प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण

एक स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) एक डिफरेंशियल इक्वेशन है जिसमें एक या अधिक शब्द एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया है, जिसके परिणामस्वरूप एक समाधान होता है जो एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया भी है। एसडीई का उपयोग विभिन्न घटनाओं जैसे कि स्टॉक की कीमतों या थर्मल उतार-चढ़ाव के अधीन भौतिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। आमतौर पर, एसडीई में एक चर होता है जो यादृच्छिक सफेद शोर का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया के व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि कूद प्रक्रियाएँ। रैंडम डिफरेंशियल इक्वेशन स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन के साथ संयुग्मित होते हैं।

पृष्ठभूमि

स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन की उत्पत्ति अल्बर्ट आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की के काम में ब्राउनियन गति के सिद्धांत में हुई। ये शुरुआती उदाहरण रेखीय स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लैंगविन के बाद 'लैंगविन' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की गति का वर्णन करता है। स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितज्ञ कियोसी इतो के ज़बरदस्त काम के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने स्टोकेस्टिक इंटीग्रल की अवधारणा पेश की और नॉनलाइनियर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन का अध्ययन शुरू किया। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सामान्य कैलकुलस के समान एक कलन की ओर ले जाता है।

शब्दावली

साहित्य में एसडीई का सबसे आम रूप एक साधारण अंतर समीकरण है, जो एक सफेद शोर चर पर निर्भर एक शब्द से दाहिने हाथ की तरफ से परेशान है। ज्यादातर मामलों में, SDEs को संबंधित स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। SDEs की यह समझ अस्पष्ट है और संबंधित इंटीग्रल की एक उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक होना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इतो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जो आज इटो कलन के रूप में जानी जाती है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो कि स्ट्रैटोनोविच अभिन्न के रूप में जाना जाता है। इटो इंटीग्रल और स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, ऑब्जेक्ट्स और उनके बीच की पसंद विचार किए गए एप्लिकेशन पर निर्भर करती है। इटो कैलकुस गैर-प्रत्याशात्मकता या कारणता की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहां चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस में ऐसे नियम हैं जो साधारण कैलकुलस से मिलते जुलते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण हैं जो ज्यामितीय समस्याओं जैसे कई गुना पर यादृच्छिक गति से निपटने के दौरान इसे और अधिक स्वाभाविक बनाते हैं।

SDEs पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का स्टोकेस्टिक प्रवाह है। यह समझ असंदिग्ध है और स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण से मेल खाती है। SDEs के साथ संबद्ध Smoluchowski समीकरण या Fokker-Planck समीकरण है, एक समीकरण जो संभाव्यता वितरण कार्यों के समय विकास का वर्णन करता है। भिन्न रूपों के अस्थायी विकास के लिए फोकर-प्लैंक विकास का सामान्यीकरण स्टोकेस्टिक विकास संचालिका की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है।

भौतिक विज्ञान में, "लैंगविन एसडीई" शब्द के प्रयोग में एक अस्पष्टता है। जबकि लैंगविन एसडीई एक अधिक सामान्य रूप का हो सकता है, यह शब्द आमतौर पर एसडीई के एक संकीर्ण वर्ग को ढाल प्रवाह वेक्टर क्षेत्रों के साथ संदर्भित करता है। एसडीई का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पेरिस-सोरलास स्टोकास्टिक क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया का प्रारंभिक बिंदु है, सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी से बारीकी से संबंधित एन = 2 सुपरसिमेट्रिक मॉडल की ओर अग्रसर है। भौतिक दृष्टिकोण से, हालांकि, एसडीई का यह वर्ग बहुत दिलचस्प नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री के सहज टूटने का प्रदर्शन नहीं करता है, यानी (ओवरडम्प्ड) लैंग्विन एसडीई कभी भी अराजक नहीं होते हैं।

स्टोचैस्टिक कैलकुलस

ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया को असाधारण रूप से जटिल गणितीय रूप से खोजा गया था। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अलग नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने स्वयं के नियमों की आवश्यकता होती है। स्टोचैस्टिक कैलकुलस, इटो स्टोचैस्टिक कैलकुलस और स्ट्रैटोनोविच स्टोचैस्टिक कैलकुलस के दो प्रभावी संस्करण हैं। दोनों में से प्रत्येक के फायदे और नुकसान हैं, और नवागंतुक अक्सर भ्रमित होते हैं कि क्या दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। दिशानिर्देश मौजूद हैं (उदाहरण के लिए Øksendal, 2003) और आसानी से, कोई आसानी से एक आईटीओ एसडीई को समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एसडीई में परिवर्तित कर सकता है और फिर से वापस आ सकता है। फिर भी, किसी को सावधान रहना चाहिए कि जब SDE को शुरू में लिखा जाता है तो किस कैलकुलेशन का उपयोग करना चाहिए।

संख्यात्मक समाधान

स्टोचैस्टिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में शामिल हैं यूलर-मारुयामा विधि, मिल्स्टीन विधि और रनगे-कुट्टा विधि (एसडीई)।

भौतिकी में प्रयोग करें

See also: Langevin equation

भौतिक विज्ञान में, एसडीई में आणविक गतिकी से लेकर न्यूरोडायनामिक्स और खगोलभौतिकीय वस्तुओं की गतिशीलता तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एसडीई सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिसमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन हैं या गड़बड़ी के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। एसडीई को शोर के साथ मॉडल के लिए गतिशील प्रणाली सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण से हमेशा बाहरी स्टोचैस्टिक प्रभाव का अनुभव होता है।

नए अज्ञात को प्रस्तुत करके उच्च-क्रम के समीकरणों को कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में बदलने की मानक तकनीकें हैं। इसलिए, एसडीई का सबसे सामान्य वर्ग निम्नलिखित है:

${\frac {dx(t)}{dt}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,$

कहां $x\in X$ अपने चरण (या राज्य) अंतरिक्ष में प्रणाली में स्थिति है, $X$, एक अलग करने योग्य कई गुना माना जाता है $F\in TX$ विकास के नियतात्मक कानून का प्रतिनिधित्व करने वाला एक प्रवाह सदिश क्षेत्र है, और $g_{\alpha }\in TX$ सदिश क्षेत्रों का एक समूह है जो गाऊसी सफेद शोर के लिए सिस्टम के युग्मन को परिभाषित करता है, $\xi ^{\alpha }$. यदि $X$ एक रैखिक स्थान है और $g$ स्थिरांक हैं, सिस्टम को एडिटिव नॉइज़ के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे मल्टीप्लिकेटिव नॉइज़ के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका मतलब सामान्य मामले से है, भले ही यह सीमित मामले को दर्शाता हो $g(x)\propto x$.

शोर के एक निश्चित विन्यास के लिए, SDE के पास प्रारंभिक स्थिति के संबंध में अलग-अलग एक अनूठा समाधान है। स्टोकेस्टिक मामले की गैर-तुच्छता तब दिखाई देती है जब कोई शोर विन्यास पर ब्याज की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने का प्रयास करता है। इस अर्थ में, एक एसडीई विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब शोर गुणक होता है और जब एसडीई को स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस मामले में, एसडीई को "एसडीई की व्याख्या" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि आईटीओ या एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब SDE को डिफियोमॉर्फिज़्म के निरंतर-समय के स्टोकेस्टिक प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह एक विशिष्ट रूप से परिभाषित गणितीय वस्तु है जो स्ट्रैटोनोविच के दृष्टिकोण से एक स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण की निरंतर समय सीमा से मेल खाती है।

भौतिकी में, समाधान का मुख्य तरीका समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण (एफपीई) का उपयोग करते हुए समय के एक समारोह के रूप में संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को खोजना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक नियतात्मक आंशिक अवकल समीकरण है। यह बताता है कि संभाव्यता वितरण फलन समय के साथ कैसे विकसित होता है उसी तरह जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या प्रसार समीकरण रासायनिक एकाग्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, मोंटे कार्लो अनुकरण द्वारा संख्यात्मक समाधान प्राप्त किया जा सकता है। अन्य तकनीकों में पथ एकीकरण शामिल है जो सांख्यिकीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ वेरिएबल्स को रीस्केल करके श्रोडिंगर समीकरण में बदला जा सकता है) या प्रायिकता वितरण समारोह के सांख्यिकीय क्षणों के लिए सामान्य अंतर समीकरणों को लिखकर सादृश्यता पर आधारित है।

संभाव्यता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें

संभाव्यता सिद्धांत (और संभाव्यता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए गणितीय वित्त) में प्रयुक्त संकेतन थोड़ा अलग है। यह स्टोकास्टिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों पर प्रकाशनों में प्रयुक्त संकेतन भी है। यह अंकन समय के यादृच्छिक कार्य की विदेशी प्रकृति बनाता है $\eta _{m}$ भौतिकी सूत्रीकरण में और अधिक स्पष्ट। सख्त गणितीय शब्दों में, $\eta _{m}$ सामान्य कार्य के रूप में नहीं चुना जा सकता है, बल्कि केवल सामान्यीकृत कार्य के रूप में चुना जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस जटिलता को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ मानता है।

एक विशिष्ट समीकरण रूप का है

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},$

कहां $B$ एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाता है। इस समीकरण की व्याख्या संबंधित अभिन्न समीकरण को व्यक्त करने के अनौपचारिक तरीके के रूप में की जानी चाहिए

$X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.$

उपरोक्त समीकरण निरंतर समय स्टोकास्टिक प्रक्रिया एक्स के व्यवहार को दर्शाता है_t एक साधारण लेबेस्ग इंटीग्रल और एक इटो कैलकुलस|इटो इंटीग्रल के योग के रूप में। स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन की एक अनुमानी (लेकिन बहुत मददगार) व्याख्या यह है कि लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में δ स्टोचैस्टिक प्रक्रिया X_t अपेक्षित मान के साथ सामान्य वितरण वाली राशि से इसका मान बदलता है μ(X_t, टी) δ और विचरण σ (एक्स_t, टी)² δ और प्रक्रिया के पिछले व्यवहार से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र और सामान्य रूप से वितरित होती है। फ़ंक्शन μ को बहाव गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि σ को प्रसार गुणांक कहा जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक्स_t एक प्रसार प्रक्रिया कहा जाता है, और मार्कोव संपत्ति को संतुष्ट करता है।

एसडीई के समाधान के गठन के संदर्भ में एक एसडीई की औपचारिक व्याख्या दी गई है। एसडीई के समाधान की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत समाधान और एक कमजोर समाधान। दोनों को एक प्रक्रिया X के अस्तित्व की आवश्यकता होती है_t जो SDE के अभिन्न समीकरण संस्करण को हल करता है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित संभावना स्थान में है ($\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$). एक कमजोर समाधान में प्रायिकता स्थान और एक प्रक्रिया होती है जो अभिन्न समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक मजबूत समाधान एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और किसी दिए गए प्रायिकता स्थान पर परिभाषित होती है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए समीकरण है

$\mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.$

जो ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में भण्डार की कीमत की गतिशीलता के लिए समीकरण है | ब्लैक-स्कोल्स विकल्प वित्तीय गणित के मूल्य निर्धारण मॉडल।

अधिक सामान्य स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण भी हैं जहां गुणांक μ और σ न केवल प्रक्रिया X के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैं_t, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवतः अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी। उस मामले में समाधान प्रक्रिया, एक्स, मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे इटो प्रक्रिया कहा जाता है, न कि प्रसार प्रक्रिया। जब गुणांक केवल एक्स के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है, तो परिभाषित समीकरण को स्टोकास्टिक विलंब अंतर समीकरण कहा जाता है।

समाधान का अस्तित्व और विशिष्टता

नियतात्मक सामान्य और आंशिक अंतर समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या किसी दिए गए SDE का समाधान है, और यह अद्वितीय है या नहीं। एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'आर' में मान लेने वाले आईटीओ एसडीई के लिए निम्नलिखित एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय हैⁿ और m-आयामी ब्राउनियन गति B द्वारा संचालित; प्रमाण Øksendal (2003, §5.2) में पाया जा सकता है।

चलो T > 0, और चलो

$\mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};$

$\sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};$

मापने योग्य कार्य हो जिसके लिए निरंतर सी और डी मौजूद हैं

${\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};$

${\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;$

सभी t ∈ [0, T] और सभी x और y ∈ 'R' के लिए^एन, जहां

$|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.$

मान लीजिए Z एक यादृच्छिक चर है जो B द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित से स्वतंत्र है_s, s ≥ 0, और परिमित क्षण (गणित) के साथ:

$\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .$

फिर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन/इनिशियल वैल्यू प्रॉब्लम

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];$

$X_{0}=Z;$

एक पी-लगभग निश्चित रूप से अद्वितीय टी-निरंतर समाधान (टी, ω) ↦ एक्स है_t(ω) ऐसा है कि एक्स निस्पंदन (सार बीजगणित) एफ के लिए अनुकूलित प्रक्रिया है_t^Z Z और B द्वारा जनरेट किया गया_s, एस ≤ टी, और

$\mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .$

कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई

रैखिक एसडीई: सामान्य मामला

$dX_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))dt+(b(t)X_{t}+d(t))dW_{t}$

$X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))ds+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)dW_{s}\right)$

कहां

$\Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)ds+\int _{t_{0}}^{t}b(s)dW_{s}\right)$

कम करने योग्य एसडीई: केस 1

$dX_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})dt+f(X_{t})dW_{t}$

किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

$dX_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}$

जिसका एक सामान्य समाधान है

$X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))$

कहां

$h(x)=\int ^{x}{\frac {ds}{f(s)}}$

कम करने योग्य एसडीई: केस 2

$dX_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)dt+f(X_{t})dW_{t}$

किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

$dX_{t}=\alpha f(X_{t})dt+f(X_{t})\circ W_{t}$

जो कम करने योग्य है

$dY_{t}=\alpha dt+dW_{t}$

कहां $Y_{t}=h(X_{t})$ कहां $h$ पहले के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका सामान्य समाधान है

$X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))$

एसडीई और सुपरसममेट्री

Main article: Supersymmetric theory of stochastic dynamics

एसडीई के सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, स्टोचैस्टिक गतिशीलता को मॉडल के चरण स्थान पर विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले स्टोकेस्टिक विकास ऑपरेटर के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। स्टोचैस्टिक गतिकी के इस सटीक सूत्रीकरण में, सभी एसडीई में टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा फेज स्पेस की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस सुपरसिमेट्री का सहज टूटना अराजकता, अशांति, स्व-संगठित आलोचनात्मकता आदि के रूप में अनुशासनों में जानी जाने वाली सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है और गोल्डस्टोन प्रमेय संबंधित लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, तितली प्रभाव, 1/f और कर्कश शोर, और भूकंप, तंत्रिका हिमस्खलन, सौर फ्लेयर्स आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े।

यह भी देखें

• लैंग्विन गतिकी
• स्थानीय अस्थिरता
• अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
• स्टोकेस्टिक अस्थिरता
• स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण
• प्रसार प्रक्रिया
• स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
• श्वेत रव
• शेयर की कीमत
• कूदने की प्रक्रिया
• गणित का मॉडल
• स्मोलुचोव्स्की समीकरण
• संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
• मिलस्टीन विधि
• गतिशील प्रणाली सिद्धांत
• आंशिक विभेदक समीकरण
• पल (गणित)
• सामान्य अवकल समीकरण
• संख्यात्मक तरीके
• सिद्धांत संभावना
• सामान्यीकृत समारोह
• अपेक्षित मूल्य
• झगड़ा
• संभाव्यता स्थान
• मापने योग्य समारोह
• अराजकता सिद्धांत
• विभेदक रूप
• स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण

आगे की पढाई

• Adomian, George (1983). Stochastic systems. Mathematics in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group.
• Calin, Ovidiu (2015). An Informal Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Singapore: World Scientific Publishing. p. 315. ISBN 978-981-4678-93-3.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
• Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. pp. 523–527. {{cite book}}: |author= has generic name (help)
• C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415.
• Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7.
• Seifedine Kadry (2007). "A Solution of Linear Stochastic Differential Equation". Wseas Transactions on Mathematics. USA: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007.: 618. ISSN 1109-2769.
• P. E. Kloeden & E. Platen (1995). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer. ISBN 0-387-54062-8.
• Higham., Desmond J. (January 2001). "An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations". SIAM Review. 43 (3): 525–546. Bibcode:2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX 10.1.1.137.6375. doi:10.1137/S0036144500378302.
• Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).

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