[Category: गतिशील प्रणालियाँ]] [[Category: क्वांटम यांत्रिकी]]

Anonymous

Search

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 18:31, 29 November 2023

Contents

चरण अंतरिक्ष जालक

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल (पीएससी)

जाली पीएससी

विघटनकारी पीएससी

चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन

समय क्रिस्टल से संबंध

संदर्भ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल: Difference between revisions

Revision as of 18:31, 29 November 2023

चरण अंतरिक्ष जालक

चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल (पीएससी)

जाली पीएससी

विघटनकारी पीएससी

चरण अंतरिक्ष इंटरैक्शन

समय क्रिस्टल से संबंध

संदर्भ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories