गणितीय अंकन

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गणितीय संकेतन में संक्रियाओं, अनिर्दिष्ट संख्याओं, संबंधों और किसी भी अन्य गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करना और उन्हें व्यंजकों और सूत्रों में जोड़ना सम्मिलित है। गणित, विज्ञान और अभियांत्रिकी में गणितीय संकेतन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ताकि जटिल अवधारणाओं और गुणों को संक्षिप्त, स्पष्ट और व्यापक तरीके से प्रस्तुत किया जा सके।

उदाहरण के लिए, आइंस्टाइन का समीकरण $E=mc^{2}$ द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के गणितीय अंकन में एक मात्रात्मक प्रतिनिधित्व है।

गणितीय संकेतन पहली बार 16 वीं शताब्दी के अंत में फ्रांकोइस वियत द्वारा पेश किया गया था और 17वीं और 18वीं शताब्दी के दौरान रेने डेसकार्टेस, आइजैक न्यूटन, गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज और लियोनहार्ड यूलर द्वारा व्यापक रूप से विस्तृत किया गया था।

प्रतीक

Main article: गणितीय प्रतीक

गणितीय संकेतन का आधार अनेक प्रतीकों का प्रयोग है। वे प्राकृतिक भाषाओं में शब्दों की भूमिका के समान भूमिका निभाते हैं। वे गणितीय संकेतन में विभिन्न भूमिकाएँ निभा सकते हैं जैसे क्रिया, विशेषण और संज्ञा एक वाक्य में विभिन्न भूमिकाएँ निभाते हैं।

अक्षर प्रतीक के रूप में

सामान्यतः नामकरण के लिए अक्षरों का उपयोग किया जाता है - गणितीय शब्दजाल में, कोई कहता है कि प्रतिनिधित्व करना - गणितीय वस्तुओं। यह सामान्यतः लैटिन वर्णमाला और ग्रीक वर्णमाला अक्षर हैं जिनका उपयोग किया जाता है, लेकिन हिब्रू वर्णमाला $(\aleph ,\beth )$ के कुछ अक्षरों का कभी-कभी उपयोग किया जाता है। अपरकेस और लोअरकेस अक्षरों को अलग-अलग प्रतीकों के रूप में माना जाता है। लैटिन वर्णमाला के लिए, विभिन्न टाइपफेस भी भिन्न प्रतीक प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, आर, आर, आर, आर, आर, सैद्धांतिक रूप से एक ही गणितीय पाठ में छह अलग-अलग अर्थों के साथ दिखाई दे सकते हैं। सामान्यतः, रोमन अपराइट टाइपफेस का उपयोग प्रतीकों के लिए नहीं किया जाता है, सिवाय उन प्रतीकों के जो कई अक्षरों से बने होते हैं, जैसे कि साइन फ़ंक्शन का प्रतीक $\sin$ "सिन"।

अधिक प्रतीकों के लिए, और संबंधित गणितीय वस्तुओं को संबंधित प्रतीकों द्वारा प्रदर्शित करने की अनुमति देने के लिए, डायाक्रिटिक्स, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट्स का प्रायः उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, ${\hat {f'_{1}}}$ नामक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के फूरियर रूपांतरण को निरूपित कर सकता है जिसे कहा जाता है $f_{1}.$।

अन्य प्रतीक

प्रतीकों का उपयोग न केवल गणितीय वस्तुओं के नाम के लिए किया जाता है। इनका उपयोग संक्रियाओं $(+,-,/,\oplus ,\ldots ),$ संबंधों के लिए $(=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),$ तार्किक संयोजनों के लिए $(\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),$ परिमाणकों के लिए $(\forall ,\exists ),$ और अन्य उद्देश्यों के लिए किया जाता है।

कुछ प्रतीक लैटिन या ग्रीक अक्षरों से मिलते जुलते हैं, कुछ अक्षरों को विकृत करके प्राप्त किए जाते हैं, कुछ पारंपरिक टाइपोग्राफिक प्रतीक हैं, लेकिन कई विशेष रूप से गणित के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

अभिव्यक्ति

एक अभिव्यक्ति प्रतीकों का एक परिमित संयोजन है जो संदर्भ-निर्भर नियमों के अनुसार अच्छी तरह से बनता है। सामान्यतः, एक अभिव्यक्ति एक गणितीय वस्तु को दर्शाती है या नाम देती है, और इसलिए गणित की प्राकृतिक भाषा में संज्ञा वाक्यांश की भूमिका लेती है।

एक अभिव्यक्ति में प्रायः कुछ ऑपरेटर होते हैं, और इसलिए इसमें ऑपरेटरों की क्रिया का मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,$3+2$ एक व्यंजक है जिसमें संकारक + का मूल्यांकन परिणाम $5.$ देने के लिए किया जा सकता है। इसलिए $3+2$ और $5$ एक ही संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले दो अलग-अलग भाव हैं। यह समानता का अर्थ है $3+2=5.$।

व्यंजक ${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$ द्वारा एक अधिक जटिल उदाहरण दिया गया है जिसका मूल्यांकन ${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$ के लिए किया जा सकता है। यद्यपि परिणामी अभिव्यक्ति में विभाजन, घटाव और घातांक के संचालक शामिल हैं, इसका आगे मूल्यांकन नहीं किया जा सकता क्योंकि a और b अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इतिहास

Main article: गणितीय संकेतन का इतिहास

संख्या

यह माना जाता है कि संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंकन पहली बार कम से कम 50,000 साल पहले विकसित किया गया था-प्रारंभिक गणितीय विचार जैसे अंगुलियों की गिनती चट्टानों, छड़ियों, हड्डी, मिट्टी, पत्थर, लकड़ी की नक्काशी और गांठदार रस्सियों के संग्रह द्वारा भी प्रतिनिधित्व किया गया है। टैली स्टिक ऊपरी पुरापाषाण काल ​​से गिनती का एक तरीका है। शायद सबसे पुराने ज्ञात गणितीय ग्रंथ प्राचीन सुमेर के हैं। एंडीज की जनगणना क्विपू और अफ्रीका की इशांगो बोन दोनों ने संख्यात्मक अवधारणाओं के लिए लेखांकन की मिलान का चिह्न पद्धति का उपयोग किया।

शून्य की अवधारणा और इसके लिए एक अंकन की शुरूआत प्रारंभिक गणित में महत्वपूर्ण विकास हैं, जो सदियों से शून्य की अवधारणा को एक संख्या के रूप में पेश करते हैं। इसे बेबीलोनियों और ग्रीक मिस्रियों द्वारा प्लेसहोल्डर के रूप में इस्तेमाल किया गया था, और फिर मायाओं, भारतीयों और अरबों द्वारा पूर्णांक के रूप में(शून्य का इतिहास देखें) उपयोग किया गया था।

आधुनिक अंकन

16वीं शताब्दी तक, गणित अनिवार्य रूप से लाक्षणिक था, इस अर्थ में कि स्पष्ट संख्याओं को छोड़कर सब कुछ शब्दों में व्यक्त किया गया था। हालाँकि, कुछ लेखकों जैसे कि डायोफैंटस ने कुछ प्रतीकों का संक्षिप्त रूप में उपयोग किया है।

सूत्रों का पहला व्यवस्थित उपयोग, और, विशेष रूप से, अनिर्दिष्ट संख्याओं के लिए प्रतीकों(चर) का उपयोग सामान्यतः फ़्राँस्वा वियत(16 वीं शताब्दी) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। हालाँकि, उन्होंने उन प्रतीकों की तुलना में भिन्न प्रतीकों का उपयोग किया जो अब मानक हैं।

बाद में, रेने डेसकार्टेस(17वीं शताब्दी) ने चरों और समीकरणों के लिए एक आधुनिक संकेतन प्रस्तुत किया; विशेष रूप से, अज्ञात मात्राओं के लिए $x,y,z$ और ज्ञात मात्राओं(स्थिरांक(स्थिर(गणित)) के लिए $a,b,c$ का उपयोग करना। उन्होंने काल्पनिक इकाई और "काल्पनिक" शब्द के लिए अंकन भी पेश किया।

18वीं और 19वीं शताब्दियों में गणितीय संकेतन का मानकीकरण देखा गया जैसा कि आज देखा जाता है। लियोनहार्ड यूलर वर्तमान में उपयोग में आने वाली कई सूचनाओं के लिए जिम्मेदार था: कार्यात्मक संकेतन $f(x),$ e प्राकृतिक लघुगणक के आधार के लिए ${\textstyle \sum }$ योग के लिए, आदि। उन्होंने आर्किमिडीज स्थिरांक के लिए π के उपयोग को भी लोकप्रिय बनाया।(विलियम जोन्स(गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तावित, विलियम ऑट्रेड के एक पुराने अंकन पर आधारित)।

तब से कई नए अंकन शुरू किए गए हैं, जो प्रायः गणित के किसी विशेष क्षेत्र के लिए विशिष्ट होते हैं। कुछ संकेतन उनके आविष्कारकों के नाम पर रखे गए हैं, जैसे लीबनिज के संकेतन, लेजेंड्रे प्रतीक, आइंस्टीन के संकलन सम्मेलन आदि।

टाइपसेटिंग

सामान्य टाइपसेटिंग सिस्टम सामान्यतः गणितीय संकेतन के लिए उपयुक्त नहीं होते हैं। इसका एक कारण यह है कि, गणितीय अंकन में, प्रतीकों को प्रायः द्वि-आयामी आकार में व्यवस्थित किया जाता है जैसे कि

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.$

TeX एक गणितीय-उन्मुख टाइपसेटिंग प्रणाली है जिसे 1978 में डोनाल्ड नुथ द्वारा बनाया गया था। यह LaTeX(लेटेक्स) नामक विस्तार के माध्यम से गणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और यह एक वास्तविक मानक है।(उपरोक्त अभिव्यक्ति LaTeX में लिखी गई है।)

हाल ही में, मैथएमएल(MathML) द्वारा गणितीय टाइपसेटिंग के लिए एक और दृष्टिकोण प्रदान किया गया है। हालाँकि, यह सभी वेब ब्राउज़रों में अच्छी तरह से समर्थित नहीं है, जो इसके प्राथमिक लक्ष्य हैं।

का एक असामान्य प्रदर्शन π TeX द्वारा अनुमत(यूरोपीय शैली, दशमलव विभाजक के रूप में अल्पविराम के साथ)

गैर-लैटिन-आधारित गणितीय अंकन

आधुनिक अरबी गणितीय संकेतन ज्यादातर अरबी वर्णमाला पर आधारित है और अरब दुनिया में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, खासकर पूर्व-तृतीयक शिक्षा में।

(पश्चिमी संकेतन अरबी अंकों का उपयोग करता है, लेकिन अरबी संकेतन लैटिन अक्षरों और संबद्ध प्रतीकों को अरबी लिपि से भी बदल देता है।)

अरबी संकेतन के अलावा, गणित गणितीय वस्तुओं और चर की एक विस्तृत विविधता को दर्शाने के लिए ग्रीक अक्षरों का भी उपयोग करता है। कुछ अवसरों में, कुछ इब्रानी अक्षरों का भी उपयोग किया जाता है(जैसे अनंत कार्डिनल्स के संदर्भ में)।

कुछ गणितीय अंकन ज्यादातर रेखाचित्रीय होते हैं, और इसलिए लगभग पूरी तरह से स्क्रिप्ट-स्वतंत्र होते हैं। पेनरोज़ ग्राफिकल नोटेशन और कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख इसके उदाहरण हैं।

नेत्रहीन लोगों द्वारा उपयोग किए जाने वाले ब्रेल-आधारित गणितीय संकेतन में नेमेथ ब्रेल और GS8 ब्रेल सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

• अंकन का दुरुपयोग
• बेग्रिफस्च्रिफ्ट
• गणितीय प्रतीकों की शब्दावली
• बोरबाकी डेंजरस टर्न सिंबल
• गणितीय अंकन का इतिहास
• आईएसओ 31-11
• आईएसओ 80000-2
• नुथ का अप-एरो नोटेशन
• गणितीय प्रतीकों की सूची
• गणितीय अल्फ़ान्यूमेरिक प्रतीक
• गणितीय सूत्र
• संभाव्यता और सांख्यिकी में अंकन
• गणित की भाषा
• वैज्ञानिक संकेत
• सेमोग्राफी
• गणितीय प्रतीकों की तालिका
• गणितीय सूत्रों में टाइपोग्राफिक सम्मेलन
• वेक्टर संकेतन
• आधुनिक अरबी गणितीय अंकन

संदर्भ

• Florian Cajori, A History of Mathematical Notations(1929), 2 volumes. ISBN 0-486-67766-4
• Ifrah, Georges (2000), The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer., John Wiley and Sons, p. 48, ISBN 0-471-39340-1. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk. Ifrah supports his thesis by quoting idiomatic phrases from languages across the entire world.
• Mazur, Joseph(2014), Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15463-3

बाहरी संबंध

• Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• Mathematical ASCII Notation how to type math notation in any text editor.
• Mathematics as a Language at cut-the-knot
• Stephen Wolfram: Mathematical Notation: Past and Future. October 2000. Transcript of a keynote address presented at MathML and Math on the Web: MathML International Conference.